高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題4立體幾何培優(yōu)拓展（12）立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題課件

培優(yōu)拓展(十二)立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題立體幾何中的“動(dòng)態(tài)問題”,是指空間圖形中的某些點(diǎn)、線、面的位置是不確定的,是可變的一類開放性問題.由于“動(dòng)態(tài)”的存在,也使立體幾何問題更趨多元化,將立體幾何問題與平面幾何中的軌跡問題、解三角形問題等之間架設(shè)了橋梁,可以靈活轉(zhuǎn)化.立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要有兩個(gè)類型:(1)研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡,主要方法有定義法(如圓錐曲線定義)、解析法、交軌法;(2)與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值、范圍問題,主要方法有幾何法、函數(shù)法.角度一動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題例1(多選題)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,M為DD1的中點(diǎn),N為ABCD所在平面上一動(dòng)點(diǎn),則下列說法正確的是(

)A.若MN與平面ABCD所成的角為,則點(diǎn)N的軌跡為圓B.若MN=4,則MN的中點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為2πC.若點(diǎn)N到直線BB1與直線DC的距離相等,則點(diǎn)N的軌跡為拋物線D.若D1N與AB所成的角為,則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線ACD

對(duì)于C,連接NB,因?yàn)锽B1⊥平面ABCD,NB?平面ABCD,所以BB1⊥NB,所以點(diǎn)N到直線BB1的距離為點(diǎn)N到點(diǎn)B的距離.又點(diǎn)B不在直線CD上,所以點(diǎn)N的軌跡為以點(diǎn)B為焦點(diǎn),CD為準(zhǔn)線的拋物線,故C正確;對(duì)于D,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(4,0,0),B(4,4,0),D1(0,0,4).設(shè)N(x,y,0),則[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]在矩形ABCD中,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AD=1,AB=2,將△ADE繞DE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'DE,設(shè)A'C的中點(diǎn)為M,在此過程中動(dòng)點(diǎn)M形成的軌跡長(zhǎng)度為

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解析

如圖,連接AC,設(shè)AC的中點(diǎn)為M0,△ADE繞DE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,此時(shí)平面A'DE⊥平面ABCD.取CD中點(diǎn)P,CE中點(diǎn)Q,連接PQ,MP,MQ,M0P,M0Q,取PQ中點(diǎn)N,連接MN,M0N.由題可知,

所以△MPQ和△M0PQ是等腰直角三角形.易知△MPQ和△M0PQ在旋轉(zhuǎn)過程中保持形狀、大小不變,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以N為圓心,

為半徑的一段圓弧.又MP∥A'D,MQ∥A'E,MP∩MQ=M,MP,MQ?平面MPQ,A'D∩A'E=A',A'D,A'E?平面A'DE,所以平面MPQ∥平面A'DE.又平面A'DE⊥平面ABCD,所以平面MPQ⊥平面ABCD.又平面MPQ∩平面ABCD=PQ,MN⊥PQ,所以MN⊥平面ABCD.又M0N?平面ABCD,所以MN⊥M0N.故動(dòng)點(diǎn)M形成的軌跡長(zhǎng)度為角度二與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值、范圍問題例2(多選題)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線BD1上(含端點(diǎn)),則下列結(jié)論正確的有(

)A.當(dāng)P為BD1的中點(diǎn)時(shí),∠APC為銳角B.存在點(diǎn)P,使得BD1⊥平面APCABC解析

如圖,以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,正四面體P-ABC的頂點(diǎn)A,B分別在x軸、y軸上