中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第03講 中考熱點(diǎn)分式與二次根式【挑戰(zhàn)中考滿分模擬練】（解析版）

第03講中考熱點(diǎn)分式與二次根式【挑戰(zhàn)中考滿分模擬練】一．分式有意義的條件（共2小題）1．（2022?南京一模）若式子有意義，則x的取值范圍是x≠3．【分析】直接利用分式有意義即分母不為零，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵式子有意義，∴x的取值范圍是：x﹣3≠0，解得：x≠3．故答案為：x≠3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．2．（2022?建鄴區(qū)二模）若分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x≠1．【分析】分式有意義的條件是分母不等于零．【解答】解：∵分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x﹣1≠0，解得：x≠1．故答案為：x≠1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是分式的有意義的條件，掌握分式的有意義的條件是解題的關(guān)鍵．二．分式的值為零的條件（共1小題）3．（2022?昆明一模）若分式的值為0，則x＝1．【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0．兩個(gè)條件需同時(shí)具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題．【解答】解：分式的值為0，得x2﹣1＝0且x+1≠0．解得x＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．三．分式的值（共1小題）4．（2022?禪城區(qū)二模）若ab≠0，且2b＝3a，則的值是．【分析】已知等式變形后，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：由2b＝3a，得到a＝b，則原式＝＝，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．四．分式的基本性質(zhì)（共1小題）5．（2022?武安市一模）只把分式中的m，n同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍后，分式的值也不會(huì)變，則此時(shí)a的值可以是下列中的（）A．2 B．mn C． D．m2【分析】利用特殊值法，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出答案．【解答】解：∵將a＝2代入中，當(dāng)m＝1，n＝1時(shí)，＝，當(dāng)m＝3，n＝3時(shí)，＝，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵將a＝mn代入中，當(dāng)m＝1，n＝1時(shí)，＝，當(dāng)m＝3，n＝3時(shí)，＝，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵將a＝代入中，當(dāng)m＝1，n＝1時(shí)，＝，當(dāng)m＝3，n＝3時(shí)，＝，∴選項(xiàng)C符合題意；∵將a＝m2代入中，當(dāng)m＝1，n＝1時(shí)，＝，當(dāng)m＝3，n＝3時(shí)，＝，∴選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，利用特殊值進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．五．分式的加減法（共5小題）6．（2022?漢陽(yáng)區(qū)模擬）計(jì)算：﹣＝．【分析】先通分，化成同分母分式再運(yùn)算．【解答】解：原式＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式的加減法，將異分母分式化成同分母分式是解題的關(guān)鍵．7．（2022?大慶模擬）已知＝+，則A為1．【分析】計(jì)算出+＝，根據(jù)＝+可得A+1＝2，據(jù)此可得．【解答】解：+＝+＝，∵＝+，∴A+1＝2，則A＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的加減運(yùn)算法則，并根據(jù)題意得出關(guān)于A的方程．8．（2022?清苑區(qū)一模）已知分式：（a+）（■﹣）的某一項(xiàng)被污染，但化簡(jiǎn)的結(jié)果等于a+2，被污染的項(xiàng)應(yīng)為（）A．0 B．1 C． D．【分析】設(shè)被污染的項(xiàng)應(yīng)為A，利用分式的加減的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算，根據(jù)化簡(jiǎn)的結(jié)果等于a+2，得到關(guān)于A的等式，利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)被污染的項(xiàng)應(yīng)為A，原式＝＝＝＝，∵化簡(jiǎn)的結(jié)果等于a+2，∴Aa﹣2A﹣1＝a﹣3，∴A＝1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式的加減法與分式的約分，設(shè)被污染的項(xiàng)應(yīng)為A，利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等求得結(jié)論是解題的關(guān)鍵．9．（2022?兩江新區(qū)模擬）閱讀材料：在處理分?jǐn)?shù)和分式的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)難度較大，這時(shí)，我們可將分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)（真分式）的和（差）的形式，通過(guò)對(duì)它的簡(jiǎn)單分析來(lái)解決問(wèn)題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問(wèn)題時(shí)頗為有效．將分式分離常數(shù)可類比假分?jǐn)?shù)變形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行．