中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)沖刺專題31四邊形綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）含答案及解析

專題31四邊形綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）一．選擇題1．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 C．四條邊相等的四邊形是菱形 D．矩形的對(duì)角線一定互相垂直2．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AE平分∠BED，PE⊥AE交BC于點(diǎn)P，連接PA，以下四個(gè)結(jié)論：①BE平分∠AEC；②PA⊥BE；③AD=32AB；④PB＝2A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．如圖，在矩形ABCD中，P是BC上一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，PD平分∠APC，PE⊥PD，連接DE交AP于F，在以下判斷中，不正確的是（）A．當(dāng)P為BC中點(diǎn)，△APD是等邊三角形 B．當(dāng)△ADE∽△BPE時(shí)，P為BC中點(diǎn) C．當(dāng)AE＝2BE時(shí)，AP⊥DE D．當(dāng)△APD是等邊三角形時(shí)，BE+CD＝DE4．如圖，P為正方形ABCD的對(duì)角線BD上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF．給出以下4個(gè)結(jié)論：①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP．其中，所有正確的結(jié)論是（）A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④5．已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊AB的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)G，過(guò)G作GE⊥AD于點(diǎn)E，若AB＝2，且∠1＝∠2，則下列結(jié)論正確個(gè)數(shù)的有（）①DF⊥AB；②CG＝2GA；③CG＝DF+GE；④S四邊形BFGC=3A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，已知矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F，連接EF，若AB＝6，BC＝46，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）①△DEF≌△GEF；②GF：GB＝3：2；③S△BEF＝106；④S△BCF：S△DFE＝1：1．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．如圖，過(guò)?ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)O任作兩條互相垂直的直線，分別交AB，BC，CD，DA于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，有下面四個(gè)結(jié)論，①OH＝OF；②∠HGE＝∠FGE；③S四邊形DHOG＝S四邊形BFOE；④△AHO≌△AEO，其中正確的是（）A．①③ B．①②③ C．②④ D．②③④8．在矩形ABCD中，AB＝1，AD=3，AF平分∠DAB，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥BD于E，延長(zhǎng)AF、EC交于點(diǎn)H①AF=12FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3A．②③ B．③④ C．①②④ D．②③④9．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE，BE，DE．過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交ED于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB=5①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為2；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+6⑤S△APD+S△APB＝1+6其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤10．如圖，正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展開(kāi)后折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G，連接GF，給出下列結(jié)論：①∠ADG＝22.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG；⑥若S△OGF＝1，則正方形ABCD的面積是6+42，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．511．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°，過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O的直線GH分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接GD、BH，則下列結(jié)論：①AG＝CH，②DE+CF＝5，③S四邊形ABFE＝33，④四邊形BGDH為平行四邊形．其中正確的有（）A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM，ON，MN，下列結(jié)論：①△OCN≌△OAM；②MN＝CN+AM；③四邊形DAMN與△MON面積相等；④若∠MON＝45°，MN＝4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題13．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA=55，則下列結(jié)論：①AC⊥BD；②AC⊥CD；③tan∠DAC＝2；④四邊形ABCD的面積為31；⑤BD＝241．正確的是14．如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，EF＝25．以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有．（填序號(hào)）15．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)F，連接DF，分析下列五個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD=2；⑤S四邊形CDEF=52S△ABF16．如圖，已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，∠EAF＝45°，AE＝AF，則有下列結(jié)論：①∠1＝∠2＝22.5°；②點(diǎn)C到EF的距離是2?1③△ECF的周長(zhǎng)為2；④BE+DF＞EF．其中正確的結(jié)論是．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）17．如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，取EF的中點(diǎn)G，連接CG，BG，BD，DG，下列結(jié)論：①BE＝CD；②∠DGF＝135°；③∠ABG+∠ADG＝180°；④若ABAD=23，則3S△BDG＝13其中正確的結(jié)論是．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）18．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BF⊥AE交CD于點(diǎn)F，垂足為G，連接CG．下列說(shuō)法：①AG＞GE；②AE＝BF；③點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為π；④CG的最小值為5?1．其中正確的說(shuō)法是19．如圖，正方形ABCD中，連接BD．點(diǎn)E在邊BC上，且CE＝2BE．連接AE交BD于F；連接DE，取BD的中點(diǎn)O；取DE的中點(diǎn)G，連接OG．下列結(jié)論：①BF＝OF；②OG⊥CD；③AB＝5OG；④sin∠AFD=2其中正確結(jié)論的是．20．如圖，已知正方形ABCD，M，N分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠MAN＝45°，連接BD分別交AM，AN于E，F(xiàn)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是．①△CMN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)的兩倍；②點(diǎn)A到MN的距離等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)；③EF2＝BE2+DF2；④△EMO與△FNO均為等腰直角三角形；⑤S△AMN=2S△AEF⑥S正方形ABCD：S△AMN＝2AB：MN．三．解答題21．已知，點(diǎn)P在正方形ABCD的邊BC上，過(guò)點(diǎn)P作垂直于AP的直線l，過(guò)點(diǎn)C作平行于BD的直線m，直線l與直線n相交于點(diǎn)Q，連接AQ交BD于點(diǎn)E，連接PE（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：PA＝PQ；（3）探究線段AB，BP，PE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．22．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．如圖（1），已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作ME∥AC交BD于點(diǎn)E，作MF∥BD交AC于點(diǎn)F．