G單元立體幾何

G單元立體幾何

目錄

G單元立體幾何...................................................................1

G1空間幾何體的結(jié)構(gòu)...........................................................1

G2空間幾何體的三視圖和直觀圖.................................................5

G3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線..............................................13

G4空間中的平行關(guān)系..........................................................15

G5空間中的垂直關(guān)系..........................................................30

G6三垂線定理................................................................51

G7棱柱與棱錐.................................................................51

G8多面體與球................................................................56

G9空間向量及運(yùn)算.............................................................59

G10空間向量解決線面位置關(guān)系.................................................60

G11空間角與距離的求法........................................................62

G12單元綜合..................................................................80

G1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆貴州省貴陽市普通高中高三8月摸底考試（201408）118.（本小題滿

分12分）

在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O,底面ABCD,F

為BE的中點.（1）求證：DE平面ACF；

（2）若CE=1,AB=Ji，求三棱錐E-ACF的體積.

【知識點】空間中的位置關(guān)系；體積求法.G1G4G5

【答案解析】（1）略；（2）」解析：（1）證明如下：連接OF.

6

E

由四邊形ABCD是正方形可知，點O為BD中點.

又F為BE中點，所以。9DE.

又OFu平面ACF,DE（Z平面ACF,

所以DE平面ACF.-------------6分

（2）因為在AE8C中，8C_LCE,尸為的中點，CE=1,BC=J5

所以S&CEF=2^ABC￡=于3乂6乂1="

又因為底面ABCD是正方形，￡C_L底面ABCD

所以48，BC,AB±CE,BCC\CE=C

所以AB_L平面BCE

所以三棱錐E-ACF的體積/ACF=VAC￡F=-xS^CEFxAB=-x—xy/2=---12

334o

【思路點撥】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，需要在平面ACF中找到直線與直線DE平行,

為此連接OF即可；（2）等體積轉(zhuǎn)化//CF=匕CEF=』XSACEFX48=1XLSx4B

th-A—Villi'332ZyDUxl

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆貴州省貴陽市普通高中高三8月摸底考試（201408）［16.一個幾何體

的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積與其外接球的表面積之比為.

【知識點】空間幾何體的三視圖；幾何體的表面積.G1G2

【答案解析】上解析：該幾何體是邊長為1的正八面體，其表面積為

71

8x—乂1、1義5也60°=26，其外接球的半徑為匚，故外接球表面積為4萬—=2萬，

222

所以所求比值為V義3.

【思路點撥】由三視圖得該幾何體是邊長為1的正八面體，從而求得其表面積及其外接球的

表面積，進(jìn)一步求出所求比值.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆廣東省深圳市高三上學(xué)期第一次五校聯(lián)考（201409）118.（本小題滿

分13分）

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知/2=45°,/。=90°,/4。。=105°,/8=3￡>,

現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABDL平面BDC（如圖乙），設(shè)點E、F分別為棱

AC、AD的中點.

（I）求證：DC平面ABC；

（2）設(shè)CD=a,求三棱錐A—BFE的體積.

【知識點】空間位置關(guān)系的判定與性質(zhì)；

幾何體體積的計算.G1G4G5

V3a

【答案解析】（1）略；（2）—a3

解析：（1）證明：在圖甲中，?.?■=1?）且一二彳*

，乙ADB=4竽Z^C=9ir即山_LED....................1分

又在圖乙中，：平面ABDJ■平面BDC,且平面ABD（1平面BDC=BD

；.AB_L底面BDC,AABXCD.........................................3分

\^.DCB=VT,.-.DC±BC.........................................4分

又由.門仇7=6.................................5分

.?.DCJ-平面ABC.......................................6分

（2）?.?點E、F分別為AC、AD的中點；.EF〃CD........................7分

又由（1）知，DC，平面ABC

；.EFJ_平面ABC.........................................8分

于是EF即為三棱錐的高，

■.雨

；?3..........9分

在圖甲中，?.4DC=IO￡,,,ZBDC=Cff^.DBC=3V

BF=-CD=-a

由CD=a得6。=2a,BC=E,22................11分

S^=-ABBC=-2aJ3a=j3d*=

22.?.202..........12分

—32212.....................13分

（若有其他解法，可視情況酌情給分）

【思路點撥】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，只需在平面ABC中找到兩條相交直線都與直

線DC垂直即可，顯然平面ABC中的兩條相交直線是BC和BA；（2）;?點E、F分別為

AC、AD的中點，/.EF//CD,又由（1）知，DC，平面ABC,/.EFXiFABC,

=3

^A-BEFVF_ABE=—VD-ABc=~-x-^—xABxBCxCD=--x2ax43axa=—^-a.

