2022-2023學年湖北省武漢市5G聯(lián)合體高一上學期期末考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市5G聯(lián)合體2022-2023學年高一上學期期末考試數(shù)學試卷一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，所以.故選：A.2.“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】因為命題“，”是存在量詞命題，所以其否定是全稱量詞命題即，.故選：D.3.將函數(shù)的圖象平移后所得的圖象對應的函數(shù)為，則進行的平移是（）A向右平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向左平移個單位【答案】B【解析】因為，所以將的圖象向左平移個單位可得到的圖象，而把的圖象向左平移后的圖象對應的函數(shù)為，不合題意；把的圖象向右平移后的圖象對應的函數(shù)為，不合題意.故選：B.4.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休”.在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.下面的圖象對應的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由圖象可知，函數(shù)的定義域為，因為的定義域為，所以排除C；因為的定義域為，所以排除D；因為當時，，所以排除A.故選：B.5.設，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由對數(shù)函數(shù)單調性可知：，由指數(shù)函數(shù)單調性可知：，由冪函數(shù)單調性可知：，所以.故選：D.6.“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，若，此時的定義域為，則不是定義域的子集，所以無法推出函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；當函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，且定義域為，因為二次函數(shù)只可能在上單調遞增，不可能在上單調遞減，故只需滿足，解得，此時可以推出，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的必要不充分條件.故選：C.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于點對稱 B.為奇函數(shù)C.在區(qū)間上單調遞增 D.的圖象關于直線對稱【答案】D【解析】由題可知，又因，所以，則，，則，，所以，，由于，所以，所以，則，對A：，故A錯誤；對B：為偶函數(shù)，故B錯誤；對C：，則，函數(shù)不具有單調性，故C錯誤；對D：當時，，則是函數(shù)的一個對稱軸，故D正確.故選：D.8.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當時，．若函數(shù)在區(qū)間上有9個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】A【解析】因為，所以，又因為為R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以是周期為的周期函數(shù)，在上的零點個數(shù)函數(shù)圖象在上的交點個數(shù)，且是最小正周期為的周期函數(shù)，而，在同一平面直角坐標系中作出的圖象，如下圖所示：因為，且，由圖象可知：當時，的圖象共有個交點，且第個交點的橫坐標為，又因為，，所以，所以第個交點的橫坐標為，所以的取值范圍是，故選：A.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.下列說法正確的是（）A.是第二象限角B.C.已知角α的終邊過點，則D.已知扇形弧長為2，圓心角為60°，則該扇形的面積為【答案】BCD【解析】對于A：是第三象限角，A錯誤；對于B：，B正確；對于C：已知角α的終邊過點，則，C正確；對于D：根據(jù)條件該扇形的面積為，D正確.故選：BCD.10.已知，且，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A：因為，，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，故A正確；對于B：因為，當且僅當時取等號，故B錯誤；對于C：因，當且僅當時取等號，故C正確；對于D：因為，所以，當且僅當，即時取等號，故D正確.故選：ACD.11.計算下列各式的值，其結果為2的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A：，A正確；對于B：，B錯誤；對于C：，C正確；對于D：，D錯誤.故選：AC.12.已知函數(shù)，若關于x的方程有四個不同的根，它們從小到大依次記為，則（）A. B.C. D.函數(shù)有6個零點【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象如下：對于A：關于x的方程有四個不同的根，即函數(shù)與的圖象有4個交點，由圖象可得，A錯誤；對于B：由圖可知，解得，B正確；對于C：由圖象知，所以，且，所以，又由，所以，C錯誤；對于D：對于函數(shù)函數(shù)，令，則，可得，當時，由圖可得，有個根，當時，由圖可得，有個根，當時，由圖可得，有個根，當時，由圖可得，有個根，綜合得函數(shù)有個零點，D錯誤.故選：B.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知函數(shù)，則的值是____________.【答案】【解析】因為，所以，所以.故答案為：.14.已知，則__________.【答案】【解析】因為，所以.故答案為：.15.若函數(shù)的最大值為，則常數(shù)φ的值為______．