高等數(shù)學(xué)（新標(biāo)準(zhǔn)教材）高職PPT完整全套教學(xué)課件

第一章函數(shù)ChapterIFunctions全套PPT課件函數(shù)極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不定積分定積分定積分的應(yīng)用常微分方程多元函數(shù)微積分學(xué)函數(shù)函數(shù)描述了客觀世界中變量與變量之間的關(guān)系，是高等數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象．微積分是從研究函數(shù)開(kāi)始的，本章將在中學(xué)已有函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步講解函數(shù)的概念，并介紹反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)及初等函數(shù)的主要性質(zhì)，為微積分的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)．函數(shù)在工科專業(yè)中有許多應(yīng)用，如出租車的收費(fèi)問(wèn)題，判斷車速是否超速問(wèn)題，機(jī)械構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問(wèn)題，發(fā)電機(jī)的功率問(wèn)題，減振器的減振原理，等等．目錄1函數(shù)及其性質(zhì)2復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)CONTENTS函數(shù)及其性質(zhì)第一節(jié)問(wèn)題情境9月1日，學(xué)校新生開(kāi)學(xué)報(bào)到，有些外地同學(xué)由于沒(méi)有趕上學(xué)校的接送車，只能自己乘出租車到學(xué)校．該市出租車的起步價(jià)是6.5元（路程在2.5km以內(nèi)，不含2.5km），超過(guò)2.5km的路程，每千米1.6元（不足1km的按1km算）.你能寫出路程與車費(fèi)的關(guān)系嗎？如果小張同學(xué)從火車站到學(xué)校付了9.7元的車費(fèi)，你知道從火車站到學(xué)校有多遠(yuǎn)嗎？一、常量與變量在研究自然現(xiàn)象、進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)、解決生產(chǎn)中的問(wèn)題時(shí)，我們會(huì)遇到各種各樣的量，如時(shí)間、重量、溫度、長(zhǎng)度、面積、體積、速度等．在一特定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持同一數(shù)值不變的量，稱之為常量；有的量可以取不同的數(shù)值，稱之為變量．二、函數(shù)的概念實(shí)例1分析減振器的減振原理時(shí)需要研究液壓傳動(dòng)中的液體靜壓力.容器中盛有液體，假設(shè)作用在液面上的力為p0，則液面下深h處的液體的壓力p=p0+ρgh（液體靜壓力方程），其中，ρ是液體密度，g是重力加速度．實(shí)例2實(shí)例3實(shí)例41.函數(shù)的定義1.函數(shù)的定義1.函數(shù)的定義1.函數(shù)的定義對(duì)于汽車旋轉(zhuǎn)構(gòu)件而言，轉(zhuǎn)矩與功率成正比，與轉(zhuǎn)速成反比．汽車爬坡時(shí)，需要降低車輪的轉(zhuǎn)速（降低擋位）來(lái)增大轉(zhuǎn)矩，以增加爬坡的能力．這是因?yàn)椋D(zhuǎn)矩，其中，P是功率，ω是轉(zhuǎn)速．發(fā)動(dòng)機(jī)每輸出1kW·h的有效功所消耗的燃油量稱為有效燃油消耗率，記作be，單位為g/（kW·h）.be可按式計(jì)算，其中，B是發(fā)動(dòng)機(jī)在單位時(shí)間內(nèi)的耗油量，Pe是發(fā)動(dòng)機(jī)的有效功率．自由落體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為式中，h為下降距離，g為重力加速度，t為降落的時(shí)間.這個(gè)公式描述了物體在自由降落的過(guò)程中，其下降的距離h與時(shí)間t之間的依賴關(guān)系．6二、函數(shù)的概念在以上幾個(gè)實(shí)例中，雖然各個(gè)變量的實(shí)際意義和解析式雖然不相同，但是它們都具有以下相同的特點(diǎn)：所描述的變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，變量之間有一個(gè)確定的依賴關(guān)系，或稱為對(duì)應(yīng)法則，雖然對(duì)應(yīng)法則的表達(dá)式不同，但是當(dāng)其中一個(gè)變量在一定范圍內(nèi)取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，按照對(duì)應(yīng)法則，另一個(gè)變量有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)．?dāng)?shù)學(xué)上將變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的實(shí)質(zhì)進(jìn)行了總結(jié)，就得到函數(shù)的概念．1.函數(shù)的定義定義1設(shè)x與y是某一變化過(guò)程中的兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的數(shù)集，如果有一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，使得對(duì)于每一個(gè)數(shù)值x∈D，變量y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱f是定義在數(shù)集D上的x的函數(shù)，或簡(jiǎn)稱y是x的函數(shù)，記作y=f(x),x∈D式中，x為自變量；y為因變量；集合D為函數(shù)的定義域．二、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義若對(duì)于確定的x0∈D，通過(guò)對(duì)應(yīng)法則f，函數(shù)y有唯一確定的值y0相對(duì)應(yīng)，則稱y0為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，記作函數(shù)值的集合，稱為函數(shù)的值域，記作M．若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的每一點(diǎn)處都有定義，則稱這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上有定義．試驗(yàn)1教具：一個(gè)黑色盒子，在盒子的兩個(gè)側(cè)面分別設(shè)置一個(gè)口（出口、入口）.再制作幾個(gè)圓形的卡片，在卡片的正面寫1，2等數(shù)字，表示1元、2元等各種不同的幣值；在卡片的背面畫上相應(yīng)的物品，如可樂(lè)、漢堡等．試驗(yàn)過(guò)程：將1元的自制卡片從黑色盒子的入口輸入后，從出口滾出來(lái)的是在卡片背面所畫的物品，如一瓶可樂(lè)．再取一張3元的自制卡片輸入黑色盒子，則從盒子出口滾出來(lái)的是另一件物品．你想知道這是為什么嗎？在沒(méi)有看到滾出來(lái)的是什么物品時(shí)，誰(shuí)也不知道會(huì)有怎樣的結(jié)果，但是可以確定的是：必須投入一張卡片，才會(huì)有一個(gè)物品滾出來(lái)；投入不同的卡片，會(huì)滾出來(lái)不同的物品．由此可知，物品是隨著輸入卡片的變化而變化的．這一試驗(yàn)揭示了出口與入口的“變”性，而且出口會(huì)因入口的“變”而“變”．二、函數(shù)的概念2.函數(shù)的本質(zhì)二、函數(shù)的概念2.函數(shù)的本質(zhì)試驗(yàn)2在另一組硬幣卡片的正反面分別寫上1，2；2，4；3，6等數(shù)組．老師演示兩次后，學(xué)生很快就猜出投入正面是3的硬幣時(shí)出來(lái)的結(jié)果一定是6．這一試驗(yàn)揭示，有些變化我們知道它是怎樣發(fā)生的，因此可以控制它．通過(guò)兩個(gè)試驗(yàn)的對(duì)比，我們可以明白生活中存在許多因變而變的例子，就像函數(shù)中的自變量與因變量，自變量是輸入的數(shù)，因變量是輸出的數(shù)，因變量隨自變量而變，而且輸入一個(gè)自變量只能得到一個(gè)因變量，它們之間的這種關(guān)系就是函數(shù)．因此，函數(shù)的本質(zhì)就是變量間的相互依賴“關(guān)系”．二、函數(shù)的概念3.函數(shù)的兩個(gè)要素函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則和定義域稱為函數(shù)的兩個(gè)要素．只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，才認(rèn)為兩個(gè)函數(shù)是相同的，而與自變量或因變量用什么字母表示無(wú)關(guān)．因此，在研究函數(shù)時(shí)，除了確定對(duì)應(yīng)法則以外，還要明確函數(shù)的定義域．在高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)的解析式還有以下兩種表示方式：（1）隱函數(shù).在研究變量的變化規(guī)律時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際特點(diǎn)，用方程Fx,y=0的形式來(lái)描述變量之間的依賴關(guān)系可能更方便．當(dāng)x在某個(gè)數(shù)集D內(nèi)取定某一數(shù)值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足該方程的唯一的y值存在，則通過(guò)方程Fx,y=0，在數(shù)集D上可以確定一個(gè)函數(shù)，稱此函數(shù)為隱函數(shù)．以前研究的函數(shù)，因變量y都能用含有x的解析式表示，稱之為顯函數(shù)．有些隱函數(shù)能方便地化成顯函數(shù)，如y+x=5可轉(zhuǎn)換成y=5－x.而有的隱函數(shù)則難以化成顯函數(shù)的形式．如隱函數(shù)exy－sinx+y－y=0就無(wú)法化成顯函數(shù)．雖然有些隱函數(shù)無(wú)法化成顯函數(shù)的形式，但是在有些情況下并不影響研究函數(shù)的某些變化規(guī)律．（2）分段函數(shù).在自變量的不同取值范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)關(guān)系用不同的解析式來(lái)表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)．三、函數(shù)的表示法1.解析法例如，患者服用某藥物，服用劑量D與體溫T所產(chǎn)生的變化之間的關(guān)系由下式給出：解析法的優(yōu)點(diǎn)是便于數(shù)學(xué)上的分析和計(jì)算．本書主要討論用解析式表示的函數(shù)．三、函數(shù)的表示法1.解析法例3旅客乘坐火車可免費(fèi)攜帶不超過(guò)20kg的物品，超過(guò)20kg而不超過(guò)50kg的部分每1kg交費(fèi)a元，超過(guò)50kg的部分每1kg交費(fèi)b元，求運(yùn)費(fèi)與攜帶物品質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系．分段函數(shù)在工程技術(shù)及日常生活中都會(huì)遇到．分段函數(shù)是定義域內(nèi)的一個(gè)函數(shù)，不要理解為是多個(gè)函數(shù).在求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)把自變量的值代入相應(yīng)取值范圍的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算．三、函數(shù)的表示法2.列表法例如，要獲得某地一天中的氣溫與時(shí)間的變化關(guān)系，可以每隔一段時(shí)間測(cè)量一些數(shù)據(jù)．表1-1列出了某地從上午10:00到中午12:00每隔20min測(cè)得的氣溫?cái)?shù)據(jù)，由此可以觀察出這段時(shí)間內(nèi)該地氣溫的變化情況．列表法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)明、直觀．在一些科技手冊(cè)中常采用這種方法來(lái)表達(dá)數(shù)據(jù)．三、函數(shù)的表示法3.圖像法例如，心電圖（見(jiàn)圖1-1）可以顯示患者的心率模式，它是由心電圖儀直接根據(jù)患者的心率情況繪制的．通過(guò)心電圖的分析，醫(yī)生可以診斷患者是否患有心臟病．圖像法的優(yōu)點(diǎn)是直觀、通俗、容易比較．它的缺點(diǎn)是不便于做精細(xì)的理論研究．圖1-1四、函數(shù)的幾種特性1.有界性若存在正數(shù)M，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間I上恒有|f(x)|≤M，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界；若不存在這樣的正數(shù)M，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上無(wú)界．