山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第九講離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布學(xué)案含解析

PAGE16-第九講離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問梳理·雙基自測(cè)學(xué)問梳理學(xué)問點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n.(1)均值：稱E(X)＝__x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn__為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．(2)方差：稱D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的__標(biāo)準(zhǔn)差__.學(xué)問點(diǎn)二均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝__aE(X)＋b__.(2)D(aX＋b)＝__a2D(X)__.*(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.學(xué)問點(diǎn)三兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的期望與方差(1)若X聽從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝__p__，D(X)＝__p(1－p)__.(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝__np__，D(X)＝__np(1－p)__.學(xué)問點(diǎn)四正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\s\up7(\f(x－μ2,2σ2))，x∈(－∞，＋∞)，其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ＞0)為參數(shù)．我們稱函數(shù)f(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線，期望為μ、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布通常記作__X～N(μ，σ2)__.(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線位于x軸__上方__，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線__x＝μ__對(duì)稱；③曲線在__x＝μ__處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與x軸之間的面積為__1__；⑤當(dāng)σ肯定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的改變而沿著x軸平移；⑥當(dāng)μ肯定時(shí)，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越__集中__；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越__分散__.(3)正態(tài)總體在三個(gè)特別區(qū)間內(nèi)取值的概率值：①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝__0.682_6__；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝__0.954_4__；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝__0.997_4__.重要結(jié)論計(jì)算均值與方差的基本方法(1)已知隨機(jī)變量的概率分布求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可干脆用定義或公式求；(2)已知隨機(jī)變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)Y＝aX＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可干脆用均值及方差的性質(zhì)求；(3)如能分析所給隨機(jī)變量聽從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，則可干脆利用它們的均值、方差公式來求．雙基自測(cè)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論中正確的是(ABC)A．隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定B．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小C．正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差D．若X～N(0,1)，則P(x<－eq\f(1,2))<P(x≥eq\f(1,2))題組二走進(jìn)教材2．(P68A組T1)已知XX－101Peq\f(1,2)meq\f(1,6)設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為(A)A．eq\f(7,3) B．4C．－1 D．1[解析]E(X)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq\f(2,3)＋3＝eq\f(7,3).3．(P75B組T2改編)設(shè)隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(4,3)，若P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，則實(shí)數(shù)a等于(B)A．7 B．6C．5 D．4[解析]由題意知eq\f(a－5＋a＋1,2)＝4，∴a＝6.題組三考題再現(xiàn)4．(2024·南通模擬)已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(3,1)，且P(X≥4)＝0.1587，則P(2<X<4)＝(A)A．0.6826 B．0.3413C．0.4603 D．0.9207[解析]∵隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(3,1)，∴正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是直線x＝3，∵P(X≥4)＝0.1587，∴P(2<X<4)＝1－2P(X≥4)＝1－0.3174＝0.6826.故選A．5．(2024·全國(guó)Ⅱ)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝__1.96__.[解析]由題意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×0.98＝1.96.KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值與方差的概念與性質(zhì)——自主練透例1(1)(2024·課標(biāo)Ⅲ，8)某群體中的每位成員運(yùn)用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中運(yùn)用移動(dòng)支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，則p＝(B)A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3(2)(2024·甘肅蘭州一中月考)從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回的摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為X，已知E(X)＝3，則D(X)＝(B)A．