備戰(zhàn)2025年高考理科數(shù)學(xué)考點一遍過考點20平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用

專題20平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用1．平面向量的數(shù)量積（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算.（4）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.2．向量的應(yīng)用（1）會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.（2）會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.一、平面向量的數(shù)量積1．平面向量數(shù)量積的概念（1）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作,即，其中θ是與的夾角.【注】零向量與任一向量的數(shù)量積為0.（2）投影的概念設(shè)非零向量與的夾角是θ，則()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.如圖（1）（2）（3）所示，分別是非零向量與的夾角為銳角、鈍角、直角時向量在方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影長是向量的長度.（3）數(shù)量積的幾何意義由向量投影的定義，我們可以得到的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積.2．平面向量數(shù)量積的運算律已知向量和實數(shù),則①交換律：；②數(shù)乘結(jié)合律：；③分配律：.二、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角及性質(zhì)設(shè)非零向量，是與的夾角.（1）數(shù)量積：.（2）模：.（3）夾角：.（4）垂直與平行：；a∥b?a·b=±|a||b|.【注】當(dāng)與同向時,；當(dāng)與反向時,.（5）性質(zhì)：|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立)?.三、平面向量的應(yīng)用1．向量在平面幾何中常見的應(yīng)用已知.（1）證明線段平行、點共線問題及相似問題，常用向量共線的條件：（2）證明線段垂直問題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線（或線段）是否垂直等，常用向量垂直的條件：（其中為非零向量）（3）求夾角問題，若向量與的夾角為，利用夾角公式：（其中為非零向量）（4）求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：，或（其中兩點的坐標(biāo)分別為）（5）對于有些平面幾何問題，如載體是長方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來，通過代數(shù)運算解決綜合問題.2．向量在物理中常見的應(yīng)用（1）向量與力、速度、加速度及位移力、速度、加速度與位移的合成與分解，實質(zhì)上就是向量的加減法運算.（2）向量與功、動量力做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，實質(zhì)是力和位移兩個向量的數(shù)量積，即為和的夾角).考向一平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積的類型及求法：(1)平面向量數(shù)量積有兩種計算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡.典例1若向量QUOTEm=(2k-1,k)m=(2k-1,k)與向量QUOTEn=(4,1)n=(4,1)共線,則QUOTEm?n=A．QUOTE00 B．QUOTE44C． D．【答案】D【解析】因為向量QUOTEm=(2k-1,k)m=(2k-1,k)與向量QUOTEn=(4,1)n=(4,1)所以QUOTE2k-1=4k2k-1=4k，解得QUOTEk=-12k=-12.即QUOTEm=(-2,-12)m=(-2,-12)，QUOTE所以QUOTEm?nm?n=.選D．典例2已知向量與的夾角為QUOTE450450，則__________．【答案】QUOTE1+21+2【解析】由向量與的夾角為QUOTE450450，得.1．在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，，則=A． B．2C．3 D．42．已知菱形的邊長為2，，則A．4 B．6C． D．考向二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用平面向量數(shù)量積主要有兩個應(yīng)用：(1)求夾角的大小：若a，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題．(2)確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.