專題8-3 立體幾何壓軸小題：動點與軌跡、距離最值-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點題型歸納與變式演練

專題8-3立體幾何壓軸小題：動點與軌跡、距離最值目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】線線、線面恒定平行求軌跡 2【題型二】線線、線面恒定垂直求軌跡 3【題型三】翻折中的軌跡 4【題型四】角度恒定求軌跡 5【題型五】阿波羅尼斯圓與球（線段定比） 6【題型六】定長求軌跡 7【題型七】動點：折線最值 8【題型八】動點：折線倍數(shù)轉(zhuǎn)化 9【題型九】動點：兩線上點距離 9【題型十】動點：面上動點 10【題型十一】動點最值：周長最值 11【題型十二】動點最值：面積最值 13真題再現(xiàn) 14模擬檢測 17綜述：立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；立體幾何中的動點軌跡問題一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型，空間中軌跡問題的解答思路：根據(jù)已知條件確定和待求點相關(guān)的平行、垂直等關(guān)系；（2）用動點的坐標(biāo)、、z表示相關(guān)點的坐標(biāo)、、，然后代入點的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（3）根據(jù)軌跡形狀即可求解出軌跡的長度等其他量.立體幾何最值：1、計算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上的最值問題時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；2、對于幾何體內(nèi)部的折線的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，結(jié)合勾股定理求解．空間中動線段的距離和的最值問題，可以類比平面中的距離和的最值處理利用對稱性來處理于轉(zhuǎn)化，另外異面直線間的公垂線段的長度可利用點到平面的距離來處理.計算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；【題型一】線線、線面恒定平行求軌跡【典例分析】.如圖，三棱柱中，為中點，為上一點，為平面上一點，且平面則點的軌跡的長度為（）A． B．C． D．【變式演練】1．已知棱長為1的正方體，是的中點，動點在正方體內(nèi)部或表面上，且平面，則動點的軌跡所形成區(qū)域的面積是（）A． B． C． D．2..如圖，在棱長為1的正方體，點，分別是棱，的中點，是側(cè)面內(nèi)一點（含邊界），若平面，點的軌跡長度為________，三棱錐的體積為________．3.如圖所示四棱錐，底面為直角梯形，，，，，面，平面，則點軌跡長度為________．【題型二】線線、線面恒定垂直求軌跡【典例分析】如圖，直三棱柱中，側(cè)棱長為，，，點是的中點，是側(cè)面（含邊界）上的動點.要使平面，則線段的長的最大值為（）A． B． C． D．【變式演練】1.在正方體中，Q是正方形內(nèi)的動點，，則Q點的軌跡是（）A．點 B．線段 C．線段 D．平面2.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面，，，，為的中點，為內(nèi)的動點(含邊界)，且．當(dāng)在上時，____，點的軌跡的長度為____．3.如圖，在棱長為的正方體中，為棱的中點，與相交于點，是底面內(nèi)（含邊界）的動點，總有，則動點的軌跡的長度為（）A． B．C． D．【題型三】翻折中的軌跡【典例分析】矩形ABCD中，，E為AB中點，將△ADE沿DE折起至△A'DE，記二面角A'-DE-C=θ，當(dāng)θ在范圍內(nèi)變化時，點A'的軌跡長度為______________【變式演練】1.如圖所示，在平行四邊形中，為中點，，，.沿著將折起，使到達點的位置，且平面平面.若點為內(nèi)的動點，且滿足，則點的軌跡的長度為___________.2.已知菱形ABCD的邊長為2，.將菱形沿對角線AC折疊成大小為60°的二面角.設(shè)E為的中點，F(xiàn)為三棱錐表面上動點，且總滿足，則點F軌跡的長度為________.3.已知矩形中，，，如圖，將沿著進行翻折，使得點與點重合，若點在平面上的射影在四邊形內(nèi)部（包含邊界），則動點的軌跡長度是（）A． B． C． D．【題型四】角度恒定求軌跡【典例分析】如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點滿足，則點的軌跡是（）A．直線 B．拋物線C．橢圓 D．雙曲線的一支【變式演練】1.如圖，在直三棱柱中，已知是邊長為1的等邊三角形，，，分別在側(cè)面和側(cè)面內(nèi)運動（含邊界），且滿足直線與平面所成的角為30°，點在平面上的射影在內(nèi)（含邊界）．令直線與平面所成的角為，則的最大值為（）

