2025年菁優(yōu)高考數學解密之橢圓

Page2025年菁優(yōu)高考數學解密之橢圓一．選擇題（共10小題）1．（2024?蓮湖區(qū)校級三模）已知，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，則的最大值是A． B．9 C．16 D．252．（2024?保定三模）已知曲線，則的最大值為A． B． C． D．3．（2024?湖北模擬）已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024?內江三模）設，是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，若△為直角三角形，則△的面積為A． B．1或 C． D．1或5．（2024?天府新區(qū)模擬）已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點．若，，則的方程為A． B． C． D．6．（2024?咸陽模擬）設，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為A． B． C． D．7．（2024?商洛模擬）已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是A． B． C． D．8．（2024?陜西模擬）已知橢圓的焦點在軸上，若焦距為4，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．9．（2024?佛山模擬）2020年12月17日，嫦娥五號的返回器攜帶1731克月球樣本成功返回地球，我國成為第三個實現月球采樣返回的國家，中國人朝著成功登月又邁進了重要一步．如圖展示了嫦娥五號采樣返回器從地球表面附近運行到月球表面附近的大致過程．點表示地球中心，點表示月球中心．嫦娥五號采樣返回器先沿近地球表面軌道做圓周運動，軌道半徑約為地球半徑．在地球表面附近的點處沿圓的切線方向加速變軌后，改為沿橢圓軌道運行，并且點為該橢圓的一個焦點．一段時間后，再在近月球表面附近的點處減速變軌做圓周運動，此時軌道半徑約為月球半徑．已知月球中心與地球中心之間距離約為月球半徑的222倍，地球半徑約為月球半徑的3.7倍．則橢圓軌道的離心率約為A．0.67 B．0.77 C．0.87 D．0.9710．（2024?濮陽一模）記橢圓與圓的公共點為，，其中在的左側，是圓上異于，的點，連接交于，若，則的離心率為A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?日照一模）如圖是數學家用來證明一個平面截圓錐側面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“雙球”．在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，截面分別與球，球切于點，，是截口橢圓的焦點）．設圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，則A．橢圓的中心不在直線上 B． C．直線與橢圓所在平面所成的角的正弦值為 D．橢圓的離心率為12．（2024?廣東模擬）已知橢圓的長軸端點分別為，、兩個焦點分別為、，是上任意一點，則A．的離心率為 B．△的周長為 C．△面積的最大值為 D．13．（2024?山東一模）已知橢圓的右焦點為，，，，在橢圓上但不在坐標軸上，若，且，則橢圓的離心率的值可以是A． B． C． D．14．（2024?湖北模擬）用平面截圓柱面，圓柱的軸與平面所成角記為，當為銳角時，圓柱面的截線是一個橢圓．著名數學家創(chuàng)立的雙球實驗證明了上述結論．如圖所示，將兩個大小相同的球嵌入圓柱內，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切．下列結論中正確的有A．橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等 B．橢圓的長軸長與嵌入圓柱的兩球的球心距相等 C．所得橢圓的離心率 D．其中為橢圓長軸，為球半徑，有15．（2024?全國模擬）設橢圓的左、右焦點分別為、，是上的動點，則下列結論正確的是A．橢圓的離心率 B． C．△面積的最大值為12 D．的最小值為三．填空題（共5小題）16．（2024?廣州模擬）已知橢圓的左右焦點為，．直線與橢圓相交于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為．17．（2024?咸陽模擬）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上任意一點，為曲線上任意一點，則的最小值為．18．（2024?寶山區(qū)三模）已知橢圓的右焦點為，左焦點為，若橢圓上存在一點，滿足線段相切于橢圓的短軸為直徑的圓，切點為線段的中點，則該橢圓的離心率為．19．（2024?西藏模擬）已知橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，為橢圓上任意一點，的最大值為．設點，則的最小值為．20．（2024?河北模擬）數學家用一平面截圓錐后，在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐側面、截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林雙球模型）．若圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成角的平面截圓錐所得橢圓的離心率為．四．解答題（共5小題）21．（2024?梅州模擬）已知橢圓的離心率為，且經過點．（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓上的點到直線的距離的最大值．22．（2024?江西一模）已知橢圓的左右頂點分別為、，點在上，點，分別為直線、上的點．（1）求的值；（2）設直線與橢圓的另一個交點為，求證：直線經過定點．23．（2024?榆林四模）已知橢圓的左，右焦點分別為，，過的直線與橢圓交于，兩點，且的周長為8，△的最大面積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設，是否存在軸上的定點，使得的內心在軸上，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．24．（2024?松江區(qū)二模）如圖，橢圓的上、下焦點分別為、，過上焦點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點，動點、分別在直線與橢圓上．（1）求線段的長；（2）若線段的中點在軸上，求△的面積；（3）是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點在橢圓上？若存在，求出所有滿足條件的點的縱坐標；若不存在，請說明理由．25．（2024?瀘州模擬）如圖，已知，分別是橢圓的右頂點和上頂點．橢圓的離心率為，是坐標原點）的面積為1．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若過點的直線與橢圓相交于，兩點，過點作軸的平行線分別與直線，交于點，．證明：，，三點的橫坐標成等差數列．

2025年菁優(yōu)高考數學解密之橢圓參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?蓮湖區(qū)校級三模）已知，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，則的最大值是A． B．9 C．16 D．25【答案】【考點】橢圓的幾何特征【專題】數學運算；定義法；方程思想；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】利用橢圓的定義可得，再利用基本不等式，即可求得的最大值．【解答】解：由題意，，，，當且僅當時，等號成立，，的最大值是25．故選：．【點評】本題考查橢圓的定義，訓練了利用基本不等式求最值，是基礎題．2．（2024?保定三模）已知曲線，則的最大值為A． B． C． D．【答案】【考點】橢圓的幾何特征【分析】利用，可求的最大值．【解答】解：曲線，，又，，，，，當且僅當時取等號，的最大值為．故選：．【點評】本題考查重要不等式的應用，屬中檔題．3．（2024?湖北模擬）已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【考點】充分條件與必要條件；橢圓的幾何特征【專題】綜合法；數學運算；計算題；整體思想；直線與圓【分析】由題意得，再分橢圓焦點在軸上和橢圓焦點在軸上，求得后即可求解．【解答】解：橢圓的離心率為，即，若橢圓焦點在軸上，則，得，若橢圓焦點在軸上，則，得，故“”是“橢圓的離心率為”的充分不必要條件．故選：．【點評】本題考查了橢圓的性質，屬于基礎題．4．（2024?內江三模）設，是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，若△為直角三角形，則△的面積為A． B．1或 C． D．1或【答案】【考點】橢圓的幾何特征【專題】分類討論；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；運算求解【分析】分或為直角，為直角時，求出直角邊，進而求出三角形的面積．【解答】解：由橢圓方程可得，，所以，當或為直角時，則或，此時；當為直角時，則，即，由橢圓的定義可得，，可得，所以，所以△的面積為或1．故選：．【點評】本題考查橢圓的性質的應用及分類討論的思想，屬于中檔題．5．（2024?天府新區(qū)模擬）已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點．若，，則的方程為A． B． C． D．【答案】【考點】橢圓的弦及弦長【專題】綜合法；數學運算；圓錐曲線的定義、性質與方程；轉化思想；計算題【分析】法一：設，則，，由橢圓的定義有，在△和△中，由余弦定理結合，兩式消去，，然后轉化求解即可．法二：設，則，，由橢圓的定義，在△中，由余弦定理轉化求解橢圓方程即可．【解答】解：法一：由已知可設，則，，由橢圓的定義有，．在△和△中，由余弦定理得，又，互補，，兩式消去，，得，解得．，所求橢圓方程為，故選：．法二：如圖，由已知可設，則，，由橢圓的定義有，．在△中，由余弦定理推論得．在△中，由余弦定理得，解得．，所求橢圓方程為，故選：．【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．6．（2024?咸陽模擬）設，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】【考點】橢圓的性質【專題】方程思想；轉化法；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】設，，可得，，，．由，可得，利用勾股定理即可得出．