河北省秦皇島市部分示范高中2024年高考數(shù)學(xué)三模試題

河北省秦皇島市部分示范高中2024年高考數(shù)學(xué)三模試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合A={x|x2<9}，B={x|x?2?0}A．{0,1,C．{x|2?x<3} D．{x|?3<x?2}2．已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面，則（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m⊥n，則n⊥αC．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m⊥α，n?α，則m⊥n3．已知函數(shù)f(x)=x2+1A．y=g(x)f(x) C．y=f(x)+g(x)?1 D．y=f(x)?g(x)?14．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a4A．32 B．2 C．3 5．若(1+1x)(1+xA．3 B．4 C．5 D．66．已知復(fù)數(shù)z1,z2滿足|zA．3 B．23 C．32 7．已知正數(shù)a，b，c滿足alnb=beA．a(chǎn)>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．b>c>a8．已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在[?π3,π6]上單調(diào)，A．1 B．2 C．3 D．4二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．美國數(shù)學(xué)史專家、穆倫堡學(xué)院名譽(yù)數(shù)學(xué)教授威廉?鄧納姆在1994年出版的《TheMathematicalUniverse》一書中寫道：“相比之下，數(shù)學(xué)家達(dá)到的終極優(yōu)雅是所謂的‘無言的證明’，在這樣的證明中一個(gè)極好的令人信服的圖示就傳達(dá)了證明，甚至不需要任何解釋，很難比它更優(yōu)雅了”.如圖所示正是數(shù)學(xué)家所達(dá)到的“終極優(yōu)雅”，該圖（ABCD為矩形）完美地展示并證明了正弦和余弦的二倍角公式，則可推導(dǎo)出的正確選項(xiàng)為（）A．AD=sin2x B．AB=sin2xC．DE=cos2x D．S10．雙曲線C：x2?y2=m2(m>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P(t,s)(s≠0)為C的右支上一點(diǎn)，分別以線段PF1，A．|B．|OM|=mC．點(diǎn)(t,0)為圓O1D．圓O1與圓O211．在正四面體ABCD中，P，Q分別為棱AB和CD（包括端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與平面ABC，平面ABD所成角分別為α，β，則（）A．sinα?sinβ的正負(fù)與點(diǎn)P，Q位置都有關(guān)系B．sinα?sinβ的正負(fù)由點(diǎn)Q位置確定，與點(diǎn)P位置無關(guān)C．sinα+sinβ的最大值為4D．sinα+sinβ的最小值為6三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知a，b為平面向量，若a為單位向量，|b|=43，a與b的夾角為π6，則a13．從0，2，4，6中任意選1個(gè)數(shù)字，從1，3，5中任意選2個(gè)數(shù)字，得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，在所組成的三位數(shù)中任選一個(gè)，則該數(shù)是偶數(shù)的概率為14．已知數(shù)列{an}是給定的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a9a10<0，且當(dāng)m=四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，C=π3且a+b=7，△ABC的外接圓半徑為（1）求△ABC的面積；（2）求△ABC邊AB上的高h(yuǎn).16．如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PC⊥平面ABC，AC=3，PC=2BC=2，E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點(diǎn)，平面BEF與平面ABC的交線為BD，D在圓O（1）在圖中作出交線BD（說明畫法，不必證明），并求三棱錐D?ACE的體積；（2）若點(diǎn)M滿足BM=12BD+λBP(λ∈R)，且CM17．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，過點(diǎn)M(1,0)的直線（1）求C的方程（2）記C的左焦點(diǎn)為F，若過F，A，B三點(diǎn)的圓的圓心恰好在y軸上，求直線l的斜率.18．將保護(hù)區(qū)分為面積大小相近的多個(gè)區(qū)域，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取其中15個(gè)區(qū)域進(jìn)行編號，統(tǒng)計(jì)抽取到的每個(gè)區(qū)域的某種水源指標(biāo)xi和區(qū)域內(nèi)該植物分布的數(shù)量yi(i=1,2,???,15)（1）求樣本(x（2）假設(shè)該植物的壽命為隨機(jī)變量X（X可取任意正整數(shù)），研究人員統(tǒng)計(jì)大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，對于任意的k∈N*，壽命為k+1的樣本在壽命超過（i）求P(X=k)(k∈N（ii）推導(dǎo)該植物壽命期望E(X)的值（用k表示，X取遍1,2,???,附：樣本相關(guān)系數(shù)r=i=1xiyi19．帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)f(x)在x=0處的[m,n]階帕德近似定義為：R(x)=a0+a1x+???+amxm1+b1x+???+bnx（1）求函數(shù)f(x)=ln(x+1)在x=0處的[1,1]階帕德近似R(x)，并求（2）在（1）的條件下（i）求證：R(x)ln(x+1)（ii）若f(x)?m(x2+1)R(x)?1?cosx

