2023版人教版初中數(shù)學(xué)同步講義練習(xí)8年級(jí)下冊(cè)第十八章 平行四邊形 專題18.2 特殊的平行四邊形 （學(xué)生版）

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專題18.2特殊的平行四邊形1．了解矩形、菱形、正方形的概念，掌握矩形、菱形、正方形的特殊性質(zhì)（邊、角、對(duì)角線）；2．能利用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)解決相關(guān)的計(jì)算和證問(wèn)題；3.理解并掌握矩形、菱形、正方形的判定定理，并能運(yùn)用其判定解決相關(guān)的證明和計(jì)算問(wèn)題；4.能利用矩形的性質(zhì)證明:直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半。5.探究菱形面積的多種求法。6.了解正方形與矩形、菱形、平行四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別；知識(shí)點(diǎn)01矩形的性質(zhì)與判定【知識(shí)點(diǎn)】矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形矩形的性質(zhì)，從邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性進(jìn)行討論。如下圖，四邊形ABCD為矩形：1）邊：=1\*GB3①對(duì)邊平行；=2\*GB3②對(duì)邊相等，即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC2）角：四個(gè)角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°3）對(duì)角線：=1\*GB3①對(duì)角線相等；=2\*GB3②對(duì)角線相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO4）對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形5）重要推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即如上圖，如∠A=90°，點(diǎn)O為斜邊BD的中點(diǎn)，則AO=BD（或AO=OB=OD）矩形是特殊的平行四邊形，常見(jiàn)的判定思路：平行四邊形+矩形的一個(gè)特殊性質(zhì)，具體如下：1）判定方法1（定義）：平行四邊形+1個(gè)角是90°；2）判定方法2（角）：有3個(gè)角是直角的四邊形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°；3）判定方法3（對(duì)角線）：平行四邊形+對(duì)角線相等，或?qū)蔷€相等且相互平分?！局R(shí)拓展1】矩形的相關(guān)性質(zhì)例1．（2022·云南楚雄·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列關(guān)于矩形的說(shuō)法中正確的是（

）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．矩形的對(duì)角線相等且互相平分C．矩形的對(duì)角線互相垂直且平分 D．對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形【即學(xué)即練】1．（2022·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考二模）關(guān)于矩形的性質(zhì)，以下說(shuō)法不正確的是（）A．鄰邊相互垂直B．對(duì)角線相互垂直C．是中心對(duì)稱圖形D．對(duì)邊相等【知識(shí)拓展2】利用矩形的性質(zhì)求角度、長(zhǎng)度（面積）例2．（2022·吉林松原市·九年級(jí)一模）如圖所示，點(diǎn)是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．若，，則的周長(zhǎng)為（）A．10 B． C． D．14【即學(xué)即練】1．（2022·重慶市初三期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，已知∠EAD＝3∠BAE，則∠EOA＝______°．2．（2022·河南初三期末）如圖,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足為E,∠BAE=30°,那么△ECD的面積是（）A．2 B． C． D．【知識(shí)拓展3】矩形中的翻折、坐標(biāo)問(wèn)題例3．（2022·廣東·深圳市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形中，，，將沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)落在處，與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【即學(xué)即練】1．（2021·江蘇宿遷·中考真題）折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，折痕為MN，已知AB=8，AD=4，則MN的長(zhǎng)是（）A． B．2 C． D．4【知識(shí)拓展4】斜邊中線等于斜邊的一半例4．（2022·柘城初三模擬）如圖，在四邊形中，，，垂足為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．若，，則的長(zhǎng)為（）A．14 B．21 C．24 D．25【即學(xué)即練】1．（2021·遼寧丹東市·九年級(jí)期末）如圖，在和中，，，是的中點(diǎn)，連接，，，若，則的面積為（）A．12 B．12.5 C．15 D．24【知識(shí)拓展5】矩形的判定定理的理解例5．（2022春·陜西西安·九年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形B．兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形C．兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是矩形D．有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形【即學(xué)即練】1．（2022秋·吉林白山·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）下列四邊形是矩形的是（

）A．有兩個(gè)角為直角的四邊形 B．有一個(gè)角是直角的平行四邊形C．對(duì)角線互相平分的四邊形 D．對(duì)角線相等的四邊形2．（2022春·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是平行四邊形，添加下列條件，能判定這個(gè)四邊形是矩形的是（

