2.2.1條件概率

1、條件概率”教學(xué)設(shè)計(jì)一、目標(biāo)和目標(biāo)解析（1）通過對(duì)具體情境“抽獎(jiǎng)問題”的分析，初步理解條件概率的含義（讓學(xué)生明白，在 加強(qiáng)條件下事件的概率發(fā)生怎樣的變化,通過與概率的對(duì)比和類比達(dá)到對(duì)新概念的理解）（2）在理解條件概率定義的基礎(chǔ)上，將知識(shí)技能化，學(xué)會(huì)用兩種方法求條件概率，并能 利用條件概率的性質(zhì)簡(jiǎn)化條件概率的運(yùn)算。 （明確求條件概率的兩種方法， 一種是利用條件 概率計(jì)算公式， 另一種是縮減樣本空間法。 并能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q不同概率模型下的條件 概率（3）通過實(shí)例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，在辨析條件概率時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，讓學(xué)生親 身經(jīng)歷條件概率概念的形成過程， 體會(huì)由特殊到一般再由一般到特殊的思維方

2、式。 在參與的 過程中讓他們感受數(shù)學(xué)帶來的無窮樂趣。 注重學(xué)習(xí)過程中師生間、 學(xué)生間的情感交流， 充分 利用各種手段激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，共同體驗(yàn)成功的喜悅。二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題問題1:1.擲一均勻硬幣2次，（1）第二次正面向上的概率是多少？ （2）當(dāng)至少有一次正面向上時(shí)，第二次正面向上的概率是多少？2.設(shè)在一個(gè)罐子里放有白球和黑球， 現(xiàn)依次取兩球 （沒有放回），事件A是第一次從罐中取出黑球，事件B是第二次從罐中取出黑球，那么事件A對(duì)事件B有沒有影響？（1）如果罐子里有2個(gè)不同白球和1個(gè)黑球，事件B發(fā)生的概率是多少？（2）如果罐子里有2個(gè)不同白球和1個(gè)黑球，在事件A發(fā)生的條件下，

3、事件B發(fā)生的 概率又是多少？若在事件A沒有發(fā)生的情況下，事件B發(fā)生的概率又是多少？3.三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng),現(xiàn)分別由三名同學(xué)無放回地抽取，問:（1）最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是否比前兩名同學(xué)小.（2）如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)抽到了中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么最后一名同學(xué)抽到獎(jiǎng)券的概率是多 少？根據(jù)上面三個(gè)例子，你能得出這些概率與我們所學(xué)過的概率一樣嗎？什么地方不一 樣？請(qǐng)大家以小組的方式討論一下。預(yù)設(shè)答案: 他們與我們所學(xué)的概率不一樣，都在原有的基礎(chǔ)上又附加了條件，使得概 率發(fā)生變化。（此問學(xué)生應(yīng)該能很容易得出）（二）通過設(shè)疑，引出概念那么，如何求在附加條件下的概率呢？下面我們就以問題3抽獎(jiǎng)問題具體分

4、析一下。首先來看第一小問： 最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是否比前兩名同學(xué)小預(yù)設(shè)答案：（1 1）方法 1 1：如果三張獎(jiǎng)券分別用1表示，其中F表示那張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么三名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果共有六種可能:m -二-1用B表示事件“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，則僅包含兩個(gè)基本事件：二，由古典概型計(jì)算概率的公式可知,2 1最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為方法 2 2:若抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券用“ ；”表示，沒有抽到用“；一 ”，表示，那么三名同學(xué)的 抽獎(jiǎng)結(jié)果共有三種可能：工/和-.用占表示事件“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，則僅包含一個(gè)基本事件-由古典概型計(jì)算公式可知，最后一名同學(xué)抽到中 獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為-再來看第二小

5、問： 如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)抽到了中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券， 那么最后一名同學(xué)抽到 獎(jiǎng)券的概率是多少？（如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么最后一名同學(xué)抽 到獎(jiǎng)券的概率又是多少？如果已經(jīng)知道前兩名同學(xué)都沒抽到呢？）預(yù)設(shè)答案：如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)抽到了中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么最后一位中獎(jiǎng)概率為0與第一問相比概率減小了。 當(dāng)已經(jīng)知道第一名學(xué)生沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券時(shí)，后兩名同學(xué)當(dāng)然是非常高興了，因?yàn)槊咳顺榈降目赡苄猿闪?0%T。因?yàn)橐阎谝幻瑢W(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，所以可能出現(xiàn)的基本事件只有 - 和二而“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”包含的基本事丄件只有：丁，由古典概型計(jì)算公式可知最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為2，不妨記為

6、-J-l二，其中一表示事件“第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”與第一問相比概率增大了。如果已經(jīng)知道前兩名同學(xué)都沒抽到，那么最后一名同學(xué)會(huì)高興地不知所措的，因?yàn)榫腿龔埅?jiǎng)券，而且只有一張中獎(jiǎng)，已經(jīng)兩張沒獎(jiǎng)的被抽走了，有獎(jiǎng)的那100%會(huì)被自己抽到。最后設(shè)問：已知第一名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果為什么會(huì)影響最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概 率呢？與第一問相比概率發(fā)生怎樣的變化了呢？預(yù)設(shè)答案：在這個(gè)問題中，知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，等價(jià)于知道事件上-定會(huì)發(fā)生，導(dǎo)致可能出現(xiàn)的基本事件必然在事件止中，從而影響事件 發(fā)生的概率，使得| &工尸僅）好了，既然我們已經(jīng)知道什么是條件概率了，那么，條件概率又如何計(jì)算呢？有沒

