專(zhuān)題07 與相似有關(guān)的壓軸題九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末解答題必刷專(zhuān)題訓(xùn)練（華師大版）

與相似有關(guān)的壓軸題1．如圖1，在梯形ABCD中，ADBC，BC=2AD，E為邊BC的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺作圖：（1）作BD的中點(diǎn)F；（2）作BE的中點(diǎn)G；（3）如圖2，△BDE的中線EF、DG交于點(diǎn)H，若△EGH的面積為1，則四邊形BGHF的面積為．2．如圖1，矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合），連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，連接BG．（1）如圖2，若四邊形ABCD為正方形，其面積為S，四邊形BCEG的面積為S1，當(dāng)S1＝S時(shí)，求的值．（2）如圖1，若AB＝20，AD＝10，設(shè)DE＝x，點(diǎn)G到直線BC的距離為y，求出y與x的關(guān)系式；當(dāng)＝時(shí)，求x的值．3．在菱形ABCD中，CD＝CA＝6，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E為邊BC上一點(diǎn)，直線EO分別交邊AD、射線BA于點(diǎn)G、F．（1）求菱形ABCD的面積；（2）請(qǐng)判斷是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)△BEF的面積為S1，四邊形ABED的面積為S2，試確定點(diǎn)E的位置，使得．4．如圖，銳角ADC，AO垂直平分BC交CD于O點(diǎn)，B是AD上一點(diǎn)，若記AOC面積為S1，BOD的面積S2，AOD的面積為S3；（1）求證：；（2）若=．①求證：BD=AC·AD；②若OA=1，求的值．5．把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．（1）如圖，當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證．此時(shí)，＝．（2）將三角板DEF由圖所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，問(wèn)的值是否改變？說(shuō)明你的理由．（3）在（2）的條件下，設(shè)2＜x＜4，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．6．如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在邊AB上向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)在邊AD上向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度都是1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是ts（），，交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)Q關(guān)于PE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是F，射線PF分別與BD，CD交于點(diǎn)M，N．（1）求度數(shù)，并用含t的代數(shù)式表示PE的長(zhǎng)；（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，①求證：，②t為何值時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E為頂點(diǎn)的三角形與相似？7．在菱形ABCD中，對(duì)線AC，BD交于點(diǎn)O，且AC=16cm，BD=12cm；點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DO方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)Q作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．解答下列問(wèn)題：（1）求菱形的邊長(zhǎng)，并用含t的代數(shù)式表示DE的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，線段PE∥AB?（3）設(shè)四邊形CFEP的面積為S（cm2），求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（4）是否存在某一時(shí)刻t，使得以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．如圖（1），在四邊形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D開(kāi)始沿DA邊勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度均為2cm/s．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），0＜t＜5（1）用含t的代數(shù)式表示AP；（2）當(dāng)以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時(shí)，求t的值；（3）如圖（2），延長(zhǎng)QP、BD，兩延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，當(dāng)△QMB為直角三角形時(shí)，求t的值．9．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分別與AC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的長(zhǎng)．10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)E是邊CD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合），過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE，交邊CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF，交邊AB于點(diǎn)G．設(shè)DE＝x，BF＝y(tǒng)．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）如果AD＝BF，求證：AEF∽DEA；（3）當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，AEG能否成為等腰三角形？如果能，請(qǐng)求出線段DE的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（問(wèn)題）如圖①，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)DE，CA交于點(diǎn)F，若DEEF，AB4，求AE的長(zhǎng)．（提示：如圖②，過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC交AC于H，再通過(guò)相似三角形的性質(zhì)得到AE和AB的比，從而得到AE的長(zhǎng)．請(qǐng)你按照這個(gè)思路完成解答．）（探究）在原問(wèn)題的條件下，可以得到AF和AC的數(shù)量關(guān)系是．（拓展）如圖③，在△ABC中，AD是中線，點(diǎn)E在線段AD上，且AE∶AD1∶3，連結(jié)BE并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F，若，則．12．如圖，矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在邊上，與點(diǎn)、不重合，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交直線于點(diǎn)．設(shè)，．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出的取值范圍．（2）若點(diǎn)在線段上，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．（3）若直線與線段延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求的長(zhǎng)．13．已知，如圖，在矩形ABCD中，，，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度也為1cm/s：當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)：聯(lián)結(jié)PO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作，交BD與點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，是等腰三角形；（2）設(shè)五邊形OECQF的面積為，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使OD平分?