中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題培優(yōu)專練專題01 利用三角形全等和相似的性質(zhì)進(jìn)行求解的問題（解析版）

專題01利用三角形全等和相似的性質(zhì)進(jìn)行求解的問題在幾何壓軸題中，全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)一般作為工具性質(zhì)進(jìn)行使用，用以幫助解決角度的相等問題或者線段的數(shù)量關(guān)系。（1）在具體的壓軸題中可以通過證明三角形全等或三角形相似，得到某兩個(gè)角相等，再結(jié)合所求進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而得到我們想要的角度關(guān)系。（2）壓軸題中關(guān)于證明線段相等關(guān)系或者和差關(guān)系的證明時(shí)，一般通過三角形全等的性質(zhì)，找出中間線段與所求線段的倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)行等量代換或者轉(zhuǎn)化。（3）壓軸題中關(guān)于證明或探究線段之間的積關(guān)系或者比值關(guān)系時(shí)，一般利用三角形相似的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，有時(shí)也會(huì)用到三角形全等的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 （2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD，點(diǎn)E為直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），連接AE，以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG（A，E，F(xiàn)，G按逆時(shí)針方向排列），連接DG．(1)如圖1，當(dāng)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝1時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝2時(shí)，請(qǐng)猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點(diǎn)M，N，連接MN，MD，ND，若AB＝SKIPIF1<0，∠AEB＝45°，請(qǐng)直接寫出△MND的面積．（1）證明△BAE≌△DAG，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）證明BAE∽△DAG，進(jìn)一步得出結(jié)論；（3）解斜三角形ABE，求得BE＝3，根據(jù)（2）SKIPIF1<0可得DG＝6，從而得出三角形BEG的面積，可證得△MND≌△MNG，△MNG與△BEG的面積比等于1：4，進(jìn)而求得結(jié)果．【答案】(1)BE＝DG，BE⊥DG(2)BE＝SKIPIF1<0，BE⊥DG，理由見解析(3)S△MNG＝SKIPIF1<0【詳解】（1）解：由題意得：四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（2）BE＝SKIPIF1<0，BE⊥DG，理由如下：由（1）得：∠BAE＝∠DAG，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝2，∴△BAE∽△DAG，∴SKIPIF1<0，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（3）如圖，作AH⊥BD于H，∵tan∠ABD＝SKIPIF1<0，∴設(shè)AH＝2x，BH＝x，在Rt△ABH中，x2+（2x）2＝（SKIPIF1<0）2，∴BH＝1，AH＝2，在Rt△AEH中，∵tan∠ABE＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴EH＝AH＝2，∴BE＝BH+EH＝3，∵BD＝SKIPIF1<0＝5，∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，由（2）得：SKIPIF1<0，DG⊥BE，∴DG＝2BE＝6，∴S△BEG＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝9，在Rt△BDG和Rt△DEG中，點(diǎn)M是BG的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CE的中點(diǎn)，∴DM＝GM＝SKIPIF1<0，∵NM＝NM，∴△DMN≌△GMN（SSS），∵M(jìn)N是△BEG的中位線，∴MNSKIPIF1<0BE，∴△BEG∽△MNG，∴SKIPIF1<0＝（SKIPIF1<0）2＝SKIPIF1<0，∴S△MNG＝S△MNG＝SKIPIF1<0S△BEG＝SKIPIF1<0．本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是類比的方法．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，得到線段SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（點(diǎn)SKIPIF1<0不與點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合）時(shí)，求SKIPIF1<0的值；(3)過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，請(qǐng)直接寫出SKIPIF1<0的值．（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝SKIPIF1<0AB，BC＝2BH，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）證明△ABD∽△CBE，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，作BF⊥AC，交CA的延長(zhǎng)線于F，作AG⊥BD于G，設(shè)AB＝AC＝3a，則AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的長(zhǎng)，根據(jù)△DAG∽△DBF求得AQ，進(jìn)而求得AN，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝4a，同樣方法求得結(jié)果．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：如圖1，作AH⊥BC于H，∵AB＝AB，∴∠BAH＝∠CAH＝SKIPIF1<0∠BAC＝SKIPIF1<0×120°＝60°，BC＝2BH，∴sin60°＝SKIPIF1<0，∴BH＝SKIPIF1<0AB，∴BC＝2BH＝SKIPIF1<0AB；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝SKIPIF1<0，由（1）得，SKIPIF1<0，同理可得，∠DBE＝30°，SKIPIF1<0，∴∠ABC＝∠DBE，SKIPIF1<0，∴∠ABC?∠DBC＝∠DBE?∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴SKIPIF1<0；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，作BF⊥AC，交CA的延長(zhǎng)線于F，作AG⊥BD于G，設(shè)AB＝AC＝3a，則AD＝2a，由（1）得，SKIPIF1<0，在Rt△ABF中，∠BAF＝180°?∠BAC＝60°，AB＝3a，∴AF＝3a?cos60°＝SKIPIF1<0，BF＝3a?sin60°＝SKIPIF1<0，在Rt△BDF中，DF＝AD＋AF＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，∴△DAG∽△DBF，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵ANSKIPIF1<0DE，∴∠AND＝∠BDE＝120°，∴∠ANG＝60°，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝4a，由（1）得，CE＝SKIPIF1<0，作BR⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于R，作AQ⊥BD于Q，同理可得，AR＝a，BR＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是正確分類和較強(qiáng)的計(jì)算能力．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上一點(diǎn)．(1)如圖1，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①求證：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；(2)如圖2，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．（1）①根據(jù)SKIPIF1<0可證得：SKIPIF1<0，即可得出結(jié)論；②連接SKIPIF1<0，可證得SKIPIF1<0是等邊三角形，即可求出SKIPIF1<0；（2）延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0可證得SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即可證得SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】(1)①見解析；②SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）（1）①∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是菱形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.②如圖，連接SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又由菱形SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）如圖，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)SKIPIF1<0，由菱形SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為公共角.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)求線段長(zhǎng)度，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.1．（2022·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考模擬）【教材呈現(xiàn)】在華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第111頁(yè)學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：菱形的對(duì)角線互相垂直．【結(jié)論運(yùn)用】(1)如圖①，菱形SKIPIF1<0的對(duì)角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則菱形SKIPIF1<0的面積是；(2)如圖②，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，四邊形SKIPIF1<0是菱形，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)如圖③，四邊形SKIPIF1<0是菱形，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，四邊形SKIPIF1<0是菱形，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0度．