2024-2025學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)延安中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)延安中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一.選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+3y﹣5＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．a(chǎn)x2+bx+c＝02．（4分）沒有哪一門學(xué)科能像數(shù)學(xué)這樣，利用如此多的符號圖形展現(xiàn)一系列完備且完美的世界．下面是由4個(gè)數(shù)學(xué)式子繪制成的完美曲線，其中是中心對稱圖形的是（）A．笛卡爾心形線 B．三葉玫瑰形曲線 C．蝴蝶形曲線 D．太極曲線3．（4分）下列事件中，屬于必然事件的是（）A．?dāng)S一枚骰子，朝上一面的點(diǎn)數(shù)為6 B．同弧或等弧所對的圓周角相等 C．任意寫一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)大于﹣1 D．兩邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似4．（4分）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C是x軸上的動點(diǎn)，則△ABC的面積為（）A．3 B．6 C．12 D．不能確定5．（4分）如圖，帶有刻度的直尺結(jié)合數(shù)軸作圖，已知圖中過點(diǎn)B和8的兩條線段（兩條線段的另一端在刻度尺上分別對應(yīng)3和5），則AB的長度是（）A．3 B．4 C．5 D．66．（4分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝kx2+k與的圖象可能是（）A． B． C． D．7．（4分）四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：m：5：n，則m（）A．2m＝5n B．5m＝2n C．m+n＝180° D．m+n＝78．（4分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC．若點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，AC＝5，則AD的長為（）A．5 B． C． D．9．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，且OD經(jīng)過AC中點(diǎn)E，連接DC并延長，若∠CAB＝16°，則∠BPC的度數(shù)為（）A．16° B．21° C．32° D．37°10．（4分）定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函數(shù)y＝ax+b的“滋生函數(shù)”．若一次函數(shù)y＝ax+b的“滋生函數(shù)”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是關(guān)于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，則t3﹣2t2﹣1的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．二.填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）若＝，則＝．12．（4分）若點(diǎn)A（a，﹣4）與點(diǎn)B（7，b）關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱．13．（4分）將拋物線y＝2x2先向左平移3個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，所得到的拋物線的解析式為．14．（4分）樂樂拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣9次，有6次正面朝上，當(dāng)他拋第10次時(shí)．15．（4分）如圖，A，B是雙曲線y＝上的兩點(diǎn)，交OB于D點(diǎn)，若△ADO的面積為3，則k的值為．16．（4分）如圖，點(diǎn)E是邊長為10的正方形ABCD的邊BC上一動點(diǎn)，連接DE，連接AF，DF，連接EG，當(dāng)AF+DF取最小值時(shí)．三.解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）解方程：x2﹣3x+1＝0．18．（8分）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，連接CD，BE．（1）求證：△AEB≌△ADC；（2）連接DE，若∠ADC＝97°，求∠BED的度數(shù)．19．（8分）小王和小李兩名同學(xué)周末約好參觀展覽館，如圖是該展覽館出入口示意圖．小王和小李分別從兩入口進(jìn)入?yún)⒂^．（1）參觀結(jié)束后，小李從D出口走出的概率是．（2）參觀結(jié)束后，通過畫樹狀圖或列表求小王和小李恰好從同一出口走出的概率．20．（8分）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，連接OB交⊙O于點(diǎn)C，連接AD，∠D＝30°．（1）求證：AD＝AB；（2）已知，求陰影部分的面積（結(jié)果保留根號和π）．21．（8分）如圖，在△ABC中，AC＝3．（1）在AC上求作一點(diǎn)D，連接BD，使得△ABD∽△ACB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）點(diǎn)M，N分別是BD、BC中點(diǎn)，若AD＝1，求22．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝mx+n與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，4），B（b，﹣2），與x軸交于點(diǎn)D．