山東專用2024新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值學(xué)案含解析

PAGE其次節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值課標(biāo)要求考情分析1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義．2．會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).1.主要考查函數(shù)單調(diào)性的判定、求單調(diào)區(qū)間、比較大小、解不等式、求最值及不等式恒成立問(wèn)題．2．題型以選擇題、填空題為主，若與導(dǎo)數(shù)交匯命題則以解答題的形式出現(xiàn)，屬中高檔題.學(xué)問(wèn)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性1．增函數(shù)、減函數(shù)的定義定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，假如對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的隨意兩個(gè)自變量x1，x2：(1)增函數(shù)：當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；(2)減函數(shù)：當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．2．單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．留意以下結(jié)論1．對(duì)?x1，x2∈D(x1≠x2)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0?f(x)在D上是增函數(shù)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0?f(x)在D上是減函數(shù)．2．對(duì)勾函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增區(qū)間為(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)，減區(qū)間為[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]．3．在區(qū)間D上，兩個(gè)增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和仍是減函數(shù)．4．函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二函數(shù)的最值1．思索辨析推斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，x∈D，若對(duì)隨意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．(√)(2)函數(shù)y＝eq\f(1,x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(3)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若f(1)<f(3)，則f(x)為增函數(shù)．(×)(4)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．(×)解析：(2)此單調(diào)區(qū)間不能用并集符號(hào)連接，取x1＝－1，x2＝1，則f(－1)<f(1)，故應(yīng)說(shuō)成單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)．(3)應(yīng)對(duì)隨意的x1<x2，f(x1)<f(x2)成立才可以．(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，但y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是R.2．小題熱身(1)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減的是(A)A．y＝eq\f(1,x)－x B．y＝x2－xC．y＝lnx－x D．y＝ex(2)函數(shù)f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是(A)A．eq\f(3,2) B．－eq\f(8,3)C．－2 D．2(3)設(shè)定義在[－1,7]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間為[－1,1]和[5,7]．(4)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logeq\s\do8(\f(1,2))x，x≥1，,2x，x<1))的值域?yàn)?－∞，2)．(5)函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x－1)在[2,6]上的最大值和最小值分別是4，eq\f(12,5).解析：(1)對(duì)于A，y1＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，y2＝x在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，則y＝eq\f(1,x)－x在(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)；B，C選項(xiàng)中的函數(shù)在(0，＋∞)上均不單調(diào)；選項(xiàng)D中，y＝ex在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(2)∵函數(shù)y＝－x與y＝eq\f(1,x)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上都是減函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上是減函數(shù)，故f(x)的最大值為f(－2)＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).(3)由圖可知函數(shù)的增區(qū)間為[－1,1]和[5,7]．(4)當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))x是單調(diào)遞減的，此時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?－∞，0]；x<1時(shí)，f(x)＝2x是單調(diào)遞增的，此時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?0,2)．綜上，f(x)的值域是(－∞，2)．(5)函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x－1)＝eq\f(2x－1＋2,x－1)＝2＋eq\f(2,x－1)在[2,6]上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝f(6)＝eq\f(2×6,6－1)＝eq\f(12,5).f(x)max＝f(2)＝eq\f(2×2,2－1)＝4.考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)【例1】(1)(2024·北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2)) B．y＝2－xC．y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x D．y＝eq\f(1,x)(2)函數(shù)f(x)＝|x2－3x＋2|的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))和[2，＋∞)C．(－∞，1]和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))和[2，＋∞)(3)試探討函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的單調(diào)性．