【答案】【解析】，其中，又函數(shù)的最大值為，所以，整理得，又，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)與的零點分別為和，若存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍是______．（是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】【解析】對于函數(shù)，明顯函數(shù)在定義域上單調遞增，在定義域上單調遞減，所以函數(shù)在定義域上單調遞增，又，所以，所以，即，即函數(shù)在上存在零點，令，得，令，對于函數(shù)，由對勾函數(shù)的性質可得其在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以的值域為，所以.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（1）計算：；（2）若，求的值.解：（1）原式.（2），，.18.已知函數(shù)．（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷函數(shù)在定義域上的單調性，并用單調性的定義證明．解：（1）為奇函數(shù)，證明：因為，所以，所以，所以的定義域為且關于原點對稱，又因為，所以為奇函數(shù).（2）在上單調遞減，證明：且，，因為，所以，且，所以，所以，所以，所以在上單調遞減.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）當時，已知的最大值為1，求使成立時自變量x的集合．解：（1）由題意知，當，，即，，單調遞增，所以的單調遞增區(qū)間為.（2）當，，則，所以，解得，所以，由，即，所以，解得，所以使成立時自變量的集合為.20.我們知道：設函數(shù)的定義域為D，那么“函數(shù)的圖象關于原點成中心對稱圖形”的充要條件是“，”．有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：設函數(shù)的定義域為D，那么“函數(shù)的圖象關于點(m，n)成中心對稱圖形”的充要條件是“，”已知．（1）利用上述結論，證明：的圖象關于點成中心對稱圖形；（2）判斷的單調性（無需證明），并解關于x的不等式．解：（1）的定義域為，且，根據(jù)條件可得的圖象關于點成中心對稱圖形.（2），當越大，會導致為正數(shù)，且越大，從而會越小，所以在上單調遞減，由得，所以由在上單調遞減可得，即，即，當，即時，不等式的解為或，當，即時，不等式的解為或，當，即時，不等式的解為，綜上所述：當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為.21.如圖，某公園摩天輪的半徑為，圓心距地面的高度為，摩天輪做勻速轉動，每轉一圈，摩天輪上的點的起始位置在最低點處．（1）已知在時刻（單位：）時點P距離地面的高度（其中，，），求函數(shù)解析式及時點P距離地面的高度；（2）當點P距離地面及以上時，可以看到公園的全貌，若游客可以在上面游玩，則游客在游玩過程中共有多少時間可以看到公園的全貌？解：（1）由題意可知：，所以，又，得到，即，又摩天輪上的點的起始位置在最低點處，即，所以，即，又，所以，故，當時，，所以時點P距離地面的高度為85.（2）因為從最低處開始到達高度為剛好能看著全貌，經(jīng)過最高點再下降至時又能看著全貌，每個游客可游玩三個周期，由（1）知，得到，即，得到，所以在每個周期內，，又，所以，游客在游玩過程中共有可以看到公園的全貌.22.已知函數(shù)為偶函數(shù)，.（1）求實數(shù)k的值；（2）若，，使得恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）的定義域為，因為為偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又因為不恒為，所以，即.（2）因為，令，當時，，且在上單調遞增，由對勾函數(shù)性質可知在上單調遞增，所以在上單調遞增，所以在上單調遞增，又因為為偶函數(shù)，所以在上單調遞減，所以；又因為，，使得恒成立，且，所以對恒成立，令，所以對恒成立，所以，又因為在上單調遞減，所以，即.湖北省武漢市5G聯(lián)合體2022-2023學年高一上學期期末考試數(shù)學試卷一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，所以.故選：A.2.“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】因為命題“，”是存在量詞命題，所以其否定是全稱量詞命題即，.故選：D.3.將函數(shù)的圖象平移后所得的圖象對應的函數(shù)為，則進行的平移是（）A向右平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向左平移個單位【答案】B【解析】因為，所以將的圖象向左平移個單位可得到的圖象，而把的圖象向左平移后的圖象對應的函數(shù)為，不合題意；把的圖象向右平移后的圖象對應的函數(shù)為，不合題意.故選：B.4.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休”.在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.下面的圖象對應的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由圖象可知，函數(shù)的定義域為，因為的定義域為，所以排除C；因為的定義域為，所以排除D；因為當時，，所以排除A.故選：B.5.設，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由對數(shù)函數(shù)單調性可知：，由指數(shù)函數(shù)單調性可知：，由冪函數(shù)單調性可知：，所以.故選：D.6.“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，若，此時的定義域為，則不是定義域的子集，所以無法推出函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；當函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，且定義域為，因為二次函數(shù)只可能在上單調遞增，不可能在上單調遞減，故只需滿足，解得，此時可以推出，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調遞增”的必要不充分條件.