在定義域內(nèi)有界的函數(shù)稱為有界函數(shù)，如y=sinx、y=cosx等都是有界函數(shù)．函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有界，在圖形上表現(xiàn)為f(x)在（a，b）內(nèi)的一段圖像必介于兩條平行線y=M和y=-M之間，如圖1-2所示．圖1-2四、函數(shù)的幾種特性2.單調(diào)性6四、函數(shù)的幾種特性3.奇偶性設(shè)函數(shù)f(x)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有定義，若f(x)滿足f（－x）=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；若f(x)滿足f（－x）=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)．奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．注意四、函數(shù)的幾種特性3.奇偶性6對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，對(duì)一切x均有f（x+T）=f(x)，則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，并把T稱為f(x)的周期．通常講的函數(shù)周期指的是函數(shù)的最小正周期．例如，在三角函數(shù)中，y=sinx、y=cosx都是以2π為周期的周期函數(shù)，而y=tanx、y=cotx則是以π為周期的周期函數(shù)．常數(shù)函數(shù)y=C以任意正數(shù)為周期，且沒(méi)有最小正周期．四、函數(shù)的幾種特性4.周期性定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)镸，如果對(duì)于數(shù)集M中的每個(gè)y值，在數(shù)集D中都有使等式y(tǒng)=f(x)成立的唯一的x值與之對(duì)應(yīng)，其對(duì)應(yīng)法則記為f－1，即變量x是y的函數(shù)．這個(gè)定義在數(shù)集M上的函數(shù)x=f－1(y)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)．記為x=f－1(y)習(xí)慣上用x表示自變量，用y表示因變量，因此約定將反函數(shù)x=f－1(y)的自變量記號(hào)改為x，因變量的記號(hào)改為y，用y=f－1(x)來(lái)表示y=f(x)的反函數(shù)．反函數(shù)y=f－1(x)的定義域仍為M，值域仍為D，此時(shí)由于改變了變量的記號(hào)，因此函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f－1(x)的圖形在同一坐標(biāo)系內(nèi)是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的．此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)镸，值域?yàn)镈，并且函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)x=f－1(y)的圖形在同一坐標(biāo)系內(nèi)是相同的．由定義2可知，指數(shù)函數(shù)y=axa>0,a≠1與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logaxa>0,a≠1互為反函數(shù)．五、反函數(shù)132（1）反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域，反函數(shù)的值域?yàn)樵瘮?shù)的定義域.（2）原函數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性相同.（3）原函數(shù)與反函數(shù)的圖像在同一坐標(biāo)系內(nèi)是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的．五、反函數(shù)反函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）分析問(wèn)題中哪些是變量、哪些是常量，分別用不同的字母來(lái)表示，并確定哪個(gè)變量為自變量．（2）根據(jù)問(wèn)題所給的條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)或結(jié)合專業(yè)知識(shí)確定變量之間的等量關(guān)系．（3）寫出函數(shù)的具體解析式，并指明函數(shù)的定義域．六、函數(shù)建模舉例用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，先要建立函數(shù)關(guān)系（函數(shù)模型），再用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具加以解決．建立函數(shù)模型的一般步驟為：六、函數(shù)建模舉例例8近幾年，不少地區(qū)將“區(qū)間測(cè)速”作為判斷車輛是否超速的依據(jù)之一．所謂“區(qū)間測(cè)速”，就是通過(guò)在兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)上安裝的監(jiān)控探頭和測(cè)速探頭，測(cè)出一輛車通過(guò)兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的時(shí)間t，再根據(jù)兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)之間的距離S，算出該車在這一區(qū)間段內(nèi)的平均速度v，如果這個(gè)平均車速超過(guò)了該路段的最高限速vmax，即被判為超速．若監(jiān)測(cè)點(diǎn)A，B相距15km，該路段的最高限速為120km/h，則車輛通過(guò)測(cè)速路段的最短時(shí)間tmin為多少？一輛車通過(guò)兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的時(shí)間如圖1-3所示，通過(guò)兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的速度分別為110km/h和100km/h，則該車在此路段的平均速度為多少？該車會(huì)不會(huì)被判為超速？圖1-3復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)第二節(jié)問(wèn)題情境在一RC電路的充電過(guò)程中，電容器兩端的電壓為U(t)，充電時(shí)間為t，則電壓與時(shí)間的關(guān)系式為（E，R，C均為常數(shù)）.在利用微積分方法解決問(wèn)題時(shí)，需要明確這個(gè)函數(shù)的類型與構(gòu)成方式，才能順利地進(jìn)行計(jì)算.那么就需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類，對(duì)函數(shù)的構(gòu)成方式進(jìn)行分析.一、基本初等函數(shù)定義1常量函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)（見(jiàn)表1-2）．二、復(fù)合函數(shù)一個(gè)函數(shù)可以與另一個(gè)函數(shù)發(fā)生聯(lián)系從而構(gòu)成新的函數(shù).例如，函數(shù)y=u2與u=sinx可以構(gòu)成新的函數(shù)y=sinx2，使得y成為x的函數(shù).這種由較簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合成較復(fù)雜的函數(shù)的情況在應(yīng)用上常常出現(xiàn)，下面給出復(fù)合函數(shù)的定義．定義2設(shè)函數(shù)y是u的函數(shù)y=f(u)，而u又是x的函數(shù)u=g(x)．如果對(duì)于u=g(x)的定義域中的某些x值所對(duì)應(yīng)的u值，函數(shù)y=f(u)有定義，則y通過(guò)u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，稱為由y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記為y=f［g(x)］，其中u稱為中間變量．并不是任意兩個(gè)函數(shù)都可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)．例如，函數(shù)y=arcsinu與u=2+x2就不能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，因?yàn)閥=arcsinu的定義域?yàn)椋?1，1］，而u=2+x2的值域?yàn)椋?，+∞）．注意二、復(fù)合函數(shù)在可能的情況下，更多的函數(shù)也可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，此時(shí)的中間變量為兩個(gè)或更多個(gè)．對(duì)于復(fù)合函數(shù)，應(yīng)該明確其復(fù)合與分解的過(guò)程．函數(shù)的復(fù)合過(guò)程就是把中間變量依次代入的過(guò)程，而分解過(guò)程就是把復(fù)合函數(shù)分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的過(guò)程，而這些簡(jiǎn)單函數(shù)往往都是基本初等函數(shù)，或者是基本初等函數(shù)與常數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果．三、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)或常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算或有限次的復(fù)合所構(gòu)成的，并且可以用一個(gè)解析式表示的函數(shù)叫作初等函數(shù)．否則就是非初等函數(shù)．我們后面所討論的函數(shù)大多數(shù)都是初等函數(shù)，但分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)．例如，函數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一Mathematica是由美國(guó)Wolfram公司研究開(kāi)發(fā)的一個(gè)數(shù)學(xué)軟件．它的語(yǔ)法規(guī)則簡(jiǎn)單，操作語(yǔ)言與人們的日常語(yǔ)言非常相近．在功能方面，Mathematica除了可以完成數(shù)值計(jì)算外，還有強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算功能和制圖功能．Mathematica能給出問(wèn)題的解析符號(hào)解，可用來(lái)處理微積分、微分方程、線性代數(shù)和規(guī)劃優(yōu)化等各類問(wèn)題．目前，Mathematica軟件已在工程、科研、教學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域被廣泛使用．Mathematica入門數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一運(yùn)行Mathematica9.0，打開(kāi)如圖1-4所示的窗口，系統(tǒng)暫時(shí)取名“未命名-1”，直到用戶保存時(shí)重新命名為止.1.Mathematica的啟動(dòng)和運(yùn)行圖1-4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一先在窗口中輸入“2+3”，然后按Shift+Enter組合鍵或按右邊小鍵盤中的Enter鍵，系統(tǒng)開(kāi)始計(jì)算并輸出計(jì)算結(jié)果，并給輸入內(nèi)容和輸出結(jié)果附上次序標(biāo)識(shí)In［1］(In［1］是計(jì)算后才出現(xiàn)的)和Out［1］.再輸入第二個(gè)表達(dá)式，要求系統(tǒng)在［0,2π］上畫出函數(shù)y=sinx+cos3x的圖形，按Shift+Enter組合鍵輸出計(jì)算結(jié)果后，系統(tǒng)分別將輸入的表達(dá)式和輸出的圖形標(biāo)識(shí)為In［2］和Out［2］，如圖1-5所示．1.Mathematica的啟動(dòng)和運(yùn)行圖1-5數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一在Mathematica9.0窗口中，可以用這種交互方式完成各種運(yùn)算，如函數(shù)作圖、求極限、解方程等．1.Mathematica的啟動(dòng)和運(yùn)行（1）Mathematica嚴(yán)格區(qū)分大小寫，一般情況下，內(nèi)建函數(shù)的首字母必須大寫，如果一個(gè)函數(shù)名是由幾個(gè)單詞構(gòu)成的，則每個(gè)單詞的首字母都必須大寫，如求局部極小值的函數(shù)FindMinimum［f，{x，x0}］等．