典例3在平行四邊形中，若則A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示,平行四邊形中，，，，，因為，所以，則，所以.故選C．3．已知向量,且與的夾角為鈍角，則實數(shù)λ的取值范圍是.考向三平面向量的模及其應(yīng)用平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：(1)求向量的模．解決此類問題應(yīng)注意模的計算公式，或坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另外也可以運用向量數(shù)量積的運算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范圍．解決此類問題通常有以下兩種方法：①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍．(3)由向量的模求夾角．對于此類問題的求解，其實質(zhì)是求向量模方法的逆運用.典例4已知平面向量的夾角為，且，則A． B．C． D．【答案】B【解析】，所以.故選B．4．已知QUOTEOA=2，0，OB=0，2OA=2，0，OB=0，2，QUOTEAC=tAB，t∈R考向四平面向量的應(yīng)用1．向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：(1)向量與平面幾何綜合問題的解法①坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．②基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解．【注】用坐標(biāo)法解題時，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用基向量解題時要選擇適當(dāng)?shù)幕祝?2)用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.2．利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：(1)求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解．(2)求角時通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角．(3)解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過向量的相關(guān)運算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題．(4)解三角形．利用向量的坐標(biāo)運算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問題.3．用向量法解決物理問題的步驟如下：(1)抽象出物理問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；(2)建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)利用向量的線性運算或數(shù)量積運算，求解數(shù)學(xué)模型；(4)用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)解釋或分析物理問題.4．常見的向量表示形式：(1)重心．若點G是的重心，則或(其中P為平面內(nèi)任意一點)．反之，若，則點G是的重心．(2)垂心．若H是的垂心，則.反之，若，則點H是的垂心．(3)內(nèi)心．若點I是的內(nèi)心，則.反之，若，則點I是的內(nèi)心．(4)外心．若點O是的外心，則或.反之，若，則點O是的外心.典例5等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值為A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，∴.設(shè)向量的夾角為，則.【思路點撥】根據(jù)已知建立平面直角坐標(biāo)系，將等腰直角三角形的兩直角邊所在直線作為x軸和y軸，分別設(shè)出三角形頂點和兩直角邊中點的坐標(biāo)，再代入坐標(biāo)求解兩中線所對應(yīng)的向量的數(shù)量積和模，進(jìn)而求得夾角的余弦值.5．扇形OAB的半徑為1，圓心角為QUOTE90°90°，P是QUOTEABAB上的動點，則QUOTEOP?(OA-OB)OP?(OA-A．0 B．QUOTE-1-1C．QUOTE-2-2 D．QUOTE1212典例6已知，，函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)QUOTEfxfx的零點；（Ⅱ）若銳角的三個內(nèi)角QUOTEAA、QUOTEBB、QUOTECC的對邊分別是QUOTEaa、QUOTEbb、QUOTEcc，且QUOTEfA=1fA=1，求的取值范圍.【解析】（Ⅰ）由條件可知:，∴.故函數(shù)QUOTEfxfx的零點滿足,由，解得,．（Ⅱ）由正弦定理得①.由（Ⅰ）知，而QUOTEfA=1fA=1，得，∴，又，得.∵，QUOTE∴∴，代入①化簡得：，又在銳角中，有，又，QUOTE∴∴，∴，則有，即：QUOTE3<b+ca≤23<【名師點睛】利用向量的共線與垂直和數(shù)量積之間的關(guān)系建立三角方程或三角函數(shù)式，從而解決三角函數(shù)中的求值、求角或求最值等問題是高考考查的熱點.6．