我們稱四邊形0EMF為四邊形ABCD的“伴隨四邊形”．（1）若四邊形ABCD是菱形，則其“伴隨四邊形”是，若四邊形ABCD矩形，則其“伴隨四邊形”是：（在橫線上填特殊平行四邊形的名稱）（2）如圖（2），若四邊形ABCD是矩形，M是BC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其他條件不變，點(diǎn)F落在AC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)寫(xiě)出線段OB、ME，MF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2m﹣6，0），B（4，0），C（﹣1，2），點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)兩側(cè)，且A、B兩點(diǎn)間的距離等于6個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）求m的值；（2）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△COM面積=13△ABC面積，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)（3）如圖2，把線段AB向上平移2個(gè)單位得到線段EF，連接AE，BF，EF交y軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，將長(zhǎng)方形GOBF和長(zhǎng)方形AECD分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線AECDA運(yùn)動(dòng)，當(dāng)長(zhǎng)方形GOBF與長(zhǎng)方形AECD重疊面積為1時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．24．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出：BC，CD，CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確的結(jié)論，并給出證明．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變．請(qǐng)直接寫(xiě)出：BC，CD，CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．25．以四邊形ABCD的邊AB，AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和等邊三角形ADE，連接EB，F(xiàn)D，交點(diǎn)為G．（1）當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，如圖①，EB和FD的數(shù)量關(guān)系是；（2）當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，如圖②，EB和FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)加以證明；（3）如圖③，四邊形ABCD由正方形到矩形再到一般平行四邊形的變化過(guò)程中，EB和FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需證明．26．如圖1，在?ABCD中．AB＝6．AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與A，C，D重合）．AE＝CF．設(shè)∠ACD＝a，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a得到AP，連接PE，BE，BF．（1）求證：△APE≌△CBF：（2）如圖2，若∠BOA＝90°，∠ACD＝40°，且點(diǎn)B、E、P在一條直線上，求BE+BF的值；（3）當(dāng)OB＝OC，∠ACD＝60°時(shí)，BE+BF長(zhǎng)的最小值是．27．如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝m，AD＝n，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)依次沿線段BA，AD，DC向點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)路程為z，△BPC的面積S隨著z的變化而變化的圖象如圖2所示，m，n是常數(shù)．（1）寫(xiě)出線段AB和AD的長(zhǎng)度．（2）求m的值．（3）當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求s的值．28．如圖，E是正方形ABCD中CD邊上的一點(diǎn)，AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作AE的垂線交BC于點(diǎn)G，連AG交對(duì)角線BD于點(diǎn)Q．（1）求證：AP＝PG．（2）線段BQ、PQ、PD有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）若AB＝4，過(guò)點(diǎn)G作GF⊥BD于F，直接寫(xiě)出GF+PD＝．29．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的邊AB交y軸于D點(diǎn)．（1）若C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），求B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）E為BC上一點(diǎn)，且∠ODE＝∠DOC，求∠DOE的值；（3）如圖2，若M為OB的中點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作CN⊥x軸，連接MN，探索NO，NM，NC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．30．在一個(gè)邊長(zhǎng)為a（單位：cm）的正方形ABCD中．（1）如圖1，如果N是AD中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，連接DF，CN．①求證：DF＝CN；②連接AC．求DH：HE：EF的值；（2）如圖2，如果點(diǎn)E、M分別是線段AC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0），連接DE并延長(zhǎng)交正方形的邊于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DF于H，交AD于N．判斷命題“當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)M是邊CD的三等分點(diǎn)”的真假，并說(shuō)明理由．專題31四邊形綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）一．選擇題1．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 C．四條邊相等的四邊形是菱形 D．矩形的對(duì)角線一定互相垂直【分析】利用菱形的判定：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形以及四條邊相等的四邊形是菱形，矩形的判定：對(duì)角線相等的四邊形是矩形以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)分別判斷得出即可．【解答】解：A．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、四條邊相等的四邊形是菱形，故C選項(xiàng)正確；D、矩形的對(duì)角線一定相等，但不垂直，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定以及矩形的判定以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形和菱形的判定定理是解題關(guān)鍵．2．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AE平分∠BED，PE⊥AE交BC于點(diǎn)P，連接PA，以下四個(gè)結(jié)論：①BE平分∠AEC；②PA⊥BE；③AD=32AB；④PB＝2A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出△ADE≌△BCE（SAS），進(jìn)而求出△ABE是等邊三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），進(jìn)而得出∠EAP＝∠PAB＝30°，分別的得出AD與AB，PB與PC的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：∵在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC，在△ADE和△BCE中∵AD=BC∠D=∠C∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE，∠DEA＝∠CEB，∵AE平分∠BED，∴∠AED＝∠AEB，∴∠AED＝∠AEB＝∠CEB＝60°，故：①BE平分∠AEC，正確；可得△ABE是等邊三角形，∴∠DAE＝∠EBC＝30°，AE＝AB，∵PE⊥AE，∴∠DEA+∠CEP＝90°，則∠CEP＝30°，故∠PEB＝∠EBP＝30°，則EP＝BP，在△AEP和△ABP中AE=ABAP=AP∴△AEP≌△ABP（SSS），∴∠EAP＝∠PAB＝30°，又∵AE＝AB，∴AP⊥BE，故②正確；∵∠DAE＝30°，∴DEAD=tan30°∴3DE=3AD∴AD=3DE∴③AD=32∵∠CEP＝30°，∴CP=12∵EP＝BP，∴CP=12∴④PB＝2PC正確．總上所述：正確的共有4個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了四邊形綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出△AEP≌△ABP是解題關(guān)鍵．3．如圖，在矩形ABCD中，P是BC上一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，PD平分∠APC，PE⊥PD，連接DE交AP于F，在以下判斷中，不正確的是（）A．當(dāng)P為BC中點(diǎn)，△APD是等邊三角形 B．