2023版人教版初中數(shù)學(xué)同步講義練習(xí)8年級下冊第十七章 勾股定理 專題17.2 勾股定理的逆定理（教師版）

2023版人教版初中數(shù)學(xué)同步講義練習(xí)八年級下冊

專題17.2勾股定理的逆定理1、熟練掌握勾股定理逆定理判斷直角三角形，能夠運用勾股定理逆定理解決簡單的實際問題。2、理解勾股數(shù)的概念，并能準確判斷一組數(shù)是不是勾股數(shù)。3、熟練掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想。知識點01勾股定理的逆定理【知識點】1）勾股定理的逆定理：如果三角形三邊長分別為a，b，c，滿足a2+b2=c2，則這個三角形是以c為斜邊的直角三角形。2）勾股定理逆定理的證明：如圖，AB=c，AC=b，CB=a，當a2+b2=c2，證明：△ABC是直角三角形。證明：過點A作AD垂直于CB交CB于點D，設(shè)CD=x。根據(jù)勾股定理b2－x2=c2－（a±x）2將a2+b2=c2代入得±2ax=0∴x=0∴點D與點C重合∴AC⊥CB∴△ABC為直角三角形注：勾股定理的逆定理主要用于證明三角形是直角三角形。1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.【知識拓展1】直角三角形的判定例1．（2022·安徽蕪湖·八年級期末）已知的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C．，， D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．可判斷A、C選項；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可判斷B、D選項．【詳解】解：A選項中，∵c2＝a2﹣b2，∴b2+c2＝a2，∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；B選項中，∵設(shè)∠A＝3x，則∠B＝4x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，∴∠C＝5×15°＝75°，∴此三角形不是直角三角形，故本選項符合題意；C選項中，∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；D選項中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，∴此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】1．（2022·廣西貴港·八年級期末）下列條件：①；②，，；③；④．其中能判定是直角三角形的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】由直角三角形的定義，只要驗證最大角是否是；由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方即可．【詳解】①，，能判定是直角三角形；②，∴，能判定是直角三角形；③，，，能判定是直角三角形；④，，，能判定是直角三角形；綜上所述，能判定是直角三角形的有4個．故選：A．【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．也考查了三角形內(nèi)角和定理．【知識拓展2】勾股定理的逆定理的應(yīng)用（1）面積問題例2．（2022·陜西八年級期末）為迎接十四運，我區(qū)強力推進“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．綠地廣場有一塊三角形空地將進行綠化，如圖，在中，，E是上的一點，，，．（1）判斷的形狀，并說明理由．（2）求線段的長．【答案】（1）是直角三角形；理由見解析；（2）線段的長為16.9．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理證明即可；（2）設(shè)，則，由勾股定理列得，代入數(shù)值得，計算即可．【詳解】解：（1）是直角三角形．理由：∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形．（2）設(shè)，則，由（1）可知是直角三角形，∴，∴，解得，∴線段的長為16.9．【點睛】此題考查勾股定理及逆定理，熟練掌握勾股定理及逆定理的運算及應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】1．（2022·天津八年級期中）如圖，四邊形中，，，，，且，則四邊形的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的長，運用勾股定理可求出AC的長，在△ADC中，已知三邊長，運用勾股定理逆定理，可得此三角形為直角三角形，故四邊形ABCD的面積為Rt△ACD與Rt△ABC的面積之差．【詳解】解：連接AC，∵∴AC=5cm，∵CD=12cm，DA=13cm，∴△ADC為直角三角形，∴故四邊形ABCD的面積為24cm2．故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，判斷出△ACD的形狀是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022·山東聊城·八年級期末）聊城市在創(chuàng)建“全國文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費用為150元，試計算綠化這片空地共需花費多少元？【答案】綠化這片空地共需花費17100元【分析】連接AC，直接利用勾股定理得出AC，進而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面積求法得出答案．【詳解】解：連接AC，如圖∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，∴S△DAC＝×AD?AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB?AC＝×9×12＝54（m2），∴S四邊形ABCD＝60＋54＝114（m2），∴150×114＝17100（元），答：綠化這片空地共需花費17100元．