2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之解答題

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之解答題一．解答題（共25小題）1．（2024?瀘州模擬）設(shè)函數(shù)．（1）解不等式；（2）令的最小值為；正數(shù)，，滿足，證明：．2．（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，設(shè)．（1）求；（2）若的面積等于，求的周長(zhǎng)的最小值．3．（2024?天津）在中，，．（1）求；（2）求；（3）求．4．（2024?天津）設(shè)函數(shù)．（1）求圖像上點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若在時(shí)恒成立，求的值；（3）若，，證明．5．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．6．（2024?撫州模擬）已知四棱錐的底面是一個(gè)梯形，．，，，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．7．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點(diǎn)．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）若，求的面積．8．（2024?一模擬）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且是邊上的高．．（1）求角；（2）若，，求．9．（2024?梅州模擬）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值．10．（2024?江西模擬）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線．已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率分別為，．試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；求的取值范圍．11．（2024?貴州模擬）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，，，，，（其中且，，成等比數(shù)列）是曲線上三個(gè)不同的點(diǎn)，判斷直線與曲線在點(diǎn)處的切線能否平行？請(qǐng)說明理由．12．（2024?德城區(qū)校級(jí)三模）設(shè)函數(shù)，．曲線在點(diǎn)，處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求證：方程僅有一個(gè)實(shí)根；（Ⅲ）對(duì)任意，有，求正數(shù)的取值范圍．13．（2024?天津）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．14．（2024?畢節(jié)市模擬）某地區(qū)工會(huì)利用“健步行”開展健步走活動(dòng)．為了解會(huì)員的健步走情況，工會(huì)在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會(huì)員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（Ⅱ）據(jù)統(tǒng)計(jì)，在樣本數(shù)據(jù)，，，，，的會(huì)員中體檢為“健康”的比例分別為，以頻率作為概率，估計(jì)在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人，體檢為“健康”的概率．15．（2024?南開區(qū)校級(jí)模擬）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，滿足已知．（1）求角的大?。唬?）若，求的值；（3）若的面積為，，求的周長(zhǎng)．16．（2024?開福區(qū)校級(jí)三模）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，且，點(diǎn)在上．（1）求證：平面；（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成的角的正弦值．17．（2024?保定三模）如圖，在三棱柱中，，四邊形為菱形，，．（1）證明：．（2）已知平面平面，求二面角的正弦值．18．（2024?東湖區(qū)校級(jí)一模）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)于任意，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（2024?如皋市模擬）如圖，在三棱柱中，，，且平面平面．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)點(diǎn)為直線的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．20．（2024?回憶版）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，，按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，3，，過斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為，．（1）若，求，；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設(shè)為△的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，．21．（2024?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，，求．22．（2024?江西一模）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，點(diǎn)，分別為直線、上的點(diǎn)．（1）求的值；（2）設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．23．（2024?河南模擬）設(shè)任意一個(gè)無窮數(shù)列的前項(xiàng)之積為，若，，則稱是數(shù)列．（1）若是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，請(qǐng)判斷是否為數(shù)列？并說明理由；（2）證明：若的通項(xiàng)公式為，則不是數(shù)列；（3）設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比為，若是數(shù)列，求的值．24．（2024?江西一模）在中，已知內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積為，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，．（1）若，求；（2）若，求的值．25．（2024?河南模擬）如圖所示，在△中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn)．是平面外一點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為．求△的面積；求三棱錐的體積．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之解答題參考答案與試題解析一．解答題（共25小題）1．（2024?瀘州模擬）設(shè)函數(shù)．（1）解不等式；（2）令的最小值為；正數(shù)，，滿足，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；不等式的證明【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用；推理和證明；對(duì)應(yīng)思想；分析法【分析】（1）分類討論的取值，脫掉絕對(duì)值符號(hào)，解不等式，可得答案；（2）分類討論的取值，求出的最小值為，將展開，利用基本不等式證明，即可證明結(jié)論．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，即，解得，故；當(dāng)時(shí)，，即，，則；當(dāng)時(shí)，，即，解得，故，綜上所述，原不等式的解集為；（2）證明：若，則；若，則；若，則，所以函數(shù)的最小值，故．又、，為正數(shù)，則．當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的證明，基本不等式的換一法，屬于中檔題．2．（2024?長(zhǎng)安區(qū)一模）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，設(shè)．（1）求；（2）若的面積等于，求的周長(zhǎng)的最小值．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；解三角形【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；分析法；轉(zhuǎn)化法；解三角形；不等式【分析】（1）先利用邊角互化將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，求出．（2）因?yàn)橐阎郧竺娣e的最小值即為求的最小值，結(jié)合余弦定理和基本不等式可以求得．