（2）在Mathematica中，函數(shù)名和自變量之間的分隔符是用方括號(hào)“［］”，而不是一般數(shù)學(xué)書上用的圓括號(hào)“()”．注意完成各種計(jì)算后，執(zhí)行“文件”→“退出”命令退出程序，如果文件未存盤，系統(tǒng)會(huì)提示用戶存盤，文件名以“．nb”作為后綴，稱為筆記本文件．以后想使用本次保存的結(jié)果時(shí)，可以執(zhí)行“文件”→“打開(kāi)”命令讀入，也可以直接雙擊文件名，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)調(diào)用Mathematica將文件打開(kāi)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一例1計(jì)算42×3-10÷（8-3）.解In［1］:=42×3-10/(8-3)Out［1］=462.Mathematica的基本運(yùn)算（1）乘法可以用“*”和空格表示，如2×3=2*3=23=6．（2）乘方可以用“”表示，如52=52．說(shuō)明^數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一例2求π2的近似值（保留6位有效數(shù)字）．解In［1］:=N［π^2，6］Out［1］=9.869602.Mathematica的基本運(yùn)算（1）Ｎ［］在Mathematica中表示近似運(yùn)算.Ｎ［］的語(yǔ)法如下：Ｎ［表達(dá)式］可求6位有效數(shù)字的近似值；Ｎ［表達(dá)式，ｎ］可求ｎ位有效數(shù)字的近似值．（2）Mathematica中定義了一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)常數(shù)，這些數(shù)學(xué)常數(shù)都是精確數(shù)．如Pi表示π＝3.14159…；E表示自然對(duì)數(shù)的底e＝2.71828…；Degree表示1°（π/180弧度）；I表示虛數(shù)單位i；Infinity表示無(wú)窮大∞；-Infinity表示負(fù)無(wú)窮大-∞.說(shuō)明^數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一2.Mathematica的基本運(yùn)算數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一2.Mathematica的基本運(yùn)算說(shuō)明Mathematica提供了一組按不同形式表示代數(shù)式的函數(shù)，其語(yǔ)法格式及意義見(jiàn)表1-3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一2.Mathematica的基本運(yùn)算數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一3.用Mathematica定義的函數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一4.用Mathematica作平面曲線數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一在Mathematica中定義了大量的可以直接調(diào)用的數(shù)學(xué)函數(shù)，這些數(shù)學(xué)函數(shù)的名稱一般表達(dá)了一定的含義，可以幫助我們理解．常用數(shù)學(xué)函數(shù)的語(yǔ)法格式及其意義見(jiàn)表1-4.5.Mathematica系統(tǒng)函數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一Mathematica中的函數(shù)與數(shù)學(xué)上的函數(shù)有一些不同的地方.Mathematica中的函數(shù)是一個(gè)具有獨(dú)立功能的程序模塊，可以直接被調(diào)用；同時(shí)，每一個(gè)函數(shù)既可以包括一個(gè)或多個(gè)參數(shù)，也可以不包括參數(shù)．而且，參數(shù)的數(shù)據(jù)類型也比較復(fù)雜．具體內(nèi)容可以參看系統(tǒng)的幫助.了解各種函數(shù)的功能和使用方法是學(xué)習(xí)Mathematica的基礎(chǔ)．5.Mathematica系統(tǒng)函數(shù)復(fù)習(xí)題一復(fù)習(xí)題一復(fù)習(xí)題一數(shù)學(xué)故事函數(shù)概念發(fā)展的歷史過(guò)程函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)概念中最重要的概念之一，縱觀300多年來(lái)函數(shù)概念的發(fā)展，眾多數(shù)學(xué)家從集合、代數(shù)，直至對(duì)應(yīng)、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，從而推動(dòng)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展．函數(shù)概念的縱向發(fā)展如下：1.早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)17世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家伽利略(G.Galileo)在《關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話》一書中幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系.法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾(Descartes)雖然在他的解析幾何中已經(jīng)注意到了一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期，牛頓、萊布尼茨建立微積分的時(shí)候，數(shù)學(xué)家還沒(méi)有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分的函數(shù)是被當(dāng)作曲線來(lái)研究的．2.18世紀(jì)函數(shù)概念——代數(shù)觀念下的函數(shù)1718年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利(JohannBernoulli)在萊布尼茨函數(shù)概念的基礎(chǔ)上把函數(shù)定義為：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量.”意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫作x的數(shù)學(xué)故事函數(shù).函數(shù)概念中所說(shuō)的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子．18世紀(jì)中葉，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L.Euler)給出了非常形象的、一直沿用至今的函數(shù)符號(hào)．歐拉給出的定義是：一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)（常數(shù)）以任何方式組成的解析表達(dá)式．他把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運(yùn)算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及變量的無(wú)理數(shù)冪所表示的函數(shù)）,還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)）.不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義．3.19世紀(jì)函數(shù)概念——對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可以用曲線來(lái)表示，也可以用一個(gè)式子來(lái)表示，或者用多個(gè)式子來(lái)表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭(zhēng)論，把對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)推向一個(gè)新的層次．1823年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西(A.L.Cauchy)從定義變量開(kāi)始給出了函數(shù)的定義，同時(shí)指出，雖然無(wú)窮級(jí)數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法，但是對(duì)函數(shù)來(lái)說(shuō)不一定要有解析表達(dá)式，不過(guò)他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來(lái)表示，這是一個(gè)很大的局限，突破這一局限的是德國(guó)數(shù)數(shù)學(xué)故事學(xué)家狄利克雷(Dirichlet)．1837年，狄利克雷拓寬了函數(shù)的概念，他指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫作x的函數(shù)．”狄利克雷的函數(shù)定義出色地避免了以往函數(shù)定義中所有關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡(jiǎn)明精確，以完全清晰的方式被所有數(shù)學(xué)家無(wú)條件地接受．至此，我們可以說(shuō)，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義．美國(guó)數(shù)學(xué)家維布倫(Veblen)用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過(guò)集合概念把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化，并且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其他對(duì)象（點(diǎn)、線、面、體、向量、矩陣等）．4.現(xiàn)代函數(shù)概念——集合論下的函數(shù)1914年，豪斯多夫(F.Hausdorff)在《集合論綱要》中用“序偶”來(lái)定義函數(shù)．其優(yōu)點(diǎn)是避開(kāi)了意義不明確的“變量”“對(duì)應(yīng)”概念，其不足之處是引入了不明確的概念“序偶”．波蘭數(shù)學(xué)家?guī)炖蟹蛩够?Kuratowski)于1921年用集合概念定義“序偶”，即序偶(a，b)為集合{{a}，}，這數(shù)學(xué)故事樣就使豪斯多夫的定義更加嚴(yán)謹(jǐn)．1930年，新的現(xiàn)代函數(shù)定義為：若對(duì)于集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f(x)．元素x稱為自變?cè)貀稱為因變?cè)瘮?shù)概念的定義經(jīng)過(guò)300多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié).20世紀(jì)40年代，伴隨著物理學(xué)研究的需要，發(fā)現(xiàn)了一種叫作Dirac-δ的函數(shù)，它只在一點(diǎn)處不為零，而在全直線上的積分等于1，這在原來(lái)的函數(shù)和積分的定義下是不可思議的；但廣義函數(shù)概念的引入，將函數(shù)、測(cè)度及以上所述的Dirac-δ函數(shù)等概念統(tǒng)一了起來(lái)．因此，隨著以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展，函數(shù)的概念還會(huì)繼續(xù)擴(kuò)展．謝謝欣賞THANKYOUFORLISTENING第二章極限與連續(xù)ChapterIILimitsandContinuity極限與連續(xù)極限是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具.高等數(shù)學(xué)的后續(xù)概念(如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等)都是用極限來(lái)描述的．連續(xù)則是很多函數(shù)的一個(gè)重要形態(tài)，連續(xù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象．本章首先介紹極限的概念和極限的運(yùn)算方法，然后研究函數(shù)的連續(xù)性．極限與連續(xù)在工科專業(yè)中有許多應(yīng)用，如汽車的制動(dòng)速度問(wèn)題、設(shè)備折舊問(wèn)題、電流的連續(xù)性問(wèn)題等．