【解答】解：設，，，，．，，，，即，，，．故選：．【點評】本題考查了橢圓與圓的定義標準方程及其性質、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7．（2024?商洛模擬）已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【考點】橢圓的幾何特征【專題】數學運算；綜合法；對應思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理【分析】由題意，對橢圓方程進行變形，根據橢圓的焦點在軸上，列出不等式再進行求解即可．【解答】解：易知該橢圓方程為，因為該橢圓的焦點在軸上，所以，解得，則的取值范圍為，．故選：．【點評】本題考查橢圓的方程，考查了邏輯推理和運算能力，屬于基礎題．8．（2024?陜西模擬）已知橢圓的焦點在軸上，若焦距為4，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】【考點】求橢圓的離心率【專題】數學運算；轉化思想；計算題；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】利用焦點在軸上可求的范圍，進而由，可求．【解答】解：由題得，可得，因為焦距為4，所以，解得，所以橢圓的離心率為．故選：．【點評】本題考查橢圓的性質，屬基礎題．9．（2024?佛山模擬）2020年12月17日，嫦娥五號的返回器攜帶1731克月球樣本成功返回地球，我國成為第三個實現月球采樣返回的國家，中國人朝著成功登月又邁進了重要一步．如圖展示了嫦娥五號采樣返回器從地球表面附近運行到月球表面附近的大致過程．點表示地球中心，點表示月球中心．嫦娥五號采樣返回器先沿近地球表面軌道做圓周運動，軌道半徑約為地球半徑．在地球表面附近的點處沿圓的切線方向加速變軌后，改為沿橢圓軌道運行，并且點為該橢圓的一個焦點．一段時間后，再在近月球表面附近的點處減速變軌做圓周運動，此時軌道半徑約為月球半徑．已知月球中心與地球中心之間距離約為月球半徑的222倍，地球半徑約為月球半徑的3.7倍．則橢圓軌道的離心率約為A．0.67 B．0.77 C．0.87 D．0.97【答案】【考點】橢圓的幾何特征【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；轉化思想；數學運算；綜合法【分析】根據橢圓的幾何性質，即可求解．【解答】解：設該橢圓的半長軸為，半焦距為，月球半徑為，則根據題意可知地球半徑為，月球中心與地球中心距離為，所以，又，所以，，所以離心率．故選：．【點評】本題考查橢圓的幾何性質，屬基礎題．10．（2024?濮陽一模）記橢圓與圓的公共點為，，其中在的左側，是圓上異于，的點，連接交于，若，則的離心率為A． B． C． D．【答案】【考點】圓與圓錐曲線的綜合；橢圓的幾何特征【專題】轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法；數學運算；方程思想【分析】設直線與直線的斜率分別為，，則根據題意易得，且直線的斜率為，再根據橢圓的幾何性質易得，從而建立方程，即可求解．【解答】解：設直線與直線的斜率分別為，，由，可得，，又根據題意可知，直線的斜率為，即直線的斜率為，設，則，，又易知，，，，，的離心率為．故選：．【點評】本題考查橢圓的幾何性質，化歸轉化思想，方程思想，屬中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?日照一模）如圖是數學家用來證明一個平面截圓錐側面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“雙球”．在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，截面分別與球，球切于點，，是截口橢圓的焦點）．設圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，則A．橢圓的中心不在直線上 B． C．直線與橢圓所在平面所成的角的正弦值為 D．橢圓的離心率為【答案】【考點】橢圓的幾何特征【專題】計算題；數學運算；整體思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法【分析】根據給定的幾何體，作出軸截面，結合圓的切線性質及勾股定理求出橢圓長軸和焦距作答．【解答】解：依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，點，分別為圓，與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點，線段是橢圓長軸，可知橢圓的中心（即線段的中點）不在直線上，故正確；橢圓長軸長，過作于，連，顯然四邊形為矩形，又，則，過作交延長線于，顯然四邊形為矩形，橢圓焦距，故錯誤；所以直線與橢圓所在平面所成的角的正弦值為，故正確；所以橢圓的離心率，故正確．故選：．【點評】本題考查了橢圓的性質，屬于中檔題．12．（2024?廣東模擬）已知橢圓的長軸端點分別為，、兩個焦點分別為、，是上任意一點，則A．的離心率為 B．△的周長為 C．△面積的最大值為 D．【答案】【考點】橢圓的幾何特征【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；整體思想；數學運算；計算題；綜合法【分析】根據給定的橢圓方程，求出其長短半軸長及半焦距，再逐項計算判斷得解．