在中,內(nèi)角的對邊分別為,且向量，若.（1）求的值；（2）若,求在方向上的投影.典例7一質(zhì)點受到平面上的三個力F1、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為________．【答案】【解析】由題意知F3=?(F1＋F2)，∴|F3|=|F1＋F2|，∴|F3|2=|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos60°=28，∴|F3|=.7．在水流速度為的河流中，有一艘船正沿與水流垂直的方向以的速度航行，則船自身航行的速度大小為____________.1．已知向量QUOTEa=(3,0)a=(3,0)，QUOTEb=(x,-2)b=(x,-2)，且QUOTEa⊥(a-2b)a⊥(a-2bA．QUOTE-3-3 B．QUOTE-32-32C．QUOTE33 D．QUOTE32322．已知向量，則A．0 B．－1C．2或－2 D．3．已知共點力F1=(lg2，lg2)，F(xiàn)2=(lg5，lg2)作用在物體M上，產(chǎn)生位移s=(2lg5,1)，則共點力對物體做的功W為A．lg2 B．lg5C．1 D．24．設(shè)向量QUOTEaa，QUOTEbb滿足QUOTEa=2b=2a=2b=2且QUOTE2a+3b=12a+3b=1，則向量QUOTEaa在向量QUOTEbb方向的投影為A．-2 B．-1C．1 D．25．已知向量，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．6．已知向量，，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍是A． B．C．且 D．7．在矩形中，,．若點，分別是，的中點，則A．4 B．3C．2 D．18．在中，，，，設(shè)點、滿足，，若，則A． B．2C． D．39．中，設(shè)，若，則是A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．無法確定其形狀10．已知向量、為單位向量，且在的方向上的投影為，則向量與的夾角為A． B．C． D．11．已知向量QUOTEa=(x-1,2),b=(2,1)a=(x-1,2),b=(2,1),則“QUOTEx>0x>0”是“QUOTEaa與QUOTEbbA．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件12．已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則的最小值是A．－ B．－2C．－ D．－113．已知點，，，若，則的值為A． B．C． D．14．已知QUOTEOO是內(nèi)部一點，QUOTEOA+OB+OC=0OA+OB+OC=0，QUOTEAB?AC=2AB?AC=2且QUOTE∠BAC=60°A．QUOTE3333 B．QUOTE33C．QUOTE3232 D．QUOTE232315．平面直角坐標(biāo)系QUOTExOyxOy中，分別是與QUOTExx軸、QUOTEyy軸正方向同向的單位向量，向量，，則以下說法正確的是A． B．C． D．16．已知是互相垂直的單位向量,向量,,則__________．17．平面向量QUOTEaa與QUOTEbb的夾角為QUOTE45°45°，QUOTEa=(1,-1)a=(1,-1)，QUOTE|b|=1|b|=1，則QUOTE|a+2b|=|a+2b|=__________．18．已知，，且，共線，則向量在方向上的投影為__________．19．如圖，在矩形中，，，點為的中點，點在邊上，且，則的值是．AABCEFD20．在平行四邊形中，，點在邊上，則的取值范圍是．21．設(shè)向量，其中，若，則.22．已知向量QUOTEABAB與QUOTEACAC的夾角為QUOTE120°120°，且QUOTEAB=2AB=2，QUOTEAC=3AC=3.若QUOTEAP=λAB+ACAP=λAB+AC，且QUOTEAP⊥BCAP⊥BC,則實數(shù)QUOTEλλ的值為__________．23．在平行四邊形中，.（1）用表示；（2）若，，求的值.24．如圖，在四邊形QUOTEOBCDOBCD中，QUOTECD=2BOCD=2BO，QUOTEOA=2ADOA=2AD，QUOTE∠D=90°∠D=90°，且QUOTEBO=AD=1BO=AD=1.（1）用QUOTEOA,OBOA,OB表示QUOTECBCB；（2）點QUOTEPP在線段QUOTEABAB上，且QUOTEAB=3APAB=3AP，求QUOTEcos∠PCBcos∠PCB的值.1．（2019年高考全國I卷理數(shù)）已知非零向量a，b滿足，且b，則a與b的夾角為A． B． C． D．2．（2019年高考全國II卷理數(shù)）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．?3 B．?2C．2 D．33．（2018新課標(biāo)全國Ⅱ理科）已知向量，滿足，，則A．4 B．3C．2 D．04．（2019年高考北京卷理數(shù)）設(shè)點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2018新課標(biāo)全國Ⅰ理科）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=A．5 B．6C．7 D．86．