2025屆天津市河北區(qū)高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市河北區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題共45分）參考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互獨立，那么圓柱的側(cè)面積公式圓錐的側(cè)面積公式其中表示底面圓的半徑表示母線的長一?選擇題：在每年小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，即，則或，故.故選：C.2.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線與直線平行，則且，解得，所以推得出直線與直線平行，即充分性成立；由直線與直線平行推不出，即必要性不成立；故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)在上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)的定義域為,且,所以函數(shù)是偶函數(shù),其函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,排除CD.又,排除B.故選:A.4.某校調(diào)查了400名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），發(fā)現(xiàn)他們的自習(xí)時間都在區(qū)間[17.5，30]內(nèi)，將所得的數(shù)據(jù)分成5組：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則自習(xí)時間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的人數(shù)為（）A.240 B.180 C.96 D.80【答案】A【解析】由頻率分布直方圖可知，自習(xí)時間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的頻率為，所以自習(xí)時間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的人數(shù)為．故選：A．5.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以；因為，所以；因為，所以，所以.故選：B.6.如圖，圓錐的底面直徑和高均是4，過的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則剩下幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，可知，則圓錐的母線長為，所以剩下幾何體的表面積為.故選：B.7.已知雙曲線：的右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線，M，N分別是與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點.若M是線段的中點，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點Fc,0，過第一象限的漸近線方程為，當(dāng)時，，即，又，因為M是線段的中點，所以，得，所以，即，所以C的漸近線方程為.故選：C.8.若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.【答案】C【解析】，∵圖象關(guān)于點對稱，∴,∴，（），∵，∴，∴，由（），解得：（），∴函數(shù)的增區(qū)間為．故選：C．9.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，若時，由求導(dǎo)得，，故當(dāng)時，f'x<0，當(dāng)時，f所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，；若時，由求導(dǎo)得，，因，故恒有f'x>0，即在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，即時，恒有.作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.又由可得或，由圖知有兩個根，此時有2個零點；要使函數(shù)恰有5個不同的零點，需使有3個零點，由圖知，需使，即，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題）二?填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙上.10.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)是__________.【答案】【解析】因，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)是.11.二項式的展開式中的常數(shù)項為__________.【答案】【解析】二項式的通項為，由可得，即得二項展開式中的常數(shù)項為.12.若直線與兩坐標(biāo)軸交點為A，B，則以線段AB為直徑的圓的方程是___________.【答案】.【解析】不妨設(shè)直線與軸和軸的交點分別為A，B，令，得，即；再令，得，即，從而線段AB的中點為，且為所求圓的圓心，又因為，所以所求圓的半徑為，從而以線段AB為直徑的圓的方程是.13.將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在區(qū)間上的值域______.【答案】【解析】由題意，因為，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.14.為了組建一支志愿者隊伍，欲從3名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊的隊長，則在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則________.【答案】【解析】設(shè)事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，則，即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.X可取，，則.15.已知中，點分別是的重心和外心，且，則邊的長為__________.【答案】【解析】延長交于點，連接，作于點，則分別為的中點，如下圖所示：易知，同理可得，由重心性質(zhì)可知；所以；又，即，可得；所以，可得；因此，即.三?解答題：本大題共5小題，共5分?解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，的面積為.（1）求角的大??；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）因和正弦定理，，又B∈0,π，所以，所以，又，所以，又，所以，所以，；（2）因，解得，又因，即，代入上式可得：，解得，故，由余弦定理得，，故得；（3）由（2）已得，，，由余弦定理，可得因且B∈0,π故,所以17.如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離.解：（1）如圖，以為原點，所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系則.，設(shè)平面的法向量為，則取所以所以又因為平面，所以平面（2）設(shè)平面的法向量為則取設(shè)平面與平面的夾角為則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.（3），設(shè)點到平面的距離為，，所以點到平面的距離為.18.已知橢圓的左、右焦點分別為，且，過點作兩條直線，直線與交于兩點，的周長為．（1）求的方程；（2）若的面積為，求的方程；（3）若與交于兩點，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以，的周長為，所以，所以，故的方程為．（2）易知的斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立，得，所以．所以，由，解得，所以的方程為或．（3）由（2）可知，因為的斜率是的斜率的2倍，所以，得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為．19.已知函數(shù)在處取得極小值.（1）求值；（2）求函數(shù)在點處的切線方程；（3）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由，可得，由，解得，此時，時，單調(diào)遞減，x∈0,+∞時，故是函數(shù)的極小值點，符合題意，所以.（2）由題可得：，在點1,f1處的切線方程為即（3）由恒成立，則恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)x∈0,+∞時，，所以當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有兩個不同的根．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．解：（1）由題意得，x∈0,+∞，則，由，解得．