（1）求k，b的值；（2）觀察函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集；（3）連接OA，OB，求△OAB的面積．23．（10分）根據(jù)以下銷售情況，解決銷售任務(wù)．銷售情況分析總公司將一批襯衫由甲、乙兩家分店共同銷售，因地段不同，它們的銷售情況如下：店面甲店乙店日銷售情況每天可售出20件，每件盈利40元.每天可售出32件，每件盈利30元.市場調(diào)查經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價(jià)1元，甲、乙兩家店一天都可多售出2件.情況設(shè)置設(shè)甲店每件襯衫降價(jià)a元，乙店每件襯衫降價(jià)b元.任務(wù)解決任務(wù)1甲店每天的銷售量件（用含a的代數(shù)式表示）．乙店每天的銷售量件（用含b的代數(shù)式表示）．任務(wù)2總公司規(guī)定兩家分店下降的價(jià)格必須相同，請求出每件襯衫下降多少元時(shí)，兩家分店一天的盈利和為2244元．24．（12分）如圖，已知AB、AC是半徑為1的⊙O的兩條弦，且AB＝AC，連接OA、OC．（1）證明：∠ABO＝∠ACO；（2）試求的值；（3）記△AOB、△AOD、△COD的面積分別為S1、S2、S3，若，求OD的長．25．（14分）如圖1，拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求搬物線C1的解析式；（2）若P是拋物線C1在第四象限上的一點(diǎn)，連接AP交線段BC于點(diǎn)K，是否存在點(diǎn)P，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，請說明理由；（3）如圖2，將拋物線C1向右平移一個(gè)單位長度得到拋物線C2，點(diǎn)M，N都在拋物線C2上，且分別在第四象限和第二象限，若∠NOy＝∠MOx

2024-2025學(xué)年福建省福州市鼓樓區(qū)延安中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）參考答案與試題解析題號12345678910答案CDBADADDBA一.選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+3y﹣5＝0 B．x2+＝1 C．x2﹣1＝0 D．a(chǎn)x2+bx+c＝0【解答】解：A、該方程中含有兩個(gè)未知數(shù)；B、該方程是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C、符合一元二次方程的定義；D、當(dāng)a＝0時(shí)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2．（4分）沒有哪一門學(xué)科能像數(shù)學(xué)這樣，利用如此多的符號圖形展現(xiàn)一系列完備且完美的世界．下面是由4個(gè)數(shù)學(xué)式子繪制成的完美曲線，其中是中心對稱圖形的是（）A．笛卡爾心形線 B．三葉玫瑰形曲線 C．蝴蝶形曲線 D．太極曲線【解答】解：選項(xiàng)A、B、C都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，所以不是中心對稱圖形，選項(xiàng)D能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，故選：D．3．（4分）下列事件中，屬于必然事件的是（）A．?dāng)S一枚骰子，朝上一面的點(diǎn)數(shù)為6 B．同弧或等弧所對的圓周角相等 C．任意寫一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)大于﹣1 D．兩邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似【解答】解：A、擲一枚骰子，故選項(xiàng)不符合題意；B、同弧或等弧所對的圓周角相等是必然事件；C、任意寫一個(gè)數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；D、兩邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似是隨機(jī)事件．故選：B．4．（4分）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C是x軸上的動點(diǎn)，則△ABC的面積為（）A．3 B．6 C．12 D．不能確定【解答】解：如圖，連接OA，由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得，S△AOB＝|k|＝，又∵AB⊥y軸，∴S△ABC＝S△AOB＝3．故選：A．5．（4分）如圖，帶有刻度的直尺結(jié)合數(shù)軸作圖，已知圖中過點(diǎn)B和8的兩條線段（兩條線段的另一端在刻度尺上分別對應(yīng)3和5），則AB的長度是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵由題意可知線段平行，∴可以找到相似三角形，通過三角形相似可以得到相似比的等式，＝，，AB＝6．故選：D．6．（4分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝kx2+k與的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)y＝kx2+k的圖象開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)在y軸正半軸上，此時(shí)，函數(shù)y＝、三象限，∴A選項(xiàng)中圖形合適；當(dāng)k＜3時(shí)，函數(shù)y＝kx2+k的圖象開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)在y軸負(fù)半軸上，此時(shí)，函數(shù)y＝、四象限，∴無合適圖形．故選：A．7．（4分）四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：m：5：n，則m（）A．