目錄1極限的概念2極限的運(yùn)算CONTENTS3兩個(gè)重要極限4無(wú)窮小量與無(wú)窮大量5函數(shù)的連續(xù)性極限的概念第一節(jié)問(wèn)題情境古人對(duì)極限的概念進(jìn)行了不懈的探索．古希臘數(shù)學(xué)家芝諾（Zeno）提出過(guò)4個(gè)著名的悖論，其中的一個(gè)是運(yùn)動(dòng)不存在．運(yùn)動(dòng)物體到達(dá)目的地之前必須到達(dá)路程的一半，然后再到達(dá)剩下一半路程的一半，然后再到達(dá)還剩下路程的一半……如此下去，它永遠(yuǎn)到達(dá)不了終點(diǎn).第二個(gè)是巨人阿喀琉斯趕不上在他前面的烏龜．因?yàn)闉觚斣谒那懊?，盡管他跑得很快，但當(dāng)他趕到烏龜?shù)钠瘘c(diǎn)時(shí)，烏龜（盡管跑得很慢）已經(jīng)往前跑了一段距離；然后，當(dāng)他趕到烏龜剛才所在點(diǎn)時(shí)，烏龜又已經(jīng)向前走了一段距離，他再趕過(guò)去，烏龜又已經(jīng)往前走了一段距離……如此下去，巨人阿喀琉斯永遠(yuǎn)趕不上在他前面的烏龜．芝諾的論點(diǎn)對(duì)嗎？為什么？定義1將自變量為正整數(shù)的函數(shù)un=f(n)的函數(shù)值按自變量n由小到大的順序排成的一列數(shù)u1，u2，u3，…，un，…稱為數(shù)列，記為{un}.其中，un=f(n)為數(shù)列{un}的通項(xiàng)或一般項(xiàng)．由于一個(gè)數(shù)列{un}完全由其一般項(xiàng)un所確定，因此有時(shí)也將數(shù)列{un}簡(jiǎn)寫成un．一、數(shù)列的概念與極限1.數(shù)列的概念定義2對(duì)于數(shù)列{un}，若存在一個(gè)常數(shù)M>0，使得|un|≤M(n=1，2，…)恒成立，則稱數(shù)列un為有界數(shù)列，或稱數(shù)列有界．如果數(shù)列{un}有界，也可理解為存在兩個(gè)數(shù)M和m，使得m≤un≤M，也稱M為數(shù)列的上界，m為數(shù)列的下界．一、數(shù)列的概念與極限1.數(shù)列的概念定義3對(duì)于數(shù)列{un}，若數(shù)列的各項(xiàng)滿足un≤un+1，則稱數(shù)列{un}為單調(diào)增加的數(shù)列；若數(shù)列的各項(xiàng)滿足un≥un+1，則稱數(shù)列{un}為單調(diào)減少的數(shù)列．單調(diào)增加的數(shù)列或單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列．一、數(shù)列的概念與極限2.數(shù)列的極限看下面3個(gè)無(wú)窮數(shù)列：一、數(shù)列的概念與極限2.數(shù)列的極限為了直觀，我們把這三個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)分別表示在數(shù)軸上，如圖2-1~圖2-3所示．圖2-1圖2-2圖2-3一、數(shù)列的概念與極限2.數(shù)列的極限一、數(shù)列的概念與極限2.數(shù)列的極限例1觀察下列數(shù)列的變化趨勢(shì)，寫出它們的極限.二、函數(shù)的極限1.當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f(x)的極限圖2-4觀察函數(shù)f（x）=可以發(fā)現(xiàn)，x無(wú)論取正數(shù)還是取負(fù)數(shù)，只要|x|無(wú)限增大，函數(shù)值就會(huì)無(wú)限趨近于0，如圖2-4所示．定義5設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)|x|＞a時(shí)有定義（a為某個(gè)常數(shù)），如果當(dāng)x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)f(x)的極限，記作定義5中的x→∞包括以下兩種情形：（1）x取正值無(wú)限增大，記為x→+∞.（2）x取負(fù)值而絕對(duì)值無(wú)限增大，記為x→-∞．對(duì)于某些函數(shù)f(x)，自變量x的變化趨勢(shì)只能或只需取這兩種情形中的一種.對(duì)于這兩種情形，有如下定義：定義6設(shè)函數(shù)f(x)在（a，+∞）內(nèi)有定義（a為某個(gè)常數(shù)），如果當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)x趨于正無(wú)窮大時(shí)函數(shù)f(x)的極限，記作二、函數(shù)的極限1.當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f(x)的極限二、函數(shù)的極限1.當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f(x)的極限定義7設(shè)函數(shù)f(x)在（-∞，a）內(nèi)有定義（a為某個(gè)常數(shù)），如果當(dāng)x無(wú)限減?。ɑ騲無(wú)限增大）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)x趨于負(fù)無(wú)窮大時(shí)函數(shù)f(x)的極限，記作二、函數(shù)的極限2.當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限自變量x無(wú)限趨近于某個(gè)確定的數(shù)值x0，其幾何意義是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到定點(diǎn)x0的距離越來(lái)越小，逐漸趨近于0．在這種情況下，由于只考慮函數(shù)f(x)的變化趨勢(shì)，因此無(wú)論f(x)在點(diǎn)x0處有無(wú)定義，都不影響我們的討論．先來(lái)看下面的例子．圖2-56二、函數(shù)的極限2.當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限對(duì)于這種當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)無(wú)限趨近于A的變化趨勢(shì)，有如下定義：定義8設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的去心鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)x從x0的左、右兩側(cè)無(wú)限趨近于x0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)x趨近于x時(shí)函數(shù)f(x)的極限，記作說(shuō)明6二、函數(shù)的極限在定義8中，x→x0表示x從x0的左、右兩側(cè)以任何方式無(wú)限趨近于x0，但有時(shí)需要考慮x只從大于x0的方向或只從小于x0的方向無(wú)限趨近于x0的情況，此時(shí)有如下定義：定義9設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的去心鄰域左側(cè)（x0-δ，x0）有定義，當(dāng)x從x0的左側(cè)無(wú)限趨近于x0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)x趨近于x0時(shí)函數(shù)f(x)的左極限，記作2.當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限定義10設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的去心鄰域右側(cè)（x0，x0+δ）有定義，當(dāng)x從x0的右側(cè)無(wú)限趨近于x0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)x趨近于x0時(shí)函數(shù)f(x)的右極限，記作二、函數(shù)的極限2.當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限二、函數(shù)的極限2.當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限圖2-6三、函數(shù)極限的性質(zhì)問(wèn)題1“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，請(qǐng)用數(shù)列表示每天剩余的木棍長(zhǎng)度，并討論此數(shù)列的極限以及數(shù)列和的極限．問(wèn)題2某市2018年年末的垃圾已達(dá)到100×104t．根據(jù)預(yù)測(cè)，從2019年起，該市還會(huì)以每年5×104t的速度產(chǎn)生新的垃圾．如果從2019年起每年處理上一年積累垃圾的20%，那么長(zhǎng)此以往，該市的垃圾能否被全部處理完？四、知識(shí)拓展極限的運(yùn)算第二節(jié)問(wèn)題情境我們都體會(huì)過(guò)謠言的可怕．比如“非典”時(shí)期，謠傳板藍(lán)根、口罩、白醋能夠預(yù)防流感，導(dǎo)致民眾大量搶購(gòu)；甲流時(shí)期，謠傳大蒜具有預(yù)防甲流的功能，導(dǎo)致大蒜一度脫銷等．謠言在初期迅速蔓延，這些行為會(huì)隨著時(shí)間的推移而終止．這一過(guò)程能否用數(shù)學(xué)模型表示出來(lái)？在一定情況下，謠言的傳播符合以下函數(shù)關(guān)系：，其中，p（t）為t時(shí)刻人群中知道此謠言的人數(shù)比例，a和k都是正數(shù)．說(shuō)明，隨著時(shí)間的推移，最后所有人都會(huì)知道此謠言．一、極限的四則運(yùn)算法則在自變量x的同一變化趨勢(shì)下，設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)的極限都存在，分別用limf(x)和limg(x)表示．此處省略了自變量x的變化趨勢(shì)，表示在下面的討論中，對(duì)于x→x0，x→x0-，x→x0+，x→∞，x→-∞，x→+∞中的任何一種情形，結(jié)論都成立（下同）．注意上面的法則可以簡(jiǎn)單敘述為：若函數(shù)f(x)和g(x)的極限都存在，則它們代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和，乘積的極限等于極限的乘積，商的極限等于極限的商（此時(shí)分母的極限不為0）．關(guān)于數(shù)列的極限，也有類似的四則運(yùn)算法則．二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則三、知識(shí)拓展兩個(gè)重要極限第三節(jié)問(wèn)題情境伴隨著汽車普及程度的提高和汽車消費(fèi)觀念的不斷成熟，人們對(duì)于二手車的接受程度也在不斷地提高，從而帶來(lái)了二手車市場(chǎng)的蓬勃發(fā)展．據(jù)中國(guó)汽車流通協(xié)會(huì)統(tǒng)計(jì)，2018年全國(guó)二手車?yán)鄯e交易1382.19萬(wàn)輛，累計(jì)同比增長(zhǎng)11.46%．預(yù)計(jì)到2020年，我國(guó)二手車交易規(guī)模將達(dá)到2920萬(wàn)輛，新車與二手車交易規(guī)模比例將接近1∶1．但由于影響二手車價(jià)格的因素比較多，因此消費(fèi)者在對(duì)二手車進(jìn)行估價(jià)時(shí)往往不知道從何下手．一、重要極限圖2-7一、重要極限注意一、重要極限二、重要極限二、重要極限三、知識(shí)拓展問(wèn)題1（汽車設(shè)備折舊問(wèn)題）由于國(guó)內(nèi)的二手車交易市場(chǎng)體制還不夠健全，因此很多消費(fèi)者對(duì)賣家的報(bào)價(jià)都心中沒(méi)底.汽車設(shè)備折舊就是將汽車設(shè)備的原價(jià)值減去到期后的折舊費(fèi)用繼續(xù)產(chǎn)生折舊費(fèi)用的結(jié)算方式，即把第一期的價(jià)值減去折舊費(fèi)作為第二期的價(jià)值，然后反復(fù)折舊．假設(shè)某品牌汽車的原價(jià)為20萬(wàn)元，年平均折舊率為10%，問(wèn)5年后該汽車的價(jià)值是多少?問(wèn)題2某公司花10萬(wàn)元購(gòu)買了汽車設(shè)備，年平均折舊率按20%的連續(xù)折舊計(jì)算，問(wèn)多少天后，汽車設(shè)備的價(jià)值將少于3萬(wàn)元？無(wú)窮小量與無(wú)窮大量第四節(jié)問(wèn)題情境英國(guó)海岸線有多長(zhǎng),也許你會(huì)很快給出一個(gè)答案．設(shè)想我們只考慮超過(guò)1km的彎兒，會(huì)有一個(gè)數(shù)；如果將超過(guò)1m的彎兒考慮在內(nèi)，則肯定會(huì)比原來(lái)的長(zhǎng)度長(zhǎng);如果進(jìn)一步將1cm,1mm,…的彎都考慮在內(nèi)，則會(huì)得到什么結(jié)果呢？下面介紹Koch雪花曲線．瑞典人科赫(Koch)于1906年提出了著名的雪花曲線.這種曲線的做法是：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間長(zhǎng)度為底邊,分別向外作正三角形，再把“底邊”線段抹掉，這樣就得到一個(gè)六角形，它共有12條邊．再把每條邊三等分，以各中間部分的長(zhǎng)度為底邊，向外作正三角形后，抹掉底邊線段．