2024-2025學年黑龍江省牡丹江市高一上學期第二次三校聯(lián)考數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省牡丹江市2024-2025學年高一上學期第二次三校聯(lián)考數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，，所以．故選：C.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：D.3.函數(shù)的定義域為（）A B.C. D.【答案】D【解析】由解得或．故選：D．4.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則＝（）A. B.9 C. D.【答案】D【解析】設，由的圖象經(jīng)過點，得，解得，即，所以.故選：D.5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】取，，可知A，B錯誤；因為，所以C正確；取，可知D錯誤.故選：C.6.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一杯熱茶的熱量會隨時間的增大而減少，它們之間的關系為，其中，且．若一杯熱茶經(jīng)過時間，熱量由減少到，再經(jīng)過時間，熱量由減少到，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】當時，，當時，，故；當時，，故，所以．故選：A．7.函數(shù)的圖象與的圖象的交點個數(shù)為（）A8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】在同一直角坐標系中，作兩個函數(shù)與的圖象，由圖可知，兩函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為4．故選：C．8.已知函數(shù)的定義域為，，，都有，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當，時，，所以；令得，所以；，，，…，.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知關于的不等式的解集為，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因為不等式的解集為，所以，，4是方程的兩根，所以，，則，A錯誤；，則，D正確；因為，所以，B正確；因為，所以，，兩式相加得，即，C正確．故選：BCD．10.若，則下列說法一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，所以，則，所以，A正確；由，得，，但與1的大小關系不確定，所以B錯誤；由，得，則，所以，C正確；由，得，所以，但與1的大小關系不確定，所以D錯誤．故選：AC．11.已知函數(shù)，則（）A.當時，為偶函數(shù) B.既有最大值又有最小值C.在上單調(diào)遞增 D.的圖象恒過定點【答案】ACD【解析】當時，，定義域為，因為，所以為偶函數(shù)，A正確；因為，所以，則有最大值，沒有最小值，B錯誤；因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C正確；當時，，所以的圖象恒過定點，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，則______.【答案】0【解析】已知函數(shù)，則，所以．13.若函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象可知，要使函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則，即，所以，故實數(shù)的取值范圍為．14.，分別表示函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，則________.【答案】4【解析】因為因為，，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設命題：實數(shù)滿足，其中，命題：實數(shù)滿足．（1）若，且和都是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，不等式為，解得，即：；由，得，即：，由和都是真命題，得，所以實數(shù)的取值范圍是．（2）由，，得，即命題：．由（1）知命題：，因為是的充分不必要條件，因此解得，所以實數(shù)的取值范圍是．16.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明．解：（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，定義域為，所以，即恒成立，所以，又，所以，所以．（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，又，且，所以，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增．17.一家貨物公司計劃租地建造倉庫存儲貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月庫存貨物費（單位：萬元）與倉庫到車站的距離（單位：km）成正比；每月土地占地費用（單位：萬元）與（單位：km）成反比，當在距離車站5km處建倉庫時，和的費用分別為1萬元和8萬元．（1）若使每月土地占地費用與每月庫存貨物費之和不超過7.2萬元，則倉庫到車站的距離（單位：km）應該在什么范圍？（2）這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使得兩項費用之和最??？并求出最小值．解：（1）設，，由題知：當時，和的費用分別為1萬元和8萬元，即，，解得，，所以，．若使每月土地占地費用與每月庫存貨物費之和不超過7.2萬元，即，解得，所以若使每月土地占地費用與每月庫存貨物費之和不超過7.2萬元，則倉庫到車站的距離的取值范圍為（單位：km）．（2）由，當且僅當時，即時，等號成立，所以倉庫到車站的距離為15km時，兩項費用之和最小，最小值為7萬元．18.已知函數(shù)圖像經(jīng)過點，.（1）求的解析式；（2）證明：曲線是中心對稱圖形；（3）求關于的不等式的解集.解：（1）由題意可知，解得或，（舍去），所以.（2）證明：因為，所以曲線關于點對稱，故曲線是中心對稱圖形.（3）由（1）可知，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減.由（2）可知，，由，得，即，根據(jù)在上單調(diào)遞減，得，整理得，，即.當時，解得；當時，無解；當時，解得.綜上可知，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.19.現(xiàn)定義了一種新運算“⊕”：對于任意實數(shù)，，都有（且）．