2024-2025學(xué)年江蘇省泰州市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省泰州市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)滿足的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A．6 B．5 C．4 D．32．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．3．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A．1 B． C． D．4．已知為數(shù)列的前項(xiàng)積，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．5．已知，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件； B．必要不充分條件；C．充要條件； D．既不充分也不必要條件．6．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，若函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則的范圍為（

）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若也為等差數(shù)列，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．88．已知是圓的一條弦，，是的中點(diǎn).當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上總存在兩點(diǎn)，使得為鈍角，則的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件：，，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．是數(shù)列中的最大值D．?dāng)?shù)列無最大值10．已知圓，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過向圓引兩條切線，為切點(diǎn)，則下列四個(gè)命題正確的是（）A．直線與圓總有兩個(gè)交點(diǎn).B．不存在點(diǎn)，使.C．直線過定點(diǎn).D．過作互相垂直的兩條直線分別交圓于、和、，則四邊形面積的最小值為611．若定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意都有且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 B．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C．是周期函數(shù) D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)C在以為直徑的圓上，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，若，，則的值為.13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為．14．若存在正數(shù)，使得不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，，，，點(diǎn)D在邊上，為的平分線.(1)求的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，且為等腰三角形，求的值.16．如圖，在五面體中，底面為正方形，.

(1)求證：；(2)若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分17．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；18．已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)作直線l與E交于，兩點(diǎn)（異于A點(diǎn)），設(shè)直線與的斜率分別為，．(1)若直線l的斜率為，求的面積；(2)求的值．19．已知函數(shù)．(1)若，求的極小值．(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，證明：有且只有個(gè)零點(diǎn)．

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式，結(jié)合復(fù)數(shù)除法和乘法的運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，故選：B2．【正確答案】B【詳解】由函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，由，則，故不等式成立；所以函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為奇函數(shù)，故A、D錯(cuò)誤；由，則，由，故C錯(cuò)誤.故選：B.3．【正確答案】D【詳解】由題設(shè)，令且，所以，顯然的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最小值.故選：D4．【正確答案】A【分析】利用與的關(guān)系可得是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；進(jìn)而根據(jù)等差求和公式即可.【詳解】因?yàn)闉閿?shù)列的前項(xiàng)積，所以可得，因?yàn)?，所以，即，所以，又，得，所以，故是?為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；，故選：A5．【正確答案】B【詳解】解，當(dāng)時(shí)，即，則，此時(shí)解集為，當(dāng)時(shí)，即，則，此時(shí)解集為，當(dāng)時(shí)，即，則，此時(shí)解集為，故“”成立時(shí)，等價(jià)于；當(dāng)“”成立時(shí)，等價(jià)于，故成立時(shí)，不一定推出成立，反之成立，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B6．【正確答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，所以，又，得，令，得，所以在上的圖象與直線的第一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，第二個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得，綜上所述，.故選.7．【正確答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的函數(shù)特點(diǎn)，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，可得答案.【詳解】易知，若也為等差數(shù)列，則為完全平方，則，解得.故選：C.8．【正確答案】D【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，因?yàn)椋瑒t，可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓C:，設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)闉殁g角，可知圓C在以為直徑的圓內(nèi)，可得，因?yàn)榈街本€的距離，可知，可得，所以，所以的取值范圍是.故選：D.9．【正確答案】ABC【詳解】對(duì)于A，由可得，（*），由可得.當(dāng)時(shí)，因，則，即（*）不成立；當(dāng)時(shí)，，（*）成立，故，即A正確；對(duì)于B，因，故B正確；對(duì)于C,D，由上分析，且，則是數(shù)列中的最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．【正確答案】ACD【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且，即該定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓總有兩個(gè)交點(diǎn)，A說法正確；選項(xiàng)B：連接，因?yàn)闉榍悬c(diǎn)，所以與全等，

假設(shè)存在點(diǎn)，使，則，此時(shí)，因?yàn)椋约僭O(shè)成立，即存在點(diǎn)，使，B說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：設(shè)，則，以為直徑的圓的方程為，即，又圓，兩圓作差可得公共弦直線方程為，消去可得，整理得，令可得直線過定點(diǎn)，C說法正確；選項(xiàng)D：設(shè)到直線，的距離為，則，