如：＝＝a+＝a﹣1+，這樣，分式就拆分成一個(gè)分式與一個(gè)整式a﹣1的和的形式，下列說(shuō)法正確的有（）個(gè)．①若x為整數(shù)，為負(fù)整數(shù)，則x＝﹣3；②6＜≤9；③若分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)真分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：5m﹣11+（整式部分對(duì)應(yīng)等于5m﹣11，真分式部分對(duì)應(yīng)等于），則m2+n2+mn的最小值為27．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】（1）利用題干中的方法將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式，利用整數(shù)或整式的性質(zhì)對(duì)沒(méi)結(jié)論進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵為負(fù)整數(shù)，∴＜0，∴或，解第一個(gè)不等式組得：﹣4＜x＜﹣2，解第二個(gè)不等式組得：無(wú)解，∴﹣4＜x＜﹣2，∵x為整數(shù)，∴x＝﹣3，故①的結(jié)論正確；∵＝6+，又x2≥0，∴＞0，且x2+2有最小值2，∴由最大值3，∴6＜6+≤9，∴②的結(jié)論正確；∵＝＝5（x+2）﹣11﹣，∴m＝x+2，n﹣6＝﹣（x+2），∴m＝x+2，n＝4﹣x．∴m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，∵（x﹣1）2≥0，∴m2+n2+mn有最小值為27，∴③的結(jié)論正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式的加減法，整式的加減法，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用題干中的方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬）已知兩個(gè)分式：，：將這兩個(gè)分式進(jìn)行如下操作：第一次操作：將這兩個(gè)分式作和，結(jié)果記為M1；作差，結(jié)果記為N1；（即M1＝+，N1＝﹣）第二次操作：將M1，N1作和，結(jié)果記為M2；作差，結(jié)果記為N2；（即M2＝M1+N1，N2＝M1﹣N1）第三次操作：將M2，N2作和，結(jié)果記為M3；作差，結(jié)果記為N3；（即M3＝M2+N2，N3＝M2﹣N2）…（依此類推）將每一次操作的結(jié)果再作和，作差，繼續(xù)依次操作下去，通過(guò)實(shí)際操作，有以下結(jié)論：①M(fèi)3＝2M1；②當(dāng)x＝1時(shí)，M2+M4+M6+M8＝20；③若N2?M4＝4，則x＝1；④在第n（n為正整數(shù)）次和第n+1次操作的結(jié)果中：為定值；⑤在第2n（n為正整數(shù)）次操作的結(jié)果中：M2n＝，N2n＝．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．5 B．4 C．3 D．2【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，找到規(guī)律，然后判斷即可．【解答】解：∵，∴，，∴，，∴，，……可知，故選項(xiàng)①正確；當(dāng)x＝1時(shí)，M2+M4+M6+M8＝＝2+4+8+16＝30，故選項(xiàng)②不正確；∵N2?M4＝4，∴解得x＝1，或x＝﹣2，故選項(xiàng)③不正確；當(dāng)n＝1時(shí)，不是定值，故選項(xiàng)④不正確；∵，，，……∴，∵，，，……∴故選項(xiàng)⑤正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的分式的和與差，解題的關(guān)鍵是細(xì)心運(yùn)算，找到數(shù)字規(guī)律．六．分式的混合運(yùn)算（共5小題）11．（2022?沂南縣一模）計(jì)算：＝（）A．﹣2m﹣6 B．2m+6 C．﹣m﹣3 D．m+3【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得．【解答】解：原式＝（﹣）?＝?＝﹣2（m+3）＝﹣2m﹣6，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．12．（2022?槐蔭區(qū)校級(jí)模擬）化簡(jiǎn)（1+）÷的結(jié)果是（）A．1 B． C． D．﹣【分析】先根據(jù)分式的加法法則算括號(hào)里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，最后根據(jù)分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1+）÷＝（+）÷＝?＝?＝1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．13．（2022?揭陽(yáng)二模）化簡(jiǎn)÷（1+）的結(jié)果是．【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝÷＝?＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．14．（2022?西平縣模擬）（1）化簡(jiǎn)：；（2）解不等式組：．【分析】（1）先算括號(hào)內(nèi)的減法，然后計(jì)算括號(hào)外的除法即可；（2）先解出每個(gè)不等式的解集，然后即可得到不等式組的解集．【解答】解：（1）＝＝?＝；（2），解不等式①，得：x≥﹣1，解不等式②，得：x＞﹣7，故原不等式組的解集是x≥﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的混合運(yùn)算、解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則和解一元一次不等式的方法是解答本題的關(guān)鍵．15．（2022?肇源縣一模）先將分式（1+）÷進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后請(qǐng)你給x選擇一個(gè)合適的值，求原式的值．【分析】先算小括號(hào)里的，再把除法統(tǒng)一成乘法，約分化為最簡(jiǎn)，各分母的分母不為0決定x的取值．【解答】解：原式＝×＝x+1，取值時(shí)注意x≠±1，﹣2，當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝4．