）A． B． C． D．【知識(shí)拓展6】證明四邊形是矩形例6．（2022·河南九年級(jí)期中）如圖，將?ABCD的邊DC延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F，連接AC、BE．（1）求證：四邊形ABEC是平行四邊形；（2）若∠AFC=2∠ADC，求證：四邊形ABEC是矩形．【即學(xué)即練】1．（2021·江蘇·中考真題）如圖，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）如果，求證：四邊形是矩形．【知識(shí)拓展7】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題例7．（2022·重慶初三期末）如圖，已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△OBP沿OP折疊得到△OPD，連接CD、AD．則下列結(jié)論中：①當(dāng)∠BOP＝45°時(shí)，四邊形OBPD為正方形；②當(dāng)∠BOP＝30°時(shí)，△OAD的面積為15；③當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CD的最小值為2﹣6；④當(dāng)OD⊥AD時(shí)，BP＝2．其中結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【即學(xué)即練】1．（2021·達(dá)州市·九年級(jí)期末）在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分交BC于點(diǎn)E，．連接OE，則下面的結(jié)論：①是等邊三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)知識(shí)點(diǎn)02菱形的性質(zhì)與判定【知識(shí)點(diǎn)】菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形。菱形的性質(zhì)，從邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性進(jìn)行討論。如下圖，四邊形ABCD為菱形：1）邊：=1\*GB3①四條邊都相等；=2\*GB3②對(duì)邊平行，即AB=BC=CD=DA，AB∥CD，BC∥AD2）角：對(duì)角相等（與平行四邊形相同），即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC3）對(duì)角線：=1\*GB3①對(duì)角線相互垂直；=2\*GB3②對(duì)角線平分對(duì)角；=3\*GB3③對(duì)角線相互平分，即AC⊥BD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD；AO=OC，BO=OD4）對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形5）菱形的面積（對(duì)角線相互垂直的四邊形）：對(duì)角線乘積的一半，即S菱形ABCD＝×AC×BD，菱形是特殊的平行四邊形，常見(jiàn)的判定思路：平行四邊形+菱形的一個(gè)特殊性質(zhì)，具體如下：1）判定方法1（定義）：平行四邊形+1組鄰邊相等2）判定方法2（邊）：四條邊相等的四邊形，即AB=BC=CD=DA3）判定方法3（對(duì)角線）：平行四邊形+對(duì)角線相互垂直，或?qū)蔷€相互垂直且平分4）判定方法4（對(duì)角線）：平行四邊形+對(duì)角線平分一組頂角【知識(shí)拓展1】菱形的相關(guān)性質(zhì)例1．（2022秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)階段練習(xí)）菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)邊相等 B．對(duì)角相等 C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相垂直【即學(xué)即練】1．（2022春·云南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列關(guān)于菱形的說(shuō)法中正確的是（