【解答】解：已知橢圓的長軸端點分別為，、兩個焦點分別為、，則橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于選項，的離心率為，故正確；對于選項，△的周長為，故正確；對于選項，，設，，，則△面積的最大值為，故錯誤；對于選項，，，，，因此，故正確．故選：．【點評】本題考查了橢圓的性質，屬于中檔題．13．（2024?山東一模）已知橢圓的右焦點為，，，，在橢圓上但不在坐標軸上，若，且，則橢圓的離心率的值可以是A． B． C． D．【答案】【考點】橢圓的幾何特征【專題】轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合法；數學運算【分析】方法一，用中點坐標公式，表示出，，再用向量的數量積為零，求出，的軌跡方程，與橢圓有交點，求出取值范圍；方法二，用三角形中位線性質，再用向量垂直的條件得到，，的關系，再計算離心率的范圍．【解答】解：方法一：依題意，可得，又有，故，即，；又有，即圓與橢圓有公共點且公共點不在坐標軸上，故，即，故；方法二：依題意，，故，分別是線段，的中點，故，；又有，故，則；因為，故，即，得．故選：．【點評】本題考查橢圓的幾何性質，圓的幾何性質，化歸轉化思想，屬中檔題．14．（2024?湖北模擬）用平面截圓柱面，圓柱的軸與平面所成角記為，當為銳角時，圓柱面的截線是一個橢圓．著名數學家創(chuàng)立的雙球實驗證明了上述結論．如圖所示，將兩個大小相同的球嵌入圓柱內，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切．下列結論中正確的有A．橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等 B．橢圓的長軸長與嵌入圓柱的兩球的球心距相等 C．所得橢圓的離心率 D．其中為橢圓長軸，為球半徑，有【答案】【考點】求橢圓的離心率【專題】數學運算；圓錐曲線的定義、性質與方程；定義法；對應思想【分析】過點作線段，分別與球、切于點、，結合球的切線的性質與橢圓定義即可得、，借助離心率的定義可得，借助正切函數的定義可得．【解答】解：對，：過點作線段，分別與球、切于點、，由圖可知，、分別與球、切于點、，故有，由橢圓定義可知，該橢圓以、為焦點，為長軸長，故正確，由與球切于點，故，有，即有橢圓的短軸長與嵌入圓柱的球的直徑相等，故正確；對：由題意可得，則，故正確；對：由題意可得，，故，即，故錯誤．故選：．【點評】本題考查球的切線的性質與橢圓定義相關知識，屬于中檔題．15．（2024?全國模擬）設橢圓的左、右焦點分別為、，是上的動點，則下列結論正確的是A．橢圓的離心率 B． C．△面積的最大值為12 D．的最小值為【答案】【考點】橢圓的幾何特征【專題】整體思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；計算題；數學運算；綜合法【分析】根據題意，由橢圓的標準方程可得，，，結合橢圓的性質對選項逐一判斷，即可得到結果．【解答】解：因為橢圓，則，，，由橢圓離心率公式可得，故正確；由橢圓的定義可知，，故錯誤；因為，設點到軸的距離為，顯然，則△面積的最大值為，故正確；因為為橢圓左焦點，所以，故錯誤．故選：．【點評】本題考查了橢圓的性質，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?廣州模擬）已知橢圓的左右焦點為，．直線與橢圓相交于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為．【答案】．【考點】橢圓的幾何特征【分析】由橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，再根據橢圓的定義求出，，再在△中，利用余弦定理求出，的關系，即可得解．【解答】解：由橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，則，由，得，因為，所以，又，所以，在△中，由余弦定理得，即，所以，即橢圓的離心率．故答案為：．【點評】本題考查橢圓的性質的應用及余弦定理的應用，屬于中檔題．17．（2024?咸陽模擬）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上任意一點，為曲線上任意一點，則的最小值為．【答案】．【考點】橢圓的幾何特征【專題】綜合法；整體思想；計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算【分析】求出點的坐標，求出圓的圓心和半徑，再利用圓的性質求出最小值．【解答】解：橢圓中，右焦點，圓的圓心，半徑，顯然橢圓與圓相離，由點在圓上，得，于是，當且僅當，分別是線段與橢圓、圓的交點時取等號，所以的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了橢圓的性質，屬于中檔題．18．（2024?寶山區(qū)三模）已知橢圓的右焦點為，左焦點為，若橢圓上存在一點，滿足線段相切于橢圓的短軸為直徑的圓，切點為線段的中點，則該橢圓的離心率為．【考點】：橢圓的性質【專題】15：綜合題；34：方程思想；49：綜合法；：圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】設線段的中點為，利用是△的中位線，以及橢圓的定義求出直角三角形的三邊之長，再由勾股定理結合隱含條件求離心率．【解答】解：設線段的中點為，由題意知，，又是△的中位線，，則，由橢圓的定義知，又，，在直角三角形中，由勾股定理得：，又，可得，故有，由此可求得離心率，故答案為：．