故答案為4．【點(diǎn)評(píng)】分式的四則運(yùn)算是整式四則運(yùn)算的進(jìn)一步發(fā)展，在計(jì)算時(shí)，首先要弄清楚運(yùn)算順序，先去括號(hào)，再進(jìn)行分式的乘除．七．分式的化簡(jiǎn)求值（共15小題）16．（2022?綏化二模）當(dāng)x﹣2y＝0，代數(shù)式的值為．【分析】先根據(jù)分式的減法法則算括號(hào)里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，求出x＝2y，最后代入求出答案即可．【解答】解：＝?＝?＝，∵x﹣2y＝0，∴x＝2y，當(dāng)x＝2y時(shí)，原式＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．17．（2022?錦江區(qū)校級(jí)模擬）當(dāng)a＝2022時(shí)，（﹣1）÷的值為2023．【分析】先根據(jù)分式的減法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：（﹣1）÷＝?＝?＝a+1，當(dāng)a＝2022時(shí)，原式＝2022+1＝2023，故答案為：2023．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．18．（2022?定海區(qū)校級(jí)模擬）已知，那么的值等于．【分析】先根據(jù)完全平方公式和﹣＝2求出x+＝6，再根據(jù)完全平方公式求出x2+＝34，求出＝，再代入求出答案即可．【解答】解：∵﹣＝2，∴兩邊平方得：x+﹣2?＝4，∴x+＝4+2＝6，兩邊平方得：x2++2＝36，∴x2+＝34，∵要使分式x+有意義，x≠0，又∵＝6，∴＝＝＝，∴＝﹣＝4﹣＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的混合運(yùn)算和完全平方公式等知識(shí)點(diǎn)，能求出x+＝6是解此題的關(guān)鍵．19．（2022?慶云縣模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【分析】先根據(jù)分式的減法法則算括號(hào)里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：原式＝（x﹣1）÷＝＝（x﹣1）?＝，當(dāng)x＝﹣+1時(shí)，原式＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．20．（2022?惠民縣一模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x是不等式組的整數(shù)解．【分析】先根據(jù)分式的加法法則算括號(hào)里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，求出不等式組的解集，再求出不等式組的整數(shù)解，根據(jù)分式有意義的條件求出x不能為1，﹣1，2，取x＝3，把x＝3代入化簡(jiǎn)后的結(jié)果，即可求出答案．【解答】解：＝[﹣]÷＝（﹣）?＝?＝x+1，解不等式組得：1≤x≤3，所以不等式組的整數(shù)解是1，2，3，要使分式有意義，x﹣1≠0，x+1≠0，x﹣2≠0，即x不能為1，﹣1，2，取x＝3，當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝3+1＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解一元一次不等式組和一元一次不等式組的整數(shù)解等知識(shí)點(diǎn)能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．21．（2022?泰安二模）計(jì)算：先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x的值是一元二次方程x2+x﹣6＝0的解．【分析】先根據(jù)分式的加減法則算括號(hào)里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，求出x2+x＝6，最后代入求出答案即可．【解答】解：＝÷＝?＝?＝?＝﹣x（x+1）＝﹣x2﹣x，∵x2+x﹣6＝0，∴x2+x＝6，∴原式＝﹣x2﹣x＝﹣（x2+x）＝﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值和解一元二次方程，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．22．（2022?洛陽(yáng)模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a為不等式的整數(shù)解．【分析】先根據(jù)分式的減法法則算括號(hào)里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，再求出不等式組的解集，求出不等式組的整數(shù)解，根據(jù)分式有意義的條件得出a不能為﹣1和0，取a＝1，把a(bǔ)＝1代入化簡(jiǎn)結(jié)果，再求出答案即可．【解答】解：＝÷＝÷＝?＝，解不等式組得：﹣1≤a＜2，所以不等式組的整數(shù)解為﹣1，0，1，∵要使分式有意義，a+1≠0，a≠0，∴a不能為﹣1和0，取a＝1，當(dāng)a＝1時(shí)，原式＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解等知識(shí)點(diǎn)，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．23．（2022?永安市模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝．【分析】先根據(jù)分式的減法法則算括號(hào)里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：＝÷＝?＝，當(dāng)x＝時(shí)，原式＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．24．（2022?河口區(qū)二模）（1）計(jì)算：．（2）化簡(jiǎn)求值：先化簡(jiǎn)分式：，再?gòu)牟坏仁浇M解集中取一個(gè)合適的整數(shù)代入，求原分式的值．