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理以及勾股定理逆定理是解題關(guān)鍵．【知識拓展3】勾股定理的逆定理的應(yīng)用（2）例3．（2022·江蘇八年級期中）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向AB由點A行駛向點B，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為300km和400km，又AB=500km，以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺風(fēng)的速度為20km/h，臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有小時．【答案】（1）海港C受臺風(fēng)影響，理由見解析；（2）7．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面積法得出CD的長，從而可得海港C是否受臺風(fēng)影響；（2）根據(jù)勾股定理得出ED以及EF的長，進而得出臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間．【詳解】解：（1）海港C受臺風(fēng)影響．理由：如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC?BC＝CD?AB∴CD＝240（km）∵以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受到臺風(fēng)影響．（2）當EC＝250km，F(xiàn)C＝250km時，正好影響C港口，∵ED＝＝70（km）∴EF＝140km∵臺風(fēng)的速度為20km/h，∴140÷20＝7（小時）即臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為7小時．故答案為：7．【點睛】本題考查了勾股定理及逆定理的應(yīng)用，解答此類題目的關(guān)鍵掌握勾股定理及其逆定理并構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問題．【即學(xué)即練】1．（2022·重慶·八年級期中）如圖，某港口O位于南北延伸的海岸線上，東面是大海．遠洋號、長峰號兩艘輪船同時離開港O，各自沿固定方向航行，“遠洋”號每小時航行12海里，“長峰”號每小時航行16海里，它們離開港口1小時后，分別到達A，B兩個位置，且AB=20海里，已知“遠洋”號沿著北偏東60°方向航行，請判斷“長峰”號航行的方向，并說明理由．【答案】南偏東30°，理由見解析．【分析】由題意得：OA2＋OB2＝AB2，由勾股定理的逆定理得出△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，求出∠DOB＝30°，即可得出答案．【詳解】解：“長峰”號航行的方向是南偏東30°．理由是：由題意得：OA=12，OB=16，AB=20，∵122+162=202，∴OA2+OB2=AB2．∴△OAB是直角三角形，∴∠AOB=90°．∵∠COA=60°，∴∠DOB=180°﹣90°﹣60°=30°，∴“長峰”號航行的方向是南偏東30°．【點睛】此題考查了勾股定理的逆定理及方向角的理解與運用，利用勾股定理的逆定理得出△OAB為直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北八年級期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊河邊原有兩個取水點其中由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點在同一條直線上），并新修一條路測得千米，千米，千米．（1）問是否為從村莊到河邊的最近路．請通過計算加以說明；（2）求新路比原路少多少千米．【答案】(1)是，理由見解析；(2)0.05千米【分析】(1)根據(jù)勾股定理的逆定理驗證△CHB為直角三角形，進而得到CH⊥AB，再根據(jù)點到直線的距離垂線段最短即可解答；(2)在△ACH中根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：(1)是，理由如下：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，即CH2+BH2=BC2，∴△CHB為直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB，由點到直線的距離垂線段最短可知，CH是從村莊C到河邊AB的最近路；(2)設(shè)AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=(x-0.9)2+1.22，解得x=1.25，即AC=1.25，故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．【點睛】此題考查勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及逆定理是解決本題的關(guān)鍵．【知識拓展4】網(wǎng)格中的勾股定理例4．（2022·山西初二期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為，點在小正方形的格點上，連接，則________．【答案】45【分析】連接利用勾股定理求解證明為等腰直角三角形，從而可得答案．【解析】解：如圖，連接由勾股定理得：為等腰直角三角形，故答案為：【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022·山東鄒城初二期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小方格的頂點叫做格點．(1)在圖1中的正方形網(wǎng)格中，取A，B，C三個格點，連接AB，BC，CA，得到△ABC，求證：△ABC為直角三角形；

