《電工基礎(chǔ)及測(cè)量》課件第2章

第2章直流電阻電路的分析2.1支路電流法2.2網(wǎng)孔電流法2.3節(jié)點(diǎn)電壓法2.4疊加定理2.5戴維南定理習(xí)題

2.1支路電流法

第1章介紹的一些等效變換法，只適用于分析特定結(jié)構(gòu)的電路，而網(wǎng)絡(luò)方程法則是分析一般電路的方法，它是通過(guò)根據(jù)KCL、KVL和元件的VCR列寫電路的變量方程，從而解出變量的方法。支路電流法就是其中的一種。

支路電流法就是以電路中每條支路電流為未知數(shù)，根據(jù)KCL、KVL列出方程，聯(lián)立求解的一種方法。對(duì)于一個(gè)有b條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，則需以b個(gè)支路電流為未知量，列寫b個(gè)獨(dú)立方程。所謂獨(dú)立方程就是指其中任意一個(gè)方程都不能通過(guò)對(duì)其他方程推導(dǎo)而得出。

下面以圖2-1所示的電路為例，來(lái)說(shuō)明支路電流法的求解過(guò)程。圖2-1支路電流法的求解過(guò)程在電路中，支路數(shù)b=3個(gè)，節(jié)點(diǎn)數(shù)n=2個(gè)。在應(yīng)用支路電流法時(shí)，應(yīng)該以支路電流I1、I2和I3為未知量，列出三個(gè)獨(dú)立方程。列方程前指定各支路電流的參考方向如圖2-1所示。

首先，根據(jù)電流的參考方向?qū)ζ渲衝－1個(gè)節(jié)點(diǎn)(2－1＝1)列出獨(dú)立的KCL方程：

對(duì)節(jié)點(diǎn)a：I1+I2－I3=0 ①

其次，選取b－n+1個(gè)獨(dú)立回路，根據(jù)回路的繞向列出KVL方程，對(duì)于平面電路而言，每一個(gè)網(wǎng)孔都是一個(gè)獨(dú)立回路，且網(wǎng)孔的數(shù)目恰好為b－n+1，故一般選取網(wǎng)孔作為獨(dú)立回路(即回路Ⅰ和Ⅱ)：

對(duì)網(wǎng)孔Ⅰ：I1R1+I3R3=US1 ②

對(duì)網(wǎng)孔Ⅱ：I2R2+I3R3=US2 ③最后，聯(lián)立求解上述的b個(gè)獨(dú)立方程，得出各個(gè)支路電流；再通過(guò)支路電流來(lái)求解其他的待求量。

用支路電流法時(shí)應(yīng)注意：當(dāng)電路中存在電流源時(shí)，如果是電流源與電阻的并聯(lián)組合，則可以把它變換成電壓源與電阻的串聯(lián)組合，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算；如果是無(wú)伴電流源(即無(wú)并聯(lián)電阻的電流源)，則可設(shè)出電流源的端電壓及其參考方向，此時(shí)，電流源所在支路的電流為已知的電流源的電流，方程組中待求量的數(shù)目仍然不變。

例2-1在圖2-1所示電路中，設(shè)US1=140V，US2=90V，R1=20Ω，R2=5Ω，R3=6Ω。求各支路電流。

解以各支路電流為變量，應(yīng)用KCL和KVL列出方程

I1+I2－I3=0

20I1+6I3=140

5I2+6I3=90

解之，得

I1=4A，I2=6A，I3=10A 2.2網(wǎng)孔電流法

網(wǎng)孔電流法就是以網(wǎng)孔電流為未知量，對(duì)電路中的所有網(wǎng)孔列出KVL方程來(lái)求解電路的一種方法。網(wǎng)孔電流是一種假設(shè)的電流，即假設(shè)在電路的每個(gè)網(wǎng)孔中流有的一個(gè)回路電流，如圖2-2所示的Im1和Im2。圖2-2網(wǎng)孔電流法的求解過(guò)程下面以圖2-2所示的電路為例，介紹網(wǎng)孔電流和支路電流的關(guān)系：