當(dāng)△ADE∽△BPE時(shí)，P為BC中點(diǎn) C．當(dāng)AE＝2BE時(shí)，AP⊥DE D．當(dāng)△APD是等邊三角形時(shí)，BE+CD＝DE【分析】A、先判斷出△APB≌△DPC，進(jìn)而可以得出∠APD＝60°，即可得出結(jié)論；B、雖然題目中有相似三角形和直角三角形，但沒(méi)有告訴線段與線段之間的倍數(shù)關(guān)系和沒(méi)出現(xiàn)含30°的直角三角形，所以沒(méi)辦法得出點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)；C、先求出∠BAP，進(jìn)而得出∠ADE＝∠PDE，即可判斷出△ADE≌△PDE，最后用三角形三線合一的性質(zhì)即可得出結(jié)論；D、先求出∠BPE＝∠APE＝∠PAB＝30°，再用含30°的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得出結(jié)論．【解答】解：A、∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴PB＝PC，在△APB和△DPC中，AB=DC∠ABP=∠DCP∴△APB≌△DPC（SAS），∴PA＝PD，∠APB＝∠DPC，∵PD平分∠APC，∴∠APD＝∠CPD，∴∠APB＝∠APD＝∠CPD，∵∠APB+∠APD+∠CPD＝180°，∴∠APD＝60°，∵PA＝PD，∴△APD是等邊三角形；∴A正確，故A不符合題意；C、∵PD⊥PE，∴∠BPE+∠DPC＝90°，∠APE+∠APD＝90°，∵∠APD＝∠CPD，∴∠APE＝∠BPE，過(guò)點(diǎn)B作BG∥AP交PE的延長(zhǎng)線于G，∴∠G＝∠APE＝∠BPE，∴BG＝BP，∵BG∥AP，∴△BEG∽△AEP，∴BG∴BPAP∵AE＝2BE，∴BPAP在Rt△ABP中，sin∠BAP=BP∴∠BAP＝30°，∴∠APB＝60°，∴∠BPE＝∠APE＝30°＝∠BAP，∴AE＝PE，∵EA⊥AD，EP⊥PD，∴∠ADE＝∠PDE，在△ADE和△PDE中，∠ADE=∠PDE∠DAE=∠DPE∴△ADE≌△PDE，∴∠AED＝∠PED，∵AE＝PE，∴DE⊥AP，∴C正確，故C不符合題意；D、∵△APD是等邊三角形，∴AP＝DP，∠APD＝60°，∴∠CPD＝60°，∴∠APB＝60°，∴∠BPE＝∠APE＝∠PAB＝30°∴AE＝PE設(shè)BE＝a，在Rt△PBE中，BP=3BE=3a，PE＝2∴AE＝2a，∴CD＝AB＝BE+AE＝3a，易證△APB≌△DPC，∴PB＝PC，∴AD＝BC＝2BP＝23a，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得，DE=AE2∵BE+CD＝a+3a＝4a＝DE，∴D正確，故D不符合題意；∴符合題意的只有B．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵：A、判斷出△APB≌△DPC，C、求出∠BAP，D、求出∠BPE＝∠APE＝∠PAB＝30°，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目．4．如圖，P為正方形ABCD的對(duì)角線BD上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF．給出以下4個(gè)結(jié)論：①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP．其中，所有正確的結(jié)論是（）A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④【分析】用正方形的性質(zhì)和垂直的定義判斷出四邊形PECF是矩形，從而判定②正確；直接用正方形的性質(zhì)和垂直得出①正確，利用全等三角形和矩形的性質(zhì)得出④正確，由點(diǎn)P是正方形對(duì)角線上任意一點(diǎn)，說(shuō)明AD和PD不一定相等，得出③錯(cuò)誤．【解答】解：如圖，∵P為正方形ABCD的對(duì)角線BD上任一點(diǎn)，∴PA＝PC，∠BCD＝90°，∵過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD，∴∠PEC＝∠DFP＝∠PFC＝∠BCD＝90°，∴四邊形PECF是矩形，∴PC＝EF，∴PA＝EF，故②正確，∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠ABD＝∠BDC＝∠DBC＝45°，∵∠PFC＝∠BCD＝90°，∴PF∥BC，∴∠DPF＝45°，∵∠DFP＝90°，∴△FPD是等腰直角三角形，故①正確，在△PAB和△PCB中，AB=CB∠ABP=∠CBP∴△PAB≌△PCB（SAS），∴∠BAP＝∠BCP，在矩形PECF中，∠PFE＝∠FPC＝∠BCP，∴∠PFE＝∠BAP．故④正確，∵點(diǎn)P是正方形對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，∴AD不一定等于PD，只有∠BAP＝22.5°時(shí)，AD＝PD，故③錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，解本題的關(guān)鍵是判斷出四邊形PECF是矩形．5．已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊AB的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)G，過(guò)G作GE⊥AD于點(diǎn)E，若AB＝2，且∠1＝∠2，則下列結(jié)論正確個(gè)數(shù)的有（）①DF⊥AB；②CG＝2GA；③CG＝DF+GE；④S四邊形BFGC=3A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①由四邊形ABCD是菱形，得出對(duì)角線平分對(duì)角，求得∠GAD＝∠2，得出AG＝GD，AE＝ED，由SAS證得△AFG≌△AEG，得出∠AFG＝∠AEG＝90°，即可得出①正確；②由DF⊥AB，F(xiàn)為邊AB的中點(diǎn)，證得AD＝BD，證出△ABD為等邊三角形，得出∠BAC＝∠1＝∠2＝30°，由AC＝2AB?cos∠BAC，AG=AFcos∠BAC，求出AC，AG，即可得出③由勾股定理求出DF=AD2?AF2，由GE＝tan∠2?④由S四邊形BFGC＝S△ABC﹣S△AGF求出數(shù)值，即可得出④不正確．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠FAG＝∠EAG，∠1＝∠GAD，AB＝AD，∵∠1＝∠2，∴∠GAD＝∠2，∴AG＝GD，∵GE⊥AD，∴GE垂直平分AD，∴AE＝ED，∵F為邊AB的中點(diǎn)，∴AF＝AE，在△AFG和△AEG中，AF=AE∠FAG=∠EAG∴△AFG≌△AEG（SAS），∴∠AFG＝∠AEG＝90°，∴DF⊥AB，∴①正確；∵DF⊥AB，F(xiàn)為邊AB的中點(diǎn)，∴AF=12AB＝1，AD＝∵AB＝AD，∴AD＝BD＝AB，∴△ABD為等邊三角形，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∴∠BAC＝∠1＝∠2＝30°，∴AC＝2AB?cos∠BAC＝2×2×32=AG=AF∴CG＝AC﹣AG＝23?∴CG＝2GA，∴②正確；∵GE垂直平分AD，∴ED=12由勾股定理得：DF=AGE＝tan∠2?ED＝tan30°×1=3∴DF+GE=3+∴③正確；∵∠BAC＝∠1＝30°，∴△ABC的邊AC上的高等于AB的一半，即為1，F(xiàn)G=12AGS四邊形BFGC＝S△ABC﹣S△AGF=12×23×1∴④不正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、線段垂直平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．6．如圖，已知矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F，連接EF，若AB＝6，BC＝46，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有（）①△DEF≌△GEF；②GF：GB＝3：2；③S△BEF＝106；④S△BCF：S△DFE＝1：1．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】利用翻折不變性，根據(jù)HL可以證明Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），推出DF＝FG，設(shè)DF＝x，則BF＝6+x，CF＝6﹣x，在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理可得（46）2+（6﹣x）2＝（6+x）2，求出x即可一一判斷．【解答】解：∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，∴AE＝EG，AB＝BG，∴ED＝EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝90°，∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，ED=EGEF=EF∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），故①正確，∴DF＝FG，設(shè)DF＝x，則BF＝6+x，CF＝6﹣x，在Rt△BCF中，（46）2+（6﹣x）2＝（6+x）2，解得x＝4，∴GF：GB＝4：6＝2：3，故②錯(cuò)誤，∴S△BEF=12?BF?EG=12×10×26∵S△DEF=12×26×4＝46，S△CBF=1∴S△BCF：S△DFE＝1：1．故④正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)，熟記性質(zhì)，找出三角形全等的條件ED＝EG是解題的關(guān)鍵，本題的突破點(diǎn)是設(shè)DF＝x，則BF＝6+x，CF＝6﹣x，在Rt△BCF中根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．7．如圖，過(guò)?ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)O任作兩條互相垂直的直線，分別交AB，BC，CD，DA于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，有下面四個(gè)結(jié)論，①OH＝OF；②∠HGE＝∠FGE；③S四邊形DHOG＝S四邊形BFOE；④△AHO≌△AEO，其中正確的是（）A．①③ B．①②③ C．