【解答】解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫@然，所以．所以，．所以，．（2）依題意，．所以時(shí)取等號(hào)．又由余弦定理得．．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以的周長(zhǎng)最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形、基本不等式等知識(shí)，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題．3．（2024?天津）在中，，．（1）求；（2）求；（3）求．【答案】（1）4；（2）；（3）．【考點(diǎn)】正弦定理；兩角和與差的三角函數(shù)；余弦定理【專題】邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法【分析】（1）設(shè)，則，，利用余弦定理能求出；（2）由同角三角函數(shù)關(guān)系式，先求出．再由正弦定理求出．（3）利用二倍角公式求出，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式求出，利用兩角差三角函數(shù)能求出．【解答】解：（1）在中，，，設(shè)，則，，，解得，；（2）由（1）得，，，由正弦定理得，即，解得．（3），，是銳角，且，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角差三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．4．（2024?天津）設(shè)函數(shù)．（1）求圖像上點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若在時(shí)恒成立，求的值；（3）若，，證明．【答案】（1）；（2）2；（3）詳見解答過程．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【專題】邏輯推理；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；（2）設(shè)，命題等價(jià)于對(duì)任意，都有，利用特殊值賦值法，即可求解；（3）結(jié)合重要不等式可先證明對(duì)，有，然后結(jié)合，的各種情況進(jìn)行證明即可．【解答】解：（1）由于，故，所以（1），（1），所以所求的切線經(jīng)過，且斜率為1，故其方程為；（2）設(shè)，則，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上遞減，在，上遞增，這就說明（1），即，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，所以命題等價(jià)于對(duì)任意，都有．一方面，若對(duì)任意，都有，則對(duì)，有，取，得，故．再取，得，所以．另一方面，若，則對(duì)任意都有，滿足條件．綜合以上兩個(gè)方面知．證明：（3）先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)，有．證明：前面已經(jīng)證明不等式，故，且，所以，即．由，可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．不妨設(shè)，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結(jié)論．情況一：當(dāng)時(shí)，有，結(jié)論成立；情況二：當(dāng)時(shí)，有對(duì)任意的，設(shè)，則由于單調(diào)遞增，且有，且當(dāng)時(shí)，由可知，．所以在上存在零點(diǎn)，再結(jié)合單調(diào)遞增，即知時(shí)，時(shí)故在，上遞減，在，上遞增．①當(dāng)時(shí)，有（c）；②當(dāng)時(shí)，由于，故我們可以?。畯亩?dāng)時(shí)，由，可得，再根據(jù)在，上遞減，即知對(duì)都有；綜合①②可知對(duì)任意，都有，即．根據(jù)和的任意性，取，，就得到所以情況三：當(dāng)時(shí)，根據(jù)情況一和情況二的討論，可得，，而根據(jù)的單調(diào)性，知或．故一定有成立．綜上，結(jié)論成立．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義在切削方程求解中的應(yīng)用，還考查了由不等式恒成立求解參數(shù)范圍，及不等式的證明，屬于難題．5．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【答案】證明過程請(qǐng)見解答；（Ⅱ）．【考點(diǎn)】直線與平面平行；二面角的平面角及求法【專題】空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；向量法；空間角；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】連接，設(shè)，連接，由中位線的性質(zhì)知，再由線面平行的判定定理，即可得證；（Ⅱ）先證，，兩兩相互垂直，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角，即可得解．【解答】證明：連接，設(shè)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）解：因?yàn)?，，且，所以平面，又平面，所以，又，所以，，兩兩相互垂直，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，1，，，2，，所以，設(shè)平面的法向量為，則即令，所以，1，，因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，所以，由題意知，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直的判定、性質(zhì)定理，以及利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．6．（2024?撫州模擬）已知四棱錐的底面是一個(gè)梯形，．，，，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【考點(diǎn)】平面與平面垂直；二面角的平面角及求法【專題】空間角；向量法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理，可證，，從而知平面，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角，即可得解．【解答】（1）證明：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，在直角梯形中，，，因?yàn)?，所以，且，又，是的中點(diǎn)，所以，所以，即，又，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，4，，，0，，，0，，，2，，所以，，，，4，，，4，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，2，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，1，，所以，，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理，利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點(diǎn)．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量【專題】數(shù)形結(jié)合；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；綜合法【分析】（1）設(shè)直線的方程為，將該直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得的取值范圍；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，、，，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積．【解答】解：（1）在雙曲線中，，，則，該雙曲線的左焦點(diǎn)為，若直線的斜率不存在，則直線與雙曲線交于左支上的兩點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，、，，聯(lián)立可得，因?yàn)橹本€與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點(diǎn)，所以，，解得，因此，直線的斜率的取值范圍是．（2）因?yàn)?，，由可得，則，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，則點(diǎn)、，，，此時(shí)，，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，由（1）可得，則或，由韋達(dá)定理可得，則，，即，解得，則，所以，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了直線與雙曲線的綜合，考查了方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．8．（2024?一模擬）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且是邊上的高．．