若存在求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（探究）如圖①，在中，點(diǎn)、、分別在邊、、上，，．（1）求證：．（2）若、的面積分別為和，則的值為_(kāi)_____．（拓展）如圖②，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，點(diǎn)、在邊上，且，．若、、的面積分別為，，，則的面積為_(kāi)_____．15．如圖，中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以的速度向定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，連接．（1）當(dāng)為何值時(shí)，與相似？（2）連接，，如圖1所示，若，求的值．（3）當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形？16．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)（不與C，D兩點(diǎn)重合），連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)F，交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，交AD邊于點(diǎn)H，連接GE．（1）求證：DH＝CE；（2）如圖2，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，當(dāng)BE＝8時(shí)，求線段GH的長(zhǎng)；（3）設(shè)正方形ABCD的面積為S1，四邊形DEGH的面積為S2，當(dāng)時(shí)，值為．（直接寫(xiě)答案）17．如圖，在直角中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）連接，當(dāng)和相似時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．18．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問(wèn)題：（1）如圖①，連接PQ，直接寫(xiě)出t＝時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使得PQ＝PC，若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段BC上是否存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求出BG長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．如圖，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；與點(diǎn)P同時(shí)，點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AC，交DC于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），（0＜t＜4），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t＝時(shí)，BP長(zhǎng)為cm，AQ長(zhǎng)為cm；（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)0＜t＜時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．如圖，已知矩形中，，．（1）如圖①，若動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CA邊上以每秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BC邊上以每秒的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），連接BQ、AP，若，求t的值；（2）若點(diǎn)Q在對(duì)角線AC上，，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿BC運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，請(qǐng)你探索：從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，以點(diǎn)Q、P、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？請(qǐng)求出所有可能的t的值．21．如圖，在△ABC中，BA=BC，AB=kAC．點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)E在BF上，BE=2EF．點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上，連接AD、AE，∠ACD+∠DAE=180°．（1）證明：；（2）求的值（用含k的式子表示）；（3）如圖2，若，求的值（用含k的式子表示）．22．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果點(diǎn)E由點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F由點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為每秒2cm和1cm，F(xiàn)Q⊥BC，分別交AC、BC于點(diǎn)P和Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜4）．（1）連接EF，若運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝秒時(shí)，求證：EQF是等腰直角三角形．（2）連接EP，當(dāng)EPC的面積為3cm2，求t值．（3）當(dāng)EF⊥AC時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．23．如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為.當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)為_(kāi)__________時(shí)，？（2）連接，設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式.（3）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上？（4）若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，是否存在某一時(shí)刻，使得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.24．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，為的中點(diǎn)，將沿直線對(duì)折，使點(diǎn)落在處，連接，過(guò)點(diǎn)作于．（1）寫(xiě)出點(diǎn)、、的坐標(biāo)；（2）判斷與是否相似，若是，請(qǐng)給出證明；（3）求點(diǎn)的坐標(biāo)．25．如圖（1），在四邊形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度均為．點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求的值；（3）如圖（2），延長(zhǎng)，，兩延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值．26．如圖，在中，，P，D分別是BC，AC邊上的點(diǎn)，且．若，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求BP的長(zhǎng)．27．已知：如圖，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)速度為；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)速度為．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，？（2）是否存在某一時(shí)刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）是否存在某一時(shí)刻t，使為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．28．在中，，E為AC上一點(diǎn)，連接BE．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在BC延長(zhǎng)線上，求證：；（2）過(guò)點(diǎn)C作，垂足為P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)Q．