假設(shè)Im1和Im2的參考方向如圖所示，則US1所在支路中只有Im1獨(dú)立流過(guò)且流過(guò)該支路時(shí)方向與支路電流I1的方向相同，所以有I1=Im1，US2所在支路的網(wǎng)孔電流只有Im2獨(dú)立流過(guò)且方向與支路電流I2相反，故I2=－Im2；但網(wǎng)孔電流Im1和網(wǎng)孔電流Im2同時(shí)流過(guò)R3所在支路，所以支路電流I3為二者的代數(shù)和，即I3=Im1－Im2。

現(xiàn)以圖2-2所示的電路為例，說(shuō)明網(wǎng)孔電流法的求解過(guò)程。

首先，設(shè)定各支路電流及網(wǎng)孔電流的參考方向(規(guī)定以瞬時(shí)針繞行方向?yàn)閰⒖挤较?，如圖2-2所示。其次，以網(wǎng)孔電流的方向?yàn)榛芈防@向，對(duì)每個(gè)網(wǎng)孔列出KVL方程。

整理得：

其中，式(2-2)即是以網(wǎng)孔電流為未知量的網(wǎng)孔電流方程。而式(2-2)又可改寫成

(2-2)(2-1)

其中，R11、R22分別稱為網(wǎng)孔1、網(wǎng)孔2的自電阻，它們等于各自網(wǎng)孔中全部電阻之和，自電阻恒為正；R12=R21代表網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2的互電阻，即兩個(gè)網(wǎng)孔公共支路上的電阻之和，互電阻恒為負(fù)；US11和US22分別為網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2中所有電壓源電壓的代數(shù)和，當(dāng)電壓源電壓的參考方向與網(wǎng)孔電流參考方向一致時(shí)寫到等式右邊，電壓前取“－”，反之為“+”。(2-3)對(duì)于具有m個(gè)網(wǎng)孔的電路，其網(wǎng)孔電流方程的一般形式為：

解出方程組中的網(wǎng)孔電流，可根據(jù)網(wǎng)孔電流與支路電流的關(guān)系求解出各條支路的電流。(2-4)在列寫網(wǎng)孔電流方程時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

(1)如果回路中有電流源與電阻的并聯(lián)組合，則可以把其等效為電壓源與電阻的串聯(lián)組合，再列寫網(wǎng)孔方程。

(2)如果存在無(wú)伴電流源(沒(méi)有電阻與其并聯(lián)的電流源)時(shí)，當(dāng)電流源僅屬一個(gè)網(wǎng)孔時(shí)，選擇該網(wǎng)孔電流等于電流源的電流，這樣可減少一個(gè)網(wǎng)孔方程，其余網(wǎng)孔方程仍按一般方法列寫。

(3)當(dāng)無(wú)伴電流源屬于兩個(gè)網(wǎng)孔共用時(shí)，可將電流源的電壓當(dāng)做一個(gè)未知電壓源的電壓列寫到方程的右邊，但多一個(gè)未知量的情況下，必須列寫一個(gè)補(bǔ)充方程。補(bǔ)充方程列寫的原則是：共用該電流源的兩個(gè)網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流按照電流源的電流方向進(jìn)行疊加，疊加結(jié)果應(yīng)與電流源的電流的大小相等。

例2-2如圖2-3所示，用網(wǎng)孔法計(jì)算例2-1中各支路電流。

解首先用網(wǎng)孔電流法求出網(wǎng)孔電流。設(shè)網(wǎng)孔電流Im1、Im2均為順時(shí)針?lè)较?。?jì)算各網(wǎng)孔的自電阻，兩網(wǎng)孔的互電阻及每一網(wǎng)孔的總電壓源電壓。