(2)按下列要求畫圖：在圖2和圖3的兩個正方形網(wǎng)格中，分別取三個格點，連結(jié)這三個格點，使之構(gòu)成直角三角形，且圖1、圖2、圖3中的三個三角形互不全等．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）通過格點圖，利用勾股定理分別計算出線段AB，BC，AC的長度，再通過勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形；（2）同（1）的方法，構(gòu)造三條線段，使它們滿足勾股定理的逆定理，從而圍成直角三角形．【解析】（1）由圖1可知：，，，∵，∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°；（2）如圖2，，，，∵，∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°；如圖3，AB=3，BC=4，，∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°；【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理在格點圖中的應(yīng)用，結(jié)合格點圖形，發(fā)散思維，運用勾股定理及其逆定理進行構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江溫嶺）如圖，5×5網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點均為網(wǎng)格上的格點（1）AB2＝．BC2＝．AC2＝．（2）∠ABC＝°（3）在格點上存在點P，使∠APC＝90°，請在圖中標出所有滿足條件的格點P（用P1、P2……表示）【答案】（1）（2）（3）見解析．【分析】（1）根據(jù)勾股定理分別計算出，即可求解；（2）根據(jù)（1）中的計算結(jié)果，根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解；（3）根據(jù)勾股定理的逆定理找到滿足∠APC=90°的格點P即可求解．【解析】解：（1）故答案為：．（2）∴∠ABC=90°．故答案為：（3）如上圖所示：【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，勾股定理，勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．知識點02勾股數(shù)【知識點】1）勾股數(shù)：能構(gòu)成直角三角形三條邊的三個正整數(shù)2）常見的勾股數(shù)有：=1\*GB3①3，4，5；=2\*GB3②5，12，13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……注意：這兩組勾股數(shù)的整倍數(shù)也是勾股數(shù)，如：3、4、5是勾股數(shù)，則6、8、10也必是勾股數(shù)。在考察勾股數(shù)時，若出現(xiàn)不熟悉數(shù)組，可利用勾股定理逆定理判斷，即：a2+b2=c2?！局R拓展1】勾股數(shù)例1．（2022·江蘇邗江·八年級期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A．12、15、18 B．0.3、0.4、0.5 C．12、16、20 D．1.5、3、2.5【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理逆定理與勾股數(shù)為正整數(shù)的特征對各選項進行一一判定即可．【詳解】解：∵122+152=144+225=369≠182，故選項A不是勾股數(shù)；∵0.3、0.4、0.5不是整數(shù)，故選項B不是勾股數(shù)；∵122+162=144+256=400=202，故選項C是勾股數(shù)；∵1.5、3、2.5不是整數(shù)，故選項D不是勾股數(shù)；故選C．【點睛】本題考查勾股數(shù)，掌握勾股數(shù)是正整數(shù)，勾股定理逆定理是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】1．（2022·湖北八年級期末）下列四組數(shù)據(jù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．5，12，13 B．4，7，9 C．6，8，10 D．9，40，41【答案】B【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【詳解】A、52+122＝132，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，是勾股數(shù)，不符合題意；B、42+72≠92，不能構(gòu)成直角三角形，不是勾股數(shù)，符合題意；C、62+82＝102，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，是勾股數(shù)，不符合題意；D、92+402＝412，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，是勾股數(shù)，不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了勾股數(shù)的定義，勾股定理，理解勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【知識拓展2】勾股數(shù)的相關(guān)運用例2．（2022·北京初二期中）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù).某同學(xué)將自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知的值為（）A．47 B．62 C．79 D．98【答案】C【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到，進而得出的值.【解析】解：由題可得：……當故選C【點睛】本題為勾股數(shù)與數(shù)列規(guī)律綜合題；觀察數(shù)列，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.【即學(xué)即練2】2．（2022·廣西八年級期末）《九章算術(shù)》提供了許多整勾股數(shù)，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱為“弦數(shù)”．