【解析】(1)對(duì)于冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)α>0時(shí)，y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)α<0，y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)D中的函數(shù)y＝eq\f(1,x)可轉(zhuǎn)化為y＝x－1，所以函數(shù)y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D不符合題意；對(duì)于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)，當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝ax在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)a>1時(shí)，y＝ax在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，而選項(xiàng)B中的函數(shù)y＝2－x可轉(zhuǎn)化為y＝(eq\f(1,2))x，因此函數(shù)y＝2－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B不符合題意；對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)，當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)a>1時(shí)，y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因此選項(xiàng)C中的函數(shù)y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C不符合題意．故選A.(2)y＝|x2－3x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋2，x≤1或x≥2，,－x2－3x＋2，1<x<2.))如圖所示，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))和[2，＋∞)．(3)方法1：(定義法)設(shè)－1<x1<x2<1，f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))，則f(x1)－f(x2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq\f(ax2－x1,x1－1x2－1).由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時(shí)，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．方法2：(導(dǎo)數(shù)法)f′(x)＝eq\f(ax′x－1－axx－1′,x－12)＝eq\f(ax－1－ax,x－12)＝－eq\f(a,x－12).當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．【答案】(1)A(2)B(3)見(jiàn)解析方法技巧推斷函數(shù)單調(diào)性常用以下幾種方法：1定義法：一般步驟為設(shè)元→作差→變形→推斷符號(hào)→得出結(jié)論.2圖象法：假如fx是以圖象形式給出的，或者fx的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性.3導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4性質(zhì)法：①對(duì)于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，依據(jù)各初等函數(shù)的增減性及fx±gx增減性質(zhì)進(jìn)行推斷；②對(duì)于復(fù)合函數(shù)，先將函數(shù)y＝fgx分解成y＝ft和t＝gx，再探討推斷這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，最終依據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行推斷.1．下列函數(shù)中，滿意“?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|C．f(x)＝eq\f(1,x)－x D．f(x)＝ln(x＋1)解析：由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，A，D選項(xiàng)中，f(x)為增函數(shù)；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不單調(diào)；對(duì)于f(x)＝eq\f(1,x)－x，因?yàn)閥＝eq\f(1,x)與y＝－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，因此f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．2．函數(shù)f(x)＝(a－1)x＋2在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)g(x)＝a|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，2]．解析：因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，所以a－1>0，即a>1，因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間就是y＝|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間(－∞，2]．3．推斷并證明函數(shù)f(x)＝ax2＋eq\f(1,x)(其中1<a<3)在[1,2]上的單調(diào)性．解：函數(shù)f(x)＝ax2＋eq\f(1,x)(1<a<3)在[1,2]上單調(diào)遞增．證明：設(shè)1≤x1<x2≤2，則f(x2)－f(x1)＝axeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,x2)－axeq\o\al(2,1)－eq\f(1,x1)＝(x2－x1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax1＋x2－\f(1,x1x2)))，由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0,2<x1＋x2<4，1<x1x2<4，－1<－eq\f(1,x1x2)<－eq\f(1,4).又因?yàn)?<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12，得a(x1＋x2)－eq\f(1,x1x2)>0，從而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，故當(dāng)a∈(1,3)時(shí)，f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增．考點(diǎn)二函數(shù)的最值【例2】(1)函數(shù)y＝x＋eq\r(x－1)的最小值為_(kāi)_______．(2)函數(shù)y＝eq\f(2x2－2x＋3,x2－x＋1)的值域?yàn)開(kāi)_______．(3)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值為_(kāi)_______．【解析】(1)法1：令t＝eq\r(x－1)，且t≥0，則x＝t2＋1，∴原函數(shù)變?yōu)閥＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)，又∵t≥0，∴y≥eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)＝1.故函數(shù)y＝x＋eq\r(x－1)的最小值為1.法2：因?yàn)楹瘮?shù)y＝x和y＝eq\r(x－1)在定義域內(nèi)均為增函數(shù)，故函數(shù)y＝x＋eq\r(x－1)在其定義域[1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，所以當(dāng)x＝1時(shí)y取最小值，即ymin＝1.