反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就會(huì)得到一個(gè)“雪花”樣子的曲線．這個(gè)曲線叫作科赫曲線或雪花曲線，如圖2-8所示.問(wèn)題情境圖2-8一、無(wú)窮小量1.無(wú)窮小量的定義定義1若函數(shù)α(x)在x的某種變化趨勢(shì)下以零為極限，則稱α(x)為在x的這種變化趨勢(shì)下的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮?。弧o(wú)窮小量1.無(wú)窮小量的定義（1）無(wú)窮小量是一個(gè)函數(shù)．說(shuō)一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮小量，必須指明自變量的變化趨勢(shì).例如，當(dāng)x→∞時(shí)是無(wú)窮小量，當(dāng)x→1時(shí)則不是無(wú)窮小量.（2）不要將絕對(duì)值很小的常數(shù)說(shuō)成無(wú)窮小量.例如，100－10000是一個(gè)很小的數(shù)，但不是無(wú)窮小量.（3）常數(shù)中只有零可以看成無(wú)窮小量．注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和未必是無(wú)窮小量．注意一、無(wú)窮小量2.無(wú)窮小的性質(zhì)性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量.性質(zhì)2有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量．推論常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量．性質(zhì)3有界函數(shù)與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量．兩個(gè)無(wú)窮小量的商未必是無(wú)窮小量．注意一、無(wú)窮小量2.無(wú)窮小的性質(zhì)一、無(wú)窮小量3.函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系定義2在自變量的某種變化趨勢(shì)下，若函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱函數(shù)f(x)為在x的這種變化趨勢(shì)下的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大．例如，由存款分析案例知道，若某人將一定本金存入銀行，則當(dāng)存入年限n→+∞時(shí)，本金的本利和無(wú)限增大．二、無(wú)窮大量例3判斷下列函數(shù)在指定的過(guò)程中是無(wú)窮小量還是無(wú)窮大量？說(shuō)明理由．二、無(wú)窮大量66有時(shí)，無(wú)窮大量具有確定的符號(hào)：在x的某種變化趨勢(shì)下，若f(x)恒為正且無(wú)限增大，則稱f(x)為正無(wú)窮大量，并用+∞表示；若f(x)恒為負(fù)且其絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱f(x)為負(fù)無(wú)窮大量，并用-∞表示．二、無(wú)窮大量無(wú)窮大量是一個(gè)函數(shù)，而不是一個(gè)很大的數(shù).函數(shù)為無(wú)窮大量，是函數(shù)極限不存在的一種特殊情況．但為了敘述方便，仍然說(shuō)成函數(shù)的極限是無(wú)窮大．任意常數(shù)都不是無(wú)窮大量．注意定理2在自變量的同一變化趨勢(shì)下，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量；恒不為零的無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量．使用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系定理可以方便地討論極限結(jié)果是無(wú)窮大量的情況．三、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系前面已經(jīng)討論了無(wú)窮小量的和、差、積的運(yùn)算結(jié)果，而兩個(gè)無(wú)窮小量的商會(huì)出現(xiàn)各種不同的情況，有的可能為無(wú)窮大量，有的可能為無(wú)窮小量，有的可能為常數(shù)．兩個(gè)無(wú)窮小量的商的不同結(jié)果反映了兩個(gè)無(wú)窮小量趨于零的快慢程度．比較兩個(gè)無(wú)窮小量趨于零的速度快慢，將會(huì)使后面問(wèn)題的討論更加方便，因此主要根據(jù)商的結(jié)果來(lái)定義無(wú)窮小量的比較結(jié)果．定義3設(shè)α(x)與β(x)均為自變量在同一變化趨勢(shì)下的無(wú)窮?。?、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系等價(jià)的無(wú)窮小量是同階的無(wú)窮小量的一個(gè)非常重要的特例．三、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系三、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系66函數(shù)的連續(xù)性第五節(jié)問(wèn)題情境發(fā)電機(jī)是汽車的主要電源，由發(fā)動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng).發(fā)電機(jī)在正常工作時(shí)，對(duì)除起動(dòng)機(jī)以外的所有用電設(shè)備供電，若還有過(guò)余能量，則再向蓄電池充電.現(xiàn)在的汽車發(fā)電機(jī)主要采用交流發(fā)電機(jī)．隨時(shí)間按照正弦規(guī)律變化的電動(dòng)勢(shì)、電壓和電流統(tǒng)稱為正弦交流電，簡(jiǎn)稱交流電．交流電函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，才能保證供電的連續(xù)性．在自然現(xiàn)象和日常生活中，變量的變化有漸變和突變兩種形式，如氣溫的變化、人體身高的增長(zhǎng)等都隨著時(shí)間的變化而連續(xù)變化，而火車和出租車的票價(jià)則隨著運(yùn)輸距離的不同而呈現(xiàn)出跳躍性的變化.這些現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性與間斷性．函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的重要形態(tài)之一.利用函數(shù)的連續(xù)性也可方便地計(jì)算函數(shù)的極限.連續(xù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象之一．一、連續(xù)的概念1.變量的改變量引例我們知道人體的高度h是時(shí)間t的函數(shù)h(t)，而且h隨著t的變化而連續(xù)變化．事實(shí)上，當(dāng)時(shí)間t的變化很微小時(shí)，人的高度變化也很微小，即當(dāng)Δt→0時(shí)，Δh→0．定義1如果自變量x從初值x0變到終值x1，那么終值x1與初值x0的差x1-x0叫作自變量的改變量（有的稱為自變量的增量），記為Δx=x1-x0．定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x由x0變成x0+Δx時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值由f(x0)變成f(x0+Δx)，則稱f(x0+Δx)-f(x0)為在點(diǎn)x0處的函數(shù)的改變量（有的稱為函數(shù)的增量），記為y=f(x0+Δx)-f(x0)，如圖2-9所示．圖2-9一、連續(xù)的概念2.函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，其直觀的幾何意義是曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處是連續(xù)的，如圖2-9所示．定義3設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處的改變量Δx趨近于零時(shí)，函數(shù)y=f(x)相應(yīng)的改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)也趨近于零，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)．用極限來(lái)表示，則是（1）在點(diǎn)x0處有定義；（2）在點(diǎn)x0處的極限存在；（3）在點(diǎn)x0處的極限值等于點(diǎn)x0處的函數(shù)值．一、連續(xù)的概念2.函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性這樣，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的定義也可敘述如下：定義4設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x的鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，即，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)．由定義4可知，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)必須同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：由于連續(xù)是用極限來(lái)定義的，而函數(shù)在點(diǎn)x0處的極限又分左極限和右極限，因此，函數(shù)在點(diǎn)x0處的連續(xù)也可分為左連續(xù)和右連續(xù)．一、連續(xù)的概念2.函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性一、連續(xù)的概念3.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性66一、連續(xù)的概念3.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性66一、連續(xù)的概念3.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性66一、連續(xù)的概念3.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性66二、函數(shù)的間斷引例電子技術(shù)中常用周期為T的矩形波，顯然電壓E在－,－T,0,,T等處不連續(xù)，如圖2-10所示．圖2-10定義9如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)，則稱x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)間斷點(diǎn)，也稱函數(shù)f(x)在該點(diǎn)間斷．由函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)的定義可知，如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處滿足下列3個(gè)條件之一，則點(diǎn)x0是f(x)的一個(gè)間斷點(diǎn)：二、函數(shù)的間斷例如，導(dǎo)線中的電流通常是連續(xù)變化的，但當(dāng)電流增加到一定程度時(shí)，會(huì)燒斷保險(xiǎn)絲，電流就突然為0，這時(shí)連續(xù)性被破壞而出現(xiàn)間斷．二、函數(shù)的間斷二、函數(shù)的間斷二、函數(shù)的間斷說(shuō)明三、初等函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)函數(shù)四則運(yùn)算的連續(xù)性定理1若函數(shù)f(x)和g(x)均在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)·g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，若g(x0)≠0，則在點(diǎn)x0處也連續(xù)．三、初等函數(shù)的連續(xù)性2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理3若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上單調(diào)且連續(xù)，則其反函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上也單調(diào)且連續(xù)，且它們的單調(diào)性相同．3.反函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算及復(fù)合運(yùn)算后仍然是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)初等函數(shù)的定義可得如下結(jié)論：定理4初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．