后人在此基礎(chǔ)上進一步研究，得到如下規(guī)律：若m是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個整數(shù)，那么m與這兩個整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù)；若m是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個平方數(shù)分別減1，加1得到兩個整數(shù)，那么m與這兩個整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù)．由上述方法得到的勾股數(shù)稱為“由m生成的勾股數(shù)”．根據(jù)以上規(guī)律，“由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”為（）A．16 B．17 C．25 D．64【答案】B【分析】直接根據(jù)題意分別得出由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”進而得出答案．【詳解】解：∵由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”記為A，∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，故A＝17，故選：B．【點睛】本題考查勾股數(shù)問題．能理解題中的計算方式，并能依此計算是解決此題的關(guān)鍵．需注意在計算“由m生成的勾股數(shù)”時，m分奇偶計算方式不同．【知識拓展3】分類討論思想例3．（2022·湖南八年級期末）定義：如圖，點、把線段分割成、、，若以、、為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點、是線段的勾股分割點．（1）已知、把線段分割成、、，若，，，則點、是線段的勾股分割點嗎？請說明理由．（2）已知點、是線段的勾股分割點，且為直角邊，若，，求的長．【答案】（1）是，理由見解析；（2）或【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷．（2）設(shè)BN＝x，則MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分兩種情形①當MN為斜邊時，依題意MN2＝AM2+NB2；②當BN為斜邊時，依題意BN2＝AM2+MN2；分別列出方程即可解決問題．【詳解】解：（1）是．理由：，，，、、為邊的三角形是一個直角三角形．故點、是線段的勾股分割點．（2）設(shè)，則，①當為最大線段時，依題意，即，解得；②當為最大線段時，依題意．即，解得綜上所述的長為或．【點睛】本題考查了勾股定理逆定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，分類討論，熟練運用勾股定理逆定理列出方程．【即學(xué)即練3】1．（2022·老河口市第四中學(xué)初二月考）在中，，，.設(shè)為最長邊.當時，是直角三角形；當時，利用代數(shù)式和的大小關(guān)系，探究的形狀（按角分類）．（1）當三邊分別為6、8、9時，為______三角形；當三邊分別為6、8、11時，為______三角形．（2）猜想，當______時，為銳角三角形；當______時，為鈍角三角形．（3）判斷當，時，的形狀，并求出對應(yīng)的的取值范圍．【答案】（1）銳角，鈍角．（2），；（3）時，為鈍角三角形【分析】(1)利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時的斜邊的值,然后作出判斷即可;(2)根據(jù)(1)中的計算作出判斷即可;(3)根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長邊c點的最大值,然后得到c的取值范圍,然后分情況討論即可得.【解析】（1）銳角，鈍角．（2），．（3）為最長邊，．當，，即時，為銳角三角形；當，，即時，為直角三角形；當，，即時，為鈍角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理,勾股定理逆定理,讀懂題目信息,理解理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時的三條邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·貴州遵義市·八年級期末）下列三個數(shù)中，能組成一組勾股數(shù)的是（）A．，， B．32，42，52 C．，， D．12，15，9【答案】D【分析】勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，根據(jù)定義即可求解．【詳解】解：A、，故此選項錯誤；B、，故此選項錯誤；C、，故此選項錯誤；D、，故此選項正確；故選D．【點睛】本題考查了勾股數(shù)的定義，注意：作為勾股數(shù)的三個數(shù)必須是正整數(shù)．2．（2022·河南初二期中）適合下列條件的△ABC中,直角三角形的個數(shù)為①②，∠A=45°;③∠A=32°,∠B=58°；④⑤⑥⑦⑹A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】根據(jù)勾股定理的逆定理，可分別求出各邊的平方，然后計算判斷：，故①不能構(gòu)成直角三角形；當a=6，∠A=45°時，②不足以判定該三角形是直角三角形；根據(jù)直角三角形的兩銳角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；根據(jù)72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能夠成直角三角形；由三角形的三邊關(guān)系，2+2=4可知⑤不能構(gòu)成三角形；令a=3x，b=4x，c=5x，可知a2+b2=c2，故⑥能夠成直角三角形；根據(jù)三角形的內(nèi)角和可知⑦不等構(gòu)成直角三角形；由a2=25，b2=144，c2=169，可知a2+b2=c2，故⑧能夠成直角三角形.故選：C.