eq\f(8,5) B．eq\f(6,5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(2,5)(3)(2024·浙江卷，7)設(shè)0<a<1.隨機(jī)變量X的分布列是X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，(D)A．D(X)增大 B．D(X)減小C．D(X)先增大后減小 D．D(X)先減小后增大[解析](1)由題知X～B(10，p)，則D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或0.6.又∵P(X＝4)<P(X＝6)，即Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6<Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4?(1－p)2<p2?p>0.5，∴p＝0.6，故選B．(2)由題意知，X～B(5，eq\f(3,m＋3))，∴E(X)＝5×eq\f(3,m＋3)＝3，解得m＝2，∴X～B(5，eq\f(3,5))，∴D(X)＝5×eq\f(3,5)×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(6,5).故選B．(3)隨機(jī)變量X的期望E(X)＝0×eq\f(1,3)＋a×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＝eq\f(a＋1,3)，D(X)＝[(0－eq\f(a＋1,3))2＋(a－eq\f(a＋1,3))2＋(1－eq\f(a＋1,3))2]×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)(a2－a＋1)＝eq\f(2,9)(a－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,6)，當(dāng)a∈(0，eq\f(1,2))時(shí)，D(X)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(eq\f(1,2)，1)時(shí)，D(X)單調(diào)遞增，故選D．名師點(diǎn)撥?若X是隨機(jī)變量，則Y＝f(X)一般仍是隨機(jī)變量，在求Y的期望和方差時(shí)，嫻熟應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避開再求Y的分布列帶來的煩瑣運(yùn)算．〔變式訓(xùn)練1〕(2024·遼寧省丹東質(zhì)量測(cè)試)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.85，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝__300__.[解析]設(shè)沒有發(fā)芽的種子數(shù)為Y，則有X＝2Y，由題意可知Y聽從二項(xiàng)分布，即Y～B(1000,0.15)，E(Y)＝1000×0.15＝150，E(X)＝2E(Y)＝300.考點(diǎn)二求離散型隨機(jī)變量的均值與方差——多維探究角度1二項(xiàng)分布的均值、方差問題例2(2024·沈陽(yáng)模擬)某新建公司規(guī)定，聘請(qǐng)的職工須參與不小于80小時(shí)的某種技能培訓(xùn)才能上班．公司人事部門在聘請(qǐng)的職工中隨機(jī)抽取200名參與這種技能培訓(xùn)的數(shù)據(jù)，按時(shí)間段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](單位：小時(shí))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)求抽取的200名職工中，參與這種技能培訓(xùn)時(shí)間不少于90小時(shí)的人數(shù)，并估計(jì)從聘請(qǐng)職工中隨意選取一人，其參與這種技能培訓(xùn)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率；(2)從聘請(qǐng)職工(人數(shù)許多)中隨意選取3人，記X為這3名職工中參與這種技能培訓(xùn)時(shí)間不少于90小時(shí)的人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)．[解析](1)依題意，培訓(xùn)時(shí)間在[90,95)小時(shí)的人數(shù)為200×0.06×5＝60，在[95,100)小時(shí)的人數(shù)為200×0.02×5＝20，故滿意題意職工人數(shù)為80人，所求概率估計(jì)為P＝eq\f(60＋20,200)＝eq\f(2,5).(2)依題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(3,5))3＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,5)×(eq\f(3,5))2＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,5))2×eq\f(3,5)＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(2,5))3＝eq\f(8,125)，則隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)∵X～B(3，eq\f(2,5))，∴E(X)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，D(X)＝3×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,25).角度2非二項(xiàng)分布的均值、方差問題例3(2024·青島一模)為迎接2024年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)，該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí)．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．[解析](1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0,40,80元，甲、乙兩人2小時(shí)以上且不超過3小時(shí)離開的概率分別為(1－eq\f(1,4)－eq\f(1,2))＝eq\f(1,4)，(1－eq\f(1,6)－eq\f(2,3))＝eq\f(1,6).兩人都付0元的概率為P1＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，兩人都付40元的概率為P2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，兩人都付80元的概率為P3＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，則兩人所付費(fèi)用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,24)＝eq\f(5,12).