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A={x∣x2<9}={x|?3<x<3}則A∩B={故答案為：D.【分析】先解不等式求得集合A，B，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：A、若m∥α，n∥α，則m,B、若m∥α，m⊥n，則n與α可能平行，可能相交，也可能n?α，故B錯(cuò)誤；C、若m⊥α，m⊥n，則n與α可能平行，也可能n?α，故C錯(cuò)誤；D、若m⊥α，n?α，由線面垂直的性質(zhì)定理可知m⊥n，故D正確.故答案為：D.【分析】根據(jù)空間直線與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：易知函數(shù)f(x)=x2+1A、y=h(x)=g(x)f(x)=4sinB、y=f(x)g(x)=C、y=h(x)=f(x)+g(x)?1=x但h(?x)≠h(x),D、y=h(x)=f(x)?g(x)?1=x但h(?x)≠h(x),故答案為：A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)f(x),4．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，因?yàn)閍所以q3=(故答案為：C．【分析】根據(jù)S6與a5．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)?1+1且(1+x)n的展開式的通項(xiàng)為T可知(1+1x)(1+x)n即n+n(n?1)2=10，解得n=4故答案為：B.【分析】由題意可知：(1+1x)6．【答案】D【解析】【解答】解：令z1=a+bi，z2則z1所以a+c=2①，b+d=?5②①平方可得a2+2ac+c2=4③，而|z又因?yàn)閨z1|=|兩邊平方得a2+b③④⑤相加并化簡得2ac+2bd=?9，而|z=(故答案為：D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長的相關(guān)知識，結(jié)合已知條件整體代換運(yùn)算即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：由alnb=ca，可得c=lnb，即令h(x)當(dāng)h'(x)>0時(shí)，x∈所以h(x)>h(0)由bec=ca得ec·因?yàn)閑c>0,c>0,ec故答案為：A.【分析】化c=lnb為b=ec，利用作差法，構(gòu)造函數(shù)h(x)8．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?2π3,所以?2πω3+φ=k1由函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在得T2≥π6?(?π3解得?12<k≤52當(dāng)k=0時(shí)，ω=13，則?2π9+φ=則ωπ+φ=5π9，此時(shí)當(dāng)x∈[?π3,π6]時(shí)，故f(x)=sin(1當(dāng)k=1時(shí)，ω=1，則?2π3+φ=k1則ωπ+φ=5π3，此時(shí)當(dāng)x∈[?π3,π6]時(shí)，故f(x)=sin(x+2π當(dāng)k=2時(shí)，ω=53，則?10π9+φ=則ωπ+φ=16π9，此時(shí)當(dāng)x∈[?π3,π6]時(shí)，故f(x)=sin(53x+π9故答案為：B.【分析】根據(jù)f(x)的對稱性求出ω=23(k+12),(k∈Z)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：如圖所示：

A、在Rt△AEF中，EF=sinx，AF=cosx所以EC=sinx?sinx=sin2則AD=BC=BF+FC=2sinB、AB=coC、在Rt△ADE中，因?yàn)锳D=sin2x，AE=1，則D、S△ABFS△AEF=1故答案為：ACD.【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合解直角三角形，二倍角正弦公式和三角形面積公式求解判斷即可.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、易知雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2m2?y2m因?yàn)镺1為PF1的中點(diǎn)，O2為B、因?yàn)镺2為PF2的中點(diǎn)，O為F則|OM|=|OOC、設(shè)點(diǎn)Q為圓O1和圓O2的另一個(gè)交點(diǎn)，連接PQ，由可得O1O2⊥PQ，O1O2則點(diǎn)Q必在x軸上，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(tD、若BD為圓O1與圓O2的一條公切線，B，D為切點(diǎn)，連接O1B，O2D，過點(diǎn)O2作O由|O1O得sin∠A可得∠AO2O1=π4，由O故答案為：BCD.分析】由中點(diǎn)中位線性質(zhì)即可判斷AB；由圓與圓關(guān)系及切線性質(zhì)求得sin∠A11．【答案】B,D【解析】【解答】解：取AB的中點(diǎn)E，連接DE,CE，過點(diǎn)Q在平面內(nèi)分別作垂足分別為M,在正四面體ABCD中，△ABD,△ABC均為等邊三角形，

因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以又因?yàn)镈E∩CE=E，DE,CE?平面DEC，所以AB⊥平面因?yàn)镸Q?平面DEC，所以AB⊥MQ，因?yàn)镸Q⊥DE，DE∩AB=E，DE,AB?平面ABD，所以MQ⊥平面所以直線PQ與平面ABD所成的角為∠QPM，即β=∠QPM，同理可得α=∠QPN，所以的正負(fù)只由點(diǎn)Q位置確定，與點(diǎn)P位置無關(guān)，故A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)AB=1，則DE=CE=32，且在△DEC中，DE=CE=3由余弦定理可得：cos∠DCE=所以sin∠EDC=所以QM+QN=DQsin則sinα+將正四面體ABCD補(bǔ)成正方體SCTD?ARBW，如圖所示：連接WR，在線段WR上取點(diǎn)K，使得WK=DQ，因?yàn)镈W//CR且所以四邊形DWBC為平行四邊形，所以DW⊥平面ARBW，因?yàn)閃R?