G2空間幾何體的三視圖和直觀圖

【數(shù)學(xué)(理)卷*2015屆黑龍江省大慶市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(201409)】(7)

一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的

體積為

(A)—(B)———■

66

?(8+2)』⑴)"+2》)「

66

【知識點】三視圖G2

【答案解析】B解析：由三視圖可知該幾何體左邊為半個圓錐，

右邊為底面是正方形的四棱錐，所以其體積為

1-1國11c，/T+85/3E”不

一xyrxrxJ3x—+—x2~xJ3=----------，則選B.

3236

【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積的關(guān)鍵是正確分析原幾何體的特征.

【數(shù)學(xué)(文)卷?2015屆黑龍江省大慶市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(201409)】4.

某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

A.6B.2A/3C.3D.3>/3

【知識點】三視圖G2

【答案解析】D解析：由三視圖可知該幾何體為一個倒放的正三棱柱，所以其體積為

-x2xV3x3=3V3,貼D.

2

【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是由三視圖正確分析幾何體的特征.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆貴州省貴陽市普通高中高三8月摸底考試(201408)[15、某幾何體的

三視圖如右圖(其中側(cè)視圖中的圓弧是半圓)，則該幾何體的體積為

【知識點】二視圖.G2

【答案解析】80+10〃解析：解：由三視圖知：幾何體是一半圓柱與長方體的組合體，

長方體的長、寬、高分別為5、4、4；半圓柱的高為5,底面半徑為2,

幾何體的底面積為：底面周長為：4X3+JIX2=12+2IT,

.??幾何體的表面積S=2X（16+2）+5X（12+2無）=92+14n.幾何體的體積V=5義（16+2

n）=80+10Ji.

【思路點撥】根據(jù)題意求出幾何體的數(shù)值，由于是組合體所以要分開計算.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考（201409）】7.已知一個

幾何體的三視圖及有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，

則該幾何體的體積為（）

A.2V3B.

3

C.A/3

【知識點】由三視圖求面積、體積.G2

【答案解析】B解析：由該幾何體的

三視圖可以借用長方體將其還原

為直觀圖如右所示,（由簡到繁），由俯視圖”側(cè)視圖f正視圖-直

其為四棱錐尸-々CD,所以vP_ABCD=1^BCDxe=羋，選B.LfitrF0

【思路點撥】幾何體是四棱錐，結(jié)合其直觀圖，利用四棱錐的一個側(cè)面與底面垂直，作四棱

錐的高線，求出棱錐的高，代入棱錐的體積公式計算.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆湖南省師大附中高三第一次月考（201409）］8.一個四面體的三視圖

如圖所示，則該四面體的表面積為（）

【知識點】三視圖.G2

【答案解析】D解析：如圖所示，四面體為棱長為2的正四面體,

【思路點撥】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為正方體內(nèi)的正四面體，可知其棱長再求面積即可.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆浙江省紹興一中高三上學(xué)期回頭考試（201409）】3.已知某四棱錐的

三視圖（單位：cm）如圖所示，則該四棱錐的體積是（）

A863G3

A.-----cmBR.—cm

33

4G3

Cr.-----cmD.43cm3

3

【知識點】三視圖，棱錐體積G2G7

【答案解析】A解析：由三視圖可知該四棱錐的底面是長和寬分別為4,2的矩形，高為

所以其體積為:x4x2xK=里，所以選A.