（2018浙江）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2?4e·b+3=0，則|a?b|的最小值是A．?1 B．+1C．2 D．2?7．（2017新課標(biāo)全國Ⅱ理科）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是A． B．C． D．8．（2017北京理科）設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2019年高考全國III卷理數(shù)）已知a，b為單位向量，且a·b=0，若，則___________.10．（2019年高考天津卷理數(shù)）在四邊形中，，點在線段的延長線上，且，則___________．11．（2017新課標(biāo)全國Ⅰ理科）已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=___________．12．（2017天津理科）在中，，，．若，，且，則的值為___________．13．（2017山東理科）已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實數(shù)的值是___________．14．（2017浙江）已知向量a，b滿足則的最小值是________，最大值是___________．15．（2019年高考江蘇卷）如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是___________．變式拓展變式拓展1．【答案】C【解析】在平行四邊形中，，，則，，則．故選C．2．【答案】B【解析】如圖所示，菱形的邊長為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．3．【答案】【解析】∵與的夾角為鈍角，∴，即，∴.又當(dāng)與反向時，夾角為180°，即，則，解得.應(yīng)該排除反向的情形，即排除，于是實數(shù)λ的取值范圍為.【誤區(qū)警示】依據(jù)兩向量夾角θ的情況,求向量坐標(biāo)中的參數(shù)時,需注意當(dāng)夾角為0°時,;當(dāng)夾角為180°時,,這是容易忽略的地方.4．【答案】QUOTE1212【解析】QUOTE∵AC=tAB,∴OC-得QUOTEOC=tOB+1-tOA=QUOTEOC=2-2t2+4t2當(dāng)QUOTEt=12t=12時，QUOTEOCOC有最小值QUOTE1212.5．【答案】B【解析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)點QUOTEP(x,y)P(x,y)，則QUOTE0≤x≤10≤y≤1x2+y2=10≤x≤1QUOTE∴OP=(x,y)∴OP=(x,y)，QUOTEOA=(1,0)OA=(1,0)，QUOTEOB=(0,1QUOTE∴OP?(OA-OB)=x-y由圖形可知，當(dāng)QUOTEx=0x=0，QUOTEy=1y=1時，上式取得最小值是QUOTE-1-1．故選B．6．【解析】（1）∵，，，又為的內(nèi)角，.（2）在中，由正弦定理，得，，，為銳角，，由余弦定理，得，解得或（舍去）.∴在方向上的投影為.7．【答案】【解析】如圖，代表水流速度，代表船自身航行的速度，而代表實際航行的速度，所以有，所以船自身航行的速度大小為.專題沖關(guān)專題沖關(guān)1．【答案】D【解析】∵QUOTEa=(3,0)a=(3,0)，QUOTEb=(x,-2)b=(x,-2)，∴QUOTEa-2b=3又QUOTEa⊥(a-2b)a⊥(a-2b)，∴QUOTE33-2x=033-2x=0故選D.2．【答案】A【解析】因為，所以，所以.故選A．3．【答案】D【解析】由題意，共點力F1=(lg2，lg2)，F(xiàn)2=(lg5，lg2)作用在物體M上，其合力為F1+F2=（1，2lg2）,產(chǎn)生位移s=(2lg5,1)，則共點力對物體做的功W=(F1+F2)QUOTE?s=2lg5+2故QUOTE選D選D.4．【答案】A【解析】由題意可知：QUOTEa=2b=2a=2b=2，，則QUOTE2a+3b2=4a5．【答案】D【解析】選項A：=，所以選項A錯誤；選項B：，∴不平行于，所以選項B錯誤；選項C：，因為，所以選項C錯誤；選項D：，因為，所以選項D正確，故選D.6．【答案】C【解析】若，的夾角為鈍角，則且不反向共線，由，得.當(dāng)向量，共線時，，得，此時.所以且.故選C．7．【答案】C【解析】由題意作出圖形，如圖所示：由圖及題意，可得：，，∴.故選C．8．【答案】D【解析】因為，所以，所以.由已知，，則.故選D.9．【答案】C【解析】因為QUOTEc?(c+a-b)=AB?(AB+BC-CA)=2AB?AC=2|AB故選C．10．【答案】A【解析】設(shè)向量與的夾角為，因為向量、為單位向量，且在的方向上的投影為，所以，即，則，又，所以，故選A．11．【答案】C【解析】若QUOTEaa與QUOTEbb的夾角為銳角,則QUOTEa·b>0a·b>0,且QUOTEaa與QUOTEbb不平行,所以QUOTEa·b=2x>0a·b=2x>0,得x>0,且QUOTEx-1≠4,x≠5x-1≠4,x≠5,所以“QUOTEx>0x>0”是“QUOTEaa與QUOTEbb的夾角為銳角”的必要不充分條件.故選C．12．【答案】A【解析】以為軸，以邊上的高為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)，則，所以當(dāng)時，取得最小值.