故選：C.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于點對稱 B.為奇函數(shù)C.在區(qū)間上單調遞增 D.的圖象關于直線對稱【答案】D【解析】由題可知，又因，所以，則，，則，，所以，，由于，所以，所以，則，對A：，故A錯誤；對B：為偶函數(shù)，故B錯誤；對C：，則，函數(shù)不具有單調性，故C錯誤；對D：當時，，則是函數(shù)的一個對稱軸，故D正確.故選：D.8.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當時，．若函數(shù)在區(qū)間上有9個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】A【解析】因為，所以，又因為為R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以是周期為的周期函數(shù)，在上的零點個數(shù)函數(shù)圖象在上的交點個數(shù)，且是最小正周期為的周期函數(shù)，而，在同一平面直角坐標系中作出的圖象，如下圖所示：因為，且，由圖象可知：當時，的圖象共有個交點，且第個交點的橫坐標為，又因為，，所以，所以第個交點的橫坐標為，所以的取值范圍是，故選：A.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.下列說法正確的是（）A.是第二象限角B.C.已知角α的終邊過點，則D.已知扇形弧長為2，圓心角為60°，則該扇形的面積為【答案】BCD【解析】對于A：是第三象限角，A錯誤；對于B：，B正確；對于C：已知角α的終邊過點，則，C正確；對于D：根據(jù)條件該扇形的面積為，D正確.故選：BCD.10.已知，且，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A：因為，，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，故A正確；對于B：因為，當且僅當時取等號，故B錯誤；對于C：因，當且僅當時取等號，故C正確；對于D：因為，所以，當且僅當，即時取等號，故D正確.故選：ACD.11.計算下列各式的值，其結果為2的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A：，A正確；對于B：，B錯誤；對于C：，C正確；對于D：，D錯誤.故選：AC.12.已知函數(shù)，若關于x的方程有四個不同的根，它們從小到大依次記為，則（）A. B.C. D.函數(shù)有6個零點【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象如下：對于A：關于x的方程有四個不同的根，即函數(shù)與的圖象有4個交點，由圖象可得，A錯誤；對于B：由圖可知，解得，B正確；對于C：由圖象知，所以，且，所以，又由，所以，C錯誤；對于D：對于函數(shù)函數(shù)，令，則，可得，當時，由圖可得，有個根，當時，由圖可得，有個根，當時，由圖可得，有個根，當時，由圖可得，有個根，綜合得函數(shù)有個零點，D錯誤.故選：B.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知函數(shù)，則的值是____________.【答案】【解析】因為，所以，所以.故答案為：.14.已知，則__________.【答案】【解析】因為，所以.故答案為：.15.若函數(shù)的最大值為，則常數(shù)φ的值為______．【答案】【解析】，其中，又函數(shù)的最大值為，所以，整理得，又，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)與的零點分別為和，若存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍是______．（是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】【解析】對于函數(shù)，明顯函數(shù)在定義域上單調遞增，在定義域上單調遞減，所以函數(shù)在定義域上單調遞增，又，所以，所以，即，即函數(shù)在上存在零點，令，得，令，對于函數(shù)，由對勾函數(shù)的性質可得其在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以的值域為，所以.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（1）計算：；（2）若，求的值.解：（1）原式.（2），，.18.已知函數(shù)．（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷函數(shù)在定義域上的單調性，并用單調性的定義證明．解：（1）為奇函數(shù)，證明：因為，所以，所以，所以的定義域為且關于原點對稱，又因為，所以為奇函數(shù).（2）在上單調遞減，證明：且，，因為，所以，且，所以，所以，所以，所以在上單調遞減.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）當時，已知的最大值為1，求使成立時自變量x的集合．解：（1）由題意知，當，，即，，單調遞增，所以的單調遞增區(qū)間為.（2）當，，則，所以，解得，所以，由，即，所以，解得，所以使成立時自變量的集合為.20.我們知道：設函數(shù)的定義域為D，那么“函數(shù)的圖象關于原點成中心對稱圖形”的充要條件是“，”．有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：設函數(shù)的定義域為D，那么“函數(shù)的圖象關于點(m，n)成中心對稱圖形”的充要條件是“，”已知．（1）利用上述結論，證明：的圖象關于點成中心對稱圖形；（2）判斷的單調性（無需證明），并解關于x的不等式．解