2015年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（新課標(biāo)Ⅱ）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)2015年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，則A∪B=（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3） 【考點(diǎn)】1D：并集及其運(yùn)算．【專題】5J：集合．【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．2．（5分）若為a實(shí)數(shù)，且=3+i，則a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 【考點(diǎn)】A1：虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)．【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行求解即可．【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，則a=4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．3．（5分）根據(jù)如圖給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量（單位：萬(wàn)噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是（）A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì) D．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 【考點(diǎn)】B8：頻率分布直方圖．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】A從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量減少的最多，故A正確；B從2007年開(kāi)始二氧化硫排放量變少，故B正確；C從圖中看出，2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，故C正確；D2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，與年份負(fù)相關(guān)，故D錯(cuò)誤．【解答】解：A從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明顯減少，且減少的最多，故A正確；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越來(lái)越多，從2007年開(kāi)始二氧化硫排放量變少，故B正確；C從圖中看出，2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，故C正確；D2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量越來(lái)越少，而不是與年份正相關(guān)，故D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生識(shí)圖的能力，能夠從圖中提取出所需要的信息，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）則（2+）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考點(diǎn)】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量的加法和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算解答本題．【解答】解：因?yàn)?（1，﹣1），=（﹣1，2）則（2+）=（1，0）?（1，﹣1）=1；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的加法和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；屬于基礎(chǔ)題目．5．（5分）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1+a3+a5=3，則S5=（）A．5 B．7 C．9 D．11 【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．【解答】解：由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．則S5==5a3=5．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．6．（5分）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】11：計(jì)算題；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，∴正方體切掉部分的體積為×1×1×1=，∴剩余部分體積為1﹣=，∴截去部分體積與剩余部分體積的比值為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖判斷幾何體的形狀，求幾何體的體積．7．（5分）已知三點(diǎn)A（1，0），B（0，），C（2，）則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】J1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】5B：直線與圓．【分析】利用外接圓的性質(zhì)，求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓心到原點(diǎn)的距離公式即可求出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)椤鰽BC外接圓的圓心在直線BC垂直平分線上，即直線x=1上，可設(shè)圓心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圓心坐標(biāo)為P（1，），所以圓心到原點(diǎn)的距離|OP|===，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓性質(zhì)及△ABC外接圓的性質(zhì)，了解性質(zhì)并靈運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．8．（5分）如圖程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入a，b分別為14，18，則輸出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14 【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【專題】27：圖表型；5K：算法和程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a，b的值，當(dāng)a=b=2時(shí)不滿足條件a≠b，輸出a的值為2．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得a=14，b=18滿足條件a≠b，不滿足條件a＞b，b=4滿足條件a≠b，滿足條件a＞b，a=10滿足條件a≠b，滿足條件a＞b，a=6滿足條件a≠b，滿足條件a＞b，a=2滿足條件a≠b，不滿足條件a＞b，b=2不滿足條件a≠b，輸出a的值為2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）已知等比數(shù)列{an}滿足a1=，a3a5=4（a4﹣1），則a2=（）A．2 B．1 C． D． 【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化為q3=8，解得q=2則a2==．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A．36π B．64π C．144π D．256π 【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【專題】11：計(jì)算題；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O﹣ABC的體積最大，利用三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，求出半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O﹣ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，則球O的表面積為4πR2=144π，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計(jì)算，確定點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O﹣ABC的體積最大是關(guān)鍵．11．（5分）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x．將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）的圖象大致為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】HC：正切函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)系，利用排除法進(jìn)行求解即可．【解答】解：當(dāng)0≤x≤時(shí)，BP=tanx，AP==，此時(shí)f（x）=+tanx，0≤x≤，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，≤x≤且x≠時(shí)，如圖所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，當(dāng)x=時(shí)，PA+PB=2，當(dāng)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由對(duì)稱性可知函數(shù)f（x）關(guān)于x=對(duì)稱，且f（）＞f（），且軌跡為非線型，排除A，C，D，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，根據(jù)條件先求出0≤x≤時(shí)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．12．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+|x|）﹣，則使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞） B．（，1） C．（） D．（﹣∞，﹣，） 【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】33：函數(shù)思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ln（1+|x|）﹣為偶函數(shù)，且在x≥0時(shí)，f（x）=ln（1+x）﹣，導(dǎo)數(shù)為f′（x）=+＞0，即有函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等價(jià)為f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范圍是（，1）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，運(yùn)用偶函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題13．（3分）已知函數(shù)f（x）=ax3﹣2x的圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，4）則a=﹣2．【考點(diǎn)】36：函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】11：計(jì)算題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】f（x）是圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，4），從而該點(diǎn)坐標(biāo)滿足函數(shù)f（x）解析式，從而將點(diǎn)（﹣1，4）帶入函數(shù)f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根據(jù)條件得：4=﹣a+2；∴a=﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】考查函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)解析式的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．14．（3分）若x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為8．【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時(shí)z最大．由，解得，即A（3，2）將A（3，2）的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值為8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．15．