33

【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積，應(yīng)先由三視圖分析原幾何體的特征（注意物體的位

置的放置與三視圖的關(guān)系），再利用三視圖與原幾何體的數(shù)據(jù)對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行解答.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆浙江省嘉興市高三上學(xué)期學(xué)科基礎(chǔ)測試(201409)】14.若某空間幾何

體的三視圖如圖所示，

則該幾何體的體積是:

【知識點】空間幾何體的三視圖.G2

【答案解析】32解析：由三視圖可知：此幾何體是四棱錐，其底面是鄰邊長分別為6,4的

矩形，且棱錐高為4,所以該幾何體的體積是,x6x4x4=32.

3

【思路點撥】先由三視圖獲得此幾何體的結(jié)構(gòu)，底面特點，棱的特點，然后求此幾何體的體

積.

物視圖

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆廣西桂林中學(xué)高三8月月考(201408)】18.(本小題滿分為12分)已

知四棱錐P—ABCD及其三視圖如下圖所示，E是側(cè)棱PC上的動點。

(I)求四棱錐P—ABCD的體積；

(II)不論點E在何位置，是否都有BDLAE?試證明你的結(jié)論；

(III)若點E為PC的中點，求二面角D—AE—B的大小。

俯視因

【知識點】三視圖；線面垂直的性質(zhì)定理；二面角.G2G5

2

【答案解析】(I)-(II)見解析(III)120。

3

解析：(I)由三視圖知PC上面ABCD,ABCD為正方形，且PC=2,AB=BC=1,

[12

VP-ABCD=ySABCDxPC=yxl2x2=j4分

(II)VPC±?ABCD,BDu面ABCD；.PCJ_BD,而BDJ_AC,ACAAE=A,ABDlffiACE,

而AEu面ACEABDXAE-----------------7分

an)法一：連接AC,交BD于0.由對稱性，二面角D-AE-B是二面角0-AE-B的2倍，設(shè)。

為二面角0-AE-B的平面角.注意到B在面ACE上的射影為0

SS

AAOE=yAACE=3：*及=字,SAABE=yABxBE=^y-,；.COS?=\AAOE=:,

9=60°...二面角D-AE-B是120°-------------12分

法二：以C為坐標(biāo)原點，CD所在直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系

則D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),

從而DE=(T,0,1),DA=(0,1,0),BA=(1,0,0),BE=(0,-1,1)

設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為1=(xi,yi,zO,石=(x2,y2,z2)

貝ij—xi+zi=0,yi=0,X2=0,-y2+zz=0令zi=l,zz=T,

則ni=((1,0,1),n2=(0,T,-1)

設(shè)二面角D-AE-B的平面角為9,則|cos。=1t3=-.

HH

二面角D-AE-B為鈍二面角.二面角D-AE-B是120°---------12分

俯視因

【思路點撥】本試題主要考查了立體幾何中的線面的垂直，以及二面角的求解的綜合運(yùn)用。

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆廣東省廣州市第六中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(201409)(1)]5.

若某三棱柱截去一個三棱錐后所剩幾何體的三視圖如右圖所示，則此幾何體的體積等于

()

A.30B.12C.24D.4

【知識點】三視圖G2

【答案解析】C解析：由三視圖知幾何體是底面為邊長為3,4,5的三角形，高為5的三

棱柱被平面截得的，如圖所示，所以幾何體的體積為Ix3x4x5--xix3x4x3=24,

232

所以選C.

【思路點撥】本題考查三視圖的識別以及多面體的體積問題.根據(jù)三視圖得出幾何體的形狀

及長度關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

【數(shù)學(xué)理卷?2014屆河南省實驗中學(xué)高三第三次模擬考試(201405)】15.如圖所示是一

個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為.

【知識點】由三視圖求面積、體積.G2

【答案解析】8+2兀解析：該幾何體由一個長方體和兩個半圓柱構(gòu)成，

則圓柱的體積為Vi=Tixl2x2=2n,

長方體的體積為V2=1X4X2=8,

則該幾何體的體積為V=VI+V2=8+2TT,

故答案為8+2l

【思路點撥】該幾何體由一個長方體和兩個半圓柱構(gòu)成，代入求解.

