2022北京市石景山區(qū)高三（上）期末數(shù)學真題試卷（學生版）

高三數(shù)學試題第1頁（共6頁）石景山區(qū)2021—2022學年第一學期高三期末試卷數(shù)學本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘．請務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效，考試結束后上交答題卡。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．設集合，，則A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，若，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．設函數(shù)，則是A．奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減4．將本不同的數(shù)學書和本語文書在書架上隨機排成一行，則本數(shù)學書相鄰的概率為A． B． C． D．5．記為等差數(shù)列的前項和，若，，則A．36 B．45 C．63 D．756．某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），其中自習時間的范圍是[17.5，30]，并制成了頻率分布直方圖，如右圖所示，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根據(jù)頻率分布直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是A．56B．60C．120 D．1407．若，，則A．B．C．D．8．在△中，若，則A．B．C．D．9．設是首項為的等比數(shù)列，公比為，則“”是“對任意的正整數(shù)，”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件10．如圖，正方體的棱長為，線段上有兩個動點，且，給出下列三個結論：①②△的面積與△的面積相等③三棱錐的體積為定值其中，所有正確結論的個數(shù)是A．B．C．D．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．已知向量，若，則_________．12．雙曲線的焦點坐標為________，漸近線方程為________．13．設函數(shù)則使得成立的的取值范圍是________．14．若點關于軸的對稱點為，則的一個取值為________．15．數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如星形線，讓一個半徑為的小圓在一個半徑為的大圓內(nèi)部，小圓沿著大圓的圓周滾動，小圓的圓周上任一點形成的軌跡即為星形線．如圖，已知，起始位置時大圓與小圓的交點為（點為軸正半軸上的點），滾動過程中點形成的軌跡記為星形線．有如下結論：①曲線上任意兩點間距離的最大值為；②曲線的周長大于曲線的周長；③曲線與圓QUOTEx2+y2=4有且僅有個公共點．其中正確的序號為________________．三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（本小題13分）已知函數(shù)，，從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）在區(qū)間上的最小值．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．17．（本小題14分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，側面為直角三角形，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若，，，判斷在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的大小為．18．（本小題13分）某校組織“創(chuàng)建文明城區(qū)”知識競賽，有，兩類問題，每位參加比賽的學生先在兩類問題中選擇一類，然后從所選類別的問題中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，比賽結束．類問題回答正確得分，否則得分；類問題回答正確得分，否則得分．己知小明同學能正確回答類中的每一個問題的概率均為，能正確回答類中的每一個問題的概率均為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．（Ⅰ）若小明先回答類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（Ⅱ）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．19．（本小題15分）已知橢圓，為坐標原點，右焦點坐標為，橢圓的離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）橢圓在軸上的兩個頂點為，點滿足，直線交橢圓于兩點，且，求此時的大小．20．（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）求證：當≤時，≥．21．（本小題15分）記實數(shù)，中的較大者為，例如，，對于無窮數(shù)