①如圖2，若，求證：；②如圖3，若，，，求AP的長(zhǎng)（用含a、k的式子表示）．29．如圖1，已知在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，以BC為邊作正方形BCDE，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABE方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，連接PQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜6.5），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC？（2）如圖2，連接PQ，交BC于點(diǎn)F，是否存在某一時(shí)刻t，使△BFP與△QFC相似？（3）用含t的代數(shù)式表示出五邊形PEDCQ的面積．30．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是對(duì)角線，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線段PH，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持PH與BC互相垂直，連接HQ交AC于點(diǎn)O．若點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜1.5），解答下列問(wèn)題：（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PHCQ為矩形；（2）是否存在一個(gè)時(shí)刻，使HQ與AC互相垂直？如果存在請(qǐng)求出t值；如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）是否存在一個(gè)時(shí)刻，使矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的，如果存在請(qǐng)求出t值；如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．31．如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，∠EBF=45°．（1）當(dāng)BE=BF時(shí)，求證：AE=CF；（2）求證：△ABF∽△CEB；（3）如圖2延長(zhǎng)BF交CD于點(diǎn)G，連接EG．判斷線段BE與EG的關(guān)系，并說(shuō)明理由．32．（感知）小明同學(xué)復(fù)習(xí)“相似三角形”的時(shí)候遇到了這樣的一道題目：如圖，在中，，D為BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交AC于點(diǎn)E．求證：∽．小明同學(xué)分析后發(fā)現(xiàn)，是的外角，可得，再結(jié)合已知條件可以得到∽．請(qǐng)根據(jù)小明的分析，結(jié)合圖①，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．（探究）在中，，，D為BC上一點(diǎn)．（1）如圖②，過(guò)點(diǎn)D作，交AC于點(diǎn)E．當(dāng)時(shí)，AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（2）如圖③，過(guò)點(diǎn)D作，分別交AB、AC于點(diǎn)F、E．當(dāng)時(shí)，BF的長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)_____．33．已知，在ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AB＝AD．（1）如圖1，當(dāng)BD＝CD，F(xiàn)是AD中點(diǎn)時(shí)，連BF并延長(zhǎng)交AC于E．①判斷ABC與BFD是否相似，并說(shuō)明理由．②連接DE，求證：DE⊥BC．（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，求∠BAC的度數(shù)．（3）如圖2，當(dāng)BD＝2CD時(shí)，作DE⊥BC交AC于E，連BE交AD于F，求AF：FD的值．34．△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E；（1）如圖1，若D為BC的中點(diǎn)，，求證：AF＝FD；（2）尺規(guī)作圖：在圖2中，請(qǐng)利用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺在AC上找一點(diǎn)E，使得；（3）若F為AD的中點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)求出m、n之間的等量關(guān)系．35．（1）（問(wèn)題背景）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC邊上一點(diǎn)，連接AM，以AM為邊作等邊△AMN（A，M，N按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校B接CN，求證：AC=CM+CN（2）（變式探究）如圖2，已知△ABC∽△ADE，請(qǐng)指出圖中的另外一對(duì)相似三角形并進(jìn)行證明；（3）（拓展應(yīng)用）如圖3，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，點(diǎn)D在BC邊上，求的值和∠DCE的度數(shù)．36．在平行四邊形中，，，的頂點(diǎn)在上，交直線于點(diǎn)．（1）如圖1，若，，則_______．圖1（2）如圖2，在上取點(diǎn)，使，連接，若，求證：．圖2（3）如圖3，若，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，交于點(diǎn)，對(duì)角線、交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．圖337．已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB．△ACD沿AC方向以速度為1cm/s勻速平移得到△PMN；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．當(dāng)△PMN停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)，如圖②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)△ABC與△PQC相似？（2）當(dāng)t為何值時(shí)∠QPC＝45°？（3）是否存在某一時(shí)刻t，S△QMC：S四邊形ABQP＝1：35．若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．38．（1）如圖1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中），連接CE，AG交于點(diǎn)H，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AG與CE的數(shù)量關(guān)系________，位置關(guān)系________；（2）如圖2，矩形ABCD和矩形DEFG，，，，連接AG，CE交于點(diǎn)H，（1）中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出線段AG，CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFC，，，直線AG，CE交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AE的長(zhǎng)．39．（模型呈現(xiàn)：材料閱讀）如圖，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，點(diǎn)A，D在直線CE的同側(cè)，△ABC和△CDE均為等邊三角形，AE，BD交于點(diǎn)F．對(duì)于上述問(wèn)題，存在結(jié)論（不用證明）：（1）△BCD≌△ACE．（2）△ACE可以看作是由△BCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)而成；…（模型改編：?jiǎn)栴}解決）點(diǎn)A，D在直線CE的同側(cè)，AB＝AC，ED＝EC，∠BAC＝∠DEC＝50°，直線AE，BD交于F．如圖1：點(diǎn)B在直線CE上．①求證：△BCD∽△ACE；②求∠AFB的度數(shù)．如圖2：將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度．③補(bǔ)全圖形，則∠AFB的度數(shù)為；④若將“∠BAC＝∠DEC＝50°”改為“∠BAC＝∠DEC＝m°”，則∠AFB的度數(shù)為．（直接寫(xiě)結(jié)論）（模型拓廣：?jiǎn)栴}延伸）如圖3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝ED＝