點睛：此題主要考查了直角三角形的判定，解題關(guān)鍵是根據(jù)角的關(guān)系，兩銳角互余，和邊的關(guān)系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判斷即可，比較簡單.3．（2022·安徽八年級期中）已知，是線段上的兩點，，，以點為圓心，長為半徑畫弧；再以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，則一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】B【分析】依據(jù)作圖即可得到AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，進而得到AC2+BC2=AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【詳解】解：如圖所示，AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．4．（2022·湖北·荊州八年級期中）如圖，在4×4方格中作以AB為一邊的Rt△ABC，要求點C也在格點上，這樣的Rt△ABC能作出（）A．2個 B．3個 C．4個 D．6個【答案】D【詳解】當AB是斜邊時,則第三個頂點所在的位置有:C、D,E,H四個;當AB是直角邊,A是直角頂點時,第三個頂點是F點;當AB是直角邊,B是直角頂點時,第三個頂點是G.因而共有6個滿足條件的頂點.故選D.5．（2022·山西靈石八年級期中）古埃及人曾經(jīng)用如圖所示的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后以3個結(jié)間距，4個結(jié)間距，5個結(jié)間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一角便是直角，這樣做的道理是（）A．直角三角形兩個銳角互余B．三角形內(nèi)角和等于180°C．三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊D．如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理逆定理解題．【詳解】設(shè)相鄰兩個結(jié)點的距離為m，則此三角形三邊的長分別為3m、4m、5m，∵∴以3m、4m、5m為邊長的三角形是直角三角形．（如果三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形）故選D．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理．6．（2022·湖北八年級期末）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行12nmile，“海天”號每小時航行9nmile，它們離開港口兩個小時后分別位于點Q，R處，且相距30nmile．如果知道“遠航”號沿北偏東50°方向航行，那么“海天”號沿______的方向航行．【答案】北偏西40°【分析】分別求出PR和PQ，再利用勾股定理逆定理求出∠QPR=90°，最后求出∠NPR，即可完成求解．【詳解】解：∵“遠航”號每小時航行12nmile，“海天”號每小時航行9nmile，∴，，∵兩船相距30nmile，∴，∵，∴，∴∠QPR=90°，∵“遠航”號沿北偏東50°方向，∴∠NPQ=50°，∴∠NPR=90°－50°=40°，∴“海天”號沿北偏西40°方向航行，故答案為：北偏西40°．【點睛】本題考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是求出PQ和PR，通過計算得到三角形的三邊滿足其中兩邊的平方之和等于第三邊的平方，進而求出∠QPR，同時本題還需要學(xué)生理解方位角的概念，能正確的表述方位．7．（2022·江蘇蘇州中學(xué)八年級期中）如圖，每個小方格都是邊長為1的正方形．（1）求圖中格點四邊形ABCD的面積；（2）求四邊形ABCD的周長；（3）求∠ADC的度數(shù)．【答案】（1）12.5；（2）；（3）90°【分析】（1）四邊形ABCD的面積等于大正方形的面積減去4個直角三角形的面積；（2）由勾股定理求出AD、AB、BC、CD，即可得出四邊形ABCD的周長；（3）求出AD2+CD2=AC2，由勾股定理的逆定理即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：四邊形ABCD的面積=5×5-×3×3-×2×3-×2×4-×2×1=12.5；（2）由勾股定理得：AD=，AB=，BC=，CD=，∴四邊形ABCD的周長==；（3）∵AD2+CD2=5+20=25，AC2=52=25，∴AD2+CD2=AC2，∴三角形ADC為直角三角形，∠ADC=90°．【點睛】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形和四邊形面積的計算；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．8．（2022·綏德縣德群中學(xué)八年級期末）某中學(xué)、兩棟教學(xué)樓之間有一塊如圖所示的四邊形空地，學(xué)校為了綠化環(huán)境，計劃在空地上種植花草，經(jīng)測量，米，米，米，米．（1）求出四邊形空地的面積；（2）若每種植1平方米的花草需要投入120元，求學(xué)校共需投入多少元．【答案】（1）四邊形空地的面積為234平方米；（2）學(xué)校共需投入28080元．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，再利用即可得出答案；（2）利用120乘以四邊形的面積即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）連接．在中，∵，，，∴（米）．在中，∵，，，∴．∴是直角三角形，且．∴平方米．∴四邊形空地的面積為234平方米．（2）（元）．答：學(xué)校共需投入28080元．【點睛】本題考查勾股定理以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．題組B能力提升練1．（2022·成都市八年級期中）某航空公司經(jīng)營中有A、B、C、D這四個城市之間的客運業(yè)務(wù)．它的部分機票價格如下：A﹣B為2000元；A﹣C為1600元；A﹣D為2500元；B﹣C為1200元；C﹣D為900元．