當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減；綜上，在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減；（2）（i）由，得，設(shè)，由（1）得在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，又，當(dāng)時，gx>0，且當(dāng)時，，所以當(dāng)時，方程有兩個不同的根，即方程有兩個不同的根，故的取值范圍是0,1．（ii）不妨設(shè)，則，且．法一：當(dāng)時，結(jié)合（i）知，即；當(dāng)時，．設(shè)則所以在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，所以又在區(qū)間1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，又，所以，故，所以，得證．法二：設(shè)，x∈0,+∞則，所以hx在區(qū)間0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，又所以，即．又，所以，又在區(qū)間1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減．所以，即，又，所以，得證．天津市河北區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題共45分）參考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互獨立，那么圓柱的側(cè)面積公式圓錐的側(cè)面積公式其中表示底面圓的半徑表示母線的長一?選擇題：在每年小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，即，則或，故.故選：C.2.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線與直線平行，則且，解得，所以推得出直線與直線平行，即充分性成立；由直線與直線平行推不出，即必要性不成立；故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)在上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)的定義域為,且,所以函數(shù)是偶函數(shù),其函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,排除CD.又,排除B.故選:A.4.某校調(diào)查了400名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），發(fā)現(xiàn)他們的自習(xí)時間都在區(qū)間[17.5，30]內(nèi)，將所得的數(shù)據(jù)分成5組：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則自習(xí)時間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的人數(shù)為（）A.240 B.180 C.96 D.80【答案】A【解析】由頻率分布直方圖可知，自習(xí)時間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的頻率為，所以自習(xí)時間在區(qū)間[22.5，27.5）內(nèi)的人數(shù)為．故選：A．5.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以；因為，所以；因為，所以，所以.故選：B.6.如圖，圓錐的底面直徑和高均是4，過的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，則剩下幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，可知，則圓錐的母線長為，所以剩下幾何體的表面積為.故選：B.7.已知雙曲線：的右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線，M，N分別是與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點.若M是線段的中點，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點Fc,0，過第一象限的漸近線方程為，當(dāng)時，，即，又，因為M是線段的中點，所以，得，所以，即，所以C的漸近線方程為.故選：C.8.若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.【答案】C【解析】，∵圖象關(guān)于點對稱，∴,∴，（），∵，∴，∴，由（），解得：（），∴函數(shù)的增區(qū)間為．故選：C．9.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，若時，由求導(dǎo)得，，故當(dāng)時，f'x<0，當(dāng)時，f所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，；若時，由求導(dǎo)得，，因，故恒有f'x>0，即在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，即時，恒有.作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.又由可得或，由圖知有兩個根，此時有2個零點；要使函數(shù)恰有5個不同的零點，需使有3個零點，由圖知，需使，即，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題）二?填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙上.10.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)是__________.【答案】【解析】因，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)是.11.二項式的展開式中的常數(shù)項為__________.【答案】【解析】二項式的通項為，由可得，即得二項展開式中的常數(shù)項為.12.若直線與兩坐標(biāo)軸交點為A，B，則以線段AB為直徑的圓的方程是___________.【答案】.【解析】不妨設(shè)直線與軸和軸的交點分別為A，B，令，得，即；再令，得，即，從而線段AB的中點為，且為所求圓的圓心，又因為，所以所求圓的半徑為，從而以線段AB為直徑的圓的方程是.13.將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在區(qū)間上的值域______.【答案】【解析】由題意，因為，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.14.為了組建一支志愿者隊伍，欲從3名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊的隊長，則在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則________.【答案】【解析】設(shè)事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，則，即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.X可取，，則.15.已知中，點分別是的重心和外心，且，則邊的長為__________.【答案】【解析】延長交于點，連接，作于點，則分別為的中點，如下圖所示：易知，同理可得，由重心性質(zhì)可知；所以；又，即，可得；所以，可得；因此，即.三?解答題：本大題共5小題，共5分?解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，的面積為.（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）因和正弦定理，，又B∈0,π，所以，所以，又，所以，又，所以，所以，；（2）因，解得，又因，即，代入上式可得：，解得，故，由余弦定理得，，故得；（3）由（2）已得，，，由余弦定理，可得因且B∈0,π故,所以17.如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離.解：（1）如圖，以為原點，所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系則.，設(shè)平面的法向量為，則取所以所以又因為平面，所以平面（2）設(shè)平面的法向量為則取設(shè)平面與平面的夾角為則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.（3），設(shè)點到平面的距離為，，所以點到平面的距離為.18.已知橢圓的左、右焦點分別為，且，過點作兩條直線，直線與交于兩點，的周長為．（1）求的方程；（2）若的面積為，求的方程；（3）若與交于兩點，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以，的周長為，所以，所以，故的方程為．（2）易知的斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立，得，所以．所以，由，解得，