（1）求角；（2）若，，求．【答案】（1）；（2）6．【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理；解三角形【專題】解三角形；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，利用余弦定理可得，結(jié)合，即可求解的值；（2）由題意利用三角函數(shù)恒等變換可求，設(shè)，，，可得，，由題意可得，又，解得：，，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)?，利用正弦定理可得，可得，利用余弦定理，由于，所以；?）因?yàn)?，可得①，又，可得②，由①②得：，，所以，可得，即③，在中，，設(shè)，，，則，，所以由③可得，整理得：，由于：，解得：，，由于：，所以：，可得，整理可得，解得：或（舍去），即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．9．（2024?梅州模擬）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值．【答案】（1）；（2）．【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征；直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題；設(shè)而不求法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】（1）由橢圓的離心率，可得，的關(guān)系，設(shè)橢圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得參數(shù)的值，即可得，的值，求出橢圓的方程；（2）設(shè)與平行的直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為0，可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出兩條直線的距離，即求出橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離．【解答】解：（1）由橢圓的離心率為，可得，可得，設(shè)橢圓的方程為：，，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，△，可得，則，所以直線到直線的距離．所以橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2024?江西模擬）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線．已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率分別為，．試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；，，．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】（1）由題意可設(shè)雙曲線，利用，可求；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立方程組可得，，進(jìn)而計(jì)算可得為定值．設(shè)直線，代入雙曲線方程可得，進(jìn)而可得，，，，，進(jìn)而由可得，，，進(jìn)而求得的取值范圍．【解答】解：（1）由題意可設(shè)雙曲線，則，解得，雙曲線的方程為；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，由，消去得，則，△，且，，；設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，由于點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，此方程有一根為，，解得，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，解得，，即，，同理可得，，，由，，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率，雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，漸近線與雙曲線的位置關(guān)系，屬中檔題．11．（2024?貴州模擬）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，，，，，（其中且，，成等比數(shù)列）是曲線上三個(gè)不同的點(diǎn)，判斷直線與曲線在點(diǎn)處的切線能否平行？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）不能，詳見解答過程．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)零點(diǎn)存在條件即可求解；（2）由已知結(jié)合直線的斜率公式及等比數(shù)列的性質(zhì)可得關(guān)于的方程，結(jié)合等式特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解．【解答】解：（1）令，由題設(shè)知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)及時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，（1）且時(shí)．所以當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．（2）因?yàn)榍遥?，成等比?shù)列，設(shè)公比為，則，，（8分）直線的斜率，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率，假設(shè)直線與函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行，則，整理成，令，，則，所以在單調(diào)遞增，所以（1），所以在時(shí)無實(shí)數(shù)解，所以直線與函數(shù)在點(diǎn)處的切線不能平行．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)性質(zhì)在零點(diǎn)存在問題中的應(yīng)用，還考查了等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．12．（2024?德城區(qū)校級(jí)三模）設(shè)函數(shù)，．曲線在點(diǎn)，處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求證：方程僅有一個(gè)實(shí)根；（Ⅲ）對(duì)任意，有，求正數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明見詳解；（3），．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理；函數(shù)思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；分類討論【分析】（Ⅰ）根據(jù)切點(diǎn)在曲線和切線上可得；（Ⅱ）分，，，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，通過單調(diào)性討論即可得證；（Ⅲ）令，分，兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)討論最值即可得解．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以，又點(diǎn)，在切線上，所以，所以，即．（Ⅱ）證明：欲證方程僅有一個(gè)實(shí)根，只需證明僅有一個(gè)零點(diǎn)，令，則，令，則，討論：（1）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，，即此時(shí)無零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)無零點(diǎn)，綜上所述，僅有一個(gè)零點(diǎn)，得證．（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，即恒成立，令，則，由（Ⅱ）可知，時(shí)，所以，討論：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，所以．即?dāng)時(shí)，，所以在時(shí)單調(diào)遞增，所以恒成立，即滿足條件，（2）當(dāng)時(shí)，由可知，，又，所以存在，使得，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即不能保證恒成立，綜上可知，正數(shù)的取值范圍是，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了分類討論思想，屬于難題．13．（2024?天津）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解答；（2）；（3）．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；邏輯推理；空間位置關(guān)系與距離；空間角【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，易證四邊形是平行四邊形，所以，由線面平行的判定定理證明即可；（2）以為原點(diǎn)建系，利用向量法分別求出平面與平面的法向量，利用向量的夾角公式，求平面與平面的夾角的余弦值；（3）由（2）得及平面的法向量，利用向量法即可求點(diǎn)到平面的距離．