②④ D．②③④【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得OA＝OC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OAE＝∠OCG，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE＝OG，同理可得OF＝OH，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGH是平行四邊形，然后根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形得到四邊形EFGH是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠HGE＝∠FGE，根據(jù)全等三角形的判定得到△DOG≌△BOE，同理△DOH≌△BOF，于是得到S四邊形DHOG＝S四邊形BFOE，由于OH不一定等于OE，AH不一定等于AE，得到△AHO不一定全等于△AEO，于是得到結(jié)論．【解答】解：四邊形EFGH是菱形．證明：連接AC，BD，則AC，BD必過(guò)O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAO＝∠GCO，在△EAO和△CGO中，∠EAO=∠GCOAO=CO∴△EAO≌△CGO（ASA），∴OE＝OG，同理OH＝OF，故①正確；∴四邊形EFGH是平行四邊形，又∵HF⊥EG，∴四邊形EFGH是菱形，∴∠HGE＝∠FGE，故②正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD＝OB，在△DOG與△BOE中，OD=OB∠BOE=∠DOG∴△DOG≌△BOE，同理△DOH≌△BOF，∴S四邊形DHOG＝S四邊形BFOE，故③正確；∵OH不一定等于OE，AH不一定等于AE，∴△AHO不一定全等于△AEO，故④錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．在矩形ABCD中，AB＝1，AD=3，AF平分∠DAB，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥BD于E，延長(zhǎng)AF、EC交于點(diǎn)H①AF=12FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3A．②③ B．③④ C．①②④ D．②③④【分析】求出OA＝OC＝OD＝BD，求出∠ADB＝30°，求出∠ABO＝60°，得出等邊三角形AOB，求出AB＝BO＝AO＝OD＝OC＝DC，推出BF＝AB，求出∠H＝∠CAH＝15°，求出DE＝EO，根據(jù)以上結(jié)論推出即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AD=3，AB∴tan∠ADB=1∴∠ADB＝30°，∴∠ABO＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，∴AO＝BO，∴△ABO是等邊三角形，∴AB＝BO，∠AOB＝∠BAO＝60°＝∠COE，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，∵AB＝BO，∴BF＝BO，∴②正確；∵∠BAO＝60°，∠BAF＝45°，∴∠CAH＝15°，∵CE⊥BD，∴∠CEO＝90°，∵∠EOC＝60°，∴∠ECO＝30°，∴∠H＝∠ECO﹣∠CAH＝30°﹣15°＝15°＝∠CAH，∴AC＝CH，∴③正確；作HG⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵AB＝1，AD=3∴AC＝CH＝2，∴HG＝CH?cos∠CHG＝2×3∵△ABF∽△HGF，∴ABHG即13∴FH=3FA∴AF=12故①錯(cuò)誤；∵△AOB是等邊三角形，∴AO＝OB＝AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，∴DC＝OC＝OD，∵CE⊥BD，∴DE＝EO=12DO=即BE＝3ED，∴④正確；即正確的有②③④3個(gè)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線定義，定義三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，難度偏大，對(duì)學(xué)生提出較高的要求．9．已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE，BE，DE．過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交ED于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB=5①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為2；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+6⑤S△APD+S△APB＝1+6其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤【分析】由于∠EAP＝90°，所以∠EAB＝∠DAP，又因?yàn)锳P＝AE，AD＝AB，所以△APD≌△DAP，從而得出∠EBA＝∠PDA，即可知∠BED＝∠BAD＝90°，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，所以△BFE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE和BF的長(zhǎng)度，從而可求出AB2，即正方形ABCD的面積，由于S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△PEB，所以求出△AEP與△PEB的面積即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠EAP＝90°，∴∠EAB+∠BAP＝∠DAP+∠BAP，∴∠EAB＝∠DAP，在△APD與△AEB中，AP=AE∠EAB=∠DAP∴△APD≌△AEB（SAS），故①正確；∵△APD≌△AEB，∴∠EBA＝∠PDA，∴∠BED＝∠BAD＝90°，∴BE⊥ED，故③正確，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵∠EAP＝90°，AE＝AP，∴∠AEP＝45°，∵∠FEB+∠AEP＝90°，∠FEB+∠EBF＝90°，∴∠AEP＝∠EBF＝45°，∴EF＝BF，∵AE＝AP＝1，∴由勾股定理可求得：EP=2∵PB=5∴由勾股定理可求得：BE=3∵EF2+BF2＝2BF2＝BE2，∴BF=6故②錯(cuò)誤，∵BF＝EF=6∴AF＝AE+EF＝1+6∴由勾股定理可知：AB2＝AF2+BF2＝4+6故④正確，∵△APD≌△AEB，∴S△APD＝S△AEB，∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△PEB=1故⑤錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形的綜合問(wèn)題，涉及全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形面積公式等知識(shí)內(nèi)容，綜合程度高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解答．10．如圖，正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展開(kāi)后折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G，連接GF，給出下列結(jié)論：①∠ADG＝22.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG；⑥若S△OGF＝1，則正方形ABCD的面積是6+42，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①由四邊形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折疊的性質(zhì)，可求得∠ADG的度數(shù)；②由AE＝EF＜BE，可得AD＞2AE；③由AG＝GF＞OG，可得△AGD的面積＞△OGD的面積；④由折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，易得△EFG是等腰三角形，即可證得AE＝GF；⑤易證得四邊形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得BE＝2OG；⑥根據(jù)四邊形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB＝GF，再由∠BAO＝45°，∠GOF＝90°可得出△OGF時(shí)等腰直角三角形，由S△OGF＝1求出GF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出BE及AE的長(zhǎng)，利用正方形的面積公式可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠GAD＝∠ADO＝45°，由折疊的性質(zhì)可得：∠ADG=12∠故①正確．∵由折疊的性質(zhì)可得：AE＝EF，∠EFD＝∠EAD＝90°，∴AE＝EF＜BE，∴AE＜12∴ADAE故②錯(cuò)誤．∵∠AOB＝90°，∴AG＝FG＞OG，△AGD與△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，故③錯(cuò)誤．∵∠EFD＝∠AOF＝90°，∴EF∥AC，∴∠FEG＝∠AGE，∵∠AGE＝∠FGE，∴∠FEG＝∠FGE，∴EF＝GF，∵AE＝EF，∴AE＝GF，∵AE＝EF＝GF，AG＝GF，∴AE＝EF＝GF＝AG，∴四邊形AEFG是菱形，故④正確．∴∠OGF＝∠OAB＝45°，∴EF＝GF=2OG∴BE=2EF=2×2故⑤正確．∵四邊形AEFG是菱形，∴AB∥GF，AB＝GF．∵∠BAO＝45°，∠GOF＝90°，∴△OGF時(shí)等腰直角三角形．∵S△OGF＝1，∴12OG2＝1，解得OG=∴BE＝2OG＝22，GF=(∴AE＝GF＝2，∴AB＝BE+AE＝22+∴S正方形ABCD＝AB2＝（22+2）2＝12+82，故⑥∴其中正確結(jié)論的序號(hào)是：①④⑤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是四邊形綜合題，涉及到正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝60°，過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O的直線GH分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接GD、BH，則下列結(jié)論：①AG＝CH，②DE+CF＝5，③S四邊形ABFE＝33，④四邊形BGDH為平行四邊形．