【數(shù)學(xué)理卷?2014屆河南省實驗中學(xué)高三第三次模擬考試(201405)】4.如圖，網(wǎng)格紙上的

正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為()

(A)30(B)50(C)75(D)150

【知識點】由三視圖求面積、體積.G2

【答案解析】B解析：該幾何體是四棱錐，

其底面面積S=5x6=30,高h(yuǎn)=5,

則其體積V」XSxh」X30x5=50.故選B.

33

【思路點撥】由三視圖可知：該幾何體是四棱錐.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆浙江省紹興一中高三上學(xué)期回頭考試(201409)】3.已知某四棱錐的

三視圖(單位：cm)如圖所示，則該四棱錐的體積是()

8733V33

A.cmB.—cm

33

「4G3

C.------cmD.\l3cm3

3

【知識點】三視圖,棱錐體積G2G7

【答案解析】A解析：由三視圖可知該四棱錐的底面是長和寬分別為4,2的矩形，高為G,

所以其體積為工義4義2義6=迪，所以選A.

33

【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積，應(yīng)先由三視圖分析原幾何體的特征（注意物體的位

置的放置與三視圖的關(guān)系），再利用三視圖與原幾何體的數(shù)據(jù)對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行解答.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆浙江省嘉興市高三上學(xué)期學(xué)科基礎(chǔ)測試（201409）［14.若某空間幾何

體的三視圖如圖所示，

則該幾何體的體積是:

【知識點】空間幾何體的三視圖.G2

【答案解析】32解析：由三視圖可知：此幾何體是四棱錐，其底面是鄰邊長分別為6,4的

矩形，且棱錐高為4,所以該幾何體的體積是,x6x4x4=32.

3

【思路點撥】先由三視圖獲得此幾何體的結(jié)構(gòu)，底面特點，棱的特點，然后求此幾何體的體

積.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆廣西桂林中學(xué)高三8月月考（201408）】13.一個幾何體的三視圖如圖

所示（單位長度：cm）,

則此幾何體的表面積是.

【知識點】由三視圖求面積、體積.G2

【答案解析】（20+40）cm?解析：三視圖復(fù)原的組合體是下部是棱長為2的正方體，

上部是底面邊長為2的正方形，高為1的四棱錐，

組合體的表面積為：5X2X2+4XAX2X72=（20+4揚(yáng)cm

故答案為：（20+4＞次）cm2

【思路點撥】三視圖復(fù)原的組合體是下部是正方體，上部是四棱錐，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)，求出

表面積即可.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆廣東省深圳市高三上學(xué)期第一次五校聯(lián)考（201409）［12.一個幾何體

的三視圖如圖，

則該幾何體的體積為.

【知識點】幾何體的三視圖.G2

【答案解析】6〃解析：由三視圖可知此幾何體

是底面半徑為2,高為3的半圓柱，所以其體積為

—X^-X22X3=6^.

2

【思路點撥】由幾何體的三視圖得該幾何體的形狀，從而求該幾何體的體積.

【數(shù)學(xué)文卷”O(jiān)IS屆天津一中高三上學(xué)期零月月考（201409）】10.某幾何體的三視圖如圖所

示，則該幾何體的體積為.

【知識點】三視圖的意義.G2

【答案解析】108+3〃解析：該幾何體的體積=2x6x6xl.5+萬X12X3=108+3〃.

【思路點撥】由三視圖可知該幾何體是由兩個底面邊長是6,高是1.5的正四棱柱，和一個

底面半徑是1,高是3的圓柱組成的幾何體.

【數(shù)學(xué)文卷?2014屆河南省實驗中學(xué)高三第三次模擬考試（201405）】14.右圖為某幾何體的

三視圖，則該幾何體的體積為.

【知識點】由三視圖求面積、體積.G2

【答案解析】一夕解析：由三視圖知：幾何體是圓柱與士球體的組合體，

34

圓柱的高為1,圓柱底面圓的半徑與球的半徑都為1,

，幾何體的體積VFXFXI+L烏ixl3=9兀.

433

故答案為：”.

3

【思路點撥】幾何體是圓柱與』球體的組合體，根據(jù)三視圖判斷圓柱的高及圓柱的底面圓半

4

徑，判斷球的半徑，把數(shù)據(jù)代入圓柱與球的體積公式計算.