【解答】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，得，且，由是的中點(diǎn)，得，且，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，故平面．（2）解：以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，，則，3，，設(shè)平面的法向量為，，則，1，，所以，，故平面與平面的夾角的余弦值為．（3）解：因?yàn)椋矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以點(diǎn)到平面的距離為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行、點(diǎn)到平面的距離、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，屬于中檔題．14．（2024?畢節(jié)市模擬）某地區(qū)工會(huì)利用“健步行”開展健步走活動(dòng)．為了解會(huì)員的健步走情況，工會(huì)在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會(huì)員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；（Ⅱ）據(jù)統(tǒng)計(jì)，在樣本數(shù)據(jù)，，，，，的會(huì)員中體檢為“健康”的比例分別為，以頻率作為概率，估計(jì)在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人，體檢為“健康”的概率．【答案】（Ⅰ）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為14.5；（Ⅱ）在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人，體檢為“健康”的概率為0.38．【考點(diǎn)】頻率分布直方圖的應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)；轉(zhuǎn)化思想【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合結(jié)合百分位數(shù)的定義運(yùn)算求解即可；（Ⅱ）先列舉出所有的基本事件，再從中找出符合條件的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式運(yùn)算求解．【解答】解：（Ⅰ）由于在，的樣本數(shù)據(jù)比例為：，樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)在，內(nèi)，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為：；（Ⅱ）設(shè)任取的會(huì)員數(shù)據(jù)在，，，，，中分別設(shè)為事件，，，，，，設(shè)事件在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人體檢為“健康”，，即在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人，體檢為“健康”的概率為0.38．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖和百分位數(shù)的求法問題，也考查列舉法求概率，是基礎(chǔ)題．15．（2024?南開區(qū)校級(jí)模擬）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，滿足已知．（1）求角的大小；（2）若，求的值；（3）若的面積為，，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）（3）的周長(zhǎng)為8．【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合，可求，結(jié)合范圍，可求的值．（2）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，利用二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)公式即可求解．（3）由已知利用三角形的面積公式可求的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求的值，即可得解的周長(zhǎng)．【解答】解：（1），由正弦定理得，從而有，，，，；（2）由已知得，，，，，（3），，由余弦定理得，，即，解得，的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．16．（2024?開福區(qū)校級(jí)三模）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，且，點(diǎn)在上．（1）求證：平面；（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【考點(diǎn)】直線與平面垂直；直線與平面所成的角【專題】邏輯推理；直觀想象；空間位置關(guān)系與距離；方程思想；空間向量及應(yīng)用；空間角；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法；立體幾何【分析】（1）由條件可得，，然后算出的長(zhǎng)度可得矩形是正方形，然后可得，即可證明；（2）、、兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解即可．【解答】（1）證明：因?yàn)榈酌妫?、底面，所以，，所以，，所以矩形是正方形，所以，因?yàn)?，所以平面．?）解：由（1）知、、兩兩垂直，建系如圖，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，，，，，1，，，2，，設(shè)平面的法向量為，則，，即，，所以可取，0，，所以直線與平面所成的角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面垂直的證明，線面角的計(jì)算，空間向量及其應(yīng)用，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于中等題．17．（2024?保定三模）如圖，在三棱柱中，，四邊形為菱形，，．（1）證明：．（2）已知平面平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解答；（2）．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何【分析】（1）通過線面、面面的位置關(guān)系證平行四邊形為菱形即可；（2）先證平面，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法即可求解．【解答】解：（1）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以為等邊三角形，則，又平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以四邊形為菱形，即．?）因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，，，，，，1，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，，可得，，故二面角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直與空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（2024?東湖區(qū)校級(jí)一模）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)于任意，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2），．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；方程思想【分析】（1）數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，以及等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（2）由等差數(shù)列的求和公式和不等式恒成立思想，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，可得所求取值范圍．【解答】解：（1）由，可得，即，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減可得，化為，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為公差為4的等差數(shù)列，即有時(shí)，；時(shí)，；所以，；（2），對(duì)于任意，成立，即為恒成立．設(shè)，則，當(dāng)，2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即有，可得時(shí)，取得最大值，則，即的取值范圍是，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，以及等差數(shù)列和數(shù)列的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．