【點評】本題考查橢圓的定義，考查橢圓的簡單性質，注意橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和等于常數的應用，是中檔題．19．（2024?西藏模擬）已知橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，為橢圓上任意一點，的最大值為．設點，則的最小值為．【答案】．【考點】橢圓的幾何特征【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；整體思想；計算題；數學運算；綜合法【分析】設橢圓的半焦距為，由題意解得，，設橢圓的左焦點為，則，利用橢圓的定義和三角形的性質即可求解．【解答】解：設橢圓的半焦距為，由題意，得，，所以，，設橢圓的左焦點為，則，所以，則的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了橢圓的性質，屬于中檔題．20．（2024?河北模擬）數學家用一平面截圓錐后，在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐側面、截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱為丹德林雙球模型）．若圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成角的平面截圓錐所得橢圓的離心率為．【答案】．【考點】求橢圓的離心率【專題】定義法；圓錐曲線的定義、性質與方程；對應思想；數學運算【分析】根據給定信息分析截口曲線上任意一點滿足的關系，進而確定曲線的形狀，再利用軸截面求出橢圓的長半軸長及半焦距得解．【解答】解：令兩個球，分別與截面相切于點，，在截口曲線上任取一點，過點作圓錐的母線，分別與兩個球相切于，，，均為球的切線，則，同理，因此，由切點，的產生方式知，長為定值，于是截口曲線上任意點到定點，的距離和為定值，該曲線是以點，為焦點的橢圓，作出幾何體的軸截面，如圖，設，依題意，，，則，橢圓的長軸長，半焦距為，則，因此，所以離心率．故答案為：．【點評】本題考查旋轉的組合體的結構特征以及長半軸長及半焦距、離心率相關知識，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?梅州模擬）已知橢圓的離心率為，且經過點．（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓上的點到直線的距離的最大值．【答案】（1）；（2）．【考點】橢圓的幾何特征；直線與橢圓的綜合；橢圓的標準方程【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題；設而不求法；數學運算；轉化思想【分析】（1）由橢圓的離心率，可得，的關系，設橢圓的方程，將點的坐標代入橢圓的方程，可得參數的值，即可得，的值，求出橢圓的方程；（2）設與平行的直線的方程，與橢圓的方程聯立，由判別式為0，可得參數的值，進而求出兩條直線的距離，即求出橢圓上的點到直線的最大距離．【解答】解：（1）由橢圓的離心率為，可得，可得，設橢圓的方程為：，，又因為橢圓經過點，所以，解得，所以橢圓的方程為：；（2）設與直線平行的直線的方程為，聯立，整理可得：，△，可得，則，所以直線到直線的距離．所以橢圓上的點到直線的距離的最大值為．【點評】本題考查橢圓方程的求法及直線與橢圓的綜合應用，屬于中檔題．22．（2024?江西一模）已知橢圓的左右頂點分別為、，點在上，點，分別為直線、上的點．（1）求的值；（2）設直線與橢圓的另一個交點為，求證：直線經過定點．【答案】（1）．（2）證明見解析．【考點】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算；轉化法；方程思想【分析】（1）解法一：設，，根據斜率公式得，然后根據點在橢圓上化簡即可求解．解法二：設，，利用三點共線的向量形式求得，，結合點在橢圓上化簡即可求解．（2）解法一：聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理得，同理得點的坐標為，分類討論求得直線的方程，即可求得直線經過的定點．解法二：設直線的方程為：，，，，，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理利用求得或3（舍去），從而求得直線經過的定點．【解答】解：（1）解法一：設，，由題可知，，又，，，在橢圓上，則，，．解法二：設，，則，、、三點共線，，同理，，又，在曲線上，，代入上式得：．（2）證明：解法一：由題可知，直線的方程為：，聯立方程，可得：，，，，又，，，同理可得點的坐標為，當直線垂直于軸時，，即，，，此時直線的方程為．當直線不垂直于軸時，，故直線的方程為，令，則，整理得，此時直線經過定點，綜上所述，直線經過定點．解法二：由，，得，又，，由題可得直線顯然不與軸平行，設直線的方程為：，，，，，由，得，所以△，所以，又，由且，解得，直線方程為，直線經過定點．【點評】本題考查直線與橢圓的相交問題，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題．23．（2024?榆林四模）已知橢圓的左，右焦點分別為，，過的直線與橢圓交于，兩點，且的周長為8，△的最大面積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設，是否存在軸上的定點，使得的內心在軸上，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）存在定點．