(2)y＝eq\f(2x2－2x＋3,x2－x＋1)＝eq\f(2x2－x＋1＋1,x2－x＋1)＝2＋eq\f(1,x2－x＋1)＝2＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，∴2<2＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))≤2＋eq\f(4,3)＝eq\f(10,3).故函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).(3)當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)為減函數(shù)，所以f(x)在x＝1處取得最大值，為f(1)＝1；當(dāng)x<1時(shí)，易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，為f(0)＝2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.【答案】(1)1(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))(3)2方法技巧求函數(shù)最值值域的五種常用方法1單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.2圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再視察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.3基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.4導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最終結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.5換元法：對(duì)比較困難的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟識(shí)的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.1．若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值為1，則實(shí)數(shù)m的值為(B)A．－3 B．－2C．－1 D．1解析：函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1的圖象如圖所示．由圖象知在[3，＋∞)上f(x)min＝f(3)＝32－2×3＋m＝1，得m＝－2.2．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x－1)在區(qū)間[a，b]上的最大值是1，最小值是eq\f(1,3)，則a＋b＝6.解析：由題易知f(x)在[a，b]上為減函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fa＝1，,fb＝\f(1,3)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)＝1，,\f(1,b－1)＝\f(1,3)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4.))所以a＋b＝6.3．函數(shù)y＝eq\r(x)－x(x≥0)的最大值為eq\f(1,4).解析：令t＝eq\r(x)，則t≥0，x＝t2所以y＝t－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，當(dāng)t＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(1,4)時(shí)，ymax＝eq\f(1,4).考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題方向1比較函數(shù)值的大小【例3】已知f(x)＝3x＋2cosx.若a＝f(3eq\r(2))，b＝f(2)，c＝f(log27)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a【解析】由題意，得f′(x)＝3－2sinx.因?yàn)椋?≤sinx≤1，所以f′(x)>0恒成立，所以函數(shù)f(x)是增函數(shù)．因?yàn)閑q\r(2)>1，所以3eq\r(2)>3.又log24<log27<log28，即2<log27<3，所以2<log27<3eq\r(2)，所以f(2)<f(log27)<f(3eq\r(2))，即b<c<a，故選D.【答案】D命題方向2利用單調(diào)性解不等式【例4】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e－x，x≤0，,－x2－2x＋1，x>0，))若f(a－1)≥f(－a2＋1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－2,1]B．[－1,2]C．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)【解析】因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e－x，x≤0，,－x2－2x＋1，x>0，))在區(qū)間(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，所以不等式f(a－1)≥f(－a2＋1)同解于不等式a－1≤－a2＋1，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，故選A.【答案】A命題方向3求參數(shù)的取值范圍【例5】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2－x－\f(1,4)，x≤1，,logax－1，x>1))是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可得a>0，且a≠1.又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)，而二次函數(shù)y＝ax2－x－eq\f(1,4)的圖象開(kāi)口向上，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,0<a<1，,\f(1,2a)≥1，,a×12－1－\f(1,4)≥loga1－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,0<a<1，,0<a≤\f(1,2)，,a≥\f(1,4).))所以a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).【答案】B方法技巧1比較大小.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.2解不等式.在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)化為詳細(xì)的不等式求解.此時(shí)應(yīng)特殊留意函數(shù)的定義域.3利用單調(diào)性求參數(shù).①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；②需留意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的隨意子集上也是單調(diào)的.1．(方向1)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則對(duì)實(shí)數(shù)a，b，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，由于f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，因此若a>|b|≥0，則f(a)>f(|b|)，即f(a)>f(b)，所以a>|b|是f(a)>f(b)的充分條件；若f(a)>f(b)，則f(|a|)>f(|b|)，可得|a|>|b|≥0，由于a，b的正負(fù)不能推斷，因此無(wú)法得到a>|b|，則a>|b|不是f(a)>f(b)的必要條件，所以a>|b|是f(a)>f(b)的充分不必要條件，故選A.2．(方向2)已知函數(shù)f(x)＝2x＋log3eq\f(2＋x,2－x)，若不等式f(eq\f(1,m))>3成立，則實(shí)數(shù)m的取值范