其中正確的有（）A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD即可得出∠OBG＝∠ODH，進(jìn)而得出△BOG≌△DOH即可判斷出①正確；進(jìn)而判斷出④正確，同①的方法判斷出△AEG≌△CFH，進(jìn)而得出AE＝CF，即可求出DE+CF＝4，即可得出②錯(cuò)誤；利用平行四邊形的面積公式求出平行四邊形ABCD的面積，再判斷出S四邊形ABFE＝S四邊形CDEF即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BGO＝∠DHO，∠OBG＝∠ODH，∵O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，∴OB＝OD，在△BOG和△DOH中，∠BGO=∠DHO∠OBG=∠ODH∴△BOG≌△DOH，∴BG＝DH，∴AG＝CH，所以①正確；∵BG＝DH，BG∥DH，∴四邊形BGDH為平行四邊形，所以④正確；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠∠AEG＝∠BFG，∵∠BFG＝∠CFH，∴∠AEG＝∠CFH，在△AEG和△CFH中，∠AEG=∠CFH∠AGE=∠CHF∴△AEG≌△CFH，∴AE＝CF，∴DE+CF＝DE+AE＝AD＝BC＝4，所以②錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，∠ABC＝60°，AB＝3，∴AM＝ABsin∠ABC＝3×sin60°=3∴S平行四邊形ABCD＝BC×AM＝4×332∵△BOG≌△DOH，△AEG≌△CFH，∴S四邊形ABOE＝S四邊形CDOF，易證：△BOF≌△DOE，∴S△BOF＝S△DOE，∴S四邊形ABFE＝S四邊形CDEF=12S平行四邊形ABCD=12×63即：正確的有①③④，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出△BOG≌△DOH和△AEG≌△CFH．12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM，ON，MN，下列結(jié)論：①△OCN≌△OAM；②MN＝CN+AM；③四邊形DAMN與△MON面積相等；④若∠MON＝45°，MN＝4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到S△ONC＝S△OAM=12k，即12OC?NC=12OA?AM，而OC＝OA，則NC＝AM，由SAS得出△OCN根據(jù)全等的性質(zhì)得到ON＝OM，由于k的值不能確定，則∠MON的值不能確定，無(wú)法確定△ONM為等邊三角形，得出②錯(cuò)誤；根據(jù)S△OND＝S△OAM=12k和S△OND+S四邊形DAMN＝S△OAM+S△OMN，即可得到S四邊形DAMN＝S△OMN；作NE⊥OM于E點(diǎn)，則△ONE為等腰直角三角形，設(shè)NE＝x，則OM＝ON=2x，EM=2x﹣x＝（2?1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x2＝8+42，所以O(shè)N2＝（2x）2＝16+82，易得△BMN為等腰直角三角形，得到BN=22MN＝22，設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值為22【解答】解：∵點(diǎn)M、N都在y=k∴S△ONC＝S△OAM=12k，即12OC?NC=1∵四邊形ABCO為正方形，∴OC＝OA，∠OCN＝∠OAM＝90°，∴NC＝AM，在△OCN和△OAM中，OC=OA∠OCN=∠OAM∴△OCN≌△OAM（SAS），①正確；∴ON＝OM，∵k的值不能確定，∴∠MON的值不能確定，∴△ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形，∴ON≠M(fèi)N，∴MN≠CN+AM；②錯(cuò)誤；∵S△OND＝S△OAM=12而S△OND+S四邊形DAMN＝S△OAM+S△OMN，∴四邊形DAMN與△MON面積相等，③正確；作NE⊥OM于E點(diǎn)，如圖，∵∠MON＝45°，∴△ONE為等腰直角三角形，∴NE＝OE，設(shè)NE＝x，則ON=2x∴OM=2x∴EM=2x﹣x＝（2?1）在Rt△NEM中，MN＝4，∵M(jìn)N2＝NE2+EM2，即42＝x2+[（2?1）x]2∴x2＝8+42，∴ON2＝（2x）2＝16+82，∵CN＝AM，CB＝AB，∴BN＝BM，∴△BMN為等腰直角三角形，∴BN=22MN＝2設(shè)正方形ABCO的邊長(zhǎng)為a，則OC＝a，CN＝a﹣22，在Rt△OCN中，∵OC2+CN2＝ON2，∴a2+（a﹣22）2＝16+82，解得a1＝22+2，a2∴OC＝22+∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，22+2），④正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義和正方形的性質(zhì)；熟練運(yùn)用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算．二．填空題13．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA=55，則下列結(jié)論：①AC⊥BD；②AC⊥CD；③tan∠DAC＝2；④四邊形ABCD的面積為31；⑤BD＝241．正確的是②③④⑤【分析】根據(jù)勾股定理及其逆定理可得AC2+CD2＝DA2知∠ACD＝90°，即AC⊥CD，故①錯(cuò)誤，②正確；根據(jù)正切函數(shù)的定義可判斷③；根據(jù)四邊形ABCD的面積為S△ABC+S△ACD可判斷④；作DM⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于M，連接AC，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，證出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，得出BM＝BC+CM＝10，再由勾股定理求出BD即可判斷⑤．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=A在△ACD中，∵CD＝10，DA＝55，∴AC2+CD2＝25+100＝125＝DA2，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD，故①錯(cuò)誤，②正確；在Rt△ACD中，tan∠DAC=CDAC=S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD=12AB?BC+1=12×＝31，故④正確；作DM⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于M，如圖所示：則∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∵CD＝10，AD＝55，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，∴△ABC∽△CMD，∴ABCM∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，∴BM＝BC+CM＝10，∴BD=BM2+DM故答案為：②③④⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，證明由勾股定理的逆定理證出△ACD是直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，EF＝25．以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有①③④．（填序號(hào)）【分析】①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF＝FH，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；②根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角線可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°時(shí)EC平分∠DCH，判斷出②錯(cuò)誤；③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF＝CD，求出BF＝4，然后寫(xiě)出BF的取值范圍，判斷出③正確；④過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確．【解答】解：∵FH與CG，EH與CF都是矩形ABCD的對(duì)邊AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四邊形CFHE是平行四邊形，由翻折的性質(zhì)得，CF＝FH，∴四邊形CFHE是菱形，（故①正確）；∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°時(shí)EC平分∠DCH，（故②錯(cuò)誤）；點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF＝x，則AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，（故③正確）；過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于M，則ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF=MF2+ME綜上所述，結(jié)論正確的有①③④共3個(gè)，故答案為①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于靈活運(yùn)用菱形的判定與性質(zhì)與勾股定理等其它知識(shí)有機(jī)結(jié)合．15．