江西省南昌市高安中學2025屆高考數(shù)學二模試卷含解析

江西省南昌市高安中學2025屆高考數(shù)學二模試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數(shù)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A，與準線在第三象限交于點B，過點作準線的垂線，垂足為.若，則（）A． B． C． D．3．如圖，在平行四邊形中，為對角線的交點，點為平行四邊形外一點，且，，則（）A． B．C． D．4．已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.若的前n項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知的內角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．相傳黃帝時代，在制定樂律時，用“三分損益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音調．如圖的程序是與“三分損益”結合的計算過程，若輸入的的值為1，輸出的的值為（）A． B． C． D．7．已知點是雙曲線上一點，若點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．28．設實數(shù)x,y滿足條件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0則A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內部的一些虛線構成的，則該幾何體的體積為()A． B． C．6 D．與點O的位置有關10．已知集合，，則()A． B． C． D．11．在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．12．某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線的斜率為________.14．從編號為，，，的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_____________.15．已知雙曲線-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點為P，若|FP|=5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.16．若點在直線上，則的值等于______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣的一個特征值為4，求矩陣A的逆矩陣.18．（12分）（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2a2+y（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點A（1，0）的直線與橢圓C交于點M,N,設P為橢圓上一點，且OM+ON=t19．（12分）設拋物線的焦點為，準線為，為拋物線過焦點的弦，已知以為直徑的圓與相切于點.（1）求的值及圓的方程；（2）設為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.20．（12分）如圖，四棱錐中，底面是菱形，對角線交于點為棱的中點，．求證：（1）平面；（2）平面平面．21．（12分）一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）設拋擲4次的得分為，求變量的分布列和數(shù)學期望.（2）當游戲得分為時，游戲停止，記得分的概率和為.①求；②當時，記，證明：數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列.22．（10分）已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，點在拋物線上，直線與拋物線交于另一點.（1）設直線，的斜率分別為，，求證：常數(shù)；（2）①設的內切圓圓心為的半徑為，試用表示點的橫坐標；②當?shù)膬惹袌A的面積為時，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】所對應的點為（-1，-2）位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復平面的概念，屬于簡單題.2、C【解析】

需結合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設準線與軸的交點為，過點作，再由三角函數(shù)定義和幾何關系分別表示轉化出，，結合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖，設準線與軸的交點為，過點作.由拋物線定義知，所以，，，，所以.故選：C【點睛】本題考查拋物線的幾何性質，三角函數(shù)的性質，數(shù)形結合思想，轉化與化歸思想，屬于中檔題3、D【解析】

連接，根據(jù)題目，證明出四邊形為平行四邊形，然后，利用向量的線性運算即可求出答案【詳解】連接，由，知，四邊形為平行四邊形，可得四邊形為平行四邊形，所以.【點睛】本題考查向量的線性運算問題，屬于基礎題4、D【解析】

利用等比中項性質可得等差數(shù)列的首項，進而求得，再利用二次函數(shù)的性質，可得當或時，取到最小值.【詳解】根據(jù)題意，可知為等差數(shù)列，公差，由成等比數(shù)列，可得，∴，解得.∴.根據(jù)單調性，可知當或時，取到最小值，最小值為.故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式、等比中項性質、等差數(shù)列前項和的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意當或時同時取到最值.5、C【解析】

由，化簡得到的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理，當且僅當時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力.6、B【解析】

根據(jù)循環(huán)語句，輸入，執(zhí)行循環(huán)語句即可計算出結果.【詳解】輸入，由題意執(zhí)行循環(huán)結構程序框圖，可得：第次循環(huán)：，，不滿足判斷條件；第次循環(huán)：，，不滿足判斷條件；第次循環(huán)：，，滿足判斷條件；輸出結果.故選：【點睛】本題考查了循環(huán)語句的程序框圖，求輸出的結果，解答此類題目時結合循環(huán)的條件進行計算，需要注意跳出循環(huán)的判定語句，本題較為基礎.7、A【解析】

設點的坐標為，代入橢圓方程可得，然后分別求出點到兩條漸近線的距離，由距離之積為，并結合，可得到的齊次方程，進而可求出離心率的值.【詳解】設點的坐標為，有，得.雙曲線的兩條漸近線方程為和，則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，所以，則，即，故，即，所以.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率，構造的齊次方程是解決本題的關鍵，屬于中檔題.8、C【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標函數(shù)，z=x+y+1，即y=-x+z-1，z表示直線在y軸的截距加上1，根據(jù)圖像知，當x+y=2時，且x∈-13,1時，故選：C.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關鍵.9、B【解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體，是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構成的，正方體的體積為8，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，頂點O在平面上，高為2，所以四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關鍵，屬于基礎題.10、D【解析】