G3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆貴州省貴陽市普通高中高三8月摸底考試(201408)[18、如圖，在直

三棱柱ABC-44cl中,ABIBC,AB=BC=1,AA1=2,D,E分別是441,與。的中點.

A

(I)證明：DE//平面ABC；

(II)求二面角C-BQ-B的余弦值

【知識點】直線與平面的位置關(guān)系；二面角.G3,G4

【答案解析】解析：(D證明：如圖，E是用。的中點，取為BC的中點G,連接EG、AG、ED,

在BCB,中，

???BG=GC,BXE=ECEG/IBB,,且EG=|BB^AD//3月且AD=1BB1

:.EG11AD,EG=AD四邊形ADEF為平行四邊形，:.ED!/AG,又

ZGu平面ABC,DEa平面ABC,所以DE//平面ABC

(H)解：如圖，以B為原點，BC,BA,AS],分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-町，z

則3(0,0,0),c(l,0,0),/(0,1,0),耳(0,0,2),￡(1,0,2)4(0,1,2)0(0,1,1)???直三棱柱

ABC-A.B^.-.B.BVBC,455C,48cAs1=8，平面ABBQ,如圖，連

22

接BD,在BBQ中BD=B1D=2,BB1=2,:.BD+B1D=BB；,即BDJLBQ,BD是

CD在平面ABBQ內(nèi)的射影，

:.CD±BQNCQ8為二面角C-B1D-B的平面角vDC=(1,-1,-1),D5=(0,-1,-1)

cosNCDB=匕,竺=—,所以二面角C-B.D-B的余弦值為—

|DC|-|D5|33

【思路點撥】根據(jù)已知條件可判定直線與平面平行,再建立空間坐標(biāo)系求出二面角的余弦值.

G4空間中的平行關(guān)系

【數(shù)學(xué)（理）卷-2015屆黑龍江省大慶市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測（201409）】（19）

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-4BCD中，4BCD為平行四邊形，且

平面「48,PALAB,〃■為尸8的中點，PA=AD=2.

（T）求證：PD〃平面AMC；

（II）若48=1,求二面角8—ZC—M的余弦值.

【知識點】直線與平面平行、二面角G4G11

【答案解析】（I）略（II）—

6

解析：（I）證明：連接8。，設(shè)8。與ZC相交于點。，連接。

因為四邊形4SCD為平行四邊形，所以點。為8。的中點，

又因為"為08的中點，所以0M為AP8D的中位線，

所以〃尸。，.........3分

又因為。河u平面ZMC,W平面

所以尸?！ㄆ矫?...6分

為8CL平面

PAB,AD//

8C,所以40,

PAB,

又因為

PA1AB,所以48,40,4?兩兩垂直，

故可以建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），.........8分

則N（0,0,0）,8（1,0,0）,￡＞（0,2,0）,C（l,2,0）,P（0,0,2）,

所以羽=（1刀,0）,AC=（1,2,0）,而=

因為PZ，平面4BCD,故平面ABC的一個法向量為4P=（0,0,2）,

_/、\n-AC=O,+2%=0

設(shè)平面的法向量為〃=(xi，%,zj,貝1"______.即晨，

n-AM=0—+Z[=0

i12

令Z]=l,則項=一2,必=1,可取〃=（一2,1,1）,...........10分

H_AP?〃_2_V6

而COS<A.P>=?“-[zrr-/—，

H-H2X7（-2）2+12+126

故所求二面角8—ZC—M的余弦值為逅......12分.

6

【思路點撥】證明直線與平面平行一般利用直線與平面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為線線平行證明;

求二面角一般通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角解答.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆貴州省貴陽市普通高中高三8月摸底考試（201408）[18、如圖，在直

三棱柱ABC-481cl中，AB1BC,AB=BC=1,AA,=2,D,E分別是,耳。的中點.