【答案】(1)24；(2)見解析；(3)30【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理可求SKIPIF1<0，由菱形的面積公式可以求解；（2）先證四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，可得SKIPIF1<0，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）先證SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0菱形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，故答案為：24；（2）證明：如圖，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）解：SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是菱形，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：30．2．（2022·四川德陽(yáng)·模擬）已知：四邊形SKIPIF1<0是正方形，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上，且SKIPIF1<0．(1)如圖SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有怎樣的關(guān)系．寫出你的結(jié)果，并加以證明；(2)如圖SKIPIF1<0，對(duì)角線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0．①求證：SKIPIF1<0；②連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．證明見解析(2)①見解析；②SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后利用“邊角邊”證明SKIPIF1<0，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后求出SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0，然后根據(jù)垂直的定義解答即可；（2）①根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得SKIPIF1<0，然后求出SKIPIF1<0，再利用“角邊角”證明SKIPIF1<0，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得SKIPIF1<0；②過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得SKIPIF1<0，再利用“角角邊”證明SKIPIF1<0，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得SKIPIF1<0，然后判斷出四邊形SKIPIF1<0是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0，然后利用勾股定理列式求出SKIPIF1<0，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出SKIPIF1<0即可．【詳解】（1）解：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）①證明：SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②解：如圖SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)SKIPIF1<0．3．（2022·山東日照·校考二模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，將線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0，得到線段SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如圖1，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，①求證：SKIPIF1<0；②求SKIPIF1<0的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，請(qǐng)直接寫出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系．(3)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為【答案】(1)①見解析；②SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）①證明SKIPIF1<0可得結(jié)論．②利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0解決問題．（3）分兩種情形，解直角三角形求出SKIPIF1<0即可解決問題．【詳解】（1）①證明：如圖1中，SKIPIF1<0將線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0，得到線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②解：如圖1中，設(shè)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）解：結(jié)論：SKIPIF1<0．理由：如圖2中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于SKIPIF1<0．如圖SKIPIF1<0中，當(dāng)SKIPIF1<0是鈍角三角形時(shí)，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（2）可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0如圖SKIPIF1<0中，當(dāng)SKIPIF1<0是銳角三角形時(shí)，同法可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上所述，滿足條件的SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．4．（2022·山東濟(jì)南·山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)?？寄M）如圖，在SKIPIF1<0中，點(diǎn)D、E分別是邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)如圖1，若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0．①如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；②如圖3，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直接寫出SKIPIF1<0的長(zhǎng)是______．【答案】(1)見解析；(2)①SKIPIF1<0；②???????SKIPIF1<0【分析】（1）證明SKIPIF1<0，即可得證；（2）①如圖，作SKIPIF1<0的垂直平分線交SKIPIF1<0于F，連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，利用全等三角形的性質(zhì)和SKIPIF1<0，進(jìn)行求解即可；②延長(zhǎng)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，利用等腰三角形的判定和性質(zhì)，求出SKIPIF1<0的長(zhǎng)，進(jìn)而得到SKIPIF1<0的余弦，作SKIPIF1<0中垂線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：①如圖2，作SKIPIF1<0的垂直平分線交SKIPIF1<0于F，連接SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，???????又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②???????如圖：延長(zhǎng)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，根據(jù)勾股定理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0中垂線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．5．（2022·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交線段SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，在□SKIPIF1<0的外部作SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，①請(qǐng)寫出線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0，證明見解析；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）線段SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系∶SKIPIF1<0，理由：如圖，連接SKIPIF1<0，由四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0的條件，可得出：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，最后再說明SKIPIF1<0是等邊三角形可得到結(jié)論；（2）①如圖，連接SKIPIF1<0，先證明四邊形SKIPIF1<0是矩形，可得到SKIPIF1<0，然后仿照（1）證明思路，利用SKIPIF1<0證明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再說明SKIPIF1<0，利用勾股定理可得到SKIPIF1<0，然后在SKIPIF1<0中，由勾股定理SKIPIF1<0，最后代入即可得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系式；②根據(jù)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，分兩種情況解答：第一種情況：SKIPIF1<0；第二種情況：SKIPIF1<0．【詳解】（1）解：線段SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系∶SKIPIF1<0，理由如下：如圖，連接SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0．（2）①如圖，連接SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．②點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)，分兩種情況：第一種情況：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由①可知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0由①可知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由①可知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；第二種情況：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由①可知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0由①可知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由①可知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．6．（2