7、有 計(jì)算公式呢？尸僅|&二空豈在此，學(xué)生能夠得出：|-，（注意，學(xué)生在初學(xué)時(shí)會(huì)把分子上的Jl：-Lk-誤認(rèn)為是-：/-，這要讓學(xué)生辨析，可以讓學(xué)生自己舉例說明，也可以以情景設(shè)置中的投硬 幣試驗(yàn)來說明。但是舉例要簡(jiǎn)單，容易理解一些。）但是這個(gè)公式通用嗎？請(qǐng)同學(xué)們看例2，是否為條件概率呢？如果是的話，能用上面這個(gè)公式嗎？不能的話那該怎么辦呢？既然他給出的是概率，那么能否將上面的公式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，變成概率關(guān)系式呢？請(qǐng)同學(xué)們回答問題2。問題2:對(duì)于上面的事件 工和事件亦，上丄與它們的概率有什么關(guān)系呢？能否運(yùn)用韋恩圖來描述事件 上與事件*之間的關(guān)系？請(qǐng)結(jié)合圖形來計(jì)算）根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，其中

8、J I-表示二中包含的基本事件個(gè)數(shù)所以| A）= H山）=P（E I &一尸1無（蟲）尸（/）1鞏門.因此，可以通過事件設(shè)計(jì)意圖：通過此問得出條件概率的定義，加深對(duì)條件概率的理解，并得出計(jì)算公式,從兩個(gè)角度分析，一是采用縮小樣本空間的方法求出相應(yīng)的概率,，同時(shí)也讓學(xué)生明白引入條件概率公式更具有一般性。不僅可以解決古典概型，還可以解決與計(jì)數(shù)無關(guān)的概率問題，進(jìn)而引入條件概率的定義，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)分析問題的 能力，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想。運(yùn)用韋恩圖來描述事件關(guān)系使得學(xué)生更容易理解和接受。問題3:根據(jù)以上幾個(gè)問題的分析，請(qǐng)同學(xué)們歸納一下條件概率的定義

9、。并再次分析問題1歸納條件概率與我們以前所學(xué)概率的區(qū)別是什么？亠 與J J-的區(qū)別是什么？生的條件下，事件 *發(fā)生的條件概率.讀作二發(fā)生的條件下丘發(fā)生的概率。P(AB)表示在樣本空間 G 中,計(jì)算AB發(fā)生 的慨率，而玖表示在編小的樣本空間QA社 計(jì)葬B發(fā)生的1S率用古典槪率公式，則AR由柱士占新二AB中樣本點(diǎn)數(shù)Q中樣本點(diǎn)數(shù)一般未說疋(盼)比P(AE)大.問題4：既然條件概率也是概率， 那么滿足概率的性質(zhì)嗎？分別是什么？這些性質(zhì)對(duì)我們計(jì)算概率有什么幫助?是轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)概率之比般的，設(shè)一和=為兩個(gè)事件，且,稱-為在事件丄1發(fā)條件概率具有概率的性質(zhì)， 任何事件的條件概率都在0和1之間，即-,化概率運(yùn)算

10、起到了很好的作用。(三)例題分析，加深理解例1拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，記事件 A A 為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為 3 3 和 6 6”，事件 B B 為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于 8 8”求 P(A)P(A)、P(B)P(B)、P(AB)P(AB)(2)(2)當(dāng)已知藍(lán)色骰子兩點(diǎn)數(shù)為3 3 或 6 6 時(shí)，問兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8 8 的概率為多少？(畫棋盤圖說明)例2某種動(dòng)物出生之后活到2020 歲的概率為 0.70.7，活到 2525 歲的概率為 0.560.56，求現(xiàn)年為 2020 歲的這種動(dòng)物活到 2525 歲的概率。例3一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共位數(shù)字，每位數(shù)字都可從09中任選一個(gè)某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上

11、取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對(duì)的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對(duì)的概率.解：設(shè)第i次按對(duì)密碼為事件3 (i=1,2)，則 一，1-表示不超過2次就按對(duì)密碼.(1)因?yàn)槭录?4 4 與事件 T 二互斥，由概率的加法公式得(2)用B表示最后一位按偶數(shù)的事件，則_11x1 _ 2代創(chuàng)旬二九 |月)=5+54=5(四)變式練習(xí)，鞏固提高1.在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題

12、的概率.解：設(shè)第1次抽到理科題為事件A,第2次抽到理科題為事件B,則第1次和第2次都抽到理科題為事件AB.如果石與T是兩個(gè)互斥事件，則-一一，這些性質(zhì)對(duì)我們簡(jiǎn)9x1 _ 110 x9_5(1)從5道題中不放回地依次抽取2道的事件數(shù)為=20.11P(A) = - = =-根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，-：=-% =12.于 是(2)因?yàn)?-=6，所以6 _ 32010 .(3)解法1由(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科同血、332題的概率為5解法2因?yàn)?；=6 ,：一2,所J戶)-F(& 61:=122.2.設(shè)100件產(chǎn)品中有70件一等品，25件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品.從中任取1件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率.3如果生男孩和生女孩的概率相等，求有3個(gè)小孩的家庭中至少有2個(gè)女孩的概率。4甲乙兩地都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百多年的氣象記錄，知道甲乙兩地一年中雨天所占 的比例分別為20%和18%，兩地同時(shí)下雨的比例為12%，問：(1)乙地為雨天時(shí)甲地也為雨天的概率是多少？(2)甲地為雨天時(shí)