R11=R1+R3=26Ω，R12=R21=－R3=－6Ω，R22=R2+R3=11Ω

US11=140V，US22=－90V

將參數(shù)代入式(2-3)得

聯(lián)立求解得

Im1=4A，Im2=－6A

根據(jù)各網(wǎng)孔電流與支路電流的關(guān)系，求各支路的電流為

I1=Im1=4A，I2=－Im2=6A，I3=Im1－Im2=10A圖2-3例2-2圖

2.3節(jié)點(diǎn)電壓法

節(jié)點(diǎn)電壓法是以節(jié)點(diǎn)電壓為未知量，對(duì)n－1(n為節(jié)點(diǎn)數(shù))個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)列出KCL方程來(lái)求解電路的一種方法。在電路中任選一節(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn)，則其他節(jié)點(diǎn)為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，其他節(jié)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的電壓則稱為節(jié)點(diǎn)電壓。下面以圖2-4所示的電路圖為例，來(lái)介紹節(jié)點(diǎn)電壓法的應(yīng)用步驟。圖2-4節(jié)點(diǎn)電壓法的求解過(guò)程首先，標(biāo)定各支路電流參考方向，并選取參考節(jié)點(diǎn)，若以節(jié)點(diǎn)3為參考點(diǎn)，獨(dú)立節(jié)點(diǎn)1、2的節(jié)點(diǎn)電壓分別為Un1和Un2。

其次，對(duì)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)1、2列寫KCL方程。

根據(jù)KVL和電路元件的伏安關(guān)系，求出各支路電流與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系。(2-5)將其代入式(2-5)，得

整理得(2-6)(2-7)上式可改寫成

式(2-8)即為具有三個(gè)節(jié)點(diǎn)的電阻性電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程的一般形式。其中G11、G22分別是節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)2相連接的各支路電導(dǎo)之和，稱為各節(jié)點(diǎn)的自電導(dǎo)，自電導(dǎo)總是正的。G12=G21是連接在節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)2之間的公共支路的電導(dǎo)之和，稱為兩相鄰節(jié)點(diǎn)的互電導(dǎo)，互電導(dǎo)總是負(fù)的。IS11、IS22分別是流入節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2的各支路電流源電流的代數(shù)和，列寫到等式的右邊后，流入節(jié)點(diǎn)的電流源電流為正，流出的為負(fù)。(2-8)在具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路中，其節(jié)點(diǎn)電壓方程為

解出方程組中的節(jié)點(diǎn)電壓，可根據(jù)VCR求出各支路電流及其他。(2-9)在列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程式時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

(1)如果電路中有電壓源與電阻的串聯(lián)組合，則可以把其等效為電流源與電阻的并聯(lián)組合，以便簡(jiǎn)化計(jì)算。

(2)如果存在無(wú)伴電壓源(沒(méi)有電阻與其串聯(lián)的電壓源)且在獨(dú)立支路上，與之相連的節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓即為該電壓源的電壓，可少列一個(gè)方程。

(3)無(wú)伴電壓源在共用支路上時(shí)，可把流經(jīng)電壓源的電流作為一個(gè)未知電流源的電流變量列入節(jié)點(diǎn)電壓方程的右邊，但在多一個(gè)未知量的情況下，必須列寫一個(gè)補(bǔ)充方程。補(bǔ)充方程列寫的原則是：共用該電壓源的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓按照電壓源的電壓方向進(jìn)行疊加，疊加結(jié)果應(yīng)與電壓源電壓的大小相等。對(duì)于只有一個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電路，如圖2-5(a)所示，可用節(jié)點(diǎn)電壓法直接求出獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電壓。先把圖2-5(a)中電壓源和電阻串聯(lián)組合等效為電壓源和電阻并聯(lián)組合，如圖2-5(b)所示，則

寫成一般形式為(2-10)式(2-10)稱為彌爾曼定理。代數(shù)和∑(GkUSk)中，當(dāng)電壓源的正極性端接到節(jié)點(diǎn)1時(shí)，GkUSk前取“+”號(hào)，反之取“－”號(hào)。圖2-5彌爾曼定理舉例

例2-3如圖2-6所示電路中，R2=4Ω，R4=2Ω，R5=6Ω，R6=3Ω，IS1=5A，IS3=10A，US4=6V，US6=15V，用節(jié)點(diǎn)電壓法求電壓源US4發(fā)出的功率。