【考點】橢圓的標準方程；直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征【專題】數學運算；綜合法；邏輯推理；對應思想；綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】（Ⅰ）由題意，根據題目所給信息以及，，之間的關系列出等式求出和的值，進而可得橢圓的方程；（Ⅱ）結合（Ⅰ）中信息，設出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理和斜率公式再進行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因為的周長為8，△的最大面積為，所以，解得，或，，則橢圓的方程為或；（Ⅱ）因為，由（Ⅰ）知，，設直線的方程為，，，，，，聯立，消去并整理得，由韋達定理得，，若的內心在軸上，此時，可得，即，整理得，即，因為，，所以，解得，當直線垂直于軸，即時，顯然點也是符合題意的點．故在軸上存在定點，使得的內心在軸上．【點評】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．24．（2024?松江區(qū)二模）如圖，橢圓的上、下焦點分別為、，過上焦點與軸垂直的直線交橢圓于、兩點，動點、分別在直線與橢圓上．（1）求線段的長；（2）若線段的中點在軸上，求△的面積；（3）是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點在橢圓上？若存在，求出所有滿足條件的點的縱坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）或．【考點】直線與橢圓的綜合【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算【分析】（1）根據已知求出點的橫坐標，根據對稱性可得的長；（2）求出點的橫坐標，由三角形面積公式求解即可；（3）假設存在以，為鄰邊的矩形，使得點在橢圓上，顯然，設，，，，利用向量的坐標運算表示出點的坐標，由，在橢圓上及，可得方程組，從而可求得點的縱坐標．【解答】解：（1）依題意得：，由軸，得：，代入橢圓方程得：，所以線段的長為．分（2）顯然，線段的中點在軸上，則，即軸，，，分所以．分（3）假設存在以，為鄰邊的矩形，使得點在橢圓上，顯然，設，，，，則，，因為四邊形是矩形，一定為平行四邊形，所以，代入計算得，，由題意知，在橢圓上及，代入，得，即，分將①②代入③并化簡得，，再結合①，得，即或．若，則；分若，則聯立①②，得，消去，得，解得，由于，故．分綜上，存在滿足題意的點，其縱坐標為或．分【點評】本題主要考查直線與橢圓的綜合，考查運算求解能力，屬于難題．25．（2024?瀘州模擬）如圖，已知，分別是橢圓的右頂點和上頂點．橢圓的離心率為，是坐標原點）的面積為1．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若過點的直線與橢圓相交于，兩點，過點作軸的平行線分別與直線，交于點，．證明：，，三點的橫坐標成等差數列．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明過程見解析．【考點】橢圓的標準方程；直線與橢圓的綜合【專題】對應思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；綜合題；邏輯推理；數學運算；綜合法【分析】（Ⅰ）由題意，根據離心率公式、三角形面積公式和，，之間的關系列出等式求出和的值，進而可得橢圓的方程；（Ⅱ）設出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯立，將問題轉化成求證，按部就班求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因為橢圓的離心率為，所以，①因為，是坐標原點）的面積為1，所以，②又，③聯立①②③，解得，，，則橢圓的方程為；（Ⅱ）證明：不妨設直線的方程為，，，，，，因為直線經過點，所以，聯立，消去并整理得，由韋達定理得，，所以，因為，，三點共線，所以，即，則，故，，三點的橫坐標成等差數列．【點評】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．充分條件與必要條件【知識點的認識】1、判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．2．橢圓的標準方程【知識點的認識】橢圓標準方程的兩種形式：（1）（a＞b＞0），焦點在x軸上，焦點坐標為F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞b＞0），焦點在y軸上，焦點坐標為F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標不同．標準方程（a＞b＞0）中心在原點，焦點在x軸上（a＞b＞0）中心在原點，焦點在y軸上圖形頂點A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上x軸、y軸，長軸長2a，短軸長2b焦點在長軸長上焦點F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）準線x＝±y＝±3．橢圓的幾何特征【知識點的認識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