（3分）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)且漸近線方程為y=±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2﹣y2=1．【考點(diǎn)】KB：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】11：計(jì)算題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)雙曲線方程為y2﹣x2=λ，代入點(diǎn)，求出λ，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：設(shè)雙曲線方程為y2﹣x2=λ，代入點(diǎn)，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2﹣y2=1．故答案為：x2﹣y2=1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確設(shè)出雙曲線的方程是關(guān)鍵．16．（3分）已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)（1，1）處的切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，則a=8．【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】26：開(kāi)放型；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求出y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再由于切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切點(diǎn)，進(jìn)而可聯(lián)立切線與曲線方程，根據(jù)△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+，曲線y=x+lnx在x=1處的切線斜率為k=2，則曲線y=x+lnx在x=1處的切線方程為y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可聯(lián)立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，兩線相切有一切點(diǎn)，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切線方程運(yùn)用兩線相切的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題17．△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【專題】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由題意畫出圖形，再由正弦定理結(jié)合內(nèi)角平分線定理得答案；（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），兩邊取正弦后展開(kāi)兩角和的正弦，再結(jié)合（Ⅰ）中的結(jié)論得答案．【解答】解：（Ⅰ）如圖，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了內(nèi)角平分線的性質(zhì)，考查了正弦定理的應(yīng)用，是中檔題．18．某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表滿意度評(píng)分分組[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）頻數(shù)2814106（1）做出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過(guò)直方圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)不等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】B8：頻率分布直方圖；CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（I）根據(jù)分布表的數(shù)據(jù)，畫出頻率直方圖，求解即可．（II）計(jì)算得出CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”，CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”，P（CA），P（CB），即可判斷不滿意的情況．【解答】解：（Ⅰ）通過(guò)兩個(gè)地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值，B地區(qū)的用戶滿意度評(píng)分的比較集中，而A地區(qū)的用戶滿意度評(píng)分的比較分散．（Ⅱ）A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大．記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”，CB表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”，由直方圖得P（CA）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（CB）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率直方圖，頻率表達(dá)運(yùn)用，考查了閱讀能力，屬于中檔題．19．（12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．過(guò)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說(shuō)出畫法和理由）（Ⅱ）求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值．【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LJ：平面的基本性質(zhì)及推論．【專題】15：綜合題；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）利用平面與平面平行的性質(zhì)，可在圖中畫出這個(gè)正方形；（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值．【解答】解：（Ⅰ）交線圍成的正方形EFGH如圖所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足為M，則AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因?yàn)镋FGH為正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面平行的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．20．橢圓C：=1，（a＞b＞0）的離心率，點(diǎn)（2，）在C上．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．【考點(diǎn)】K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；KH：直線與圓錐曲線的綜合．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）利用橢圓的離心率，以及橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求解橢圓的幾何量，然后得到橢圓的方程．（2）設(shè)直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過(guò)韋達(dá)定理求解KOM，然后推出直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．【解答】解：（1）橢圓C：=1，（a＞b＞0）的離心率，點(diǎn)（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求橢圓C方程為：．（2）設(shè)直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），把直線y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故xM==，yM=kxM+b=，于是在OM的斜率為：KOM==，即KOM?k=．∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的綜合應(yīng)用，橢圓的方程的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．21．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）討論：f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2時(shí)，求a的取值范圍．【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】26：開(kāi)放型；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）先求出函數(shù)的最大值，再構(gòu)造函數(shù)（a）=lna+a﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定義域?yàn)椋?，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，則f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，若a＞0，則當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上無(wú)最大值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x=取得最大值，最大值為f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴l(xiāng)na+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）單調(diào)遞增，g（1）=0，∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（a）＜0，當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）＞0，∴a的取值范圍為（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．四、選修4-1：幾何證明選講22．（10分）如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，⊙O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）證明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半徑，且AE=MN=2，求四邊形EBCF的面積．【考點(diǎn)】N4：相似三角形的判定．【專題】26：開(kāi)放型；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）通過(guò)AD是∠CAB的角平分線及圓O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，利用相似的性質(zhì)即得結(jié)論；（2）通過(guò)（1）知AD是EF的垂直平分線，連結(jié)OE、OM，則OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF計(jì)算即可．【解答】（1）證明：∵△ABC為等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分線，又∵圓O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分線，又∵EF為圓O的弦，∴O在AD上，連結(jié)OE、OM，則OE⊥AE，由AG等于圓O的半徑可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC與△AEF都是等邊三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四邊形EBCF的面積為×﹣××=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線與線之間的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，注意解題方法的積累，屬于中檔題．五、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α≤π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值．【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【專題】5S：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（I）由曲線C2：ρ=2sinθ，化為ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐標(biāo)方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立解出可得C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．（2）由曲線C1的參數(shù)方程，消去參數(shù)t，化為普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=時(shí)，為