）A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B．菱形的對(duì)角線互相垂直且平分C．菱形的對(duì)角線相等且互相平分 D．對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形【知識(shí)拓展2】利用菱形的性質(zhì)求角度、長(zhǎng)度例2．（2022·江蘇常州初三期末）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)是()A．25° B．22.5° C．30° D．15°【即學(xué)即練】1．（2022·黑龍江哈爾濱市·九年級(jí)期末）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為10，對(duì)角線的長(zhǎng)為16，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【知識(shí)拓展3】菱形中的翻折、坐標(biāo)問(wèn)題題例3．（2022·黑龍江九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是菱形ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn)，AD∥x軸，AD=4，∠A=60°．將菱形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在x軸上，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是_____________．【即學(xué)即練】1．（2022·福建三明·一模）如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，將△AEF沿EF翻折得到△GEF，若點(diǎn)G恰好為CD邊的中點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)為（）A．B．C．D．3【知識(shí)拓展4】菱形的面積例4．（2022·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)期末）如圖，將菱形ABCD的對(duì)角線AC向兩個(gè)方向延長(zhǎng)，分別至點(diǎn)E和點(diǎn)F，且使AE＝CF．（1）求證：四邊形EBFD是菱形；（2）若菱形EBFD的對(duì)角線BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面積．【即學(xué)即練】1．（2022·鎮(zhèn)江市初三月考）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2和5，P是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是__________．【知識(shí)拓展5】菱形的判定定理的理解例5．（2022春·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B．四邊相等的四邊形是菱形C．一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形 D．矩形的對(duì)角線互相垂直【即學(xué)即練】1.（2022春·陜西榆林·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，如果添加一個(gè)條件，可推出是菱形，那么這個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．【知識(shí)拓展6】證明四邊形是菱形例6．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF與BA、DC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形BFDE是菱形，并說(shuō)明理由．【即學(xué)即練】1．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，在中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且BE平分，．求證：(1)；(2)四邊形ABFE是菱形．【知識(shí)拓展7】根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題例7．（2022·廣東·八年級(jí)期末）如圖，矩形中，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)是．矩形沿直線折疊，使得點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，折痕與、軸分別交于點(diǎn)、．(1)求證：是等腰三角形；(2)求直線的解析式；(3)若點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【即學(xué)即練】1．（2022·廣東連州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于F，以為鄰邊作平行四邊形．（1）證明平行四邊形是菱形；（2）若，連結(jié)，①求證：；②求的度數(shù)；（3）若，，，M是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．知識(shí)點(diǎn)03正方形的性質(zhì)與判定【知識(shí)點(diǎn)】正方形的定義：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形正方形的性質(zhì)，從邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性進(jìn)行討論。如下圖，四邊形ABCD為正方形：1）邊：=1\*GB3①四條邊相等；=2\*GB3②對(duì)邊平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC2）角：四個(gè)角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°3）對(duì)角線：=1\*GB3①對(duì)角線相互平分；=2\*GB3②對(duì)角線相等；=3\*GB3③對(duì)角線相互垂直；=4\*GB3④對(duì)角線平分對(duì)角，即AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO4）對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形；中線對(duì)稱圖形正方形是特殊的平行四邊形、矩形、正方形，常見(jiàn)的判定思路為：1）判定方法1（定義）：平行四邊形+1個(gè)90°角+1組鄰邊相等，或平行四邊形+對(duì)角線垂直且相等；2）判定方法2（從正方形出發(fā)）：正方形+1個(gè)90°角，或正方形+對(duì)角線相等；3）判定方法3（從矩形出發(fā)）：矩形+1組鄰邊相等，或矩形+對(duì)角線垂直；4）判定方法4（從四邊形出發(fā)）：對(duì)角線垂直平分且相等?！局R(shí)拓展1】正方形的相關(guān)性質(zhì)例1．（2022·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線互相平分B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角線相等D．對(duì)角線相等且互相平分【即學(xué)即練】1．（2022春·廣東梅州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．四個(gè)角都是直角B．對(duì)角線相等C．四條邊相等D．對(duì)角線互相平分【知識(shí)拓展2】利用正方形的性質(zhì)求角度、長(zhǎng)度（面積）例2．（2022·江蘇儀征初三一模）如圖，正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，EF⊥DE交AB于F，若四邊形AFED的面積為4，則四邊形AFED的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【即學(xué)即練】1．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將正方形沿直線折疊，使得點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【知識(shí)拓展3】正方形中的翻折或重疊問(wèn)題例3．（2022·遼寧新賓初三期中）將五個(gè)邊長(zhǎng)都為的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)、、、分別是四個(gè)正方形的中心，則圖中四塊陰影面積的和為_(kāi)__________．【即學(xué)即練】1．（2022·陜西·九年級(jí)期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上移動(dòng)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)記為，連接、、．當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【知識(shí)拓展4】正方形的判定定理的理解例4．（2022春·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)期中）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 B．對(duì)角線相等的菱形是正方形C．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形 D．鄰邊相等的矩形是正方形【即學(xué)即練】1．（2022春·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果一個(gè)平行四邊形要成為正方形，需增加的條件是（

）A．對(duì)角線互相平分B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角線相等D．對(duì)角線互相垂直且相等【知識(shí)拓展5】特殊平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系例5．（2022春·山西太原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在復(fù)習(xí)特殊的平行四邊形時(shí)，某小組同學(xué)畫(huà)出了如下關(guān)系圖，組內(nèi)一名同學(xué)在箭頭處填寫(xiě)了它們之間轉(zhuǎn)換的條件，其中填寫(xiě)錯(cuò)誤的是（