（1）當時，計算4⊕4；（2）證明：，都有；（3）設，若在區(qū)間上解：（1）當時，．（2）因，，所以．（3）由新運算可知，，令，則在上單調(diào)遞減，由于在上的值域為，所以，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即整理得，，所以，將代入，得，同理得，．所以，是函數(shù)在上的兩個不同的零點，則解得，所以，故實數(shù)的取值范圍為．黑龍江省牡丹江市2024-2025學年高一上學期第二次三校聯(lián)考數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，，所以．故選：C.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：D.3.函數(shù)的定義域為（）A B.C. D.【答案】D【解析】由解得或．故選：D．4.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則＝（）A. B.9 C. D.【答案】D【解析】設，由的圖象經(jīng)過點，得，解得，即，所以.故選：D.5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】取，，可知A，B錯誤；因為，所以C正確；取，可知D錯誤.故選：C.6.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一杯熱茶的熱量會隨時間的增大而減少，它們之間的關系為，其中，且．若一杯熱茶經(jīng)過時間，熱量由減少到，再經(jīng)過時間，熱量由減少到，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】當時，，當時，，故；當時，，故，所以．故選：A．7.函數(shù)的圖象與的圖象的交點個數(shù)為（）A8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】在同一直角坐標系中，作兩個函數(shù)與的圖象，由圖可知，兩函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為4．故選：C．8.已知函數(shù)的定義域為，，，都有，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當，時，，所以；令得，所以；，，，…，.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知關于的不等式的解集為，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因為不等式的解集為，所以，，4是方程的兩根，所以，，則，A錯誤；，則，D正確；因為，所以，B正確；因為，所以，，兩式相加得，即，C正確．故選：BCD．10.若，則下列說法一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，所以，則，所以，A正確；由，得，，但與1的大小關系不確定，所以B錯誤；由，得，則，所以，C正確；由，得，所以，但與1的大小關系不確定，所以D錯誤．故選：AC．11.已知函數(shù)，則（）A.當時，為偶函數(shù) B.既有最大值又有最小值C.在上單調(diào)遞增 D.的圖象恒過定點【答案】ACD【解析】當時，，定義域為，因為，所以為偶函數(shù)，A正確；因為，所以，則有最大值，沒有最小值，B錯誤；因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C正確；當時，，所以的圖象恒過定點，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，則______.【答案】0【解析】已知函數(shù)，則，所以．13.若函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象可知，要使函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則，即，所以，故實數(shù)的取值范圍為．14.，分別表示函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，則________.【答案】4【解析】因為因為，，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設命題：實數(shù)滿足，其中，命題：實數(shù)滿足．（1）若，且和都是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，不等式為，解得，即：；由，得，即：，由和都是真命題，得，所以實數(shù)的取值范圍是．（2）由，，得，即命題：．由（1）知命題：，因為是的充分不必要條件，因此解得，所以實數(shù)的取值范圍是．16.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明．解：（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，定義域為，所以，即恒成立，所以，又，所以，所以．（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，又，且，所以，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增．17.一家貨物公司計劃租地建造倉庫存儲貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月庫存貨物費（單位：萬元）與倉庫到車站的距離（單位：km）成正比；每月土地占地費用（單位：萬元）與（單位：km）成反比，當在距離車站5km處建倉庫時，和的費用分別為1萬元和8萬元．（1）若使每月土地占地費用與每月庫存貨物費之和不超過7.2萬元，則倉庫到車站的距離（單位：km）應該在什么范圍？（2）這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使得兩項費用之和最??？并求出最小值．解：（1）設，，由題知：當時，和的費用分別為1萬元和8萬元，即，，解得，，所以，．若使每月土地占地費用與每月庫存貨物費之和不超過7.2萬元，即，解得，所以若使每月土地占地費用與每月庫存貨物費之和不超過7.2萬元，則倉庫到車站的距離的取值范圍為（單位：km）．（2）由，當且僅當時，即時，等號成立，所以倉庫到車站的距離為15km時，兩項費用之和最小，最小值為7萬元．18.已知函數(shù)圖像經(jīng)過點，.（1）求的解析式；（2）證明：曲線是中心對稱圖形；（3）求關于的不等式的解集.解：（1）由題意可知，解得或，（舍去），所以.（2）證明：因為，所以曲線關于點對稱，故曲線是中心對稱圖形.（3）由（1）可知，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減.由（2）可知，，由，得，即，根