因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)或過原點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以，四邊形面積，即四邊形面積的最小值為6，D說法正確；故選：ACD11．【正確答案】ABD【分析】對(duì)于A，令，求得，再令，代入得，可判斷結(jié)論；對(duì)于B，令，求得，再令，代入得，可判斷結(jié)論；對(duì)于C，當(dāng)滿足已知條件，但不符合結(jié)論，即可判斷；對(duì)于D，令，證得時(shí)，是3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可求.【詳解】令，則，有，令，則，得，又，所以點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故A正確；令，則，令，則，又，所以點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；設(shè)，符合題意，但不是周期函數(shù)，故C錯(cuò)誤；令，有，則，令，有，，所以時(shí)，是3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，故D正確.故選ABD.12．【正確答案】【詳解】由，由題意且，則.

故13．【正確答案】【詳解】在橢圓中，，，則，即點(diǎn)、，如圖，為橢圓上任意一點(diǎn)，則，又因?yàn)闉閳A上任意一點(diǎn)，.當(dāng)且僅當(dāng)、、、共線且、在、之間時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為.故答案為.14．【正確答案】【分析】由轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，從而求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，不等式可以化為，令，則，所以．當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，所以，即．令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即，矛盾，故舍去．當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即．綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究求解函數(shù)單調(diào)性，從而求解不等式.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，所以，所以，所以，即，可得.（2）由余弦定理可得：，所以，所以，由角平分線定理可得：，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，又因?yàn)闉榈妊切?，，所以為等邊三角形，所以，則為的中點(diǎn)，在中，由余弦定理可得，所以，所以，在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，所?16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：底面為正方形,則，又平面，平面，則平面，又平面平面，平面，故.（2）選①，取中點(diǎn)G,連接，因?yàn)?，所以，易知為梯形的中位線，則，又平面，故平面，平面，則平面，且必相交，故平面，延長(zhǎng)GM交BC于P,則P為中點(diǎn)，易得，故為矩形.以M為原點(diǎn)，所在直線為z軸，MG所在直線為x軸，過M作CB平行線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為.

選②：取中點(diǎn)G,連接，易知為梯形的中位線，，則，由題，，則，故又平面，故平面，延長(zhǎng)GM交BC于P,則P為中點(diǎn)，易得，故為矩形.以M為原點(diǎn)，所在直線為z軸，MG所在直線為x軸，過M作CB平行線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為.

17．【正確答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用與的關(guān)系作差可知數(shù)列為等差數(shù)列與公差，即可求得通項(xiàng)公式；（2）由（1）表示數(shù)列的通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消法求和即可；（3）分類討論為偶數(shù)與奇數(shù)時(shí)轉(zhuǎn)化不等式，再由基本不等式與函數(shù)的單調(diào)性求最值，最后由不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化求參數(shù)取值范圍即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，兩式相減得，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以．（2）由題意和（1）得：，所以數(shù)列前項(xiàng)和．（3）①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即不等式恒成立，即需不等式恒成立．∵，等號(hào)在時(shí)取得．此時(shí)需滿足．②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即不等式恒成立，即需不等式恒成立．∵是隨的增大而增大，∴時(shí)，取得最小值．此時(shí)需滿足．綜合①、②可得的取值范圍是．本題考查由與的關(guān)系求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和，還考查了數(shù)列中由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍，屬于較難題.18．【正確答案】(1)；(2)【分析】（1）由條件列方程求可得橢圓方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出，再求點(diǎn)A到邊的距離，由此可求面積；（2）先在條件直線的斜率不存在時(shí)，求出，再求，再利用設(shè)而不求法求出當(dāng)直線的斜率存在時(shí)的值即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，，所以橢圓的方程為，直線：，即，代入得，設(shè)，，則，，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線：的距離，所以的面積．

（2）當(dāng)直線斜率不存在，即：時(shí)，，不妨取，，因?yàn)?，，則，，所以，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，代入：得，由已知方程的判別式，設(shè)，，則，，則．綜上可知，．

19．【正確答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，找到極小值點(diǎn)，求出極小值.（2）求出，再求導(dǎo)，根據(jù)分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性.（