（I）證明：DE//平面ABC；

（II）求二面角C-BXD-B的余弦值

【知識點】直線與平面的位置關(guān)系；二面角.G3,G4

【答案解析】解析：（I）證明：如圖，E是4c的中點，取為BC的中點G,連接EG、AG、ED,

在BCBX中，

?/BG=GC,BXE=ECEG/IBB,,且EG=1BBJC4D//5用且AD=|BB1

:.EG//AD,EG=AD四邊形ADEF為平行四邊形，:.ED//AG,又

ZGu平面ABC,DE<z平面ABC,所以。E//平面ABC

（H）解：如圖，以B為原點，BC,BA,84，分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-型

則8（0,0,0）,C（1,0,0）4（01,0）,耳（0,0,2）6（1，0,2）4（0,1,2）0（01,1）???直三棱柱

ABC-A.B.C?.-.B.BLBC,48，=8,8C，平面ABBQ,如圖，連

22

接BD,在BBQ中-??BD=B1D=2,BB1=2,.\BD+BXD=BB；,即80，BQ,BD是

CD在平面ABB.D內(nèi)的射影，

:.CD_LB[DNCQ8為二面角C-B1D-B的平面角vDC=（1,-1,-1）,DB=（0,-l,-1）

cosNCDB=1駕％=—,所以二面角C—BQ_B的余弦值為—

|DC|.|D5|33

【思路點撥】根據(jù)已知條件可判定直線與平面平行,再建立空間坐標(biāo)系求出二面角的余弦值.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考（201409）】18.（本小題

滿分12分）

直三棱柱ABC-48cl中,=5,/C=4,8C=3,

=4,點。在上.

（I）若。是48中點，求證:4G〃平面4cD;

Dr\i

(II)當(dāng)一刀=7時，求二面角B-CD-B.的余弦值.

AB3

【知識點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法.G4

G11

【答案解析】(I)見解析(II)當(dāng)

61

解析：(I)連接BG交&C于點E,連接DE,

因為直三棱柱中側(cè)面2CC4為矩形，所以

E為BC、的中點，又。是中點，

于是DE〃/q,且DEu面4。，ACiC平面BQD

所以/q〃平面4。；...................6分

(H)由AB=5,4C=4,3C=3,知ZXCB=90。,即、C_LCB,

又直三棱柱中AAX1面/8C,于是以C為原點建立空間

直角坐標(biāo)系C-砂z如右圖所示，于是3(3,0,0),男(3,0,4),

又坐=(，由平面幾何易知。(2,±0),

AB33

顯然平面8。的一個法向量為耳=(0,0,1),

又設(shè)平面gCD的一個法向量為%=(x,%z),則由

外,函=(3,0,4),[3x+4=0,

—.4，得'4八

n2±CZ)=(2,-,0),2x+飛y=0

、JI,

44

解得x=-]J=2,取z=1,則%=(―12,1)，設(shè)二面角B-CD-B.的平面角為0,

貝"c°s昨后察，又由圖知為銳角，

所以其余弦值為李

12分

61

【思路點撥】(I)通過作平行線，由線線平行證明線面平行；(II)建立空間直角坐標(biāo)系，求

得兩平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆浙江省紹興一中高三上學(xué)期回頭考試（201409）】4.設(shè)/，色〃表示三條

不同的直線，/夕表示兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若/〃加，mua,則/〃a；B.若I工mJ工n,m,〃ua,貝!!/_La；

C.若/〃a,I//（5,a[\p=m,貝1"〃加；D.若Iua,mu0,1Lm,則

【知識點】空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系G4G5

【答案解析】C解析：對于A,直線1還有可能在平面a內(nèi)，所以錯誤，對于B,若m〃n,

則直線1與平面a不一定垂直，所以錯誤，對于D,若lua,mu/3,l工m,兩面可以平行和

相交，不一定垂直，所以錯誤，則選C.

【思路點撥】判斷空間位置關(guān)系時，可用相關(guān)定理直接判斷，也可用反例排除判斷.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆浙江省嘉興市高三上學(xué)期學(xué)科基礎(chǔ)測試（201409）】7.對于空間的一

條直線m和兩個平面,下列命題中的真命題是

A.若ma,m夕，則/3B..若ma,m民則

C.若能J_tz,a_1_/?,則a/3D.若加_1_生機(jī)_1_/?,則tz_1_

【知識點】空間中的平行關(guān)系；空間中的垂直關(guān)系.G4G5

【答案解析】C解析：若機(jī)a,m凡則平面見，可能平行可能相交，所以A,B是假命題；

顯然若機(jī)_Lar，m_1_夕,則tz，成立，故選C.