19．（2024?如皋市模擬）如圖，在三棱柱中，，，且平面平面．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)點(diǎn)為直線的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明過程見解答．（2）．【考點(diǎn)】平面與平面垂直；直線與平面所成的角【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間角；數(shù)形結(jié)合；向量法；邏輯推理；空間位置關(guān)系與距離【分析】（1）推導(dǎo)出，從而平面，進(jìn)而，推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明平面平面．（2）在平面中過點(diǎn)作的垂線，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成的角的正弦值．【解答】解：（1）證明：因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以．在中，，即，所以，即．?分）又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以，在△中，，，，所以，即，所以．而，平面，平面，，所以平面．又平面，所以平面平面．?）在平面中過點(diǎn)作的垂線，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，0，，，0，，所以，，，，，，所以，，，平面的一個(gè)法向量為，1，，（10分）設(shè)直線與平面所成的角為，則直線與平面所成角的正弦值為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題．20．（2024?回憶版）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，，按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，3，，過斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為，．（1）若，求，；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設(shè)為△的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，．【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】（1）根據(jù)已知條件，先求出直線方程，再與曲線方程聯(lián)立，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，推得，再結(jié)合，都在雙曲線上，以及等比數(shù)列的定義，即可求證；（3）要證：，只需先嘗試，即先證，再結(jié)合換元法，以及直線的斜率公式，即可求解．【解答】解：（1）在上，，解得，過且斜率為的直線方程為，即，聯(lián)立，解得或，故，，過斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以，；（2）證明：，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是，，，，，都在同一條斜率為的直線上，；則，，都在雙曲線上，，兩式相減可得，，而①，②，則②①可得，，則，，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）證明：要證：，只需先嘗試，即先證，記，，則，，而，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．21．（2024?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，，求．【考點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法【專題】邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；定義法；應(yīng)用題；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法【分析】（1）由，得，兩式相減并整理即可得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，則，從而利用裂項(xiàng)相消求和法即可求出．【解答】解：（1）由，得，兩式相減得，則；（2）由（1）可知，則，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推公式與裂項(xiàng)相消求和法，考查學(xué)生歸納推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題．22．（2024?江西一模）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，點(diǎn)，分別為直線、上的點(diǎn)．（1）求的值；（2）設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．【答案】（1）．（2）證明見解析．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法；方程思想【分析】（1）解法一：設(shè)，，根據(jù)斜率公式得，然后根據(jù)點(diǎn)在橢圓上化簡(jiǎn)即可求解．解法二：設(shè)，，利用三點(diǎn)共線的向量形式求得，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上化簡(jiǎn)即可求解．（2）解法一：聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得，同理得點(diǎn)的坐標(biāo)為，分類討論求得直線的方程，即可求得直線經(jīng)過的定點(diǎn)．解法二：設(shè)直線的方程為：，，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理利用求得或3（舍去），從而求得直線經(jīng)過的定點(diǎn)．【解答】解：（1）解法一：設(shè)，，由題可知，，又，，，在橢圓上，則，，．解法二：設(shè)，，則，、、三點(diǎn)共線，，同理，，又，在曲線上，，代入上式得：．（2）證明：解法一：由題可知，直線的方程為：，聯(lián)立方程，可得：，，，，又，，，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，即，，，此時(shí)直線的方程為．當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，，故直線的方程為，令，則，整理得，此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)，綜上所述，直線經(jīng)過定點(diǎn)．解法二：由，，得，又，，由題可得直線顯然不與軸平行，設(shè)直線的方程為：，，，，，由，得，所以△，所以，又，由且，解得，直線方程為，直線經(jīng)過定點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的相交問題，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題．23．（2024?河南模擬）設(shè)任意一個(gè)無窮數(shù)列的前項(xiàng)之積為，若，，則稱是數(shù)列．（1）若是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，請(qǐng)判斷是否為數(shù)列？并說明理由；（2）證明：若的通項(xiàng)公式為，則不是數(shù)列；（3）設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比為，若是數(shù)列，求的值．【答案】（1）是數(shù)列，理由見解析（2）證明見解析（3）或．【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）由題知，，0，1，2，3，，再根據(jù)數(shù)列的定義，即可作出判斷；（2）先假設(shè)是數(shù)列，從而有，再進(jìn)行驗(yàn)證，即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)題設(shè)得到，令，從而得到，再利用函數(shù)性質(zhì)，建立不等關(guān)系，得到；令，由，即可求解．【解答】解：（1）是數(shù)列，理由：由題知，即，，0，1，2，3，，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以是數(shù)列．（2）證明：假設(shè)是數(shù)列，則對(duì)任意正整數(shù)，總是中的某一項(xiàng)，，所以對(duì)任意正整數(shù)，存在正整數(shù)滿足：，顯然時(shí)，存在，滿足，取，得，所以，可以驗(yàn)證：當(dāng)，2，3，4時(shí)，都不成立，故不是數(shù)列．