2m＝5n B．5m＝2n C．m+n＝180° D．m+n＝7【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠C＝∠B+∠D，∵∠A：∠B：∠C：∠D＝2：m：5：n，∴m+n＝7，故選：D．8．（4分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC．若點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，AC＝5，則AD的長為（）A．5 B． C． D．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)得，AC＝CE＝5，∠ACE＝90°，在Rt△ACE中，由勾股定理得＝，∴AD＝AE﹣DE＝﹣2．故選：D．9．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，且OD經(jīng)過AC中點(diǎn)E，連接DC并延長，若∠CAB＝16°，則∠BPC的度數(shù)為（）A．16° B．21° C．32° D．37°【解答】解：連接OC，∵∠CAB＝16°，OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAB＝16°，∴∠COP＝∠CAB+∠OCA＝16°+16°＝32°，∵E為AC的中點(diǎn)，OA＝OC，∴∠DOC＝∠AOE＝AOC＝，∵OD＝OC，∴∠DCO＝∠D＝（180°﹣∠DOC）＝53°，∴∠BPC＝∠DCO﹣∠COP＝53°﹣32°＝21°，故選：B．10．（4分）定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函數(shù)y＝ax+b的“滋生函數(shù)”．若一次函數(shù)y＝ax+b的“滋生函數(shù)”是y＝ax2﹣3x+a+1，t是關(guān)于x的方程x2+bx+a﹣b＝0的根，且t＞0，則t3﹣2t2﹣1的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．【解答】解：由題意得，，∴，∴t是x2﹣x﹣6＝0的解，∴t2﹣t﹣2＝0，∴t3﹣4t2﹣1＝t（t2﹣t﹣1）﹣（t2﹣t﹣7）﹣2＝﹣2，故選A．二.填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）若＝，則＝．【解答】解：∵＝，∴＝2﹣＝2﹣＝，故答案為：．12．（4分）若點(diǎn)A（a，﹣4）與點(diǎn)B（7，b）關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱﹣3．【解答】解：∵點(diǎn)A（a，﹣4）與點(diǎn)B（7，∴a＝﹣4，b＝4，∴a+b＝﹣7+7＝﹣3．故答案為：﹣3．13．（4分）將拋物線y＝2x2先向左平移3個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，所得到的拋物線的解析式為y＝2（x+3）2+5．【解答】解：由題知，將拋物線y＝2x2向左平移6個(gè)單位后，所得拋物線的解析式為y＝2（x+3）4，再將所得拋物線向上平移5個(gè)單位長度后，所得拋物線的解析式為y＝2（x+8）2+5．故答案為：y＝8（x+3）2+8．14．（4分）樂樂拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣9次，有6次正面朝上，當(dāng)他拋第10次時(shí)．【解答】解：根據(jù)題意可知，擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，反面朝上，∴當(dāng)他拋第10次時(shí)，正面朝上的概率為．故答案為：．15．（4分）如圖，A，B是雙曲線y＝上的兩點(diǎn)，交OB于D點(diǎn)，若△ADO的面積為3，則k的值為8．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，∵D為OB的中點(diǎn)，CD∥BE，∴CD是△OBE的中位線，即CD＝．設(shè)A（x，），則B（4x，），AD＝﹣，∵△ADO的面積為3，∴AD?OC＝3，∴（﹣）?x＝3，解得k＝2，故答案為：8．16．（4分）如圖，點(diǎn)E是邊長為10的正方形ABCD的邊BC上一動點(diǎn)，連接DE，連接AF，DF，連接EG，當(dāng)AF+DF取最小值時(shí)．【解答】解：如圖1，過點(diǎn)F作FP⊥CB交CB的延長線于點(diǎn)P，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝10，∠C＝∠ABC＝90°，∴∠C＝∠EPF＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，由旋轉(zhuǎn)知，DE＝FE，∴∠DEC+∠PEF＝90°，∴∠PEF＝∠CDE，在△PEF與△CDE中，，∴△PEF≌△CDE（AAS），∴PF＝CE，PE＝CD，∴PE＝CB，∴PE﹣BE＝CB﹣BE，∴PB＝CE，∴PB＝PF，∵FP⊥CB，∴∠PBF＝45°，∴點(diǎn)F在∠ABP的平分線上，如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于直線BF的對稱點(diǎn)M，此時(shí)，∵點(diǎn)A關(guān)于直線BF的對稱點(diǎn)M，∴△AFB≌△MFB，∴BM＝AB＝AD＝10，∵AD∥CB，如圖7，連接BD，∴四邊形AMBD為平行四邊形，∴BG＝AG＝AB＝2，設(shè)CE＝x，由圖1知，PF＝PB＝CE＝x，∴PM＝BM﹣PB＝10﹣x，∵∠ABM＝∠FPM＝90°，∴PF∥AB，∴△MPF∽△MBG，∴＝，∴＝，解得：x＝，∴線段CE的長為．故答案為：．三.解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）解方程：x2﹣3x+1＝0．【解答】解：x2﹣3x+5＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝8﹣4＝5＞7，∴x1＝，x2＝．18．