【分析】（1）先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算，再算乘法，最后算加減即可；（2）先根據(jù)分式的減法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘方，求出不等式組的解集，最后代入求出答案即可．【解答】解：（1）原式＝＝3﹣2+7﹣8+1＝；（2）原式＝?＝?＝＝＝2（x+2）＝2x+4，要使分式有意義，x﹣1≠0且x+1≠0且x≠0，即x不能為﹣1，1，0，解不等式組得：﹣3＜x≤2，取x＝2，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝2×2+4＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次不等式組，分式的化簡(jiǎn)求值等知識(shí)點(diǎn)，能正確根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．25．（2022?楊浦區(qū)二模）先化簡(jiǎn)再計(jì)算：，其中．【分析】先根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，再根據(jù)分式的加法法則進(jìn)行計(jì)算，最后代入求出答案即可．【解答】解：＝?+＝+＝＝＝＝，當(dāng)時(shí)，原式＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．26．（2022?渠縣二模）（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)求值：，m、n為方程x2﹣3x+1＝0的兩根．【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則，先計(jì)算算術(shù)平方根、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算加減．（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算減法，進(jìn)而再代入求解．【解答】解：（1）＝﹣1+2×﹣＝＝0．（2）＝＝＝＝．∵m、n為方程x2﹣3x+1＝0的兩根，∴m2﹣3m+1＝0，mn＝1．∴．∴原式＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查算術(shù)平方根、零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值、分式的混合運(yùn)算、韋達(dá)定理，熟練掌握算術(shù)平方根、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、分式的混合運(yùn)算法則、韋達(dá)定理是解決本題的關(guān)鍵．27．（2022?德城區(qū)模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：÷?，其中x＝．【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，然后代入計(jì)算即可．【解答】解：??＝，當(dāng)x＝時(shí)，原式＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是記住分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．28．（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：（1﹣），其中x＝2．【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把m的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝?＝，當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．29．（2022?南寧二模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝2．【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝，＝，將x＝2代入得：原式＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．30．（2022?祁陽(yáng)縣校級(jí)模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：（﹣）÷，其中a2+a﹣2＝0．【分析】先把原分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求a2+a﹣2＝0的解，代入求值即可．【解答】解：解a2+a﹣2＝0得a1＝1，a2＝﹣2，∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a＝﹣2，∴原式＝÷＝?＝，∴原式＝＝＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值以及因式分解法求一元二次方程的解，是重點(diǎn)內(nèi)容要熟練掌握．八．負(fù)整數(shù)指數(shù)冪（共1小題）31．（2022?永城市模擬）計(jì)算：（﹣）﹣1＝﹣3．【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，可得答案．【解答】解：原式＝﹣3，故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)是解題關(guān)鍵．九．二次根式有意義的條件（共3小題）32．（2022?濟(jì)源校級(jí)模擬）如果二次根式有意義，那么x應(yīng)該滿足的條件是x≤，且x．【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計(jì)算即可得解．【解答】解：由題意得，2x+1≠0，且2﹣3x≥0，解得x≤，且x．故答案為：x≤，且x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．33．（2022?大理市一模）使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是x≥，x≠3．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，求解即可．【解答】解：∵代數(shù)式有意義，∴3x﹣1≥0，3﹣x≠0，解得：x≥，x≠3．故答案為：x≥，x≠3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)．34．