2015年高考數(shù)學試卷（文）（新課標Ⅱ）（解析卷）

第頁|共頁2015年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，則A∪B=（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3） 【考點】1D：并集及其運算．【專題】5J：集合．【分析】根據(jù)集合的基本運算進行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故選：A．【點評】本題主要考查集合的基本運算，比較基礎．2．（5分）若為a實數(shù)，且=3+i，則a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 【考點】A1：虛數(shù)單位i、復數(shù)．【專題】5N：數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】根據(jù)復數(shù)相等的條件進行求解即可．【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，則a=4，故選：D．【點評】本題主要考查復數(shù)相等的應用，比較基礎．3．（5分）根據(jù)如圖給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結論中不正確的是（）A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關 【考點】B8：頻率分布直方圖．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】A從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量減少的最多，故A正確；B從2007年開始二氧化硫排放量變少，故B正確；C從圖中看出，2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，故C正確；D2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，與年份負相關，故D錯誤．【解答】解：A從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明顯減少，且減少的最多，故A正確；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越來越多，從2007年開始二氧化硫排放量變少，故B正確；C從圖中看出，2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，故C正確；D2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，而不是與年份正相關，故D錯誤．故選：D．【點評】本題考查了學生識圖的能力，能夠從圖中提取出所需要的信息，屬于基礎題．4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）則（2+）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質及其運算．【專題】5A：平面向量及應用．【分析】利用向量的加法和數(shù)量積的坐標運算解答本題．【解答】解：因為=（1，﹣1），=（﹣1，2）則（2+）=（1，0）?（1，﹣1）=1；故選：C．【點評】本題考查了向量的加法和數(shù)量積的坐標運算；屬于基礎題目．5．（5分）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1+a3+a5=3，則S5=（）A．5 B．7 C．9 D．11 【考點】85：等差數(shù)列的前n項和．【專題】35：轉化思想；4A：數(shù)學模型法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列{an}的性質，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】解：由等差數(shù)列{an}的性質，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．則S5==5a3=5．故選：A．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質、前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6．（5分）一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D． 【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】11：計算題；5F：空間位置關系與距離．【分析】由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，把相關數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計算即可．【解答】解：設正方體的棱長為1，由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，∴正方體切掉部分的體積為×1×1×1=，∴剩余部分體積為1﹣=，∴截去部分體積與剩余部分體積的比值為．故選：D．【點評】本題考查了由三視圖判斷幾何體的形狀，求幾何體的體積．7．（5分）已知三點A（1，0），B（0，），C（2，）則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為（）A． B． C． D． 【考點】J1：圓的標準方程．【專題】5B：直線與圓．【分析】利用外接圓的性質，求出圓心坐標，再根據(jù)圓心到原點的距離公式即可求出結論．【解答】解：因為△ABC外接圓的圓心在直線BC垂直平分線上，即直線x=1上，可設圓心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圓心坐標為P（1，），所以圓心到原點的距離|OP|===，故選：B．【點評】本題主要考查圓性質及△ABC外接圓的性質，了解性質并靈運用是解決本題的關鍵．8．（5分）如圖程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入a，b分別為14，18，則輸出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14 【考點】EF：程序框圖．【專題】27：圖表型；5K：算法和程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a，b的值，當a=b=2時不滿足條件a≠b，輸出a的值為2．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得a=14，b=18滿足條件a≠b，不滿足條件a＞b，b=4滿足條件a≠b，滿足條件a＞b，a=10滿足條件a≠b，滿足條件a＞b，a=6滿足條件a≠b，滿足條件a＞b，a=2滿足條件a≠b，不滿足條件a＞b，b=2不滿足條件a≠b，輸出a的值為2．故選：B．【點評】本題主要考查了循環(huán)結構程序框圖，屬于基礎題．9．（5分）已知等比數(shù)列{an}滿足a1=，a3a5=4（a4﹣1），則a2=（）A．2 B．1 C． D． 【考點】88：等比數(shù)列的通項公式．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．【解答】解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化為q3=8，解得q=2則a2==．故選：C．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎題．10．（5分）已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A．36π B．64π C．144π D．256π 【考點】LG：球的體積和表面積．【專題】11：計算題；5F：空間位置關系與距離．【分析】當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，利用三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，求出半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，設球O的半徑為R，此時VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，則球O的表面積為4πR2=144π，故選：C．【點評】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計算，確定點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大是關鍵．11．（5分）如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x．