解選定節(jié)點(diǎn)3為參考點(diǎn)，設(shè)定各節(jié)點(diǎn)電壓和支路電流，選定各支路電流的參考方向并標(biāo)于電路圖中。

計(jì)算各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的自電導(dǎo)，兩獨(dú)立節(jié)點(diǎn)之間的互電導(dǎo)及流入各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電流源電流的代數(shù)和。圖2-6例2-3圖將參數(shù)代入式(2-8)得

聯(lián)立求解得

Un1=8V，Un2=16V

根據(jù)KVL和元件的伏安關(guān)系，得

所以電壓源US4發(fā)出的功率為

P=－US4I=－6×(－7)=42W

例2-4圖2-7為一由電阻元件和理想運(yùn)算放大器構(gòu)成的起減法作用的電路圖。試說(shuō)明其工作原理。

解運(yùn)算放大器是一種多端器件，它有兩個(gè)輸入端和一個(gè)輸出端，輸入端1稱為倒向輸入端，輸入端2稱為非倒向輸入端。理想運(yùn)算放大器具有兩條性質(zhì)：①倒向端和非倒向端的輸入電流均為零；②對(duì)公共端(地)來(lái)說(shuō)，倒向輸入端的電壓與非倒向輸入端的電壓相等。

首先：對(duì)節(jié)點(diǎn)1、2分別寫出節(jié)點(diǎn)電壓方程并應(yīng)用性質(zhì)①，有圖2-7例2-4圖

注意到性質(zhì)②，有Un1=Un2，代入上式，得

或 2.4疊加定理

疊加定理是分析多源線性電路的重要定理，可表述如下：線性電阻電路中，任一電壓或電流都是電路中各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)，在該處產(chǎn)生的電壓或電流的疊加。在應(yīng)用疊加定理考慮某個(gè)電源的單獨(dú)作用時(shí)，應(yīng)保持電路結(jié)構(gòu)不變，將電路中的其他獨(dú)立電源視為零值，亦即電壓源短路，電動(dòng)勢(shì)為零；電流源開(kāi)路，電流為零。

下面以圖2-8中的U1、I2的求解為例，來(lái)說(shuō)明疊加定理。圖2-8疊加定律在圖2-8(a)所示的電路中共有兩個(gè)電源，先考慮電壓源單獨(dú)作用，電流源“置零”視為斷路，可得電壓源單獨(dú)作用時(shí)的電路，如圖2-8(b)所示，由圖2-8(b)可知再考慮電流源單獨(dú)作用，電壓源“置零”視為短路，可得電流源單獨(dú)作用時(shí)的電路圖，如圖2-8(c)所示，由圖2-8(c)可知

根據(jù)疊加定律得使用疊加定理時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

(1)疊加定理只適用于線性電路的分析計(jì)算。

(2)不能用疊加定理來(lái)直接分析計(jì)算功率。

(3)疊加時(shí)，應(yīng)根據(jù)電流和電壓的參考方向確定各量前面的正、負(fù)號(hào)。當(dāng)分電壓和分電流的參考方向與原電路一致時(shí)取正號(hào)，不一致時(shí)取負(fù)號(hào)。

例2-5在圖2-9(a)所示電路中，US1=12V，US2=6V，R1=R3=R4=510Ω，R2=1kΩ，R5=330Ω，應(yīng)用疊加定理求解電路中的電流I3。圖2-9例2-5圖

解

(1)當(dāng)電壓源US1單獨(dú)作用時(shí)，電路圖如圖2-9(b)所示。根據(jù)電路中各元件的串并聯(lián)關(guān)系可得：

由分流公式可得：

(2)當(dāng)電壓源US2單獨(dú)作用時(shí)，電路如圖2-9(c)所示，可得

(3)電壓源US1和US2共同作用時(shí)，

2.5戴維南定理

首先，我們分析圖2-10(a)所示電路，經(jīng)計(jì)算可知，I1=I2=0.2A，Uab=18V。當(dāng)分別用18V的電壓源和0.2A的電流源代替圖中20V與10Ω電阻的串聯(lián)支路時(shí)，如圖2-10(b)、(c)所示，電路中的電流I1、I3沒(méi)有發(fā)生變化。