現(xiàn)在已知這家公司所規(guī)定的機票價格與往返城市間的直線距離成正比，則B﹣D的機票價格（）A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元【答案】B【分析】這家公司所規(guī)定的機票價格與往返城市間的直線距離成正比，不妨把兩地價格看為是兩點間的距離，則由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一條直線上，利用勾股定理即可解出BD的長，即是B﹣D的機票價格．【解析】把兩地價格看為是兩點間的距離，則AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．∵16002+12002=20002，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB是直角，∵2500＝1600+900，即AD=AC+CD，∴A，C，D在一條直線上，∴∠BCD是直角，∴BD=＝＝1500，即B﹣D的機票價格為1500元.故選B.【點睛】本題考查了兩點間的距離、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判斷出∠ACB為直角是解題的關(guān)鍵.2．（2022·浙江紹興·一模）同一平面內(nèi)有，，三點，，兩點之間的距離為，點到直線的距離為，且為直角三角形，則滿足上述條件的點有______個．【答案】8【分析】該題存在兩種情況；（1）AB為斜邊，則；（2）AB為直角邊，或；【詳解】（1）當AB為斜邊時，點到直線的距離為，即AB邊上的高為，符合要求的C點有4個，如圖：（2）當AB為直角邊時，或，符合條件的點有4個，如圖；符合要求的C點有8個；故答案是8．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵．3．（2022·四川廣元·八年級期末）如圖，四邊形是我縣某校在校園一角開辟的一塊四邊形的“試驗田”，經(jīng)過測量得知．求四邊形的面積．【答案】四邊形ABCD的面積234m2．【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理證明△ADC為直角三角形，最后利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：連接AC，如圖，在△ABC中，AB＝24m，BC＝7m，，∴AC＝＝25（m）．在△ADC中，CD＝15m，AD＝20m．AC＝25m，∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，∴△ADC為直角三角形，∠D＝90°．∴S△ADC＝×AD×DC＝×20×15＝150（m2），又∵S△ABC＝×AB×BC＝×24×7＝84（m2），∴S四邊形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234（m2），答：四邊形ABCD的面積234m2．【點睛】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面積公式等，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理證明△ADC為直角三角形．4．（2022·江蘇邳州·八年級期中）觀察下列各組勾股數(shù)（1）3，4，5（2）5，12，13；（3）7，24，25：（4）9，40，41照此規(guī)律，將第n組勾股數(shù)按從小到大的順序排列，排在中間的數(shù)，用含n的代數(shù)式可表示為___．【答案】【分析】觀察數(shù)據(jù)，題中數(shù)據(jù)第二個數(shù)和第三個數(shù)是連續(xù)的，第一個數(shù)是從3開始的連續(xù)的奇數(shù)，則第個為：，根據(jù)完全平方公式展開即可求得中間的數(shù)．【詳解】解：觀察數(shù)據(jù)可知，第一個數(shù)是從3開始的連續(xù)的奇數(shù)，則第個為：，，，，……，則第組勾股數(shù)為設(shè)中間的數(shù)為，則第三個數(shù)為，即即中間的數(shù)為故答案為：【點睛】本題考查了數(shù)字類找規(guī)律，勾股數(shù)，整式的乘法運算，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河南內(nèi)鄉(xiāng)初二期中）如圖（1）是超市的兒童玩具購物車，圖（2）為其側(cè)面簡化示意圖，測得支架AC=24cm，CB=18cm，兩輪中心的距離AB=30cm，求點C到AB的距離.（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】點C到AB的距離約為14cm.【分析】通過勾股定理的逆定理來判斷三角形ABC的形狀，從而再利用三角形ABC的面積反求點C到AB的距離即可.【解析】解：過點C作CE⊥AB于點E,則CE的長即點C到AB的距離.在△ABC中，∵，，，∴，，∴，∴△ABC為直角三角形，即∠ACB=90°∵，∴，即，∴CE=14.4≈14.答：點C到AB的距離約為14cm.【點睛】本題的解題關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理，能通過三角形面積反求對應(yīng)的邊長.6．（2022·河南·八年級階段練習(xí)）我國在防控新冠疫情上取得重大成績，但新冠疫情在國外開始蔓延，為了防止境外輸入病例的增加，我國暫時停止了一切國際航班、水運．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我國海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達C地將其攔截．已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，乙巡航艇的航向為北偏西．（1）求甲巡邏艇的航行方向（用含n的式子表示）;（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？【答案】（1）；（2）海里【分析】（1）先用路程等于速度乘以時間計算出，的長，利用勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，再利用在直角三角形中兩銳角互余求解；（2）分別求得甲、乙航行3分鐘的路程，然后由勾股定理來求甲乙的距離．