將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）的圖象大致為（）A． B． C． D． 【考點】HC：正切函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關系，利用排除法進行求解即可．【解答】解：當0≤x≤時，BP=tanx，AP==，此時f（x）=+tanx，0≤x≤，此時單調遞增，當P在CD邊上運動時，≤x≤且x≠時，如圖所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，當x=時，PA+PB=2，當P在AD邊上運動時，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由對稱性可知函數(shù)f（x）關于x=對稱，且f（）＞f（），且軌跡為非線型，排除A，C，D，故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，根據(jù)條件先求出0≤x≤時的解析式是解決本題的關鍵．12．（5分）設函數(shù)f（x）=ln（1+|x|）﹣，則使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1） C．（） D．（﹣∞，﹣，） 【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【專題】33：函數(shù)思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質及應用．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調性之間的關系，將不等式進行轉化即可得到結論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ln（1+|x|）﹣為偶函數(shù)，且在x≥0時，f（x）=ln（1+x）﹣，導數(shù)為f′（x）=+＞0，即有函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調遞增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等價為f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范圍是（，1）．故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的應用，綜合考查函數(shù)性質的綜合應用，運用偶函數(shù)的性質是解題的關鍵．二、填空題13．（3分）已知函數(shù)f（x）=ax3﹣2x的圖象過點（﹣1，4）則a=﹣2．【考點】36：函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】11：計算題；51：函數(shù)的性質及應用．【分析】f（x）是圖象過點（﹣1，4），從而該點坐標滿足函數(shù)f（x）解析式，從而將點（﹣1，4）帶入函數(shù)f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根據(jù)條件得：4=﹣a+2；∴a=﹣2．故答案為：﹣2．【點評】考查函數(shù)圖象上的點的坐標和函數(shù)解析式的關系，考查學生的計算能力，比較基礎．14．（3分）若x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為8．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】59：不等式的解法及應用．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合確定z的最大值．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經過點A時，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時z最大．由，解得，即A（3，2）將A（3，2）的坐標代入目標函數(shù)z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值為8．故答案為：8．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，結合目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．15．（3分）已知雙曲線過點且漸近線方程為y=±x，則該雙曲線的標準方程是x2﹣y2=1．【考點】KB：雙曲線的標準方程．【專題】11：計算題；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】設雙曲線方程為y2﹣x2=λ，代入點，求出λ，即可求出雙曲線的標準方程．【解答】解：設雙曲線方程為y2﹣x2=λ，代入點，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴雙曲線的標準方程是x2﹣y2=1．故答案為：x2﹣y2=1．【點評】本題考查雙曲線的標準方程，考查學生的計算能力，正確設出雙曲線的方程是關鍵．16．（3分）已知曲線y=x+lnx在點（1，1）處的切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，則a=8．【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】26：開放型；53：導數(shù)的綜合應用．【分析】求出y=x+lnx的導數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再由于切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切點，進而可聯(lián)立切線與曲線方程，根據(jù)△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的導數(shù)為y′=1+，曲線y=x+lnx在x=1處的切線斜率為k=2，則曲線y=x+lnx在x=1處的切線方程為y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可聯(lián)立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，兩線相切有一切點，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案為：8．【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，主要考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處的導數(shù)，設出切線方程運用兩線相切的性質是解題的關鍵．三．解答題17．△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【考點】HP：正弦定理．【專題】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由題意畫出圖形，再由正弦定理結合內角平分線定理得答案；（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），兩邊取正弦后展開兩角和的正弦，再結合（Ⅰ）中的結論得答案．【解答】解：（Ⅰ）如圖，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．【點評】本題考查了內角平分線的性質，考查了正弦定理的應用，是中檔題．18．某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調查了40個用戶，根據(jù)用戶對產品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表滿意度評分分組[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）頻數(shù)2814106（1）做出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結論即可）（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由．【考點】B8：頻率分布直方圖；CB：古典概型及其概率計算公式．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（I）根據(jù)分布表的數(shù)據(jù)，畫出頻率直方圖，求解即可．（II）計算得出CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”，CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”，P（CA），P（CB），即可判斷不滿意的情況．