黑龍江省哈爾濱市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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黑龍江省哈爾濱市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,其軌道的離心率為,設(shè)地球半徑為,該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為,則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為()A. B.C. D.2.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,函數(shù)(),則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()A.2 B.4 C.5 D.63.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn),根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖(如圖,每項(xiàng)指標(biāo)值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是()A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲4.已知傾斜角為的直線與直線垂直,則()A. B. C. D.5.一個(gè)陶瓷圓盤的半徑為,中間有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形花紋,向盤中投入1000粒米后,發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒,據(jù)此估計(jì)圓周率的值為(精確到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.1476.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且滿足,若在中,,則()A. B. C. D.7.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.在中,“”是“”成立的必要不充分條件C.“若,則”是真命題D.存在,使得成立8.如圖在一個(gè)的二面角的棱有兩個(gè)點(diǎn),線段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于棱,且,則的長(zhǎng)為()A.4 B. C.2 D.9.已知集合,將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列,則()A.1194 B.1695 C.311 D.109510.在等差數(shù)列中,若為前項(xiàng)和,,則的值是()A.156 B.124 C.136 D.18011.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.12.已知函數(shù).下列命題:①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②函數(shù)是周期函數(shù);③當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn),其中正確命題的序號(hào)是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,若,則實(shí)數(shù)______.14.一次考試后,某班全班50個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為正數(shù),若把當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù),與原來的50個(gè)分?jǐn)?shù)一起,算出這51個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為,則_________.15.已知兩點(diǎn),,若直線上存在點(diǎn)滿足,則實(shí)數(shù)滿足的取值范圍是__________.16.函數(shù)的最小正周期是_______________,單調(diào)遞增區(qū)間是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若存在,使得不等式對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具,現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個(gè)如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁,其縱截面如圖2所示,一根長(zhǎng)度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置(圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小,).(1)請(qǐng)用角表示清潔棒的長(zhǎng);(2)若想讓清潔棒通過該彎頭,清潔下一段圓管,求能通過該彎頭的清潔棒的最大長(zhǎng)度.19.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且平面.(1)求證:;(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.20.(12分)如圖,已知四棱錐,底面為邊長(zhǎng)為2的菱形,平面,,是的中點(diǎn),.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)若為上的動(dòng)點(diǎn),求與平面所成最大角的正切值.21.(12分)已知,且的解集為.(1)求實(shí)數(shù),的值;(2)若的圖像與直線及圍成的四邊形的面積不小于14,求實(shí)數(shù)取值范圍.22.(10分)已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù),它們的前項(xiàng)和分別為,且,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求;(3)是否存在正整數(shù),使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意畫出圖形,結(jié)合橢圓的定義,結(jié)合橢圓的離心率,求出橢圓的長(zhǎng)半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率:,(c為半焦距;a為長(zhǎng)半軸),設(shè)衛(wèi)星近地點(diǎn),遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面距離分別為r,n,如圖:則所以,,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法,注意半焦距與長(zhǎng)半軸的求法,是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.2、B【解析】

由函數(shù)的性質(zhì)可得:的圖像關(guān)于直線對(duì)稱且關(guān)于軸對(duì)稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對(duì)稱,由函數(shù)圖像的作法可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn),且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱,則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足,可得的圖像關(guān)于直線對(duì)稱且關(guān)于軸對(duì)稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對(duì)稱,函數(shù)的圖像與函數(shù)()的圖像的位置關(guān)系如圖所示,可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn),且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱,則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合的思想,掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3、D【解析】

根據(jù)雷達(dá)圖對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定敘述正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),甲的數(shù)據(jù)分析分,乙的數(shù)據(jù)分析分,甲低于乙,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng),甲的建模素養(yǎng)分,乙的建模素養(yǎng)分,甲低于乙,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng),乙的六大素養(yǎng)中,邏輯推理分,不是最差,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng),甲的總得分分,乙的總得分分,所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲,故D選項(xiàng)正確.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

傾斜角為的直線與直線垂直,利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)橹本€與直線垂直,所以,.又為直線傾斜角,解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

結(jié)合隨機(jī)模擬概念和幾何概型公式計(jì)算即可【詳解】如圖,由幾何概型公式可知:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)模擬的概念和幾何概型,屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】

根據(jù)的結(jié)構(gòu)形式,設(shè),求導(dǎo),則,在上是增函數(shù),再根據(jù)在中,,得到,,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性,得到,再利用的單調(diào)性求解.【詳解】設(shè),所以,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,即,所以,在上是增函數(shù),在中,因?yàn)椋?,,因?yàn)?,且,所以,即,所以,即故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.7、C【解析】

A:否命題既否條件又否結(jié)論,故A錯(cuò).B:由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯(cuò).C:可判斷其逆否命題的真假,C正確.D:根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯(cuò).【詳解】解:A:“若,則”的否命題是“若,則”,故A錯(cuò).B:在中,,故“”是“”成立的必要充分條件,故B錯(cuò).C:“若,則”“若,則”,故C正確.D:由冪函數(shù)在遞減,故D錯(cuò).故選:C【點(diǎn)睛】考查判斷命題的真假,是基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由,兩邊平方后展開整理,即可求得,則的長(zhǎng)可求.【詳解】解:,,,,,,.,,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.9、D【解析】