(2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為ξ，ξ的可能取值為0,40,80,120,160，則P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，P(ξ＝40)＝eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4).P(ξ＝80)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，P(ξ＝120)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝160)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24).所以ξ的分布列為ξ04080120160Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,4)eq\f(1,24)E(ξ)＝0×eq\f(1,24)＋40×eq\f(1,4)＋80×eq\f(5,12)＋120×eq\f(1,4)＋160×eq\f(1,24)＝80.D(ξ)＝(0－80)2×eq\f(1,24)＋(40－80)2×eq\f(1,4)＋(80－80)2×eq\f(5,12)＋(120－80)2×eq\f(1,4)＋(160－80)2×eq\f(1,24)＝eq\f(4000,3).名師點(diǎn)撥?(1)求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟①理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部取值；②求ξ取每個(gè)值的概率；③寫出ξ的分布列；④由均值的定義求E(ξ)；⑤由方差的定義求D(ξ)．(2)二項(xiàng)分布的期望與方差假如ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大削減計(jì)算量．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度2)(2024·包頭模擬)廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取肯定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以確定是否接收這批產(chǎn)品．①若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8，從中隨意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有1件是合格品的概率；②若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定商家從這20件產(chǎn)品中任取2件，進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．求該商家可能檢驗(yàn)出的不合格產(chǎn)品的件數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率．(2)(角度1)(2024·甘肅天水一中模擬)某商場(chǎng)實(shí)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買肯定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng)．①求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；②若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)①記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗(yàn)，其中至少有1件是合格品”為事務(wù)A，用對(duì)立事務(wù)eq\x\to(A)來算，有P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－0.24＝0.9984.②ξ可能的取值為0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,17),C\o\al(2,20))＝eq\f(68,95)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,17),C\o\al(2,20))＝eq\f(51,190)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,20))＝eq\f(3,190)，故ξ的分布列為ξ012Peq\f(68,95)eq\f(51,190)eq\f(3,190)E(ξ)＝0×eq\f(68,95)＋1×eq\f(51,190)＋2×eq\f(3,190)＝eq\f(3,10).記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)，都合格”為事務(wù)B，則商家拒收這批產(chǎn)品的概率P＝1－P(B)＝1－eq\f(68,95)＝eq\f(27,95).所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為eq\f(27,95).(2)①記事務(wù)A1＝{從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球}，A2＝{從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球}，B1＝{顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)}，B2＝{顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)}，C＝{顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)}．因?yàn)镻(A1)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，P(B2)＝P(A1eq\x\to(A2)＋eq\x\to(A1)A2)＝P(A1eq\x\to(A2))＋P(eq\x\to(A1)A2)＝P(A1)P(eq\x\to(A2))＋P(eq\x\to(A1))P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]·P(A2)＝eq\f(2,5)×(1－eq\f(1,2))＋(1－eq\f(2,5))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).故所求概率為P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,10).②顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由(1)知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為eq\f(1,5)，所以X～B(3，eq\f(1,5))．于是P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(4,5))3＝eq\f(64,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,5))1(eq\f(4,5))2＝eq\f(48,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,5))2(eq\f(4,5))1＝eq\f(12,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,5))3＝eq\f(1,125).