A． B． C． D．2.正方體中，，分別為，的中點，是邊上的一個點（包括端點），是平面上一動點，滿足直線與直線夾角與直線與直線的夾角相等，則點所在軌跡為（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．拋物線或雙曲線【題型五】阿波羅尼斯圓與球（線段定比）【典例分析】在四棱錐中，底面，底面為正方形，，點為正方形內(nèi)部的一點，且，則直線與所成角的余弦值的取值范圍為()A． B． C． D．【變式演練】1.在長方體中，，，為棱的中點，動點滿足，則點的軌跡與長方體的面的交線長等于（）A． B． C． D．2.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B距離之比為常數(shù)（且）的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點E在棱AB上，，動點P滿足.若點P在平面ABCD內(nèi)運動，則點P所形成的阿氏圓的半徑為___________；若點P在長方體內(nèi)部運動，F(xiàn)為棱的中點，M為CP的中點，則點M到平面的距離的最小值為___________.3.在棱長為6的正方體中，點是線段的中點，是正方體（包括邊界）上運動，且滿足，則點的軌跡周長為________.【題型六】定長求軌跡【典例分析】已知正方體的棱長為4，，分別在直線，上運動，且滿足，則的中點的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．圓【變式演練】1.已知三棱錐的外接球的半徑為，為等腰直角三角形，若頂點到底面的距離為4，且三棱錐的體積為，則滿足上述條件的頂點的軌跡長度是______．2.如圖，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為正方形，側(cè)面底面，為正方形內(nèi)（包括邊界）的一個動點，且滿足．則點在正方形內(nèi)的軌跡為（）A． B．C． D．3.已知正六棱柱的棱長均為，點在棱上運動，點在底面內(nèi)運動，，為的中點，則動點的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分的體積為（）A． B． C． D．【題型七】動點：折線最值【典例分析】如圖，在棱長為的正方體中，點是線段上的動點，是上的動點，是上的動點，則長度的最小值為（

）A．B．C．D．【變式演練】1.在正方體中，棱長為2，E為的中點，點P在平面內(nèi)運動，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．52.在三棱錐中，所有的棱長都相等，E為AB中點，F(xiàn)對AC上一動點，若DF＋FE的最小值為，則該三棱錐的外接球體積為（

）A． B． C． D．3.已知正三棱柱的所有棱長都是2，點M在棱AC上運動，則的最小值為（

）A． B．C． D．【題型八】動點：折線倍數(shù)轉(zhuǎn)化【典例分析】如圖，棱長為1的正方體中，為線段的中點，，分別為體對角線和棱上任意一點，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【變式演練】1.如圖，在長方體中，棱長，，點為線段的中點，，分別為體對角線和棱上任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.．已知正三棱柱底邊長為1，側(cè)棱長為2，P，Q分別為線段，上的動點，則的最小值為d，則________．【題型九】動點：兩線上點距離【典例分析】.如圖，在棱長為1的正方體中，，分別是線段，上的點，是直線上的點，滿足平面，，且、不是正方體的頂點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式演練】1.如圖，三棱錐各棱的棱長均為，點是棱的中點，點在棱上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．12.已知正方體的棱長為1，在對角線上取點，在上取點，使得線段平行于對角面，則線段長的最小值為（

）A． B．1 C． D．3.已知三棱錐的所有棱長均為2，點M為邊上一動點，若且垂足為N，則線段長的最小值為（

）A． B． C． D．1【題型十】動點：面上動點【典例分析】在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M，N分別是棱BC，CC1的中點，動點P在正方形BCC1B1（包括邊界）內(nèi)運動．若平面AMN，則PA1的最小值是（