確定中前35項(xiàng)里兩個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù),數(shù)列中第35項(xiàng)為70,這時(shí)可通過比較確定中有多少項(xiàng)可以插入這35項(xiàng)里面即可得,然后可求和.【詳解】時(shí),,所以數(shù)列的前35項(xiàng)和中,有三項(xiàng)3,9,27,有32項(xiàng),所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列分組求和,掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是解題基礎(chǔ).解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的前35項(xiàng)中有多少項(xiàng)是中的,又有多少項(xiàng)是中的.10、A【解析】

因?yàn)椋傻?,根?jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和,即可求得答案.【詳解】,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項(xiàng)和,解題關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)定義和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán),輸出,選D.點(diǎn)睛:算法與流程圖的考查,側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念,包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼,其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件,更要通過循環(huán)規(guī)律,明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題,是求和還是求項(xiàng).12、A【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確;由周期函數(shù)特點(diǎn)知②錯(cuò)誤;函數(shù)定義域?yàn)?,最值點(diǎn)即為極值點(diǎn),由知③錯(cuò)誤;令,在和兩種情況下知均無零點(diǎn),知④正確.【詳解】由題意得:定義域?yàn)椋?,為奇函?shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,①正確;為周期函數(shù),不是周期函數(shù),不是周期函數(shù),②錯(cuò)誤;,,不是最值,③錯(cuò)誤;令,當(dāng)時(shí),,,,此時(shí)與無交點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,,此時(shí)與無交點(diǎn);綜上所述:與無交點(diǎn),④正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的求解;本題綜合性較強(qiáng),對(duì)于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-2【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算可求得,根據(jù)平行關(guān)系可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得:,解得:本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,關(guān)鍵是能夠利用平行關(guān)系構(gòu)造出方程.14、1【解析】

根據(jù)均值的定義計(jì)算.【詳解】由題意,∴.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查均值的概念,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓有公共點(diǎn)時(shí),的取值范圍,利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果.【詳解】解:直線,點(diǎn),,直線上存在點(diǎn)滿足,的軌跡方程是.如圖,直線與圓有公共點(diǎn),圓心到直線的距離:,解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程、圓、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.16、,,【解析】

化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù),最小正周期,令,,可得,,所以單調(diào)遞增區(qū)間是,,.故答案為:,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用,余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)時(shí),根據(jù)絕對(duì)值不等式的定義去掉絕對(duì)值,求不等式的解集即可;(Ⅱ)不等式的解集為,等價(jià)于,求出在的最小值即可.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),時(shí),不等式化為,解得,即時(shí),不等式化為,不等式恒成立,即時(shí),不等式化為,解得,即綜上所述,不等式的解集為(Ⅱ)不等式的解集為對(duì)任意恒成立當(dāng)時(shí),取得最小值為實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法與應(yīng)用問題,也考查了函數(shù)絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用問題,屬于常規(guī)題型.18、(1);(2).【解析】

(1)過作的垂線,垂足為,易得,進(jìn)一步可得;(2)利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.【詳解】(1)如圖,過作的垂線,垂足為,在直角中,,,所以,同理,.(2)設(shè),則,令,則,即.設(shè),且,則當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,所以單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取得極小值,所以.因?yàn)椋?,又,所以,又,所以,所以,所以,所以能通過此鋼管的鐵棒最大長(zhǎng)度為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力,是一道中檔題.19、見解析【解析】

(1)如圖,連接,交于點(diǎn),連接,,則為的中點(diǎn),因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,又,所以,從而,,,四點(diǎn)共面.因?yàn)槠矫?,平面,平面平面,所以.又,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以?)因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn),所以,又三棱柱是直三棱柱,,所以,,互相垂直,分別以,,的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,,所以,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,可得,,所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,可得,,所以平面的一個(gè)法向量為,所以,所以平面與平面所成二面角的正弦值為.20、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)由底面為邊長(zhǎng)為2的菱形,平面,,易證平面,可得;(Ⅱ)連結(jié),由(Ⅰ)易知為與平面所成的角,在中,可求得.試題解析:(Ⅰ)∵四邊形為菱形,且,∴為正三角形,又為中點(diǎn),∴;又,∴,∵平面,又平面,∴,∴平面,又平面,∴;(Ⅱ)連結(jié),由(Ⅰ)知平面,∴為與平面所成的角,在中,,最大當(dāng)且僅當(dāng)最短,即時(shí)最大,依題意,此時(shí),在中,,∴,,∴與平面所成最大角的正切值為.考點(diǎn):1.線線垂直證明;2.求線面角.21、(1),;(2)【解析】

(1)解絕對(duì)值不等式得,根據(jù)不等式的解集為列出方程組,解出即可;(2)求出的圖像與直線及交點(diǎn)的坐標(biāo),通過分割法將四邊形的面積分為兩個(gè)三角形,列出不等式,解不等式即可.【詳解】(1)由得:,,即,解得,.(2)的圖像與直線及圍成的四邊形,,,,.過點(diǎn)向引垂線,垂足為,則.化簡(jiǎn)得:,(舍)或.故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的求法,以及絕對(duì)值不等式在幾何中的應(yīng)用,屬

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