（8分）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，連接CD，BE．（1）求證：△AEB≌△ADC；（2）連接DE，若∠ADC＝97°，求∠BED的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴AE＝AD，AB＝AC，∴∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≌△ADC（SAS），（2）解：∵△AEB≌△ADC，∴∠ADC＝∠AEB＝97°，∵AE＝AD，∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠AED＝60°，∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝37°．19．（8分）小王和小李兩名同學(xué)周末約好參觀展覽館，如圖是該展覽館出入口示意圖．小王和小李分別從兩入口進(jìn)入?yún)⒂^．（1）參觀結(jié)束后，小李從D出口走出的概率是．（2）參觀結(jié)束后，通過畫樹狀圖或列表求小王和小李恰好從同一出口走出的概率．【解答】解：（1）由題意知，共有3種等可能的結(jié)果，∴參觀結(jié)束后，小李從D出口走出的概率是．故答案為：．（2）列表如下：CDEC（C，C）（C，D）（C，E）D（D，C）（D，D） （D，E） E（E，C）（E，D）（E，E）共有8種等可能的結(jié)果，其中小王和小李恰好從同一出口走出的結(jié)果有3種，∴小王和小李恰好從同一出口走出的概率為．20．（8分）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，連接OB交⊙O于點(diǎn)C，連接AD，∠D＝30°．（1）求證：AD＝AB；（2）已知，求陰影部分的面積（結(jié)果保留根號和π）．【解答】（1）證明：連接OA，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠D＝30°，OA＝OD，∴∠D＝∠DAO＝30°，∴∠B＝180°﹣∠D﹣∠DAO﹣∠OAB＝30°，∴∠D＝∠B，∴AD＝AB；（2）解：∵∠B＝30°，∠OAB＝90°，∴∠AOB＝60°，OB＝2OA，∵AB＝2，∴OA2+AB2＝OB5，即OA2+（2）2＝（2OA）5，∴OA＝2，∴陰影部分的面積為：△OAB的面積﹣扇形OAC的面積＝×2＝2﹣．21．（8分）如圖，在△ABC中，AC＝3．（1）在AC上求作一點(diǎn)D，連接BD，使得△ABD∽△ACB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）點(diǎn)M，N分別是BD、BC中點(diǎn)，若AD＝1，求【解答】解：（1）若△ABD∽△ACB，則∠ABD＝∠ACB．如圖，作∠ABD＝∠ACB交AC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求．（2）∵點(diǎn)M，N分別是BD，∴AM為△ABD的中線，AN為△ABC的中線．∵△ABD∽△ACB，∴＝．∵AC＝3，AD＝1，∴，∴AB＝，∴．22．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝mx+n與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，4），B（b，﹣2），與x軸交于點(diǎn)D．（1）求k，b的值；（2）觀察函數(shù)圖象，直接寫出不等式的解集；（3）連接OA，OB，求△OAB的面積．【解答】解：（1）將A（﹣1，4）代入y＝，∴k＝﹣4，∴反比例函數(shù)解析式為Y＝﹣，將B（b，﹣3）代入y＝﹣，∴b＝6；（2）∵b＝2，∴B（2，﹣8），∴由圖象可得不等式的解集為﹣1＜x＜0或x＞2；（3）連接OA，OB，將A（﹣1，4），﹣7）分別代入y＝mx+n得，∴，∴y＝﹣3x+2，令y＝0，則2＝﹣2x+2，解得：x＝2，∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝＝7．23．（10分）根據(jù)以下銷售情況，解決銷售任務(wù)．銷售情況分析總公司將一批襯衫由甲、乙兩家分店共同銷售，因地段不同，它們的銷售情況如下：店面甲店乙店日銷售情況每天可售出20件，每件盈利40元.每天可售出32件，每件盈利30元.市場調(diào)查經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價(jià)1元，甲、乙兩家店一天都可多售出2件.情況設(shè)置設(shè)甲店每件襯衫降價(jià)a元，乙店每件襯衫降價(jià)b元.任務(wù)解決任務(wù)1甲店每天的銷售量（20+2a）件（用含a的代數(shù)式表示）．乙店每天的銷售量（32+2b）件（用含b的代數(shù)式表示）．任務(wù)2總公司規(guī)定兩家分店下降的價(jià)格必須相同，請求出每件襯衫下降多少元時(shí)，兩家分店一天的盈利和為2244元．【解答】解：任務(wù)1：根據(jù)題意得：甲店每天的銷售量為（20+2a）件；乙店每天的銷售量為（32+5b）件．故答案為：（20+2a），（32+2b）；任務(wù)5：根據(jù)題意得：（40﹣a）（20+2a）+（30﹣a）（32+2a）＝2244，根據(jù)題意得：a7﹣22a+121＝0，解得：a1＝a4＝11．答：每件襯衫下降11元時(shí)，兩家分店一天的盈利和為2244元．24．（12分）如圖，已知AB、AC是半徑為1的⊙O的兩條弦，且AB＝AC，連接OA、OC．（1）證明：∠ABO＝∠ACO；（2）試求的值；（3）記△AOB、△AOD、△COD的面積分別為S1、S2、S3，若，求OD的長．【解答】（1）證明：在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠ABO＝∠ACO；（2）解：由（1）知∠ABO＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO＝∠B，∵∠ADO＝∠ADB，∴△OAD∽△ABD，∴＝，∴AD2＝BD?OD，∴（）2﹣＝＝＝＝＝＝4；（3）解：∵＝S4S3，∴可設(shè)＝＝k，∴S5＝kS3，S1