故選A．13．【答案】C【解析】，，，則，.故選C.14．【答案】A【解析】由QUOTEOA+OB+OC=0OA+OB+OC=又QUOTEAB?ACAB?ACQUOTE=|AB||AC|cos600=2=|AB||AC|cos600=2，所以QUOTE|AB||故選A．15．【答案】B【解析】由題意不妨設(shè)，則，，據(jù)此逐一考查所給的選項：QUOTEa=4+0=2a=4+0=2，QUOTEb=1+1=2b=1+1=2，則QUOTEaQUOTEa-b=1,-1,a-b?b=1,-1?1,1=0aQUOTEa?b=2,0?1,1=2a?b=2,0?1,1=2不存在實數(shù)QUOTEλλ滿足QUOTEa=λba=λb，則不成立，選項D錯誤.故選B.16．【答案】2【解析】由題得.17．【答案】QUOTE1010【解析】由QUOTEa=1,-1a=1,-1，得QUOTEa=2a=又QUOTEb=1b=1，且向量QUOTEa與ba與b的夾角為QUOTE45°45°，QUOTE∴a+2b2=a2QUOTE∴a+2b=1018．【答案】【解析】由與共線得：，解得：.向量在方向上的投影為：.19．【答案】 【解析】以為原點，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，∴.20．【答案】【解析】因為點在邊上，所以設(shè)，則，，所以，又，所以，故答案為．21．【答案】【解析】將的兩邊平方并化簡可得，，又∵，是單位向量，∴，即，即，又∵，∴.22．【答案】【解析】由題意可得QUOTEAP?BC=0AP?BC=0，即QUOTE(λAB+AC整理得QUOTEAC2+(λ-1)AB?AC-λ因為向量QUOTEABAB與QUOTEACAC的夾角為QUOTE120°120°，且QUOTEAB=2AB=2，QUOTEAC=3AC=3，所以QUOTE9+(λ-1)×2×3×(-12)-4λ=09+(λ-1)×2×3×(-12)-4λ=0，23．【解析】（1）.（2）∵，，∴.由圖可得：，∴.24．【解析】（1）因為QUOTEOA=2ADOA=2AD，所以QUOTEDO=32AO因為QUOTECD=2BOCD=2BO，所以QUOTECB=CD+DO+OBCB=CD+DO+（2）因為QUOTECD=2BOCD=2BO，所以QUOTEOB∥CDOB∥CD.因為QUOTEOA=2ADOA=2AD，所以點QUOTEO,A,DO,A,D共線.因為QUOTE∠D=90°∠D=90°，所以QUOTE∠O=90°∠O=90°.以QUOTEOO為坐標(biāo)原點，QUOTEOAOA所在的直線為QUOTExx軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.因為QUOTEBO=AD=1BO=AD=1，QUOTECD=2BOCD=2BO，QUOTEOA=2AD所以QUOTEA(2,0),B(0,1),C(3,2)所以QUOTEAC=(1,2)AC=(1,2)，QUOTEAB=(-2,1)因為點QUOTEPP在線段QUOTEABAB上，且QUOTEAB=3APAB=3AP，所以QUOTEAP=13AB=(-2所以QUOTECP=AP-AC=(-5因為QUOTE?CB=(-3,-1)?CB=(-3,-1)所以.直通高考直通高考1．【答案】B【解析】因為b，所以=0，所以，所以=，所以a與b的夾角為，故選B．【名師點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．2．【答案】C【解析】由，，得，則，．故選C．【名師點睛】本題專題為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識和基本技能，難度不大．3．【答案】B【解析】因為QUOTE,,所以選B.4．【答案】C【解析】與的夾角為銳角，所以，即，因為，所以|+|>||；當(dāng)|+|>||成立時，|+|2>|-|2?>0，又因為點A，B，C不共線，所以與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件.故選C．【名師點睛】本題考查充要條件的概念與判斷?平面向量的模?夾角與數(shù)量積,同時考查了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想.5．【答案】D【解析】根據(jù)題意，過點（–2，0）且斜率為QUOTE2323的直線方程為QUOTEy=23(x+2)y=23(x+2)，與拋物線方程聯(lián)立，消元整理得：QUOTEy2-6y+8=0y2-6y+8=0，解得QUOTEM(1,2),N(4,4)M(1,2),N(4,4)，又QUOTEF(1,0)F(1,0)，所以QUOTEFM=(0,2),FN=(3,4)FM=(0,2),FN=(3,4)，從而可以求得QUOTEFM?FN=0×3+2×4=8FM?FN6．【答案】A【解析】設(shè)QUOTEa=(x,y),e=(1,0),b=(m,n)a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n)，則由QUOTEa,e=π3a由b2?4e·b+3=0得QUOTEm2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,因此|a?b|的最小值為圓心QUOTE(2,0)(2,0)到直線QUOTEy=±3x7．【答案】B【解析】如圖，以為軸，的垂直平分線為軸，為坐標(biāo)原點建立平面直角坐