（2022?衛(wèi)輝市校級(jí)模擬）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x≤1．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可直接解答．【解答】解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開(kāi)方數(shù)大于或等于0，可知：﹣x+1≥0，解得x≤1．故答案為：x≤1．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次根式的概念和性質(zhì)：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性質(zhì)：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．一十．二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)（共6小題）35．（2022?吳中區(qū)模擬）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)+|a+b|結(jié)果為（）A．2a﹣b B．﹣2a﹣b C．﹣b D．3b【分析】利用二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)即可．【解答】解：由題意：b＜a＜0，∴a＜0，a+b＜0．∴+|a+b|＝﹣a﹣a﹣b＝﹣2a﹣b，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，絕對(duì)值的意義，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，利用二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．36．（2022?濱江區(qū)一模）下列計(jì)算正確的是（）A．x2+x2＝x4 B．（﹣a2）3＝a6 C． D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】利用冪的運(yùn)算性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)，完全平方公式對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：∵x2+x2＝2x2，∴A選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤；∵（﹣a2）3＝﹣a6，∴B選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤；∵＝2，∴C選項(xiàng)的結(jié)論正確；∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴D選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)與性質(zhì)，合并同類項(xiàng)，冪的乘方，完全平方公式，正確利用上述法則與公式進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．37．（2022?曲阜市一模）下列運(yùn)算正確的是（）A．＝﹣5 B．（﹣）﹣3＝﹣27 C．x6÷x3＝x2 D．（x3）2＝x5【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方可進(jìn)行判斷．【解答】解：A，根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知，不符合題意；B，根據(jù)知，符合題意；C，根據(jù)“同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減”知x6÷x3＝x6﹣3＝x3，不符合題意；D，根據(jù)“冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘”知（x3）2＝x6，不符合題意，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，關(guān)鍵在于熟知法則計(jì)算．38．（2022?紅花崗區(qū)二模）已知a，b均為正數(shù)，且，，是一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)，則這個(gè)三角形的面積是（）A． B．a(chǎn)b C． D．2ab【分析】構(gòu)造矩形ABCD，E、F分別為AD、AB的中點(diǎn)，設(shè)AD＝2b，AB＝2a，將所求三角形面積轉(zhuǎn)化為S△CEF＝S矩形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCF﹣S△CDE即可求解．【解答】解：如圖：在矩形ABCD中，E、F分別為AD、AB的中點(diǎn)，設(shè)AD＝2b，AB＝2a，∴EF＝，CE＝，CF＝，∴S△CEF＝S矩形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCF﹣S△CDE＝（2a）?（2b）﹣ab﹣×2ba﹣×2ba＝ab．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的應(yīng)用；能夠通過(guò)構(gòu)造矩形及直角三角形，將所求三角形的面積轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．39．（2022?安徽模擬）[初步感知]在④的橫線上直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：①＝1；②＝3；③＝6；④＝10．…[深入探究]觀察下列等式：①1+2＝；②1+2+3＝；③1+2+3+4＝；…根據(jù)以上等式的規(guī)律，在下列橫線上填寫(xiě)適當(dāng)內(nèi)容：1+2+3+?+n+（n+1）＝．[拓展應(yīng)用]通過(guò)以上[初步感知]與[深入探究]，計(jì)算：（1）；（2）113+123+133+…+193+203．【分析】④根據(jù)前三個(gè)式子的結(jié)果直接寫(xiě)出答案；根據(jù)以上等式的規(guī)律直接寫(xiě)出答案；（1）根據(jù)規(guī)律直接寫(xiě)出答案；（2）先把原式化為13+23+33+?+183+193+203﹣（13+23+33+?