【詳解】解：（1）（海里），（海里），又AB=13海里所以，所以是直角三角形，所以由已知得，所以，所以甲的航向為北偏東，（2）甲巡邏船航行3分鐘的路程為（海里）乙甲巡邏船航行3分鐘的路程為（海里）所以3分鐘后甲、乙兩艘巡邏船相距為：（海里）．【點睛】此題主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及運用，難度適中．利用勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2022·錦江區(qū)八年級月考）閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個三角形的三條邊的長，且a是最長邊，我們可以利用a，b，c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是4，5，6，則最長邊是6，，故由③可知該三角形是銳角三角形，請解答以下問題：（1）若一個三角形的三邊長分別是7，8，9，則該三角形是________三角形．（2）若一個三角形的三邊長分別是5，12，x．且這個三角形是直角三角形，求的值．（3）當，時，判斷的形狀，并求出對應(yīng)的的取值范圍．【答案】（1）銳角；（2）169或119；（3）見解析【分析】（1）直接利用定義結(jié)合三角形三邊得出答案；（2）直接利用勾股定理得出x2的值；（3）分△ABC為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形結(jié)合三邊關(guān)系得出答案．【詳解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是銳角三角形，故答案為：銳角；（2）∵這個三角形是直角三角形，當x為斜邊，∴52+122=x2，∴x2=169，當12是斜邊，則52+x2=122，解得：x2=119，故x2的值為169或119；（3）∵a=2，b=4，∴，∴，若△ABC是銳角三角形，則或，則或，∴或；若△ABC是直角三角形，則或，則或；若△ABC是鈍角三角形，則或，則或，∴．【點睛】此題主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三邊關(guān)系，正確進行相關(guān)計算是解題關(guān)鍵．8．（2022·江西宜春·八年級期中）在學(xué)習(xí)了勾股定理后，數(shù)學(xué)興使小組在江老師的引導(dǎo)下，利用正方形網(wǎng)格和勾股定理運用構(gòu)圖法進行了一系列探究活動：(1)在中，、、三邊的長分別為、、，求的面積．如圖1，在正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）中，畫出格點（即三個頂點都在小正方形的頂點處），不需要求的高，借用網(wǎng)格就能計算出它的面積，這種方法叫做構(gòu)圖法．則的面積為___________．(2)在平面直角坐標系中，①若點A為，點B為，則線段的長為___________；②若點A為，點B為，則線段的長可表示為__________∶(3)在圖2中運用構(gòu)圖法畫出圖形，比較大?。篲______（填“>”或“<”）；(4)若三邊的長分別為、、（，．且），請在如圖3的長方形網(wǎng)格中（設(shè)每個小長方形的長為m，寬為n），運用構(gòu)圖法畫出，并求出它的面積（結(jié)果用m，n表示）．【答案】(1)(2)①5；②(3)<(4)【分析】（1）利用構(gòu)圖法求出的面積，即可求解；（2）①利用勾股定理，即可求解；②類比①的方法，即可求解；（3）構(gòu)造出三邊長分別為的三角形，即可求解；（4）先畫出三邊長分別為、、的，再利用構(gòu)圖法求解，即可求解．(1)解：的面積為；故答案為：(2)解：①；故答案為：5；②線段的長可表示為；故答案為：(3)解：如圖，根據(jù)題意得：，，，∴，∵，∴；故答案為：<(4)解：解：如圖，，，，【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了三角形的面積，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想解決問題，屬于中考常見題，題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·江蘇贛榆·八年級期末）如圖，點P是等邊△ABC內(nèi)的一點，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若點P′是△ABC外的一點，且△P′AB≌△PAC，則∠APB的度數(shù)為___．【答案】150°【分析】如圖：連接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，進而可得△APP′為等邊三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根據(jù)角的和差即可解答．【詳解】解：連接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案為：150°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理逆定理的應(yīng)用等知識點，靈活應(yīng)用相關(guān)知識點成為解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇常州·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20．將△ABC沿射線BM折疊，使點A與BC邊上的點D重合，E為射線BM上一個動點，當△CDE周長最小時，CE的長為___．【答案】10【分析】設(shè)與的交點為點，連接，先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)兩點之間線段最短可得當點與點重合時，周長最小，此時，然后根據(jù)勾股定理的逆定理得出，最后設(shè)，從而可得，在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點為點，連接，由折疊的性質(zhì)得：，，周長=，要使周長最小，只需最小，由兩點之間線段最短可知，當點與點重合時，取最小值，最小值為，此時，又，，是直角三角形，，，即，設(shè)，則，在中，，即，解得，即當周長最小時，的長為10，故答案為：10．