2024-2025學(xué)年貴州省貴陽(yáng)市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年貴州省貴陽(yáng)市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．如圖，在中，是邊BC的中點(diǎn)，是AM上一點(diǎn)，且，則（

）

A． B． C． D．4．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知圓，圓，則兩圓的公切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．圖，已知圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，為下底面圓周上一點(diǎn)，滿足，則異面直線AE與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．在上單調(diào)遞增C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱8．已知斜率為的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為.則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．10．在三角形中，角的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（

）A．三角形的外接圓半徑為2 B．當(dāng)時(shí)該三角形有唯一解C．最大值為12 D．的最大值為2411．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，將沿AC翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖所示.記點(diǎn)為翻折過(guò)程中點(diǎn)的位置（不包含在點(diǎn)處的位置），則下列結(jié)論正確的是（

）A．不存在點(diǎn)，使得B．無(wú)論點(diǎn)在何位置，總有面PBDC．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，直線AB與平面PBC所成角的余弦值為D．當(dāng)時(shí)，為PB上一點(diǎn)，則的最小值為2三、填空題（本大題共3小題）12．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，連接OA，OB，構(gòu)成的三角形AOB是等腰直角三角形，則橢圓的離心率為.13．已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的的一個(gè)值為.14．若，且，設(shè)，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在四棱錐中，平面，且.(1)求證：平面PAD；(2)求平面PAD與平面PBC夾角的正切值.16．已知直線，圓.(1)若直線與直線平行，且與圓相切，求的直線方程；(2)若直線與直線垂直，且與圓相交于AB兩點(diǎn)，，求的直線方程.17．在中，A，B，C所對(duì)的邊分別為，且.(1)求；(2)若，求BC邊上的高線AD的最大值.18．在正三棱柱中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且滿足，則：(1)是否存在點(diǎn)E，使得，若存在，求出；(2)求三棱錐體積的最大值；(3)求二面角的最大值.19．已知直線的方程的方程：，圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離最遠(yuǎn)時(shí)，圓與直線相切，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，點(diǎn)的軌跡記為曲線，曲線與軸的正、負(fù)半軸分別交于兩點(diǎn)，在軌跡上，且滿足.(1)證明直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求軌跡的方程；(3)求直線所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn).

答案1．【正確答案】C【詳解】集合，分別表示直線與圓上的點(diǎn)，則的元素個(gè)數(shù)為即為直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，注意到過(guò)圓圓心，則直線與圓相交，即交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，的元素個(gè)數(shù)為.故選：C2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋湓趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B.3．【正確答案】A【詳解】因?yàn)槭巧弦稽c(diǎn)，可設(shè)，由題意知所以解得，所以，故選：A.4．【正確答案】C【詳解】若直線與直線平行，則，解得，所以，“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選：C5．【正確答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑；圓即，則圓心為，半徑；因?yàn)?，則所以兩圓相交，則兩圓只有條公切線.故選：B6．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所以，如圖所示，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,所以,所以異面直線與所成角的余弦值為,故選:C.7．【正確答案】B【詳解】設(shè).對(duì)于A，注意到，則函數(shù)圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，因在上不遞增，則在上不遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，注意到形如的函數(shù)圖象，可由圖象由伸縮，平移變換得到，即函數(shù)的圖象為中心對(duì)稱圖形，無(wú)對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，因函數(shù)在時(shí)無(wú)意義，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，故D正確.故選：B8．【正確答案】D【詳解】設(shè)，又點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減可得:，所以，又，則，又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則，則,所以.故選：D.9．【正確答案】ABC【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，且在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，且在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，且在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：ABC10．【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A，由正弦定理，，故A正確；對(duì)于B，由余弦定理，，解得或，經(jīng)驗(yàn)證均滿足三角形三邊關(guān)系，故當(dāng)時(shí)該三角形有2個(gè)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由余弦定理可得.由正弦定理，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由余弦定理，，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：AD11．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于A，的軌跡是以為軸的兩個(gè)同底的圓錐底面半圓弧，顯然圓錐軸截面的頂角為，大于，則存在兩條母線互相垂直，即存在點(diǎn)，使得，而翻折前，因此存在點(diǎn)，使得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，依題意，都是等邊三角形，取的中點(diǎn)，則，又平面，于是平面，又平面，因此，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又，平面PBD，因此平面PBD，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，平面是二面角的平面角，三棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)平面，等腰的面積，設(shè)點(diǎn)到平面PBC的距離為，由，得，解得，設(shè)直線AB與平面所成的角為，則，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，三棱錐為正四面體，將，展開在同一平面內(nèi)，如圖，顯然四邊形為菱形，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，故D錯(cuò)誤；故選：BC.12．【正確答案】【詳解】由題意，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F?c,0將代入，解得，如圖：所以，，因?yàn)槿切蜛OB是等腰直角三角形，所以，所以，整理得，所以，又因?yàn)殡x心率，所以，解得或（舍）.故13．【正確答案】（答案不唯一）【詳解】由題，，圓心為，半徑為2.則直線l到C距離為，.則或，得或.故14．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為.故15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又因?yàn)?，所以，而平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，而，于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，由（1）可知：平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，則有，設(shè)平面與平面夾角為，，則，所以，即平面PAD與平面PBC夾角的正切值為.16．【正確答案】(1)或；(2)或.【詳解】（1）依題意，設(shè)所求直線方程為，因?yàn)樗笾本€與圓相切，且圓心為，半徑為，，解得或，所求直線方程為或；（2）依題意，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與圓相交于A，B兩點(diǎn)，，圓心到直線的距離為，，解得或，直線的方程為或.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?（2）由（1）可知：，又，所以由余弦定理得：,所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以,BC邊上的高線AD的最大值.18．【正確答案】(1)存在，；(2)；(3).【詳解】（1）假設(shè)存在點(diǎn)使得，則因?yàn)?，所以由正三棱柱，平面，且平面，可得，又因?yàn)椋瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以，又，所以，又，且，所以，解得（負(fù)值已舍去），則，所以存在點(diǎn)使得，此時(shí)；（2）如圖，在中，

由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即三棱錐體積最大值為；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為D，由為正三棱柱，可知平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為G，連接，

因?yàn)槠矫妫?，又，平面，所以平面，所以是二面角的一個(gè)平面角，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以二面角的最大值為.19．【正確答案】(1)證明見解析，(2)(3)【詳解】（1）令，解得，即對(duì)任意，總是方程的一組解，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離最遠(yuǎn)，(理由如下：當(dāng)時(shí)，此時(shí)到的距離即為，當(dāng)與不垂直時(shí)，過(guò)作交于，顯然在中，，所以時(shí)，此時(shí)到的距離