定理4說(shuō)明，求初等函數(shù)在定義域內(nèi)指定點(diǎn)處的極限時(shí)，只需計(jì)算該點(diǎn)處的函數(shù)值即可．4.初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)極限運(yùn)算三、初等函數(shù)的連續(xù)性4.初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)極限運(yùn)算三、初等函數(shù)的連續(xù)性4.初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)極限運(yùn)算四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義12設(shè)函數(shù)y=f(x)在數(shù)集D上有定義，x0是D中的某一點(diǎn)，對(duì)于D中的任一點(diǎn)x∈D，若恒有f(x)≥f(x0)（或f(x)≤f(x0)），則稱f(x0)為函數(shù)f(x)的最小值（或最大值），x0稱為函數(shù)f(x)的最小值點(diǎn)（或最大值點(diǎn)）．說(shuō)明不同函數(shù)在不同的區(qū)間內(nèi)取得最大值與最小值的情況是不同的.例如，函數(shù)y=2x在（1，2）內(nèi)沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值；在［1，2)內(nèi)只有最小值2，而沒(méi)有最大值；在（1，2］內(nèi)只有最大值4，而沒(méi)有最小值;在［1，2］上既有最大值，也有最小值．y=(x-1)2在(-∞，+∞)內(nèi)只有最小值0，而沒(méi)有最大值，且最小值點(diǎn)只有x=1．y=sinx在(-∞，+∞)內(nèi)既有最大值1，又有最小值-1．四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理5（最大值和最小值存在定理）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．說(shuō)明定理中的閉區(qū)間和連續(xù)這兩個(gè)條件缺一不可．若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則它在該區(qū)間內(nèi)未必能取得最大值和最小值.例如，函數(shù)y=x2在區(qū)間(0，1)內(nèi)就沒(méi)有最大值和最小值．函數(shù)在閉區(qū)間上不連續(xù)，也未必能取得最大值和最小值．推論若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在該區(qū)間上有界．定理6(介值定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，則對(duì)于任意f(a)與f(b)之間的一個(gè)常數(shù)c，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=c．推論若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，則它必能取到其所在區(qū)間上的最小值與最大值之間的一切值．定理推論定理推論定理四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理7（零點(diǎn)定理）若函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，即f(a)·f(b)＜0，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0，如圖2-11所示．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即為方程f(x)=0的根，因此，零點(diǎn)存在定理又稱根的存在定理，用它來(lái)證明方程根的存在性是非常有效的.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性還可以明確方程根的分布情況．圖2-11四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例13證明方程x5-3x=1在(1，2)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根．證明將方程x5-3x=1化成x5-3x-1=0，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x5-3x-1，由于f(x)在［1，2］上連續(xù)，且f(1)=-3<0，f(2)=25>0，因此，連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)．由零點(diǎn)定理可知，f(x)在(1，2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0，即ξ是方程f(x)=0的一個(gè)根，故方程x5-3x=1在(1，2)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根．例14證明方程x+ex=0在(-1，1)內(nèi)有唯一的實(shí)根．證明構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+ex，由于f(x)是初等函數(shù)，在［-1，1］上連續(xù)，又f(-1)=-1+e-1<0，f(1)=1+e>0即f(-1)·f(1)<0,因此由零點(diǎn)定理可知，f(x)在(-1，1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0，即ξ是方程f(x)=0的一個(gè)根，故方程x+ex=0在(-1，1)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根．又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+ex中的x和ex在［-1，1］上是單調(diào)增加的，所以函數(shù)f(x)=x+ex在［-1，1］上也是單調(diào)增加的，從而方程f(x)=0在(-1，1)內(nèi)最多存在一個(gè)實(shí)根．綜上所述，方程x+ex=0在(-1，1)內(nèi)有唯一的實(shí)根．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二利用Mathematica求極限在計(jì)算極限時(shí)，常常需要應(yīng)用一些運(yùn)算技巧對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行初等變換，特別是自變量在某一給定值的變化過(guò)程中，分子和分母都趨向于０或∞的情況下，更需要具有一定的運(yùn)算技巧．利用Mathematica可以比較迅速地得到極限的計(jì)算結(jié)果．利用Mathematica求極限的命令語(yǔ)法格式及其意義見(jiàn)表2-2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二復(fù)習(xí)題二復(fù)習(xí)題二復(fù)習(xí)題二復(fù)習(xí)題二復(fù)習(xí)題二復(fù)習(xí)題二復(fù)習(xí)題二復(fù)習(xí)題二數(shù)學(xué)故事劉徽劉徽是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一名非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是我國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．《九章算術(shù)注》約成書于東漢之初，書中共有246個(gè)問(wèn)題的解法．在許多方面，如解聯(lián)立方程、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、正負(fù)數(shù)運(yùn)算、幾何圖形的體積和面積計(jì)算等，都位居世界先列.《海島算經(jīng)》研究的對(duì)象是有關(guān)高與距離的測(cè)量，使用的工具是利用垂直關(guān)系所連接起來(lái)的測(cè)竿與橫棒.有人說(shuō)這本書是實(shí)用三角法的啟蒙，不過(guò)其內(nèi)容并未涉及三角學(xué)中的正余弦概念.劉徽是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來(lái)表示無(wú)理數(shù)的立方根．在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了“割圓術(shù)”，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長(zhǎng)的方法．他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.14的結(jié)果．他用割圓術(shù)從直徑為2尺的圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始割圓，依次得正12邊形、正24邊形……割得越細(xì)，正多邊形面積和圓面積之差越小．他計(jì)算了3072邊形的面積并驗(yàn)證了這個(gè)值．劉徽提出的計(jì)算圓周率的科學(xué)方法奠定了此后千余年中國(guó)圓周率計(jì)算在世界上的領(lǐng)先地位．?dāng)?shù)學(xué)故事劉徽在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)極多，在開(kāi)方不盡的問(wèn)題中提出“求徽數(shù)”的思想，該方法與后來(lái)求無(wú)理根的近似值的方法一致，它不僅是圓周率精確計(jì)算的必要條件，而且促進(jìn)了十進(jìn)小數(shù)的產(chǎn)生，在線性方程組解法中，他創(chuàng)造了比直除法更簡(jiǎn)便的互乘相消法，與現(xiàn)今解法基本一致；并在中國(guó)數(shù)學(xué)史上第一次提出了“不定方程問(wèn)題”；他還建立了等差級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和公式；提出并定義了許多數(shù)學(xué)概念，如冪(面積)、方程(線性方程組)、正負(fù)數(shù)等．劉徽還提出了許多公認(rèn)正確的判斷作為證明的前提．他的大多數(shù)推理、證明都合乎邏輯，十分嚴(yán)謹(jǐn)，從而把《九章算術(shù)注》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎(chǔ)之上．雖然劉徽沒(méi)有寫出自成體系的著作，但他寫《九章算術(shù)注》所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)際上已經(jīng)形成了一個(gè)獨(dú)具特色、包括概念和判斷，并以數(shù)學(xué)證明為其聯(lián)系紐帶的理論體系．劉徽在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”可視為中國(guó)古代極限思想的佳作．在《海島算經(jīng)》一書中，劉徽精心選編了9個(gè)測(cè)量問(wèn)題，這些題目的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和代表性，都在當(dāng)時(shí)為西方所矚目．劉徽思維敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來(lái)論證數(shù)學(xué)命題的人．謝謝欣賞THANKYOUFORLISTENING第三章導(dǎo)數(shù)和微分ChapterIIIDerivativeandDifferential導(dǎo)數(shù)和微分本章將在函數(shù)和極限這兩個(gè)概念的基礎(chǔ)上來(lái)研究微分學(xué)的兩個(gè)基本概念——導(dǎo)數(shù)與微分．在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域中，當(dāng)研究運(yùn)動(dòng)的各種形式時(shí)，都需要從數(shù)量上研究函數(shù)相對(duì)于自變量的變化快慢程度，如物體運(yùn)動(dòng)的速度、電流、線密度、化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等；而當(dāng)物體沿曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，還需要考慮速度的方向，即曲線的切線問(wèn)題．所有這些在數(shù)量關(guān)系上都?xì)w結(jié)為函數(shù)的變化率，即導(dǎo)數(shù)．而微分則與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)，它指明當(dāng)變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上變化多少．因此，在這一章中，除了闡明導(dǎo)數(shù)與微分的概念之外，還將建立起一整套的微分公式和法則，從而系統(tǒng)地解決初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題．