+103），根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出算式，然后計(jì)算．【解答】解：④＝10，故答案為：10；1+2+3+?+n+（n+1）＝，故答案為：；（1）原式＝1+2+3+4+5+?+99+100＝＝5050；（2）原式＝13+23+33+?+183+193+203﹣（13+23+33+?+103）＝﹣＝﹣＝44100﹣3025＝41075．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次根式的基本性質(zhì)與化簡(jiǎn)、探尋數(shù)列規(guī)律、整式的加減，掌握這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，其中探求規(guī)律是解題關(guān)鍵．40．（2022?南山區(qū)模擬）已知a，b，c為正數(shù)，判斷與的關(guān)系是（）（提示：數(shù)形結(jié)合）A．≤ B．≥ C．＝ D．＜【分析】利用數(shù)形結(jié)合法，畫(huà)出幾何圖形，利用勾股定理和余弦定理解答即可．【解答】解：作MB⊥BN，BP平分∠MBN，取BA＝a，BC＝b，BD＝c，連接AC，BD，AD，CD，如圖，∵AB⊥BC，∴AC＝＝．∵BP平分∠MBN，∴∠ABD＝∠CBD＝45°．由余弦定理得：AD＝＝，CD＝＝，∵AD+CD≥AC，∴≥．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，勾股定理，余弦定理，利用數(shù)形結(jié)合的思想，利用幾何圖形解答是解題的關(guān)鍵．一十一．二次根式的乘除法（共1小題）41．（2022?青島一模）化簡(jiǎn)：＝3．【分析】先根據(jù)二次根式的乘法法則得到原式＝，約去得到原式＝（）2，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【解答】解：原式＝＝（）2＝3．故答案為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘除法：?＝（a≥0，b≥0）；＝（a≥0，b＞0）．也考查了二次根式的化簡(jiǎn)與性質(zhì)．一十二．二次根式的加減法（共4小題）42．（2022?南京一模）計(jì)算﹣的結(jié)果為．【分析】首先化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而合并求出答案．【解答】解：﹣＝2﹣＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．43．（2022?呼蘭區(qū)一模）計(jì)算：﹣＝﹣3．【分析】直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并求出答案．【解答】解：﹣＝3﹣3×2＝﹣3．故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．44．（2022?南山區(qū)模擬）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們對(duì)王老師黑板上的題很感興趣，他們答案都不同，且眾說(shuō)紛紜．題目如下：化簡(jiǎn)：①小浩說(shuō)：當(dāng)a，b，c皆為正數(shù)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為；②小特說(shuō)：當(dāng)a，b，c皆為負(fù)數(shù)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為；③小凌說(shuō)：當(dāng)a＜0，b＞0，c＜0時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為；④小斯說(shuō)：當(dāng)a＞0，b＜0，c＜0時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為；（1）以上同學(xué)的說(shuō)法正確的是①③④（雙選）；（2）請(qǐng)?jiān)谶@四個(gè)中任選兩個(gè)判斷其正確性．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【解答】解：①當(dāng)a，b，c皆為正數(shù)時(shí)，原式＝++＝++＝．故①正確．②當(dāng)a，b，c皆為負(fù)數(shù)時(shí)，0，無(wú)意義，∴②錯(cuò)誤．③當(dāng)a＜0，b＞0，c＜0時(shí)，原式＝++＝++＝＝．∴③正確．④當(dāng)a＞0，b＜0，c＜0時(shí)，原式＝++＝+＝＝．∴①③④正確．故答案為：①③④．（2）選①②判斷如下：①當(dāng)a，b，c皆為正數(shù)時(shí)，原式＝++＝++＝．故①正確．②當(dāng)a，b，c皆為負(fù)數(shù)時(shí)，0，無(wú)意義，∴②錯(cuò)誤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的性質(zhì)和計(jì)算，掌握相關(guān)法則是求解本題的關(guān)鍵．45．（2022?平房區(qū)二模）計(jì)算﹣的結(jié)果是．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)與二次根式的乘除法法則，將原式化簡(jiǎn)即可．【解答】解：＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減和化簡(jiǎn)，而化簡(jiǎn)的關(guān)鍵在于分母有理化．一十三．二次根式的混合運(yùn)算（共6小題）46．（2022?河?xùn)|區(qū)模擬）計(jì)算的結(jié)果等于﹣1．【分析】先根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，最后求出答案即可．【解答】解：＝（2）2﹣32＝8﹣9＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式和二次根式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．47．（2022?西青區(qū)二模）計(jì)算（）（）的結(jié)果等于4．【分析】利用平方差公式計(jì)算．【解答】解：原式＝7﹣3＝4．故答案為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．48．（2022?藤縣一模）計(jì)算：（﹣3）×2+sin30°﹣（π﹣3）0．