人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《角平分線的性質(zhì)》 教學(xué)設(shè)計(jì)

12.3角平分線的性質(zhì)（1）教學(xué)目標(biāo)1.通過角平分線儀器的探究，理解角平分線畫法的原理，掌握角的平分線的畫法，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、推理能力.2.經(jīng)歷操作、猜想、證明等過程探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理和逆定理，能運(yùn)用角平分線的定理和逆定理解決問題，培養(yǎng)抽象能力、推理能力、幾何直觀.3.經(jīng)歷命題證明的學(xué)習(xí)，掌握命題證明的思路和步驟，能證明簡(jiǎn)單的命題，培養(yǎng)推理能力、幾何直觀.教學(xué)重點(diǎn)角平分線的性質(zhì)定理教學(xué)難點(diǎn)命題的證明教學(xué)過程復(fù)習(xí)引入新知探究活動(dòng)一：角平分線性質(zhì)探究思考1：如圖是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?提示：已知是什么？求證什么？證明：在△ACD和△ACB中，AD=AB（已知），DC=BC（已知），CA=CA（公共邊），∴△ACD≌△ACB（SSS）.∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）.思考2：用尺規(guī)作角的平分線已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.提示：從利用平分角的儀器畫角的平分線中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線？作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧線，交OA于點(diǎn)N，交OB于點(diǎn)M.（2）分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.（3）畫射線OC，射線OC即為所求.思考3：如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC.在OC上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P畫出OA、OB的垂線，分別記垂足為D、E，測(cè)量PD、PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.通過測(cè)量你發(fā)現(xiàn)角平分線的什么性質(zhì)？測(cè)量：幾何畫板展示結(jié)論：PD=PE猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.證明：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.歸納總結(jié)：思考：怎么樣證明命題？角平分線有什么性質(zhì)？幾何命題證明步驟：1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.角的平分線的性質(zhì):OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∵.∴PD=PE(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等).活動(dòng)二：角平分線性質(zhì)定理的逆定理如圖，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處500m.這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）?解：在Rt△ABC與Rt△ABD中：AB=ABBC=BD∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．∴∠CAB=∠DAB即點(diǎn)B在∠CAD的角平分線上角的平分線的判定:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.活動(dòng)三：角平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用例：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過點(diǎn)P作PD⊥AB交于點(diǎn)D，PE⊥BC交于點(diǎn)E，PF⊥AC交于點(diǎn)F.∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）同理：PE=PF∴PD=PE=PF∴點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.想一想，點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.三、課堂鞏固1.判斷正誤：（1）如圖1，P在射線OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，則PE=PF.(錯(cuò))（2）如圖2，P是∠AOB的平分線OC上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在OA，OB上，則PE=PF.(錯(cuò))（3）如圖3，在∠AOB的平分線OC上任取一點(diǎn)P，若P到OA的距離為3cm，則P到OB的距離為3cm.(對(duì))2.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=60度，BE=BF.3.如圖，△ABD中，∠D=90°，AC平分∠DAB，且BD=10，BC=6，則點(diǎn)C到AB的距離是4.4.直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有(D)

A.一處 B.兩處

C.三處 D.四處5.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BE＝FC，求證：BD＝DF.證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C＝90°，∴DE＝DC.在△BDE和△FDC中，DE=CD,∠DEB=∠C,BE=FC,∴△BDE≌△FDC,∴BD=DF.四、課堂小結(jié)1.從以下方面想一想，本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？基礎(chǔ)知識(shí)：. 基本技能：. 基本思想：. 發(fā)現(xiàn)、提出問題：.分析、解決問題：. 品格與價(jià)值觀：. 基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：