）A．1 B． C． D．【變式演練】1.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，N為BC的中點．當(dāng)點M在平面DCC1D1內(nèi)運動時，有MN//平面A1BD則線段MN的最小值為（

）A．1 B． C． D．2.在棱長為的正方體中，點，分別是棱，的中點，動點在正方形包括邊界內(nèi)運動若∥平面，則的最小值是（

）A． B． C． D．3.在正四棱錐中，底面邊長為，側(cè)棱長為，點是底面內(nèi)一動點，且，則，兩點間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【題型十一】動點最值：周長最值【典例分析】如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長為，過點的平面與側(cè)棱相交于，則△的周長的最小值為（

）A．

B．

C．

D．【變式演練】1.如圖，S﹣ABC是正三棱錐且側(cè)棱長為a，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動點，三角形BEF的周長的最小值為，則側(cè)棱SA，SC的夾角為（）A．30° B．60° C．20° D．90°2.如圖，棱長為3的正方體中，為面內(nèi)的一個動點，、分別為的三等分點，則的周長的最小值為（

）A． B． C． D．3.如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，、分別為面和線段上的動點，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．【題型十二】動點最值：面積最值【典例分析】已知正方體的棱長為，M為的中點，點N在側(cè)面內(nèi)，若，則面積的最小值為（

）A． B． C．5 D．25【變式演練】1..已知正方體外接球的表面積為，正方體外接球的表面積為，若這兩個正方體的所有棱長之和為，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.在棱長為1的正方體中，是棱的中點，點在側(cè)面內(nèi)，若，則的面積的最小值是()A． B． C． D．1．如圖，正方體的棱長為，動點、在棱上，動點，分別在棱，上，若，，，（，，大于零），則四面體的體積（

）．A．與，，都有關(guān) B．與有關(guān)，與，無關(guān)C．與有關(guān)，與，無關(guān) D．與有關(guān)，與，無關(guān)2．已知矩形．將沿矩形的對角線所在的直線進行翻折，在翻折過程中A．存在某個位置，使得直線與直線垂直B．存在某個位置，使得直線與直線垂直C．存在某個位置，使得直線與直線垂直D．對任意位置，三對直線“與”，“與”，“與”均不垂直3．如圖在正方體中，點為線段的中點.設(shè)點在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是A． B．C． D．4．如圖，已知正四面體D–ABC（所有棱長均相等的三棱錐），P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點，AP=PB，，分別記二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角為α,β,γ，則A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α5．在正四棱柱中，頂點到對角線和到平面的距離分別為和，則下列命題中正確的是A．若側(cè)棱的長小于底面的變長，則的取值范圍為B．若側(cè)棱的長小于底面的變長，則的取值范圍為C．若側(cè)棱的長大于底面的變長，則的取值范圍為D．若側(cè)棱的長大于底面的變長，則的取值范圍為6．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則的最大值為A． B． C．4 D．7．設(shè)四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和，且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E、F，且，則下列結(jié)論中錯誤的是A．B．C．三棱錐的體積為定值D．9．設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．10．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．11．如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是____.12．連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦的長度分別等于、，每條弦的兩端都在球面上運動，則兩弦中點之間距離的最大值為_________．13．如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是.14．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為______．1.如圖，在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中點，M在四邊形EFGH邊上及其內(nèi)部運動，若MN∥面A1BD，則點M軌跡的長度是（）333A．a(chǎn) B．a(chǎn) C． D．2..如圖，定點A，B都在平面內(nèi)，定點，C是內(nèi)異于A和B的動點，且，則動點C在平面內(nèi)的軌跡是（）A．一條線段，但要去掉兩個點 B．一個圓，但要去掉兩個點C．一段弧，但要去掉兩個點 D．半圓，但要去掉兩個點3.如圖，等腰梯形中，，，，，沿著把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．當(dāng)邊長變化時，點的軌跡長度為（）A． B． C． D．4.已知正方體ABC