因此，我們可得到：當(dāng)電路中某條支路的電壓U或電流I已知時(shí)，那么此支路就可以用電壓為U的電壓源或電流為I的電流源來(lái)代替，代替后電路中的所有電壓和電流均保持不變，這就是替代定理。圖2-10替代定理說(shuō)明圖2.5.1戴維南定理概述

在分析一些復(fù)雜電路時(shí)，有時(shí)僅僅要分析某一條支路上的電壓或電流。若用前面的支路電流法、網(wǎng)孔分析法等方法來(lái)分析的話，必然要引出一些不必要的物理量，而戴維南定理在解決這方面的問(wèn)題上具有獨(dú)特的優(yōu)越性。

在圖2-11(a)所示電路中，a、b兩端的左邊是任意一個(gè)線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，右邊是一個(gè)二端元件。設(shè)端口處的電壓、電流為U、I。根據(jù)替代定理，將二端元件用電流為I的電流源代替，如圖2-11(b)所示。圖2-11戴維南定理說(shuō)明圖對(duì)圖2-11(b)應(yīng)用疊加定理，當(dāng)電流源IS不作用，而有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的全部獨(dú)立電源作用時(shí)，如圖2-11(c)所示，有

I′=0,

U′=UOC

當(dāng)有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的全部獨(dú)立電源不作用，而電流源IS單獨(dú)作用時(shí)，如圖2-11(d)所示，有

I″=I,

U″=－RiI″=－RiI

將圖2-11(c)和圖2-11(d)疊加，得上式即為有源二端網(wǎng)絡(luò)端口處電壓和電流應(yīng)滿足的關(guān)系。圖2-11(e)所示電壓源和電阻串聯(lián)組合的電壓電流關(guān)系與上式完全相同。所以圖(a)中的二端網(wǎng)絡(luò)可以用圖(e)中的等效串聯(lián)組合置換。此即戴維南定理。

戴維南定理可表述如下：任何一個(gè)含獨(dú)立源的線性二端電阻網(wǎng)絡(luò)，對(duì)其外部而言，都可以用一個(gè)理想電壓源與電阻的串聯(lián)組合來(lái)替代。其中，理想電壓源的電壓等于二端網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路電壓UOC，電阻等于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部所有獨(dú)立源置零后網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Ri。

例2-6已知R1=5Ω，R2=R3=10Ω，US=60V，IS=15A。用戴維南定理求圖2-12(a)中的電流I2。圖2-12例2-6圖(一)

解

(1)將圖2-12(a)所示電路中的電阻R2支路移去，余下的電路為有源二端網(wǎng)絡(luò)，如圖2-11(b)所示。計(jì)算該有源二端網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路電壓，即

(2)將圖2-12(b)所示有源二端網(wǎng)絡(luò)中的獨(dú)立源置零(即電壓源短路，電流源開(kāi)路)，如圖2-12(c)所示。計(jì)算網(wǎng)絡(luò)等效電阻，即

(3)用戴維南等效電路代替圖2-12(b)所示有源二端網(wǎng)絡(luò)，并加上去掉的支路，如圖2-12(d)所示。

這樣，通過(guò)電阻R2的電流

如圖2-13所示為另一種求戴維南等效電阻的方法。求出給定有源二端網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路電壓UOC和短路電流ISC。按圖可求出(2-11)圖2-13例2-6圖(二)2.5.2最大功率傳輸

對(duì)于線性含源二端網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)在網(wǎng)絡(luò)兩端接上不同的負(fù)載之后，負(fù)載獲得的功率不同，下面我們討論一下負(fù)載為多大時(shí)，能獲得最大功率，獲得的最大功率值是多少？

設(shè)電阻RL所接網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路電壓為US，除源后的等效電阻為R0。