【思路點撥】根據(jù)線面平行的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)得結(jié)論.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆安徽省示范高中高三第一次聯(lián)考試題（201409）】⑷已知加，〃為不同

的直線，%，為不同的平面，則下列說法正確的是

k.mua,nIlm=n11a

B.ma,nLm=>nLa

C.mua,nu/3,mIln=>a11/3

D.nu/3,nLa=>a工0

【知識點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.G4G5

【答案解析】D解析：A選項可能有B選項也可能有“ua,c選項兩平面可能相

交，故選D.

【思路點撥】分別根據(jù)線面平行和線面垂直的性質(zhì)和定義進(jìn)行判斷即可.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆貴州省貴陽市普通高中高三8月摸底考試（201408）118.（本小題滿

分12分）

在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O,EC,底面ABCD,F

為BE的中點.（1）求證：DE平面ACF；

（2）若CE=1,AB=V^，求三棱錐E-ACF的體積.

【知識點】空間中的位置關(guān)系；體積求法.G1G4G5

【答案解析】（1）略；（2）!解析：（1）證明如下：連接OF.

由四邊形ABCD是正方形可知，點O為BD中點.

又F為BE中點，所以O(shè)EDE.

又OFu平面ACF,DE①平面ACF,

所以DE平面ACF.-------------6分

（2）因為在AEBC中，8CJ_CE，尸為的中點，CE=bBC=J2

所以SACEF=；X；X行xl=^

又因為底面ABCD是正方形，底面ABCD

所以AB±BC,AB±CE,BCHCE=C

所以AB_L平面BCE

所以三棱錐E-ACF的體積/=VA-CEF=—又S“EF義4B=—x-^—xV2=--------12分

3346

【思路點撥】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，需要在平面ACF中找到直線與直線DE平行,

為此連接。F即可；⑵等體積轉(zhuǎn)化％c-凈…日?卜…5

=3x2

346

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆貴州省貴陽市普通高中高三8月摸底考試（201408）［10.已知兩個平

面垂直，給出下列四個命題：

①一個平面內(nèi)的已知直線必垂直另一平面內(nèi)的任意一條直線.

②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直另一平面內(nèi)的無數(shù)條直線.

③一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直另一平面.

④在一個平面內(nèi)一定存在直線平行于另一平面.

其中正確命題的個數(shù)是

A.OB.lC.2D.3

【知識點】線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì).G4G5

【答案解析】C解析：①只有當(dāng)一個平面內(nèi)的這條已知直線垂直另一平面時，它才垂直另一

平面內(nèi)的任意一條直線，所以①是錯誤的；②一個平面內(nèi)的已知直線必與另一平面內(nèi)和兩平

面交線垂直的無數(shù)直線垂直，所以②正確；③只有一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線才垂

直于另一平面，所以③是錯誤的；④其中一個平面內(nèi)平行于兩平面交線的直線一定平行于另

一平面，所以④正確.故選C.

【思路點撥】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐一分析①②③④這四個命題的正誤.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆湖南省衡陽八中高三上學(xué)期第二次月考（201409）】18.（本小題滿分

1

A,RD□丁FP4per,

12分）如圖所示的多面體中，是菱形，二.是矩形，“面/八一）

八、4T平面8c尸/，立面.

（1）求證：

“、.廳￡=80=小求四桂母1n八""也”