【解答】解：（Ⅰ）通過兩個地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值，B地區(qū)的用戶滿意度評分的比較集中，而A地區(qū)的用戶滿意度評分的比較分散．（Ⅱ）A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”，CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”，由直方圖得P（CA）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（CB）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．【點評】本題考查了頻率直方圖，頻率表達運用，考查了閱讀能力，屬于中檔題．19．（12分）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．過E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）（Ⅱ）求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值．【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LJ：平面的基本性質及推論．【專題】15：綜合題；5F：空間位置關系與距離．【分析】（Ⅰ）利用平面與平面平行的性質，可在圖中畫出這個正方形；（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值．【解答】解：（Ⅰ）交線圍成的正方形EFGH如圖所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足為M，則AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因為EFGH為正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為．【點評】本題考查平面與平面平行的性質，考查學生的計算能力，比較基礎．20．橢圓C：=1，（a＞b＞0）的離心率，點（2，）在C上．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．【考點】K3：橢圓的標準方程；KH：直線與圓錐曲線的綜合．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）利用橢圓的離心率，以及橢圓經過的點，求解橢圓的幾何量，然后得到橢圓的方程．（2）設直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過韋達定理求解KOM，然后推出直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．【解答】解：（1）橢圓C：=1，（a＞b＞0）的離心率，點（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求橢圓C方程為：．（2）設直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），把直線y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故xM==，yM=kxM+b=，于是在OM的斜率為：KOM==，即KOM?k=．∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．【點評】本題考查橢圓方程的綜合應用，橢圓的方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．21．設函數(shù)f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）討論：f（x）的單調性；（Ⅱ）當f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2時，求a的取值范圍．【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；6E：利用導數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】26：開放型；53：導數(shù)的綜合應用．【分析】（Ⅰ）先求導，再分類討論，根據(jù)導數(shù)即可判斷函數(shù)的單調性；（2）先求出函數(shù)的最大值，再構造函數(shù)（a）=lna+a﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調性即可求出a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定義域為（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，則f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增，若a＞0，則當x∈（0，）時，f′（x）＞0，當x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上單調遞增，在（，+∞）上單調遞減，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上無最大值；當a＞0時，f（x）在x=取得最大值，最大值為f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴l(xiāng)na+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）單調遞增，g（1）=0，∴當0＜a＜1時，g（a）＜0，當a＞1時，g（a）＞0，∴a的取值范圍為（0，1）．【點評】本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調性最值的關系，以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．四、選修4-1：幾何證明選講22．（10分）如圖，O為等腰三角形ABC內一點，⊙O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點．（1）證明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半徑，且AE=MN=2，求四邊形EBCF的面積．【考點】N4：相似三角形的判定．【專題】26：開放型；5F：空間位置關系與距離．【分析】（1）通過AD是∠CAB的角平分線及圓O分別與AB、AC相切于點E、F，利用相似的性質即得結論；（2）通過（1）知AD是EF的垂直平分線，連結OE、OM，則OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF計算即可．【解答】（1）證明：∵△ABC為等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分線，又∵圓O分別與AB、AC相切于點E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分線，又∵EF為圓O的弦，∴O在AD上，連結OE、OM，則OE⊥AE，由AG等于圓O的半徑可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC與△AEF都是等邊三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四邊形EBCF的面積為×﹣××=．【點評】本題考查空間中線與線之間的位置關系，考查四邊形面積的計算，注意解題方法的積累，屬于中檔題．五、選修4-4：坐標系與參數(shù)方程23．（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C1：（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α≤π，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2與C3交點的直角坐標；（2）若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值．【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【專題】5S：坐標系和參數(shù)方程．【分析】（I）由曲線C2：ρ=2sinθ，化為ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐標方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐標方程，聯(lián)立解出可得C2與C3交點的直角坐標．（2）由曲線C1的參數(shù)方程，消去參數(shù)t，化為普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=時，為