微積分II真題含答案-微積分真題

微積分II真題含答案|微積分真題微積分II真題含答案一、填空題（每題3分，共30分）1、函數(shù)的定義域是____________.2、設，則________________.3、廣義積分的斂散性為_____________.4、____________.5、若.6、微分方程的通解是____.7、級數(shù)的斂散性為.8、已知邊際收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,則總收益函數(shù)R(x)=____________.9、交換的積分次序=.10、微分方程的階數(shù)為_____階.二、單選題（每題3分，共15分）1、下列級數(shù)收斂的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解為（）A，B，C，D，3、設D為：，二重積分=（）A,B,C,D，04、若A,B,C,D,5、=（）A,0B,1C,2D,三、計算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共32分）1．已知2.求，其中D是由，x=1和x軸圍成的區(qū)域。3.已知z=f(x,y)由方程確定，求4.判定級數(shù)的斂散性.四、應用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：1.求由和x軸圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積。2.已知x表示勞動力，y表示資本，某生產商的生產函數(shù)為，勞動力的單位成本為200元，，每單位資本的成本為400元，總預算為100000元，問生產商應確定x和y，使產量達到最大？。五、證明題（5分）一、填空題（每小題3分，共30分）1,2，3，發(fā)散4，05，6，y=cx7，收斂8，R(x)=x3+1000x9，10，2二、單選題（每小題3分，共15分）1，B2，B3，C4，C5，D三、計算題（每小題8分，共32分）1、解：令2、3、整理方程得：4、先用比值判別法判別的斂散性，（2分）收斂，所以絕對收斂。(交錯法不行就用比較法)（8分）四、應用題（每小題9分，共18分）1、解：2、解：約束條為200x+400y-100000=0（2分）構造拉格朗日函數(shù)，（4分）,求一階偏導數(shù)，（6分）得唯一解為：，（8分）根據(jù)實際意義，唯一的駐點就是最大值點，該廠獲得最大產量時的x為40，y為230.（9分）五、證明題（5分）證明：設對等式兩邊積分，得：（2分）（4分）解得：題設結論得證。（5分）一、填空題（每題2分，共20分）1、函數(shù)的定義域是_______2、__________3、_______4、若___________5、設可微，則6.已知滿足方程則_______7、交換的積分次序=__________________8、級數(shù)__________9、若級數(shù)的收斂，則k的取值范圍是10、微分方程的通解是____二、單選題（每題2分，共10分）1、若廣義積分，則k=（）A，B，C，D，2、若滿足方程，則（）A，0B，1C，D，3、設D為：，二重積分=____________A,B,C,D，4、下列級數(shù)發(fā)散的是()A,B，CD5、微分方程的階數(shù)為（）A,1B，2C3D4三、計算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共48分）1．計算2.已知，求3.計算二重積分，其中D由，，及所圍成。4.求一階線性微分方程的通解.5．判別級數(shù)的收斂性，若收斂，是條收斂還是絕對收斂？6．計算定積分。四、應用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：1.求由曲線與所圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積。2.