（3）已知是等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比，所以，所以，由題意知對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，即對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，即對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，①令，得，且，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，取到最小值，所以，所以，又，所以，所以，即；②令，得，且，所以，1綜上，或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的新定義，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．24．（2024?江西一模）在中，已知內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積為，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，．（1）若，求；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【考點(diǎn)】正弦定理；解三角形；余弦定理【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；解三角形；整體思想【分析】（1）由得，再結(jié)合余弦定理從而可求解．（2）由利用向量可得，并結(jié)合得，再由，從而可求解．【解答】解：（1）由題可得：，故，又，即，，即，在中，根據(jù)余弦定理得，即，，即；（2），，，即，又，①，又②，由①②得：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理，向量數(shù)量積的性質(zhì)在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．25．（2024?河南模擬）如圖所示，在△中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn)．是平面外一點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為．求△的面積；求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解答；（2）；．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解【分析】（1）利用，得出，再根據(jù)，得出，進(jìn)而得出平面，即可得證；（2）在△中，，，，由余弦定理得出，進(jìn)而求出，利用三角形面積公式即可求解；利用等體積轉(zhuǎn)換法求三棱錐體積即可．【解答】解：（1）證明：因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，又，故，即，如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，又，所以，，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）在△中，，，，由余弦定理得，所以，故△的面積為；設(shè)直線與平面所成角為，由題意可知，則，故，又因?yàn)槠矫?，所以直線與平面所成的角為，于是，所以，如圖，連接，則三棱錐的體積為，設(shè)△，△的面積分別為，，點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，，所以由平面幾何知識(shí)易得，則三棱錐的體積為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法在立體幾何中的應(yīng)用，考查等體積法求三棱錐體積，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．基本不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．實(shí)例解析例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對(duì)于C選項(xiàng)中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分子其實(shí)可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時(shí)，如何求的最大值．解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，＝，用基本不等式若x＞0時(shí)，0＜y≤，若x＜0時(shí)，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個(gè)系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時(shí)，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）技巧四：換元對(duì)于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．技巧七：取平方點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．2．兩角和與差的三角函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．3．?dāng)?shù)列的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤(rùn)、人口增長(zhǎng)等實(shí)際問題的結(jié)合．4．裂項(xiàng)相消法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等：（1）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即＝（）．【解題方法點(diǎn)撥】裂項(xiàng)相消法是一種用于求解數(shù)列和的技巧，通過將數(shù)列項(xiàng)裂解成兩個(gè)或多個(gè)部分進(jìn)行相消來簡(jiǎn)化計(jì)算．【命題方向】常見題型包括利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算等差或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．求和：+++…+．解：因?yàn)椋?，所以原式＝．故答案為?﹣．5．?dāng)?shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an＝．在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知遞推關(guān)系求an，有時(shí)也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an＝的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)．（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．6．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．2、等比數(shù)列的性質(zhì)．（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動(dòng)數(shù)列．7．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、函數(shù)的最大值和最小值觀察圖中一個(gè)定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說明：（1）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f（x）不一定有最大值與最小值．如函數(shù)f（x）＝在（0，+∞）內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；（2）函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．（3）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有一個(gè)2、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：由上面函數(shù)f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值．【解題方法點(diǎn)撥】在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．（2）極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的，（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)．8．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點(diǎn)的切線方程是高考中的一個(gè)?？键c(diǎn)，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因?yàn)榘藥讉€(gè)比較重要的基本點(diǎn)，所以在高考出題時(shí)備受青睞．我們?cè)诮獯疬@類題的時(shí)候關(guān)鍵找好兩點(diǎn)，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點(diǎn)其實(shí)也就是直線上的一個(gè)點(diǎn)，在知道斜率的情況下可以用點(diǎn)斜式把直線方程求出來．