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)F，連接DF，分析下列五個(gè)結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD=2；⑤S四邊形CDEF=52S△ABF，其中正確的結(jié)論有【分析】①四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，則∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；②由AE=12AD=12BC，又AD∥BC，所以③過(guò)D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM＝DE=12BC，得到CN＝NF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故④根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan∠CAD=22，故⑤根據(jù)△AEF∽△CBF得到EFBF=AEBC=12，求出S△AEF=12S△ABF，S△ABF=16S矩形ABCD；S四邊形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF=12S矩形ABCD?112S矩形ABCD【解答】解：過(guò)D作DM∥BE交AC于N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正確；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC∵AE=12AD=∴AFCF∴CF＝2AF，故②正確，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE=12∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正確；由△BAE∽△ADC，有ABAD∴AD∴ADAB∵tan∠CAD=CD∴tan∠CAD=22，故∵△AEF∽△CBF，∴EFBF∴S△AEF=12S△ABF，S△ABF=1∴S△AEF=112S矩形又∵S四邊形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF=12S矩形ABCD?112S矩形ABCD=∴S四邊形CDEF=52S△ABF，故故答案為：①②③⑤．【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．如圖，已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，∠EAF＝45°，AE＝AF，則有下列結(jié)論：①∠1＝∠2＝22.5°；②點(diǎn)C到EF的距離是2?1③△ECF的周長(zhǎng)為2；④BE+DF＞EF．其中正確的結(jié)論是①②③．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【分析】先證明Rt△ABE≌Rt△ADF得到∠1＝∠2，易得∠1＝∠2＝22.5°，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；連接EF、AC，它們相交于點(diǎn)H，如圖，利用Rt△ABE≌Rt△ADF得到BE＝DF，則CE＝CF，接著判斷AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，于是利用角平分線的性質(zhì)定理得到EB＝EH，F(xiàn)D＝FH，則可對(duì)③④進(jìn)行判斷；設(shè)BE＝x，則EF＝2x，CE＝1﹣x，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到2x=2（1﹣x），解得x=2?【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中AE=AFAB=AD∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠1＝∠2，∵∠EAF＝45°，∴∠1＝∠2＝22.5°，所以①正確；連接EF、AC，它們相交于點(diǎn)H，如圖，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE＝DF，而B(niǎo)C＝DC，∴CE＝CF，而AE＝AF，∴AC垂直平分EF，AH平分∠EAF，∴EB＝EH，F(xiàn)D＝FH，∴BE+DF＝EH+HF＝EF，所以④錯(cuò)誤；∴△ECF的周長(zhǎng)＝CE+CF+EF＝CE+BE+CF+DF＝CB+CD＝1+1＝2，所以③正確；設(shè)BE＝x，則EF＝2x，CE＝1﹣x，∵△CEF為等腰直角三角形，∴EF=2CE，即2x=2（1﹣x），解得x∴EF＝2（2?∴CH=12EF=2故答案為①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)定理．解決本題的關(guān)鍵是證明AC垂直平分EF．17．如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，取EF的中點(diǎn)G，連接CG，BG，BD，DG，下列結(jié)論：①BE＝CD；②∠DGF＝135°；③∠ABG+∠ADG＝180°；④若ABAD=23，則3S△BDG＝13其中正確的結(jié)論是①③④．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）【分析】先求出∠BAE＝45°，判斷出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB＝BE，∠AEB＝45°，從而得到BE＝CD，故①正確；再求出△CEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CG＝EG，再求出∠BEG＝∠DCG＝135°，然后利用“邊角邊”證明△DCG≌△BEG，得到∠BGE＝∠DGC，由∠BGE＜∠AEB，得到∠DGC＝∠BGE＜45°，∠DGF＜135°，故②錯(cuò)誤；由于∠BGE＝∠DGC，得到∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，故③正確；由△BGD是等腰直角三角形得到BD=AD2+AB2=13a，求得S△BDG，過(guò)G作GM⊥【解答】解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∠AEB＝45°，∵AB＝CD，∴BE＝CD，故①正確；∵∠CEF＝∠AEB＝45°，∠ECF＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∵點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，∴CG＝EG，∠FCG＝45°，∴∠BEG＝∠DCG＝135°，在△DCG和△BEG中，BE=CD∠BEG=∠DCG∴△DCG≌△BEG（SAS）．∴∠BGE＝∠DGC，∵∠BGE＜∠AEB，∴∠DGC＝∠BGE＜45°，∵∠CGF＝90°，∴∠DGF＜135°，故②錯(cuò)誤；∵∠BGE＝∠DGC，∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，故③正確；∵ABAD∴設(shè)AB＝2a，AD＝3a，∵△DCG≌△BEG，∵∠BGE＝∠DGC，BG＝DG，∵∠EGC＝90°，∴∠BGD＝90°，∵BD=AD∴BG＝DG=262∴S△BDG=12×262a∴3S△BDG=3×134a過(guò)G作GM⊥CF于M，∵CE＝CF＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝a，∴GM=12CF=∴S△DGF=12?DF?GM=12×3a×∴13S△DGF=13×34a∴3S△BDG＝13S△DGF，故④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．18．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BF⊥AE交CD于點(diǎn)F，垂足為G，連接CG．下列說(shuō)法：①AG＞GE；②AE＝BF；③點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為π；④CG的最小值為5?1．其中正確的說(shuō)法是②④【分析】根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)可得出當(dāng)E移動(dòng)到與C重合時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)和D點(diǎn)重合，此時(shí)G點(diǎn)為AC中點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；求得∠BAE＝∠CBF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，然后利用“角角邊”證明△ABE和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得AE＝BF，判斷出②正確；根據(jù)題意，G點(diǎn)的軌跡是以AB中點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的圓弧，然后求出弧的長(zhǎng)度，判斷出③錯(cuò)誤；由于OC和OG的長(zhǎng)度是一定的，因此當(dāng)O、G、C在同一條直線上時(shí)，CG取最小值，根據(jù)勾股定理求出最小CG長(zhǎng)度．【解答】解：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，∴∠AGB保持90°不變，∴G點(diǎn)的軌跡是以AB中點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的圓弧，∴當(dāng)E移動(dòng)到與C重合時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)和D點(diǎn)重合，此時(shí)G點(diǎn)為AC中點(diǎn)，∴AG＝GE，故①錯(cuò)誤；∵BF⊥AE，∴∠AEB+∠CBF＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，∠BAE=∠CBF∠ABE=∠BCF=90°∴△ABE≌△BCF（AAS），∴故②正確；∵當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)停止，∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的軌跡為14圓弧的長(zhǎng)=14×π×2=由于OC和OG的長(zhǎng)度是一定的，因此當(dāng)O、G、C在同一條直線上時(shí)，CG取最小值，OC=OCG的最小值為OC﹣OG=5?1，故綜上所述，正確的結(jié)論有②④．