先求出集合B，再與集合A求交集即可.【詳解】由已知，，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集運算，考查學生的基本運算能力，是一道容易題.11、A【解析】

在中，設，，，結合三角形的內角和及和角的正弦公式化簡可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標系，根據(jù)已知條件結合向量的坐標運算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中，設，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，，解得，.以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，為線段上的一點，則存在實數(shù)使得，，設，，則，，，，，消去得，，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.【點睛】本題是一道構思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關鍵是理解是一個單位向量，從而可用、表示，建立、與參數(shù)的關系，解決本題的第二個關鍵點在于由，發(fā)現(xiàn)為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計算能力，屬于難題.12、A【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側棱垂直于底面，結合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計算．【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點，，且平面，，的中點為外接球的球心，半徑，外接球表面積．故選：A【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結構特征，利用幾何體的結構特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義令，即可求出切線斜率.【詳解】，，，即曲線在處的切線的斜率.故答案為：【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算法則以及基本初等函數(shù)的導數(shù)，屬于基礎題.14、【解析】

基本事件總數(shù)，第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，由此能求出概率.【詳解】解：從編號為，，，的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，基本事件總數(shù)，第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，分別為：，，，，，，，.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，屬于基礎題.15、【解析】

設點為，由拋物線定義知，，求出點P坐標代入雙曲線方程得到的關系式，求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2，0)，因為點P在拋物線y2=8x上，|FP|=5，設點為，由拋物線定義知，，解得，不妨取P(3，2)，代入雙曲線-=1，得-=1，又因為a2+b2=4，解得a=1，b=，因為雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線為y=±x，由點到直線的距離公式可得，點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質；考查運算求解能力和知識遷移能力；靈活運用雙曲線和拋物線的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型.16、【解析】

根據(jù)題意可得，再由，即可得到結論.【詳解】由題意，得，又，解得，當時，則，此時；當時，則，此時，綜上，.故答案為：.【點睛】本題考查誘導公式和同角的三角函數(shù)的關系，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、.【解析】

根據(jù)特征多項式可得，可得，進而可得矩陣A的逆矩陣.【詳解】因為矩陣的特征多項式，所以，所以.因為，且，所以.【點睛】本題考查矩陣的特征多項式以及逆矩陣的求解，是基礎題.18、（1）x24+【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，先利用離心率、a2=b2+c2、四邊形的面積列出方程，解出a和b的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，討論直線MN的斜率是否存在，當直線MN的斜率存在時，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消參，利用韋達定理，得到x1+x2、x1x試題解析：（1）∵e=22，??∴又S=12×2a×2b=4∴橢圓C的標準方程為x2（2）由題意知，當直線MN斜率存在時，設直線方程為y=k(x-1)，M(x聯(lián)立方程x24+因為直線與橢圓交于兩點，所以Δ=16k∴x又∵OM∴因為點P在橢圓x24+即2k又∵|OM即|NM|<4化簡得：13k4-5k2∵t2=1-當直線MN的斜率不存在時，M(1,??62∴t∈[-1,??考點：橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系．19、（1）2，；（2）證明見解析.【解析】

（1）由題意得的方程為，根據(jù)為拋物線過焦點的弦，以為直徑的圓與相切于點..利用拋物線和圓的對稱性，可得，圓心為，半徑為2.（2）設，的方程為，代入的方程，得，根據(jù)直線與拋物線相切，令，得，代入，解得.將代入的方程，得，得到點N的坐標為，然后求解.【詳解】（1）解：由題意得的方程為，所以，解得.又由拋物線和圓的對稱性可知，所求圓的圓心為，半徑為2.所以圓的方程為.（2）證明：易知直線的斜率存在且不為0，設，的方程為，代入的方程，得.令，得，所以，解得.將代入的方程，得，即點N的坐標為，所以，，故.【點睛】本題主要考查拋物線的定義幾何性質以及直線與拋物線的位置關系，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

(1)連結根據(jù)中位線的性質證明即可.(2)證明,再證明平面即可.【詳解】解：證明：連結是菱形對角線的交點,為的中點,是棱的中點,平面平面平面解：在菱形中,且為的中點,,,平面平面,平面平面．【點睛】本題主要考查了線面平行與垂直的判定,屬于基礎題.21、（1）分布列見解析，數(shù)學期望為6；（2）①；②證明見解析【解析】

（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8，分別求出對應的概率，進而可求出變量的分布列和數(shù)學期望；（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，分別求出兩種情況的概率，進而可求得；②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，可知當且時，，結合，可推出