某廠生產兩種產品，產量分別為x和y，總成本函數(shù)，需求函數(shù)分別為（p1，p2分別為兩種產品的價格），產量受的限制，求該廠獲得最大利潤時的產量x和y。五、證明題（4分）證明：一、填空題（每題2分，共20分）1、，2、，3、0，4、，5、0，6.7、，8、29、，10、（c為任意常數(shù)）二、單選題（每題2分，共10分）1、D2、D，3、C,4、B，5、C三、計算下列各題（本題共4小題，每小題8分，共48分）1．計算解：4分8分2.已知，求解：兩邊去自然對數(shù)，兩邊關于x求偏導數(shù)，，4分整理得所以8分3.計算二重積分，其中D由，，及所圍成。解：畫圖（2分），Y-型，4分8分4.求一階線性微分方程的通解.解：方法1：直接算，，，方法2：原方程可以化為，，直接代入公式，4分（c為任意常數(shù)）8分5．這是一個交錯級數(shù)，一般項為。先判斷是否收斂，是一個P-級數(shù)，且P=，發(fā)散。2’4’6’根據(jù)萊布尼茨定理，級數(shù)收斂，而且是條收斂。8’6．積分區(qū)間關于原點對稱，又為偶函數(shù)，則=22’=4’=6’==8’四、應用題（本題共2小題，每小題9分，共18分）：1.求由曲線與所圍成的圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積。解：畫圖（2分）5分=9分2.某廠生產兩種產品，產量分別為x和y，總成本函數(shù)，需求函數(shù)分別為（p1，p2分別為兩種產品的價格），產量受的限制，求該廠獲得最大利潤時的產量x和y。解：由題意知，收入函數(shù)為利潤函數(shù)構造拉格朗日函數(shù)，5分，解得9分五、證明題（4分）利用級數(shù)的斂散性，證明：證明：先證明級數(shù)收斂，用比值判別法，所以級數(shù)收斂由級數(shù)收斂的必要條知道，，即一、填空題（每小題3分，共15分）1．設,則=.2．當時,收斂.3．交換積分次序.4．已知級數(shù)收斂,則=.5．若，其中具有二階偏導數(shù)，則=.二、單選題（每小題3分，共15分）1．().(A);(B);(C);(D).2.函數(shù)在上可積的必要條是在上（）（A）連續(xù);（B）有界;（C）無間斷點;(D)有原函數(shù).3．下列反常積分收斂的是()(A);(B);(C);(D).4．下列級數(shù)發(fā)散的是().(A);(B);(C);(D).5．微分方程的通解是()(A);(B);(C);(D).三、計算題I（每題6分，共24分）1.求.2.設,求.3.求，其中D由圍成.4.判別級數(shù)的斂散性.四、計算題II（每題8分，共24分）5.求.6.設由方程確定,其中可微,求.7.求微分方程的特解.五、應用題（每小題8分，共16分）1.求由與所圍成的平面圖形的面積,并求此圖形繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積.2．設某工廠生產甲和乙兩種產品,產量分別為x和y(千),利潤函數(shù)為(萬元)已知生產每千甲或乙產品均需要消耗某原料2噸,現(xiàn)有該原料12噸,問兩種產品各生產多少時,總利潤最大?最大利潤是多少?六、證明題（6分）證明：若收斂，則發(fā)散.一、1.;2.;3.;4.;5..二、BBACD三、1.解:原式=(3分).(6分)2.解:(2分)(4分)(6分)3.解：原式=（2分）（4分）.（6分）4.解:記,取(4分)又收斂故原級數(shù)收斂.(6分)四、5．解：令，即，則當時，（2分）故原式（4分）（6分）.（8分）6．解：記（4分）（8分）7．解：原方程可化為一階線性微分方程此時，（2分）故原方程的通解為（4分）（6分）由,得從而，所求原方程的特解為.（8分）五、1.解：1>故所求圖形的面積為（4分）2>所求旋轉體的體積為（5分）.（8分）2.解:顯然,有條成立,作輔助函數(shù)(3分)令解之得唯一駐點(6分)故當生產甲產品3.8千,乙產品2.2千時,利潤最大,且最大利潤為(萬元).(8分)六、證明：證明：由于（3分），又因為收斂，故收斂，從而，絕對收斂.（6分）1．函數(shù)的定義域是.2．.3．若___________.4．