）A．①，對(duì)角相等 B．③，有一組鄰邊相等C．②，對(duì)角線互相垂直 D．④，有一個(gè)角是直角【即學(xué)即練】1．（2022·江蘇淮安市·八年級(jí)期中）已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）.（1）四邊形EFGH的形狀是_____________，（證明你的結(jié)論.）（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足__________條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形(不用證明)【知識(shí)拓展6】證明四邊形是正方形例6．（2022·山東高唐初三期末）如圖，已知平行四邊形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且是等邊三角形．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求證：四邊形是正方形．【即學(xué)即練】1．（2022·瀘縣·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D為的邊BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作，且，連接DE，CE．（1）求證：；（2）若，判斷四邊形ADCE的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若要使四邊形ADCE為正方形，則應(yīng)滿足什么條件？（直接寫(xiě)出條件即可，不必證明）．【知識(shí)拓展7】正方形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題例7．（2022·遼寧大洼·八年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AB上，點(diǎn)G在邊BA的延長(zhǎng)線上，且CE=BF=AG．（1）求證：①DE=DG；②DE⊥DG；（2）尺規(guī)作圖：以線段DE、DG為邊作出正方形DEHG（保留作圖痕跡不寫(xiě)作法和證明）；（3）連接（2）中的FH，猜想四邊形CEHF的形狀，并證明你的猜想；（4）當(dāng)時(shí)，求出的值．【即學(xué)即練】1．（2022·黑龍江·雞西市九年級(jí)期末）如圖，在正方形中，是直線上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖①，求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，位置如圖②、圖③所示，線段，與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2022.綿陽(yáng)市初二期中）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，并且，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），則四邊形的變化是（）A．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形B．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→正方形→平行四邊形D．平行四邊形→矩形→菱形→正方形→平行四邊形2．（2022·四川·成都九年級(jí)期中）下列判斷正確的是（）A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形B．對(duì)角線相等的菱形是正方形C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形3．（2022·遼寧鐵西·九年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接DF，若AB＝9，AD，則四邊形CDFE的面積是（）A． B． C． D．544．（2022·福建廈門(mén)·九年級(jí)期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，M在BC邊上，連接MO并延長(zhǎng)交AD邊于點(diǎn)N．若BM=1，∠OMC=30°，MN=4，則矩形ABCD的面積為_(kāi)________．5.（2021·四川南充市·中考真題）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)F，G，H分別是BE，BC，CE的中點(diǎn)，，則GH的長(zhǎng)為_(kāi)_______．6．（2022·廣東新豐初三期中）如圖，在△ABC中，D是AB中點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)羁眨海?）四邊形BDEF是四邊形；（2）若四邊形BDEF是菱形，則△ABC滿足的條件是．（3）若四邊形BDEF是矩形，則△ABC滿足的條件是．（4）若四邊形BDEF是正方形，則△ABC滿足的條件是．并就（2）、（3）、（4）中選取一個(gè)進(jìn)行證明．7.（2022·浙江杭州市·八年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且AE⊥AB，連結(jié)CE．（1）求證：∠ECB＝90°；（2）若AE═ED＝1時(shí)，求菱形的邊長(zhǎng)．8．（2022·遼寧沈陽(yáng)市·九年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是邊BC上的中線，過(guò)點(diǎn)A作AEBC，過(guò)點(diǎn)D作DEAB，DE與AC，AE分別交于點(diǎn)O，E，連接EC．（1）求證：四邊形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，則菱形ADCE的周長(zhǎng)為．題組B能力提升練1．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，將矩形紙片沿折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)、的位置，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若，則等于（）A． B． C． D．2.（2022?滕州市九年級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在x軸正半軸上，∠AOC＝60°，若將菱形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°，得到四邊形OA'B'C'，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（）A．（，-） B．（2，﹣2） C．（，-） D．（4，﹣4）3．（2022·重慶梁平初三期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四個(gè)判斷中，不正確的是（）A．四邊形AEDF是平行四邊形 C．如果AD平分∠EAF，那么四邊形AEDF是菱形 B．如果AD＝EF，那么四邊形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形4．（2021·重慶中考真題）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過(guò)點(diǎn)O做ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長(zhǎng)為（）A．1 B． C．2 D．5．（2022·陜西·咸陽(yáng)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，，CE交BO于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為F，交AC于點(diǎn)G．現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③；④若，則．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2022·陜西榆林市·九年級(jí)期末）如圖，，矩形的頂點(diǎn)，分別在邊，上，當(dāng)點(diǎn)在邊上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)隨之在邊上移動(dòng)，，，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為_(kāi)_____．7．（2022·江蘇南通市·八年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連接OH，則∠DHO＝_____度．8．（2022·遼寧鞍山·八年級(jí)期末）如圖①，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，，點(diǎn)M從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)C開(kāi)始以相同的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接AM，AN，MN，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs；(1)試判斷的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)x為多少時(shí)，點(diǎn)A到MN的距離h最??？請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的x和h的值；(3)在（2）的條件下，連接對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，在圖②畫(huà)出圖形并判斷以O(shè)，N，M，D為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2022·山西九年級(jí)階段練習(xí)）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE．求證：CE=CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE=45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GE=BE+GD．（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在四邊形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠GCE=45°，BE=4，AG=6，求四邊形ABCG的面積．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·廣東湘橋初三期末）在菱形ABCD中，，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，DE是線段AP的垂直平分線，連接DP、BP、CP，下列結(jié)論：①DP=CD；②；③；④，其中正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④2．（2021·浙江溫州市·中考真題）由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形如圖所示．過(guò)點(diǎn)作的垂線交小正方形對(duì)角線的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，則的值為（）A． B． C． D．3．（2022·廣東·深圳市福田區(qū)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E為CD邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)C，D重