故X的分布列為X0123Peq\f(64,125)eq\f(48,125)eq\f(12,125)eq\f(1,125)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝3×eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).考點(diǎn)三均值與方差在決策中的應(yīng)用——師生共研例4(2024·廣東揭陽(yáng)模擬)某地政府?dāng)M在該地一水庫(kù)上建立一座水電站，用泄流水量發(fā)電，下圖是依據(jù)該水庫(kù)歷年的日泄流量的水文資料畫成的日泄流量K(單位：萬立方米)的頻率分布直方圖(不完整)，已知X∈[0,120]，歷年中日泄流量在區(qū)間[30,60)的年平均天數(shù)為156，一年按364天計(jì)．(1)請(qǐng)把頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；(2)該水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能都運(yùn)行，但每30萬立方米的日泄流量才夠運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī)，如60≤X<90時(shí)才夠運(yùn)行兩臺(tái)發(fā)電機(jī)，若運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī)，每天可獲利潤(rùn)為4000元；若不運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)每天虧損500元，以各段的頻率作為相應(yīng)段的概率，以水電站日利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，問：為使水電站日利潤(rùn)的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝多少臺(tái)發(fā)電機(jī)？[解析](1)在區(qū)間[30,60)的頻率為eq\f(156,364)＝eq\f(3,7)，eq\f(頻率,組距)＝eq\f(3,7×30)＝eq\f(1,70).設(shè)在區(qū)間[0,30)上，eq\f(頻率,組距)＝a，則(a＋eq\f(1,70)＋eq\f(1,105)＋eq\f(1,210))×30＝1，解得a＝eq\f(1,210).補(bǔ)充完整的頻率分布直方圖如圖所示．(2)記水電站日利潤(rùn)為Y元．由(1)知，無法運(yùn)行發(fā)電機(jī)的概率為eq\f(1,7)，恰好運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為eq\f(3,7)，恰好運(yùn)行兩臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為eq\f(2,7)，恰好運(yùn)行三臺(tái)發(fā)電機(jī)的概率為eq\f(1,7).①若安裝一臺(tái)發(fā)電機(jī)，則Y的全部可能取值為－500，4000，其分布列為Y－5004000Peq\f(1,7)eq\f(6,7)E(Y)＝－500×eq\f(1,7)＋4000×eq\f(6,7)＝eq\f(23500,7).②若安裝兩臺(tái)發(fā)電機(jī)，則Y的全部可能取值為－1000，3500，8000，其分布列為Y－100035008000Peq\f(1,7)eq\f(3,7)eq\f(3,7)E(Y)＝－1000×eq\f(1,7)＋3500×eq\f(3,7)＋8000×eq\f(3,7)＝eq\f(33500,7).③若安裝三臺(tái)發(fā)電機(jī)，則Y的全部可能取值為－1500，3000，7500,12000，其分布列為Y－15003000750012000Peq\f(1,7)eq\f(3,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)E(Y)＝－1500×eq\f(1,7)＋3000×eq\f(3,7)＋7500×eq\f(2,7)＋12000×eq\f(1,7)＝eq\f(34500,7).因?yàn)閑q\f(34500,7)>eq\f(33500,7)>eq\f(23500,7).所以要使水電站日利潤(rùn)的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝三臺(tái)發(fā)電機(jī)．名師點(diǎn)撥?利用均值與方差解決實(shí)際問題的方法(1)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行詳細(xì)分析，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來．(2)依據(jù)隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)所表示的詳細(xì)事務(wù)，求出其相應(yīng)的概率．(3)依據(jù)期望與方差的定義、公式求出相應(yīng)的期望與方差值．(4)依據(jù)期望與方差的意義對(duì)實(shí)際問題作出決策或給出合理的說明．〔變式訓(xùn)練3〕(2024·廣東化州模擬)為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行嘉獎(jiǎng)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~．(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：①顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元的概率；②顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)商場(chǎng)對(duì)嘉獎(jiǎng)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的嘉獎(jiǎng)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由．[解析](1)設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X(單位：元)．①依題意，P(X＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元的概率為eq\f(1,2).②依題意，X的全部可能取值為20,60.P(X＝60)＝eq\f(1,2)，P(X＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，故X的分布列為X2060Peq\f(1,2)eq\f(1,2)所以顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝20×eq\f(1,2)＋60×eq\f(1,2)＝40(元)．(2)依據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每位顧客的平均嘉獎(jiǎng)?lì)~為eq\f(60000,1000)＝60(元)，所以先找尋數(shù)學(xué)期望為60元的可能方案．