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)x＝1處的切線方程．解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1又當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，所以切點(diǎn)為（1，0）∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我們通過這個(gè)例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點(diǎn)；第二步求斜率，即求曲線上該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點(diǎn)斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認(rèn)真總結(jié)．9．正弦定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，a≤b，無解．2、三角形常用面積公式1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)（1）測(cè)距離問題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問題，然后再把未知的邊長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．（2）測(cè)量高度問題：解題思路：①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長(zhǎng)度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角．10．余弦定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)（1）測(cè)距離問題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問題，然后再把未知的邊長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．（2）測(cè)量高度問題：解題思路：①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長(zhǎng)度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角．11．解三角形【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關(guān)于三角形面積問題①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinA＝sinB＝sinC＝12．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱＝sh，V錐＝Sh．13．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．14．直線與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對(duì)于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．符號(hào)表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．15．平面與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．性質(zhì)定理2：如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．性質(zhì)定理3：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面．性質(zhì)定理4：三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．16．直線與平面所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．2、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時(shí)，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對(duì)于已知的斜線來說這個(gè)角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．用空間向量直線與平面所成角的求法：（1）傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解直角三角形求得．（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cosφ|＝．17．二面角的平面角及求法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時(shí)為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點(diǎn)O的位置無關(guān)，也就是說，我們可以根據(jù)需要來選擇棱l上的點(diǎn)O．3、二面角的平面角求法：（1）定義；（2）三垂線定理及其逆定理；①定理內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直．②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個(gè)面上的斜線（或它的射影）與二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜線）也與二面角的棱垂直，從而確定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延長(zhǎng)（展）線（面）法；（5）射影公式；（6）化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角；（7）向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：設(shè)平面α和β的法向量分別為和，若兩個(gè)平面的夾角為θ，則（1）當(dāng)0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此時(shí)cosθ＝cos＜，＞＝．（2）當(dāng)＜＜，＞＜π時(shí)，θ＝π﹣＜，＞，cosθ＝﹣cos＜，＞＝﹣．18．點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】19．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．兩種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞b＞0）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上（a＞b＞0）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上圖形頂點(diǎn)A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對(duì)稱軸x軸、y軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸長(zhǎng)上x軸、y軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸長(zhǎng)上焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）準(zhǔn)線x＝±y＝±20．橢圓的幾何特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．橢圓的范圍2．橢圓的對(duì)稱性3．橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)．頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個(gè)橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．21．直線與橢圓的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與橢圓的位置判斷：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與橢圓相交?Δ＞0；直線與橢圓相切?Δ＝0；直線與橢圓相離?Δ＜0；【解題方法點(diǎn)撥】（1）直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法①聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式來判斷；②借助直線和橢圓的幾何性質(zhì)來判斷．根據(jù)直線系方程抓住直線恒過定點(diǎn)的特征，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系，也是解決此類問題的難點(diǎn)所在．（2）弦長(zhǎng)的求法設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|＝＝（k為直線斜率）注意：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判