設有連續(xù)的二階偏導數(shù)，則.5．=.6．廣義積分收斂，則.7．交換積分次序=.8．設D為所圍區(qū)域，則.9．=.10.方程是階微分方程.三、單選題（每小題3分，共15分）1．廣義積分收斂于().A.0;B.;C.;D..2.設積分區(qū)域D是（）.A.;B.;C.;D..3．下列級數(shù)中條收斂的是（）.A.;B.;C.;D..4．設，其中可微，則（）A.;B.C.D.5．微分方程的通解是（）。A.;B.;C.;D..三、計算題（每題8分，共32分）1.求.2.設D由曲線圍成,求3.已知，求.4.判別級數(shù)的斂散性.四、應用題（每小題9分，共18分）1.設D由與所圍成，求：（1）平面圖形的面積；（2）此圖形繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積。2.某廠生產兩種產品，當產量分別為時，成本函數(shù),需求函數(shù)分別為,分別為兩種產品的價格，產品受的限制，求工廠獲得最大利潤時的產量和價格。五、證明題（5分）設，其中F可微。證明：一.1.;2.0;3.;4.；5.0;6.;7.;8.2(2ln2-1);9.1；10.2.二.CADCB三.1.解:原式=(3分)(6分)(8分)2．解:畫積分區(qū)域草圖，聯(lián)立方程求交點得：，（2分）原式=.(4分)（5分）（8分）3.解:令，則(3分)(5分)(8分)4.解:用比值判別法(2分)(4分)(6分)原級數(shù)收斂.(8分)四.1.解：(1)，（2分）故所求圖形的面積為（5分）(2)所求旋轉體的體積為.（9分）2.解:由需求函數(shù)x,y得：，利潤函數(shù)==(2分)作輔助函數(shù)=(4分)令解之得唯一駐點(6分)故當生產產量分別為及時工廠獲得的利潤最大,此時兩種產品的價格分別為(9分)五．證明：（3分），.（5分）故等式成立。一、填空題（每小題3分，共30分）1.函數(shù)的定義域是.2.設域是，則.3.交換積分次序.4.設資本投入為，勞動投入為時，某產品的產出量為，且為常數(shù)，則對資本的偏彈性，對資本的偏彈性.5.設.6.若則.7.當滿足條時收斂。8.微分方程的通解為.9.設，其中可微，則.10..二、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.=（）.A.;B.;C.;D..2.已知，則（）.A.B.C.D..3.若，則().A.B.C.D.4.下列級數(shù)發(fā)散的是()A.;B.;C.;D..5.微分方程的階數(shù)為（）.A.3;B.4;C.2;D.6.三．計算題（每小題8分，共32分）1.設,求.2.若D是由所圍成的區(qū)域,求之值。3.判別級數(shù)的收斂性。4.求方程的通解。四．應用題（每小題9分，共18分）1.設平面區(qū)域D由拋物線與直線圍成,求:（1）D的面積；（2）D繞軸旋轉一周所得立體的體積。2.設某種產品的產量是勞動力和原料的函數(shù)，若勞動力單價為100元，原料單價為200元，則在投入3萬元資金用于生產的情況下，安排勞動力和原料，可使產量最多。五．證明題（5分）：證明：.一.1.;2.;3.;4.;5.；6.5;7.;8.y=;9..10.tanx二.DBADA三.1.解:令，(2分)則(4分)(8分).2.解:聯(lián)立解得兩個交點坐標（2分）（4分）（8分）3.解:（4分）(4分)又是幾何級數(shù)，公比收斂故由比較判別法知原級數(shù)收斂.(8分)(或者用比較判別法的極限形式)4.解：，代入原方程得（2分）分離變量（4分）兩邊積分將回代得方程的解（8分）四．1.解：（1），故所求圖形的面積為（4分）（2），所求旋轉體的體積為（9分）2.解:顯然,有條成立,作輔助函數(shù)(3分)令（5分）解之得唯一駐點(7分)由問題實際意義知最大產量存在，故當勞動力為單位，原料為單位時產量最大。(9分)五．證明：交換積分次序：等式左邊==右邊.故等式成立。一、填空題（每題3分，共30分）1.函數(shù)的定義域是.2.=.3.=______.4.=.5.=.6.=