對(duì)于面值由10元和50元組成的狀況，假如選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以數(shù)學(xué)期望不行能為60元；假如選擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以數(shù)學(xué)期望也不行能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的狀況，同理可解除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析：對(duì)于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X1(單位：元)，則X1的分布列為X12060100Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)所以X1的數(shù)學(xué)期望為E(X1)＝20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋100×eq\f(1,6)＝60(元)，X1的方差為D(X1)＝(20－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(100－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(1600,3)(元)．對(duì)于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X2(單位：元)，則同理可求得E(X2)＝60(元)，D(X2)＝eq\f(400,3)(元)，由于兩種方案的嘉獎(jiǎng)?lì)~的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但方案2的嘉獎(jiǎng)?lì)~的方差比方案1的小，顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~相對(duì)均衡，所以應(yīng)當(dāng)選擇方案2.考點(diǎn)四正態(tài)分布——自主練透例5(1)(2024·四川遂寧一診)已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，則P(2≤ξ<4)＝(B)A．0.3 B．0.35C．0.5 D．0.7(2)(2024·山東新高考質(zhì)量測(cè)評(píng)聯(lián)盟聯(lián)考)在2024年中學(xué)學(xué)生信息技術(shù)測(cè)試中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某校高二學(xué)生的測(cè)試成果X～N(86，σ2)，若已知P(80<X≤86)＝0.36，則從該校高二年級(jí)任選一名考生，他的測(cè)試成果大于92分的概率為(D)A．0.86 B．0.64C．0.36 D．0.14[解析](1)由P(ξ<2)＝P(ξ>6)知，μ＝4，∴P(2≤ξ<4)＝0.5－P(ξ<2)＝0.5－0.15＝0.35.故選B．(2)由題意P(86<x≤92)＝P(80<x≤86)＝0.36，∴P(X>92)＝0.5－0.36＝0.14，故選D．[引申]本例(2)中若有1000名學(xué)生參與測(cè)試，則測(cè)試成果在80分以上的人數(shù)為__860__.[解析]1000×P(X>80)＝1000×[1－(0.5－0.36)]＝860.〔變式訓(xùn)練4〕(1)(2024·山東濰坊期末)已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2)，且P(ξ<4)＝0.9，則P(－2<ξ<1)＝(C)A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.6(2)(2024·云南昆明質(zhì)檢)某市一次高三年級(jí)數(shù)學(xué)統(tǒng)測(cè)，經(jīng)抽樣分析，成果X近似聽從正態(tài)分布N(84，σ2)，且P(78<X≤84)＝0.3，該市某校有400人參與此次統(tǒng)測(cè)，估計(jì)該校數(shù)學(xué)成果不低于90分的人數(shù)為(B)A．60 B．80C．100 D．120[解析](1)由P(ξ<4)＝0.9，得P(ξ≥4)＝0.1.又正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對(duì)稱．則P(ξ≤－2)＝P(ξ≥4)＝0.1，所以P(－2<ξ<1)＝eq\f(1－Pξ≤－2－Pξ≥4,2)＝0.4.故選C．(2)由題意知P(X≥90)＝P(x≤78)＝0.5－P(78<x≤84)＝0.5－0.3＝0.2.∵0.2×400＝80，∴選B．名師點(diǎn)撥?關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用問題例6(2024·廣西柳州鐵路一中、玉林一中聯(lián)考)從某公司生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測(cè)結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P(175.6<Z<224.4)；②已知每件該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為10元，每件合格品(質(zhì)量指標(biāo)值Z∈(175.6,224.4))的定價(jià)為16元；若為次品(質(zhì)量指標(biāo)值Z?(175.6,224.4))，除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶48元，若該公司賣出100件這種產(chǎn)品，記Y表示這些產(chǎn)品的利潤(rùn)，求E(Y)．附：eq\r(150)≈12.2，若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.95.[解析](1)由題意得eq\o(x,\s\up6(－))＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200s2＝(170－200)2×0.02＋(180－200)2×0.09＋(190－200)2×0.22＋(200－200)2×0.33＋(210－200)2×0.24＋(220－200)2×0.08＋(230－200)2×0.02＝150.即樣本平均數(shù)為200，樣本方差為150.(2)①由(1)可知，μ＝200，σ＝eq\r(150)≈12.2，∴Z～N(200,12.22)，∴P(175.6<Z<224.4)＝P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.95②設(shè)X表示100件產(chǎn)品的正品數(shù)，題意得X～B(100,0.95)，∴E(X)＝95，∴E(Y)＝16E(X)－48×5－100×10＝280.名師點(diǎn)撥?解決正態(tài)分布問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)若隨機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，則(1)對(duì)稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特別區(qū)間，從而求出所求概率〔變式訓(xùn)練4〕(2024·全國(guó)卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm)．依據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)閱歷，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)．(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9．9510.129.969.9610.019.929.9810.0410．269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,16)eq\o(∑,\s\up6(16),\s\do4(i＝1))xi＝9.97，s＝eq