在工科專業(yè)中有很多關(guān)于導(dǎo)數(shù)與微分的實(shí)例，如汽車行駛路程相對(duì)于速度的變化快慢程度，液壓系統(tǒng)中的靜壓力，電子專業(yè)中電路的瞬時(shí)電流，機(jī)械零件受熱時(shí)膨脹體積的近似值，等等．目錄1導(dǎo)數(shù)的概念2求導(dǎo)法則CONTENTS3高階導(dǎo)數(shù)及幾種特殊求導(dǎo)法則4微分及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)問(wèn)題情境交警10：01在公路上攔下一輛卡車，對(duì)卡車司機(jī)說(shuō)：“你超速行駛了，此路段限速80km/h．”司機(jī)說(shuō)：“我早上7：00出車，到現(xiàn)在3個(gè)小時(shí)才開(kāi)了180km，你怎么說(shuō)我超速了！”交警說(shuō)：“我們用測(cè)速儀測(cè)到剛才（10：00）你的車速是90km/h，所以你超速了．”設(shè)某汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，若汽車的運(yùn)行路程s與運(yùn)行時(shí)間t的關(guān)系為s=s（t），求該汽車在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度．一、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題舉例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題分析：如果汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，給時(shí)間一個(gè)增量Δt，那么該汽車在時(shí)刻t0與時(shí)刻t0+Δt間隔內(nèi)的平均速度v0也就是汽車在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度，即在勻速直線運(yùn)動(dòng)中，這個(gè)比值是常數(shù)，但是如果汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，則它的運(yùn)行速度時(shí)刻都在發(fā)生變化，為了計(jì)算瞬時(shí)速度，在時(shí)刻t0任給時(shí)間一個(gè)增量Δt，考慮汽車由t0到t0+Δt這段時(shí)間的平均速度為當(dāng)時(shí)間間隔|Δt|很小時(shí)，其平均速度就可以近似地看作時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度，且|Δt|越小，近似程度越好．因此，當(dāng)|Δt|→0時(shí)，如果平均速度的極限存在，那么此極限稱為汽車在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度，即設(shè)電路中在[0,t]這段時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)線橫截面的電荷為Q=Q(t)，求時(shí)刻t0的瞬時(shí)電流．一、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題舉例2.電路中的瞬時(shí)電流問(wèn)題分析：如果是恒定電流，在Δt時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)線橫截面的電荷為ΔQ，那么它的電流為i=；如果電流是非恒定電流，就不能直接用上面的公式求時(shí)刻t0的瞬時(shí)電流，此時(shí)稱為在Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均電流．當(dāng)|Δt|很小時(shí)，平均電流可以作為時(shí)刻t0的瞬時(shí)電流的近似值，|Δt|越小，近似程度越好.令Δt→0，則平均電流的極限（如果極限存在）就稱為時(shí)刻t0的瞬時(shí)電流i(t0)，即二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處有改變量Δx時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處也有一個(gè)改變量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)，若二、導(dǎo)數(shù)的定義由此可見(jiàn)，導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)值的增量Δy與自變量的增量Δx之比的極限.一般地，稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率，所以，導(dǎo)數(shù)f′(x0)為f(x)在點(diǎn)x0處關(guān)于x的瞬時(shí)變化率．若式（1）或式（2）的極限存在，則稱f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，否則稱f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)．函數(shù)在某一定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)數(shù)值．注意二、導(dǎo)數(shù)的定義例1假設(shè)某汽車在做變速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的路程函數(shù)為s(t)=5t2，求時(shí)刻t0=5的瞬時(shí)速度v(5)．二、導(dǎo)數(shù)的定義定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某右鄰域（x0,x0+δ）內(nèi)有定義，若二、導(dǎo)數(shù)的定義例2證明函數(shù)f(x)=|x|在點(diǎn)x0=0處不可導(dǎo)．二、導(dǎo)數(shù)的定義（1）在求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，其實(shí)只要先求其導(dǎo)函數(shù)f′(x)，然后將x=x0代入就可得到該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值f′(x0)．（2）導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)通常不加區(qū)別統(tǒng)稱為導(dǎo)數(shù)，但讀者要明白兩者的區(qū)別．（3）通常情況下,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)絕大多數(shù)是求其導(dǎo)函數(shù)．注意二、導(dǎo)數(shù)的定義6二、導(dǎo)數(shù)的定義定義4設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在點(diǎn)a處右可導(dǎo)，在點(diǎn)b處左可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)．三、用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)66三、用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)66三、用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、初等函數(shù)的求導(dǎo)公式66五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)有曲線c及c上的一個(gè)定點(diǎn)p0，在該曲線c上任取異于點(diǎn)p0的一點(diǎn)p，過(guò)點(diǎn)p0與點(diǎn)p作一直線L，直線L一般稱為曲線c的割線.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p沿曲線無(wú)限趨近于定點(diǎn)p0時(shí)，割線有唯一的極限位置，這個(gè)極限位置的直線L0就稱為曲線c過(guò)點(diǎn)p0的切線，如圖3-1所示．根據(jù)上述切線的定義，可以先求出割線L的斜率：圖3-1若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)f′(x0)在數(shù)值上就等于曲線y=f(x)在點(diǎn)x0,f(x0)處的切線的斜率，即f′(x0)=tanα．導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點(diǎn)x0,f(x0)處的切線的斜率，由此可以得到曲線在點(diǎn)（x0,f(x0)）處的切線方程和法線方程．曲線在點(diǎn)p0(x0，y0)處的切線方程為y－y0=f′(x0)(x－x0)五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義由此可推出，若f′(x0)=0，則α=0，此時(shí)曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)p0處的切線平行于x軸；若f′(x0)=±∞，則，此時(shí)曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)p0處的切線垂直于x軸．五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理2若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則它在點(diǎn)x0處必連續(xù)．連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件．也就是說(shuō)，可導(dǎo)一定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)．六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系從實(shí)際問(wèn)題中抽象出導(dǎo)數(shù)的概念，并利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這是很重要的一方面；另一方面，還應(yīng)使抽象的概念回到具體的問(wèn)題中去，在科學(xué)技術(shù)中常把導(dǎo)數(shù)稱為變化率.因?yàn)?，?duì)于一個(gè)未賦予具體含義的一般函數(shù)y=f(x)來(lái)說(shuō)，七、知識(shí)拓展是表示自變量x在以x0與x0+Δx為端點(diǎn)的區(qū)間中每改變一個(gè)單位時(shí)，函數(shù)y的平均變化量．所以，把稱為函數(shù)y=f(x)在該區(qū)間中的平均變化率；把平均變化率當(dāng)Δx→0時(shí)的極限f′(x0)或稱為函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率.變化率反映了函數(shù)y隨著自變量x在點(diǎn)x0處的變化而變化的快慢程度．顯然，當(dāng)函數(shù)有不同的實(shí)際含義時(shí)，變化率的含義也不同．七、知識(shí)拓展首先，我們可以說(shuō)：切線的斜率是曲線的縱坐標(biāo)y對(duì)橫坐標(biāo)x的變化率，瞬時(shí)速度是物體位移s對(duì)時(shí)間t的變化率．問(wèn)題1（汽車液壓傳動(dòng)課程中的靜壓力模型）靜壓力是指液體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，單位面積上所受的內(nèi)法線方向的法向作用力.靜壓力在液壓傳動(dòng)中簡(jiǎn)稱壓力，在物理學(xué)中則稱為壓強(qiáng)．設(shè)靜止液體中某一微小面積ΔA上作用有法向力ΔF，則該點(diǎn)壓力可定義為七、知識(shí)拓展問(wèn)題2（邊際成本模型）在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本定義為產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總成本．設(shè)某汽車零件的產(chǎn)量為x單位時(shí)所需的成本為C=C(x)，稱C(x)為總成本函數(shù)，簡(jiǎn)稱成本函數(shù)。當(dāng)產(chǎn)量由x變?yōu)閤+Δx時(shí)，總成本函數(shù)的改變量為類似地，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際收入定義為多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的銷售總收入，即R′(x).這里，R(x)為銷售量為x時(shí)的總收入．求導(dǎo)法則第二節(jié)問(wèn)題情境一段鐵軌的長(zhǎng)度受溫度影響會(huì)產(chǎn)生變化，氣溫每上升1℃，其長(zhǎng)度增加0.5cm．問(wèn)：鐵軌的長(zhǎng)度每小時(shí)增加了多少？當(dāng)氣溫從15℃上升到30℃時(shí)，鐵軌的長(zhǎng)度一共增加了多少？一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則66一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則66一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則例5求y=xsinxtanx的導(dǎo)數(shù)．