故答案為②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并求出△ABE和△BCF全等是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀．19．如圖，正方形ABCD中，連接BD．點(diǎn)E在邊BC上，且CE＝2BE．連接AE交BD于F；連接DE，取BD的中點(diǎn)O；取DE的中點(diǎn)G，連接OG．下列結(jié)論：①BF＝OF；②OG⊥CD；③AB＝5OG；④sin∠AFD=其中正確結(jié)論的是①②④．【分析】由條件四邊形ABCD是正方形可以得出AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，通過(guò)作輔助線制造直角三角形可以求出正弦值，利用三角形相似可以求出線段之間的關(guān)系，平行線的性質(zhì)就可以求出相應(yīng)的結(jié)論．【解答】解：∵CE＝2BE，∴BECE∴BEBC∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴BEAD∵AD∥BC，∴△BFE∽△DFA，∴BFDF∵O是BD的中點(diǎn)，G是DE的中點(diǎn)，∴OB＝OD，OG=12BE，OG∥∴BF＝OF，①正確，OG⊥CD，②正確OG=12BE=12×13BC=16BC連接OA，∴OA＝OB＝2OF，OA⊥BD，∴由勾股定理得；AF=5OF∴sin∠AFD=OAAF=故答案為①②④．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準(zhǔn)確選擇．20．如圖，已知正方形ABCD，M，N分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠MAN＝45°，連接BD分別交AM，AN于E，F(xiàn)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是⑤．①△CMN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)的兩倍；②點(diǎn)A到MN的距離等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)；③EF2＝BE2+DF2；④△EMO與△FNO均為等腰直角三角形；⑤S△AMN=2S△AEF⑥S正方形ABCD：S△AMN＝2AB：MN．【分析】將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH．證明△MAN≌△HAN，得到MN＝NH，根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算判斷①；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷②；將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針性質(zhì)90°得到△ABH，連接HE．證明△EAH≌△EAF，得到∠HBE＝90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算判斷③；根據(jù)等腰直角三角形的判定定理判斷④；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式計(jì)算，判斷⑤，根據(jù)點(diǎn)A到MN的距離等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)、三角形的面積公式計(jì)算，判斷⑥．【解答】解：將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADH．則∠DAH＝∠BAM，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠BAN+∠DAN＝45°，∴∠NAH＝45°，在△MAN和△HAN中，AM=AH∠MAN=∠HAN∴△MAN≌△HAN，∴MN＝NH＝BM+DN，∴△CMN的周長(zhǎng)＝CM+CN+MN＝CM+BM+CN+DN＝CB+CD，∴△CMN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)的兩倍，①結(jié)論正確；∵△MAN≌△HAN，∴點(diǎn)A到MN的距離等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)AD，②結(jié)論正確；如圖2，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針性質(zhì)90°得到△ABH，連接HE．∵∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，∠DAF＝∠BAE，∴∠EAH＝∠EAF＝45°，∵EA＝EA，AH＝AD，∴△EAH≌△EAF，∴EF＝HE，∵∠ABH＝∠ADF＝45°＝∠ABD，∴∠HBE＝90°，在Rt△BHE中，HE2＝BH2+BE2，∵BH＝DF，EF＝HE，∵EF2＝BE2+DF2，③結(jié)論正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∠BDC＝∠ADB＝45°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝∠EDN，∴A、E、N、D四點(diǎn)共圓，∴∠ADN+∠AEN＝180°，∴∠AEN＝90°∴△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；④結(jié)論正確；∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，∴AM=2AF，AN=2∵S△AMN=12AM?S△AEF=12AE?∴S△AMN：S△AEF＝2，∴S△AMN＝2S△AEF，⑤結(jié)論錯(cuò)誤；∵點(diǎn)A到MN的距離等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)，∴S正方形ABCD：S△AMN=AB×AB12×MN×AB=2AB故答案為：⑤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．三．解答題21．已知，點(diǎn)P在正方形ABCD的邊BC上，過(guò)點(diǎn)P作垂直于AP的直線l，過(guò)點(diǎn)C作平行于BD的直線m，直線l與直線n相交于點(diǎn)Q，連接AQ交BD于點(diǎn)E，連接PE（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：PA＝PQ；（3）探究線段AB，BP，PE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【分析】（1）根據(jù)題意作圖；（2）∠APQ＝90°，利用K字模型導(dǎo)角關(guān)系可得∠BAP＝∠QPC，截取等邊構(gòu)造全等，可得AP＝QP；（3）∠DCQ＝45°，所以CD＝DM＝AD，可證D、E都是中點(diǎn)，根據(jù)△APQ等腰直角三角形三邊關(guān)系可得AB，BP，PE之間得數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）如圖（2）如圖，在AB上截取BF＝BP∵△BEP為等腰直角三角形∴AF＝PC，∠AFP＝∠PCQ＝135°∵∠FAP＝∠QPC∴△AFP≌△PQC∴PA＝PQ（3）如圖，AD的延長(zhǎng)線交CQ于點(diǎn)M∵DE∥CM，DM＝CD＝AD∴AEEQ∴點(diǎn)E為AQ的中點(diǎn)在Rt△APE中AP=2∴AP2＝2PE2∵AP2＝AB2+BP2∴AB2+BP2＝2PE2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等的證明和等腰直角三角形的性質(zhì)，（2）需要根據(jù)現(xiàn)有的邊角條件添加輔助線構(gòu)造全等關(guān)系，是本題的難點(diǎn)，（3）問(wèn)利用等腰直角三角形三邊的特殊關(guān)系獲得三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，是一道很好的綜合證明問(wèn)題．22．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．如圖（1），已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作ME∥AC交BD于點(diǎn)E，作MF∥BD交AC于點(diǎn)F．我們稱四邊形0EMF為四邊形ABCD的“伴隨四邊形”．（1）若四邊形ABCD是菱形，則其“伴隨四邊形”是矩形，若四邊形ABCD矩形，則其“伴隨四邊形”是：菱形（在橫線上填特殊平行四邊形的名稱）（2）如圖（2），若四邊形ABCD是矩形，M是BC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其他條件不變，點(diǎn)F落在AC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)寫(xiě)出線段OB、ME，MF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)矩形、菱形的性質(zhì)定理和判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OE＝MF，得到OB+MF＝BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到EB＝EM，證明結(jié)論．【解答】（1）如圖1，∵M(jìn)E∥AC，MF∥BD，∴四邊形OEMF是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四邊形OEMF是矩形；如圖2，∵M(jìn)E∥AC，MF∥BD，∴四邊形OEMF是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∵M(jìn)是BC邊的中點(diǎn)，∴ME=12OC，MF=∴ME＝MF，∴四邊形OEMF是菱形；故答案為：矩形；菱形．