【分析】先根據(jù)有理數(shù)的乘法，二次根式的乘法，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算，再算加減即可．【解答】解：（﹣3）×2+sin30°﹣（π﹣3）0＝﹣6+6+﹣1＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪等知識(shí)點(diǎn)，能正確根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值和二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．49．（2022?花溪區(qū)模擬）（1）計(jì)算：（﹣2022）0+（﹣1）﹣．（2）下面是小星同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程：＝……第一步＝……第二步＝……第三步＝……第四步＝……第五步根據(jù)上面化簡(jiǎn)過(guò)程，回答下列問(wèn)題：①以上化簡(jiǎn)步驟中，第三步進(jìn)行分式的通分，這一步的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)；②他化簡(jiǎn)的過(guò)程是從第四步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；③請(qǐng)完成該分式化簡(jiǎn)的正確過(guò)程，并就分式化簡(jiǎn)過(guò)程中應(yīng)注意的事項(xiàng)，給其他同學(xué)提一條建議．【分析】（1）利用零指數(shù)冪的意義，二次根式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）利用異分母分式的減法法則進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）原式＝1+﹣1﹣2＝﹣；（2）①以上化簡(jiǎn)步驟中，第三步進(jìn)行分式的通分，這一步的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)；故答案為：三；分式的基本性質(zhì)；②他化簡(jiǎn)的過(guò)程是從第四步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；故答案為：四；③原式＝＝＝＝．進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，當(dāng)括號(hào)前面是“﹣”時(shí)，去掉括號(hào)后括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都變號(hào)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪的意義，二次根式的性質(zhì)，分式的減法，正確利用上述法則與性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．50．（2022?賽罕區(qū)校級(jí)模擬）（1）計(jì)算：．（2）如圖，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上，它們對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣2，，且點(diǎn)A、B到原點(diǎn)的距離相等．求x的值．【分析】（1）二次根式的混合運(yùn)算與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減；（2）根據(jù)點(diǎn)A、B到原點(diǎn)的距離相等，得|﹣2|＝||，再根據(jù)絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)有兩種關(guān)系，分別計(jì)算，注意要檢驗(yàn)．【解答】解：（1）原式＝4﹣4﹣×+2＝1；（2）∵點(diǎn)A、B到原點(diǎn)的距離相等，∴|﹣2|＝||，∴＝2或＝﹣2，∴x＝﹣2或x＝，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣2或x＝都是原方程的解，∴x＝﹣2或x＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算、實(shí)數(shù)與數(shù)軸、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、解分式方程、特殊角的三角函數(shù)值，掌握這些知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，其中絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)有兩種關(guān)系是解題關(guān)鍵．51．（2022?崆峒區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：﹣16+×cos45°﹣20170+3﹣1．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)求出答案．【解答】解：﹣16×cos45°﹣20170+3﹣1＝﹣1+2×﹣1+＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算以及零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．一十四．二次根式的化簡(jiǎn)求值（共1小題）52．（2022?雄縣一模）已知，．則（1）x2+y2＝14．（2）（x﹣y）2﹣xy＝11．【分析】（1）先分母有理化求出x，再去求x﹣y和xy的值，根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，最后代入求出答案即可；（2）把x﹣y＝﹣2，xy＝1代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x＝＝＝2﹣，y＝2+，∴x﹣y＝（2﹣）﹣（2+）＝﹣2，xy＝（2﹣）×（2+）＝4﹣3＝1，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝12+2＝14，故答案為：14；（2）由（1）知：x﹣y＝﹣2，xy＝1，所以（x﹣y）2﹣xy＝（﹣2）2﹣1＝12﹣1＝11，故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化和完全平方公式等知識(shí)點(diǎn)，能求出x﹣y和xy的值是解此題的關(guān)鍵，注