平面ARBW，所以DW⊥WR，所以平行四邊形DWRC為矩形，則DC//因?yàn)镈Q//WK且DQ=WK，所以四邊形則KQ//DW，且因?yàn)镈W⊥平面ARBW，PK?平面ARBW，所以DW⊥PK，設(shè)AB∩WR=O，因?yàn)樗倪呅蜛RBW為正方形，所以AB⊥WR，所以KP2=O則KP所以PQ=Q則(sinα+sinβ)(sinα+sinβ)故答案為：BD.【分析】取AB的中點(diǎn)E，連接DE,CE，過點(diǎn)Q在平面內(nèi)分別作QM⊥DE,QN⊥EC，垂足分別為12．【答案】?5【解析】【解答】解：因?yàn)閨a→|=1，所以a→故答案為：?5.【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)求解即可.13．【答案】4【解析】【解答】解：若從0,2,從1,3,由選出的3個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)有3！種組法，共3×3×3!其中偶數(shù)有C3若從0,2,4,由選出的3個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)有C21×2!=4所以該數(shù)為偶數(shù)的概率為P=18+6故答案為：411【分析】根據(jù)分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理及古典概型計(jì)算即可.14．【答案】21【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差大于零，因?yàn)閍且n≤9時(shí)，an<0，n≥10時(shí)，不妨取m>n，則Sm設(shè)k=|S30?S9若n<9,m=30，則|S30?因?yàn)閨S因此這就說明n=n若m<30，則|Sm?S9|≤i=10故答案為：21.【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差大于零，不妨取m>n，則Sm?Sn=i=n+1mai，設(shè)15．【答案】（1）解：在△ABC中，csinC=2×4根據(jù)余弦定理得42即16=(a+b)所以3ab=49?16=33，所以ab=11，所以S△ABC（2）解：S△ABC=1【解析】【分析】（1）由題意，利用正弦定理及余弦定理求出ab，再利用三角形面積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形面積公式求解即可.16．【答案】（1）解：過點(diǎn)B作BD∥AC，交圓O與點(diǎn)D，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，PC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，又因?yàn)锽D∥AC，所以EF∥BD，故BD為平面BEF與平面ABC的交線，因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以∠ADB=∠ACB=90°，又因?yàn)锽D∥AC，所以∠CBD=180°?∠ACB=90°，所以四邊形ACBD為矩形，因?yàn)锳C=3，AD=BC=1，所以S因?yàn)镻C⊥平面ABC，E為PA的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E到平面ACD的距離為12所以V三棱錐D?ACE（2）解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CP的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則A(3,0,0)，B(0,1所以CB=(0,1,0)，BP=(0,設(shè)平面PBD的法向量為n=(x則n?BD不妨取z=1，得n=(0因?yàn)镃M與平面PBD所成角的正弦值為105所以|cos?CM所以20λ2?8λ?1=0，所以λ=【解析】【分析】（1）由線線平行即可找到直線BD，再利用等體積法求解體積即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.17．【答案】（1）解：當(dāng)l⊥x軸時(shí)，|AB|=3，則點(diǎn)(1,±32)在C上，則e=c故C的方程為x2（2）解：設(shè)圓心P(0,m)，A(x1,顯然直線l的斜率存在，設(shè)l：y=k(x?1)，由|PA|2=|PB|又x12=4(1?y1則y1，y2分別是方程3y又聯(lián)立l：y=k(x?1)與x24+所以x1+所以y故?3k24故直線l的斜率為k=±5【解析】【分析】（1）由題意可得點(diǎn)(1,±3（2）設(shè)圓心P(0,m)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，l：y=k(x?1)，由|PA|218．【答案】（1）解：由i=1(xi?x得樣本相關(guān)系數(shù)r=i=1（2）解：（i）依題意，P(X=1)=P(X=k+1∣X>k)=0.又P(X=k+1∣X>k)=P(X=k+1)則P(X=k+1)=0.當(dāng)k?2時(shí)，把k換成k?1，則P(X=k)=0.兩式相減得P(X=k)?P(X=k+1)=0.即P(X=k+1)P(X=k)又P(X=2)=0.所以P(X=k+1)P(X=k)=0.從而{P(X=k)}是首項(xiàng)為0.1，公比為0.9的等比數(shù)列，所以P(X=k)=0.（ii）由定義知，E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+???+kP(X=k)+???，而i=1iP(X=i)=0顯然i=1i×0于是0.兩式相減得0.因此i=1iP(X=i)=0當(dāng)k足夠大時(shí)，k×0.9則i=1iP(X=i)≈10，可認(rèn)為E(X)=10所以該植物壽命期望E(X)的值是10.【解析】【分析】（1）由題意，利用相關(guān)系公式計(jì)算即可；（2）（i）由題意可得P(X=k+1∣X>k)=P(X=k+1)P(X>k)，得P(X=k+1)P(X=k)（ii）由定義知，E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+???+kP(X=k)+???，由錯(cuò)位相減法可得i=1kiP(X=i)19．【答案】（1）解：由題可知函數(shù)f(x)=ln(x+1)在x=0處的[1,1]階帕德近似為f'(x)=1由f(0)=R