（2）∵M(jìn)E∥AC，MF∥BD，∴四邊形OEMF是平行四邊形，∴OE＝MF，∴OB+MF＝OB+OE＝BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠OBC＝∠OCB，∵M(jìn)E∥AC，∴∠EMB＝∠OCB，∴∠EBM＝∠EMB，∴EB＝EM，∴EM＝OB+MF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形、菱形的性質(zhì)和判定，理解伴隨四邊形的定義、靈活運(yùn)用矩形、菱形的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2m﹣6，0），B（4，0），C（﹣1，2），點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)兩側(cè)，且A、B兩點(diǎn)間的距離等于6個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）求m的值；（2）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△COM面積=13△ABC面積，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)（3）如圖2，把線段AB向上平移2個(gè)單位得到線段EF，連接AE，BF，EF交y軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，將長(zhǎng)方形GOBF和長(zhǎng)方形AECD分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線AECDA運(yùn)動(dòng)，當(dāng)長(zhǎng)方形GOBF與長(zhǎng)方形AECD重疊面積為1時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離公式建立方程求解即可；（2）先確定出△ABC的面積，進(jìn)而求出△COM的面積，利用面積建立方程求解即可；（3）分兩種情況討論，由重疊面積為1，列出方程可求解．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)兩側(cè)，且A、B兩點(diǎn)間的距離等于6個(gè)單位長(zhǎng)度，B（4，0）∴4﹣（2m﹣6）＝6，解得m＝2；（2）存在，∵AB＝6，C（﹣1，2），∴S△ABC=12AB×|y∵△COM的面積=13△∴S△COM＝2，當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，設(shè)M（a，0），∴OM＝|a|，∴S△COM=12OM×|yC|=1∴a＝±2，∴M（﹣2，0）或（2，0）；（3）設(shè)經(jīng)b秒后長(zhǎng)方形GOBF與長(zhǎng)方形AECD重疊面積為1，由題意可得，bs后，點(diǎn)D'（﹣1+2b，0），O'（b，0），B'（4+b，0），①當(dāng)長(zhǎng)方形GOBF與長(zhǎng)方形AECD重疊部分在長(zhǎng)方形GOBF左側(cè)時(shí)，∵高必為2，∴底為12∴﹣1+2b﹣b＝0.5，∴b＝1.5，∴點(diǎn)M（1，1.5）；②當(dāng)長(zhǎng)方形GOBF與長(zhǎng)方形AECD重疊部分在長(zhǎng)方形GOBF右側(cè)時(shí)，∵高必為2，∴底為12∴﹣1+2b﹣（4+b）＝0.5，∴b＝5.5，∴點(diǎn)M（9.5，0），綜上所述：點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，1.5）或（9.5，0）．【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形的面積的計(jì)算方法，矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想解決問(wèn)題，是一道中等難度的中考?？碱}．24．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出：BC，CD，CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為CF+CD＝BC．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確的結(jié)論，并給出證明．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變．請(qǐng)直接寫(xiě)出：BC，CD，CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）如圖1，由∠BAC＝90°，∠ABC＝45°可得AB＝AC，再根據(jù)正方形性質(zhì)得AD＝AF，∠DAF＝90°，接著根據(jù)等角的余角相等得∠BAD＝∠CAF，于是可根據(jù)“SAS”判斷△BAD≌△CAF，得到BD＝CF，所以CF+CD＝BD+CD＝BC；（2）和（1）的方法一樣可證明△BAD≌△CAF得到BD＝CF，而B(niǎo)D＝BC+CD，則CF﹣CD＝BC；（3）根據(jù)等角的余角相等得∠BAD＝∠CAF，則根據(jù)“SAS”可判斷△ABD≌△ACF，得到BD＝CF，所以BC＝CD﹣CF．【解答】解：（1）BC＝CD+CF，如圖1，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC∠BAD=∠CAF∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∵BD+CD＝BC，∴CF+CD＝BC；故答案為：CF+CD＝BC；（2）解：不成立BC＝CF﹣CD，理由如下：如圖2，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC．∵四邊形ADEF為正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°+∠CAD，∠CAF＝90°+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∵BD＝BC+CD，∴CF＝BC+CD，∴BC＝CF﹣CD，（3）解：BC＝CD﹣CF，如圖3，理由如下：∵四邊形ADEF為正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAF﹣∠BAC＝∠BAC﹣∠BAF，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，AB=AC∠BAD=∠CAF∴△ABD≌△ACF（SAS），∴BD＝CF，∴BC＝CD﹣CF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角．25．以四邊形ABCD的邊AB，AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和等邊三角形ADE，連接EB，F(xiàn)D，交點(diǎn)為G．（1）當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，如圖①，EB和FD的數(shù)量關(guān)系是BE＝DF；（2）當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，如圖②，EB和FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)加以證明；（3）如圖③，四邊形ABCD由正方形到矩形再到一般平行四邊形的變化過(guò)程中，EB和FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需證明．【分析】（1）根據(jù)題意可得AB＝AF，AD＝AE，∠FAB＝∠EAD，即可得∠FAD＝∠EAB，則可證△AFD≌△AEB，可得BE＝DF（2）根據(jù)題意可得AB＝AF，AD＝AE，∠FAB＝∠EAD，即可得∠FAD＝∠EAB，則可證△AFD≌△AEB，可得BE＝DF（3）根據(jù)題意可得AB＝AF，AD＝AE，∠FAB＝∠EAD，即可得∠FAD＝∠EAB，則可證△AFD≌△AEB，可得BE＝DF．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAD＝90°∵△BAF和△AED是等邊三角形∴AF＝AB，AD＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°∴AE＝AD＝AF＝AB，∠FAD＝∠EAB∴△ABE≌△ADF∴DF＝BE故答案為DF＝BE（2）EB＝FD理由如下：∵△BAF和△AED是等邊三角形∴AF＝AB，AD＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°∴∠FAB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD∴∠FAD＝∠EAB又∵AF＝AB，AE＝AD∴△ABE≌△AFD∴DF＝BE（3）BE＝DF理由如下∵△BAF和△AED是等邊三角形∴AF＝AB，AD＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°∴∠FAB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD∴∠FAD＝∠EAB又∵AF＝AB，AE＝AD∴△ABE≌△AFD∴DF＝BE【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四邊形的綜合題，等邊三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．26．如圖1，在?ABCD中．AB＝6．AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與A，C，D重合）．AE＝CF．設(shè)∠ACD＝a，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a得到AP，連接PE，BE，BF．（1）求證：△APE≌△CBF：（2）如圖2，若∠BOA＝90°，∠ACD＝40°，且點(diǎn)B、E、P在一條直線上，求BE+BF的值；（3）當(dāng)OB＝OC，∠ACD＝60°時(shí)，BE+BF長(zhǎng)的最小值是67【分析】（1）由已知條件AP＝BC，AE＝CF，∠PAE＝∠BCF可證明△APE≌△CBF；（2）點(diǎn)B、E、P在一條直線上時(shí)，由（1）可知BF＝EP，所以BE+BF＝BP，等腰三角形ABP中，∠P＝30°，可求BP長(zhǎng)；（3）由OB＝OC可知，?ABCD為矩形，由（2）可知EB+FB的最小值即為B、E、P在一條直線上時(shí)BP長(zhǎng)，可建立直角三角形，運(yùn)用勾股定理求BP長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠PAD，∠DAC＝∠ACB∴∠PAE＝∠BCF∵AP＝BC，AE＝CF∴△APE≌△CBF（SAS）（2）由（1）可知△APE≌△CBF∴EP＝BF∴BP＝BE+PF＝BE+BF∵∠BOA＝90°∴?ABCD為菱形∴AP＝AD＝AB∵∠PAD＝40°∴∠PAB＝120°∴∠P＝30°如圖，作AH⊥PB，垂足