【知識點】空間平行關(guān)系的證明；幾何體的體積.G4G5G1

「ABC^

【答案解析】⑴略；（2）立解析：證明：（1）由是菱形

6

?.BC//"小

面f「而.；「BC!際.八

------3分

由BDE”是矩形二BF/

BF（X面NOE,八"「而//尸"）,

BCu面8。尸，￡尸二巴"口”cp”一

平面8。尸/，五而八

??----------------6分

(2)連接4T,AC

由是菱形，\AC1D>

^ED'ABCL>4Cu在"小u；￡?！挂?/p>

由面，

---ED,BDu面"八cn八」./o1D

則N「為四棱錐4—的高

4R「八AJnn

由''是菱形，/B人八->則“,為等邊三角形,

12V37-

1/——-r*

V

A-BDEF-3-4-------------------13分

【思路點撥】⑴只需證明平面BCF中兩條相交直線BC、BF都與平面AED平行即可；

（2）易證四棱錐的高是菱形ABCD對角線AC的一半，而底面是正方形BDEF,由此得出四棱

錐A-BDEF的體積.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆湖南省師大附中高三第一次月考（201409）】5.已知a,6為兩條直線,

a,2為兩個平面，下列命題中正確的是（）

A.若a〃6,p//b,貝ija〃夕B.若a"a,a//b,貝

C.若a_La,b邛,貝Ua〃夕D.若aJLa,a邛,則a〃夕

【知識點】空間中線線、線面間的位置關(guān)系.G4G5

【答案解析】D解析：對于A：若a〃b,p〃b,則a〃P或相交，故A錯誤；

對于B：若alla；a//b,則a與b平行、相交或異面.故B錯誤；

對于C：明顯錯誤；對于D：若a_La,a邛,則a〃[3,正確.

故選D.

【思路點撥】依據(jù)定理、公理依次排除即可.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆浙江省紹興一中高三上學(xué)期回頭考試（201409）】19.（本小題滿分8

分）

如圖，矩形ABCD中，AB=2BC=4,E為邊AB的中點，將AADE沿直線DE翻折成AAiDE

（1）設(shè)M為線段AIC的中點，求證：BM//A1DE；

（2）當(dāng)平面AiDEL平面BCD時，求直線CD與平面AiCE所成角的正弦

【知識點】直線與平面平行、直線與平面所成的角G4G11

【答案解析】（1）略（2）-

2

解析：（1）證明：取AQ的中點N,連接MN,NE,因為MN〃DC,MN=；DC,EB〃

DC,￡5=^￡＞。,則如〃￡8且]^=￡8,所以四邊形MNEB為平行四邊形，貝ijMB

〃NE,NEu平面ZQE,所以BM〃AiDE；3分

8

M

⑵

解：⑴略；3分

(2)由矩形ABCD中，AB=2BC=4,E為邊AB的中點，可得ED2=22+22=8=CE2,CD2=42=16,.,.CE2+ED2=(

CED=90°,ACEXED.

又：平面AiDE_L平面BCD,；.CE_L平面AiDE,/.CEXDAi.

又YDAJAiE,AiECEC=E,；.DAi_L平面AiCE,；./AiCE即為直線CD與平面AiCE所成的角.在Rt^A

【思路點撥】證明直線與平面平行通常結(jié)合直線與平面平行的判定定理，在平面內(nèi)找到一條

直線與已知直線平行；求直線與平面所成角，通常先找出其平面角，再利用三角形求角.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆浙江省紹興一中高三上學(xué)期回頭考試（201409）】4.設(shè)/，色〃表示三條

不同的直線，?夕表示兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若/〃加，mua,則/〃a；B.若/_L根,〃ua,貝i"_Ltz；

C.若/〃a,I//p,a[\/3-m,則/〃加；D.若/ua,/wu尸,/_L加，則

【知識點】空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系G4G5

【答案解析】C解析：對于A,直線1還有可能在平面a內(nèi)，所以錯誤，對于B,若m〃n,

則直線1與平面a不一定垂直，所以錯誤，對于D,若lua,mu0,lLn,兩面可以平行和

相交，不一定垂直，所以錯誤，則選C.

【思路點撥】判斷空間位置關(guān)系時，可用相關(guān)定理直接判斷，也可用反例排除判斷.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆浙江省嘉興市高三上學(xué)期學(xué)科基礎(chǔ)測試（201409）】7.對于空間的一

條直線m和兩個平面見，，下列命題中的真命題是

A.若機(jī)a,m夕，則tzBB..若加a,m/?,則a_L/7

C.若能_L%/w則°D.若能_L_L△則c_L，

【知識點】空間中的平行關(guān)系；空間中的垂直關(guān)系.G4G5

【答案解析】C解