．7.設，其中在D上連續(xù)，則=.8.方程是階微分方程.9.設,則=.10.交換積分次序=.二、單選題（每題3分，共15分）1.=（）．A.．

B.2．

C.0．

D.1．2.設，其中可微，則=（）.A.B.C.D.13.設，則=（）.A.B.C.D.4.設D由圓周，及直線所圍的第一象限部分，二重積分的值=（

）．A．．

B．．

C．.

D．．5.下列級數(shù)發(fā)散的是().A．B.C.D.三、計算題（每題8分，共32分）1.求。2.設由方程確定，求。3.求。4.求微分方程的通解。四、應用題（每題9分，共18分）1.設平面區(qū)域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸旋轉所成的旋轉體的體積。2．設某工廠生產甲和乙兩種產品,產量分別為x和y(千),利潤函數(shù)為(萬元)，已知生產每千甲或乙產品均需要消耗某原料2噸,現(xiàn)有原料10噸剛好用完,問兩種產品各生產多少時,總利潤最大?最大利潤是多少?五、證明題（5分）證明一、填空題（每小題3分，共30分）1.;2.;3.0;4.1；5.1;6.2;7.2;8.二;9.；10..二、單選題（每小題3分，共15分）1.A2.B3.A4.B5.C三、計算題（每小題8分，共32分）1.解：令則原式（5分）.（8分）2.解設則(5分)(8分)3.解：（4分）（6分）（8分）4.解：代入原方程得分離變量（4分）兩邊積分（6分）得故原方程的通解為(C為任意常數(shù))（8分）四、應用題（每小題9分，共18分）1.先求的交點（0，0），（1，1）(4分)(9分)2.解:顯然,有條成立,作輔助函數(shù)(3分)令解之得唯一駐點(7分)故當生產甲產品3千,乙產品2千時,利潤最大,且最大利潤為(9分)五、證明題（5分）證明：考察級數(shù)，由于（3分）所以此級數(shù)收斂，故（5分）一、填空題（每題3分，共30分）1.函數(shù)的定義域是.2.=.3.設，則=

．4.=______.5.=.6.=.7.設，其中在D上連續(xù)，則=.8.方程是階微分方程.9.設,則=.10.交換積分次序=.二、單選題（每題3分，共15分）1.在上的平均值是（）.A.B.C.D.2.=（）．A.．

B.．

C.．

D.．3.設D由圓周，及直線所圍的第一象限部分，二重積分的值=（

）．A．．

B．．

C．.

D．．4.設，其中可微，則=（）.A.B.C.D.5.下列級數(shù)發(fā)散的是().A．B.C.D.三、計算題（每題8分，共32分）1.求。2.設由方程確定，求。3.求。4.求微分方程的通解。四、應用題（每題9分，共18分）1．設某工廠生產甲和乙兩種產品,產量分別為x和y(千),利潤函數(shù)為(萬元)，已知生產每千甲或乙產品均需要消耗某原料1噸,現(xiàn)有原料5噸剛好用完,問兩種產品各生產多少時,總利潤最大?最大利潤是多少?2.設平面區(qū)域D由曲線圍成，求D的面積及D繞x軸旋轉所成的旋轉體的體積。五、證明題（5分）證明一，填空題（每小題3分，共30分）1.;2.;3.0;4.0；5.3;6.6;7.7;8.二;9.；10..二，單選題（每小題3分，共15分）1.B2.A3.B4.A5.D三，計算題（每小題8分，共32分）1.解：（4分）（8分）2.解設則（3分）(6分)（8分）3.解：（4分）（6分）（8分）5.解：分離變量（3分）兩邊積分（5分）得故原方程的通解為(C為任意常數(shù))（8分）四，應用題（每小題9分，共18分）1.解:顯然,有條成立,作輔助函數(shù)(3分)令解之得唯一駐點(7分)故當生產甲產品3千,乙產品2千時,利潤最大,且最大利潤為(9分)2.(4分)(9分)五，證明題（5分）證明：考察級數(shù)，由于（3分）所以此級數(shù)收斂，故（5分）四、填空題（每題3分，共30分）1.函數(shù)的定義域是.2.=.3.=______.4.=.5.=.6.廣義積分收斂，則.7.設，其中在D上連續(xù)，則=.8.方程是階微分方程.9.設,則=.10.交換積分次序=.五、單選題（每題3分，共15分）1.=（）．A.．