【點睛】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理、折疊的性質(zhì)等知識點，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2022·合肥市八年級期中）如圖，點C為直線l上的一個動點，于D點，于E點，，，當長為________________為直角三角形．【答案】3或2或．【分析】作BF⊥AD于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BF=DE=4，DF=BE=1，根據(jù)勾股定理用CD表示出AC、BC，根據(jù)勾股定理的逆定理列式計算，得到答案．【詳解】解：作BF⊥AD于F，則四邊形DEBF為矩形，∴BF=DE=4，DF=BE=1，∴AF=AD-DF=3，由勾股定理得，當△ABC為直角三角形時，即解得，CD=3，如圖2，作BH⊥AD于H，仿照上述作法，當∠ACB=90°時，由勾股定理得，由得：解得：同理可得：當∠ABC=90°時，綜上：的長為：3或2或．故答案為：3或2或．【點睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么4．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）勾股定理是一個基本的幾何定理，盡在我國西漢時期算書《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個直角三角形三邊長都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”，這三個整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．如：等等都是勾股數(shù)．【探究1】（1）如果是一組勾股數(shù)，即滿足，則為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)．如；是一組勾股數(shù)，則___也是一組勾股數(shù)；（2）另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù)，畢達哥拉斯學(xué)派就曾提出公式為正整數(shù)）是一組勾股數(shù)，證明滿足以上公式的是一組勾股數(shù)；（3）值得自豪的是，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式，收集在我國的《九章算術(shù)》中，書中提到：當，為正整數(shù)，時，構(gòu)成一組勾股數(shù)；請根據(jù)這一結(jié)論直接寫出一組符合條件的勾股數(shù)___．【探究2】觀察；…，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從起就沒有間斷過，并且勾為時股，弦；勾為時，股，弦；請仿照上面兩組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）如果勾為7，則股____；弦____；（2）如果用且為奇數(shù))表示勾，請用含有的式子表示股和弦，則股___；弦___；（3）觀察；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從起也沒有間斷過．_；請你直接用為偶數(shù)且）的代數(shù)式表示直角三角形的另一條直角邊_；和弦的長__．【答案】探究1（1）6，8，10；（2）詳見解析；（3）；探究2（1）,；（2），；（3）①80，②，弦【分析】探究1：（1）根據(jù)勾股定理，令k＝2即可求解（答案不唯一）；（2）根據(jù)完全平方公式求出、根據(jù)勾股定理逆定理即可求證；（3）根據(jù)勾股定理逆定理計算，證明結(jié)論，根據(jù)題意寫出勾股數(shù)；探究2：（1）根據(jù)規(guī)律即求解；（2）如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，則股＝，弦＝；（3）根據(jù)規(guī)律可得股比弦小2，根據(jù)規(guī)律可得，如果是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，為偶數(shù)且)，根據(jù)所給3組數(shù)據(jù)找出規(guī)律即可得結(jié)論．【詳解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；·（2）證明：，，滿足以上公式的是一組勾股數(shù)；（3）∵＝∴滿足以上公式的是一組勾股數(shù)；當時，，∴構(gòu)成一組勾股數(shù)．(答案不唯一）探究2：（1）依據(jù)規(guī)律可得，如果勾為，則股，弦，（2）如果勾用，且為奇數(shù)）表示時，則股，弦（3）①b＝80．②根據(jù)規(guī)律可得，如果是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，為偶數(shù)且)，則另一條直角邊弦【點睛】本題主要考查勾股數(shù)的定義、勾股定理及其逆定理，數(shù)字類規(guī)律問題，掌握完全平方公式、滿足的三個正整數(shù)均為勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河南鄭州·八年級期中）定義：如圖，點M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點．（1）已知M，N把線段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，則點M，N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由．（2）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若AB＝14，AM＝4，求BN的長．【答案】（1）是，理由見解析；（2）4.2或5.8．【分析】（1）直接計算兩條短邊的平方和是否等于長邊的平方即可；（2）分兩種