解分析這個(gè)題目，可知它是3個(gè)函數(shù)的乘積，可以直接用積的求導(dǎo)推廣公式；但在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，可以對(duì)它們進(jìn)行重組后，用兩個(gè)函數(shù)的積的求導(dǎo)公式．y′=x′sinxtanx+x(sinx)′tanx+xsinx(tanx)′=sinxtanx+xcosxtanx+xsinxsec2x利用已有的基本公式與求導(dǎo)法則可以解決一部分初等函數(shù)的直接求導(dǎo)問(wèn)題，但實(shí)際上我們所遇到的初等函數(shù)往往是較為復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)，為此還需要利用一些特殊的求導(dǎo)法則和技巧來(lái)求導(dǎo)．二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則剛開(kāi)始做題時(shí)，可以設(shè)出中間變量，對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解；熟練之后，可不寫出中間變量，按照復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)．注意三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則666四、知識(shí)拓展問(wèn)題某汽配公司生產(chǎn)一種小型的汽車配件，設(shè)市場(chǎng)上對(duì)此配件的商品需求量為q，銷售的價(jià)格為p，由多年的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐得知此配件的需求量與價(jià)格之間的關(guān)系（經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為需求函數(shù)）近似為.如果該配件的價(jià)格按每年5%的比率均勻增長(zhǎng)，那么銷售價(jià)格為1.00元/件時(shí)的需求量將如何變化？高階導(dǎo)數(shù)及幾種特殊求導(dǎo)法則第三節(jié)問(wèn)題情境王同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后從事汽車銷售工作，第一年的銷售業(yè)績(jī)曲線如圖3-2所示，問(wèn)：1月1日至6月1日的銷售增長(zhǎng)情況與6月1日至12月31日的銷售增長(zhǎng)情況有何什么不同？圖3-2一、高階導(dǎo)數(shù)的概念及求法若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，即在該鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x處都有f′(x)，按照函數(shù)的定義，f′(x)是x的函數(shù)，在前面我們已將它稱為導(dǎo)函數(shù).對(duì)這個(gè)函數(shù)f′(x)，實(shí)際上仍然可以考慮它在點(diǎn)x0處的可導(dǎo)性，因此我們引入二階導(dǎo)數(shù)的概念．一、高階導(dǎo)數(shù)的概念及求法一、高階導(dǎo)數(shù)的概念及求法二、參數(shù)方程求導(dǎo)法二、參數(shù)方程求導(dǎo)法點(diǎn)隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法點(diǎn)隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法定義2由二元方程F(x,y)=0所確定的y與x的關(guān)系式稱為隱函數(shù)．隱函數(shù)如何求導(dǎo)數(shù)呢？可以利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來(lái)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，具體做法如下：（1）對(duì)方程F(x,y)=0的兩端同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)，在求導(dǎo)過(guò)程中把y看成x的函數(shù)，也就是把y作為中間變量來(lái)看待（有時(shí)也可以把x看作函數(shù)，把y看作自變量）．（2）求導(dǎo)之后得到一個(gè)關(guān)于y′的一次方程，解此方程，便得到y(tǒng)′的表達(dá)式．當(dāng)然，在此表達(dá)式中可能會(huì)含有y，這沒(méi)關(guān)系，讓其保留在式子中即可．三、隱函數(shù)求導(dǎo)法三、隱函數(shù)求導(dǎo)法三、隱函數(shù)求導(dǎo)法三、隱函數(shù)求導(dǎo)法四、知識(shí)拓展在介紹隱函數(shù)求導(dǎo)法則之后，我們要向讀者介紹一種較實(shí)用、較重要的求導(dǎo)法——取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法．具體的求法以實(shí)例來(lái)說(shuō)明．把形如y=uv（u和v都是x的函數(shù)）的函數(shù)稱為冪指函數(shù)．如果u和v都可導(dǎo)，那么這類函數(shù)的求導(dǎo)方法為：先在所給的顯函數(shù)y=f(x)兩邊取對(duì)數(shù)，得到隱函數(shù)lny=lnf(x)，再由隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)，這種方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法．這種方法適用于冪指函數(shù)和所給函數(shù)可看作冪的連乘積求導(dǎo)數(shù)，可簡(jiǎn)化運(yùn)算，是一種簡(jiǎn)便的求導(dǎo)方法．注意四、知識(shí)拓展微分及其應(yīng)用第四節(jié)問(wèn)題情境李同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后計(jì)劃投資10萬(wàn)元開(kāi)設(shè)汽車維修店，他找到融資企業(yè)主管商談融資事宜，對(duì)方提出按日利率為0.03％的復(fù)利計(jì)算，貸款60d。李同學(xué)沉思30s后知道了應(yīng)該還款的利息是多少．問(wèn)：你能在30s內(nèi)回答李同學(xué)貸款60d的利息嗎？一、微分的概念引例一邊長(zhǎng)為x0的正方形汽車金屬材料受熱后，其邊長(zhǎng)增加Δx（見(jiàn)圖3-3），問(wèn)其面積增加了多少？圖3-3從圖3-3中可以看到，面積的增量可分為兩個(gè)部分：一是兩個(gè)矩形的面積總和2x0Δx（陰影部分），它是Δx的線性部分；二是右上角的正方形的面積(Δx)2，它是Δx的高階無(wú)窮小部分．從函數(shù)的角度來(lái)看，函數(shù)A=x2具有這樣的特征：任給自變量一個(gè)增量Δx，相應(yīng)函數(shù)值的增量Δy可表示成關(guān)于Δx的線性部分(2x0Δx)與高階無(wú)窮小部分［(Δx)2］的和．這樣一來(lái)，當(dāng)Δx非常微小時(shí)，面積的增量的主要部分就是2x0Δx，而(Δx)2可以忽略不計(jì)，也就是說(shuō)，可以用2x0Δx來(lái)代替面積的增量．人們把這種特征性質(zhì)從具體意義中抽象出來(lái)，再賦予它一個(gè)數(shù)學(xué)名詞——可微，從而得到了微分的概念．一、微分的概念分析：由已知可得正方形汽車金屬材料受熱前的面積為A=，受熱后的面積的增量為微分的概念微分的概念微分的概念微分的概念一、微分的概念A(yù)Δx通常稱為Δy=AΔx+o(Δx)的線性主要部分．“線性”是因?yàn)锳Δx是Δx的一次函數(shù)．“主要”是因?yàn)閛(Δx)是比Δx更高階的無(wú)窮小量，在等式中，它幾乎不起作用；而AΔx在式中起主要作用．定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0,δ)內(nèi)有定義，任給x0一個(gè)增量Δx（x0+Δx∈U(x0,δ)），得到相應(yīng)函數(shù)值的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)，如果存在常數(shù)A，使得Δy=AΔx+o(Δx)，而o(Δx)是比Δx高階的無(wú)窮小量．則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處是可微的，稱AΔx為y=f(x)在點(diǎn)x0處的微分，記作．定理1函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微的充要條件是：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并且Δy=AΔx+o(Δx)中的A與f′(x0)相等．若函數(shù)y=f(x)在定義域中的任意點(diǎn)x處可微，則稱函數(shù)f(x)是可微函數(shù)，它在點(diǎn)x處的微分記作dy或df(x)，即dy=f′(x)Δx．為了便于討論，在數(shù)學(xué)上有一個(gè)約定：自變量x的增量等于自變量的微分，即Δx=dx．因此，函數(shù)y=f(x)的微分通常記為dy=f′(x)dx一、微分的概念了解微分的概念之后，接下來(lái)就要解決如何求微分的問(wèn)題．我們已經(jīng)知道dyx=x0=AΔx，那么A怎么求呢？下面給出一個(gè)定理．微分的概念微分的概念微分的概念微分的概念定理1說(shuō)明一個(gè)事實(shí)：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)和可微是等價(jià)的．函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的微分可表示為注意到導(dǎo)數(shù)的一種表示符號(hào)現(xiàn)在，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以被賦予一種新的解釋：導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商.因此，導(dǎo)數(shù)也叫作微商．一、微分的概念一、微分的概念66在曲線上取一點(diǎn)Qx+Δx,y+Δy，則PM=Δx，MQ=Δy，MN=PM·tanα，所以MN=f′(x)Δx=dy．因此，微分的幾何意義就是在曲線上某一點(diǎn)處，當(dāng)自變量取得改變量Δx時(shí)，曲線在該點(diǎn)處切線所對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)的改變量．如圖3-4所示，設(shè)曲線方程為y=f(x)，PT是曲線上點(diǎn)P(x，y)處的切線，且設(shè)PT的傾斜角為α，則tanα=f′(x)．二、微分的幾何意義圖3-4三、微分的基本公式與運(yùn)算法則661.微分的基本公式三、微分的基本公式與運(yùn)算法則2.微分的法則對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=fu，u=φ(x)，此時(shí)u為中間變量，則由微分定義及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有dy=f′(u)φ′(x)dx其中，φ′(x)dx=du，所以，dy=f′(u)du仍成立，可見(jiàn)，無(wú)論u是自變量還是中間變量，y=fu的微分形式總可以寫為dy=f′(u)du這一性質(zhì)叫作微分形式不變性．三、微分的基本公式與運(yùn)算法則3.復(fù)合函數(shù)的微分三、微分的基本公式與運(yùn)算法則3.復(fù)合函數(shù)的微分66三、微分的基本公式與運(yùn)算法則3.復(fù)合函數(shù)的微分三、微分的基本公式與運(yùn)算法則3.復(fù)合函數(shù)的微分66四、知識(shí)拓展1.02.03.04.05.0問(wèn)題一個(gè)半徑為4cm的球形汽車零件在受熱后膨脹，假設(shè)半徑平均增加，求該零件體積膨脹的近似值.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三利用Mathematica計(jì)算導(dǎo)數(shù)微分在求函數(shù)導(dǎo)數(shù)微分的過(guò)程中會(huì)遇到大量的運(yùn)算，需要特別仔細(xì).但是，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)微分的步驟是有規(guī)律的，特別符合計(jì)算機(jī)運(yùn)算的要求.利用Mathematica求導(dǎo)數(shù)微分，其命令語(yǔ)法格式及其意義見(jiàn)表3-1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三復(fù)習(xí)題三復(fù)習(xí)題三復(fù)習(xí)題三復(fù)習(xí)題三復(fù)習(xí)題三數(shù)學(xué)故事費(fèi)馬十六七世紀(jì)，微積分是繼解析幾何之后數(shù)學(xué)領(lǐng)域最璀璨的明珠．眾所共知，牛頓和萊布尼茨是微積分的締造者，并且在其之前，已經(jīng)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的發(fā)明做了奠基性的