專題16 軸對(duì)稱綜合題（幾何變換） 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專題16軸對(duì)稱綜合題（幾何變換）考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________評(píng)卷人得分一、選擇題(共10題，每題2分，共20分)1．(本題2分)（2022春·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，是直線外兩點(diǎn)，在上求作一點(diǎn)，使最小，其作法是（

）A．連接并延長(zhǎng)與的交點(diǎn)為B．連接，并作線段的垂直平分線與的交點(diǎn)為C．過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂線與的交點(diǎn)為D．過(guò)點(diǎn)作的垂線段，是垂足，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，再連接，則與的交點(diǎn)為．【答案】D【思路點(diǎn)撥】利用兩點(diǎn)之間線段最短求最短時(shí)的位置，則需要作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接對(duì)稱點(diǎn)及B點(diǎn)即可【規(guī)范解答】通過(guò)軸對(duì)稱的性質(zhì)作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，再連接，利用兩點(diǎn)之間線段最短的原理得到與的交點(diǎn)為故選D【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，理解將軍飲馬模型并運(yùn)用軸對(duì)稱解題是關(guān)鍵．2．(本題2分)（2021秋·山東威海·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，，平分交于點(diǎn)，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】作點(diǎn)F關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接CF′交AD于點(diǎn)E′，連接EF′，得到≥CF′，結(jié)合點(diǎn)與直線上的所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短，即可求解．【規(guī)范解答】作點(diǎn)F關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接CF′交AD于點(diǎn)E′，連接EF′，∵平分交于點(diǎn)，∴點(diǎn)F′在AB上，∴≥CF′，在中，當(dāng)CF′⊥AB時(shí)，CF′的值最小，此時(shí)，CF′==，∴的最小值為，故選D【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查軸對(duì)稱與兩線段和的最小值問(wèn)題，熟練掌握“馬飲水”模型，是解題的關(guān)鍵．3．(本題2分)（2020春·福建泉州·七年級(jí)校考期中）如圖，∠AOB＝45°，點(diǎn)M、N分別在射線OA、OB上，MN＝6，△OMN的面積為12，P是直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱點(diǎn)為P2，當(dāng)點(diǎn)P在直線NM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OP1P2的面積最小值為（）A．6 B．8 C．12 D．18【答案】B【思路點(diǎn)撥】連接OP，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥NM交NM的延長(zhǎng)線于H．首先利用三角形的面積公式求出OH，再證明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小時(shí)，△OP1P2的面積最?。疽?guī)范解答】解：連接OP，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥NM交NM的延長(zhǎng)線于H．∵S△OMN＝?MN?OH＝12，MN＝6，∴OH＝4，∵點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱點(diǎn)為P2，∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，∴△OP1P2是等腰直角三角形，∴OP＝OP1最小時(shí)，△OP1P2的面積最小，根據(jù)垂線段最短可知，OP的最小值為4，∴△OP1P2的面積的最小值＝×4×4＝8，故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查軸對(duì)稱，三角形的面積，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△OP1P2是等腰直角三角形，屬于中考?？碱}型．4．(本題2分)（2021秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，一條筆直的河L，牧馬人從P地出發(fā),到河邊M處飲馬，然后到Q地，現(xiàn)有如下四種方案，可使牧馬人所走路徑最短的是（

）A．B．C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】用對(duì)稱的性質(zhì)，通過(guò)等線段代換，將所求路線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離；以及垂線段最短求解．【規(guī)范解答】作點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接QP′交直線l于M．如圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)B使牧馬人所走路徑最短．故選D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問(wèn)題．這類問(wèn)題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．5．(本題2分)（2021春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形的面積為9，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一點(diǎn)，使的和最小，則這個(gè)最小值為（

）A．3 B．6 C．9 D．4【答案】A【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)題意連接BD，再結(jié)合題意當(dāng)P、B、E三點(diǎn)在一條直線上是的和最小，因此可求得最小值.【規(guī)范解答】解：正方形的面積為9，是等邊三角形連接PB，則PB=PD那么=PB+PE因此當(dāng)P、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，的和最小也就是=PB+PE=BE=AB=3故選A.【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查軸對(duì)稱,最短路問(wèn)題,關(guān)鍵在于由兩點(diǎn)之間線段最短再結(jié)合題意求解即可.6．(本題2分)（2019春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=2，ON=6，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是（

）.A．2 B． C．20 D．2【答案】A【思路點(diǎn)撥】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′，即為MP＋PQ＋QN的最小值；證出△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，得出∠N′OM′＝90°，由勾股定理求出M′N′即可．【規(guī)范解答】解：作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，如圖所示：連接M′N′，即為MP＋PQ＋QN的最小值．根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′＝90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′＝．故選A．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了軸對(duì)稱－－最短路徑問(wèn)題，根據(jù)軸對(duì)稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵.7．(本題2分)（2022秋·山東東營(yíng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB內(nèi)一點(diǎn)P，P1，P2分別是P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)，P1P2交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．若△PMN的周長(zhǎng)是5cm，則P1P2的長(zhǎng)為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】B【思路點(diǎn)撥】對(duì)稱軸就是兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)連線的垂直平分線，由垂直平分線的性質(zhì)可得=,=，所以=++=5cm.【規(guī)范解答】∵與關(guān)于對(duì)稱，∴為線段的垂直平分線，∴=，同理，與關(guān)于OB對(duì)稱，∴OB為線段的垂直平分線，∴=，∵△的周長(zhǎng)為5cm．∴=++=++=5cm，故選B【考點(diǎn)評(píng)析】對(duì)稱軸是對(duì)稱點(diǎn)的連線垂直平分線，再利用垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.8．(本題2分)（2022秋·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格圖中選擇一個(gè)格子涂陰影，使得整個(gè)圖形是以虛線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，則把陰影凃在圖中標(biāo)有數(shù)字（）的格子內(nèi)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【思路點(diǎn)撥】從陰影部分圖形的各頂點(diǎn)向虛線作垂線并延長(zhǎng)相同的距離找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接各點(diǎn)可得答案.【規(guī)范解答】如圖所示，把陰影涂在圖中標(biāo)有數(shù)字3的格子內(nèi)所組成的圖形是軸對(duì)稱圖形.故選：.【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是作簡(jiǎn)單平面圖形軸對(duì)稱后的圖形，其依據(jù)是軸對(duì)稱的性質(zhì)，基本作法：①先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；②利用軸對(duì)稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；③按原圖形中的方式順次連接對(duì)稱點(diǎn).9．(本題2分)（2021秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上的任一點(diǎn)，則AP＋BP的最小值是（

）A．5 B．4 C．3 D．7【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，AP+BP有最小值．【規(guī)范解答】解：連接PC．∵EF是BC的垂直平分線，∴BP=PC．∴PA+BP=AP+PC．∴當(dāng)點(diǎn)A，P，C在一條直線上時(shí)，PA+BP有最小值，最小值=AC=4．故選B．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，明確點(diǎn)A、P、C在一條直線上時(shí)，AP+PB有最小值是解題的關(guān)鍵．10．(本題2分)（2021春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（）．A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【思路點(diǎn)撥】要使的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出點(diǎn)A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)G和點(diǎn)H，即可得出，，根據(jù)的內(nèi)角和為，可得出；再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為可知，，即，建立方程組，可得到的度數(shù)，即可得出答案．【規(guī)范解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線BC和直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G和H，連接GH，交BC、CD于點(diǎn)E、F，連接AE、AF，則此時(shí)△AEF的周長(zhǎng)最小，∵四邊形的內(nèi)角和為，∴，即①，由作圖可知：，，∵的內(nèi)角和為，∴②，方程①和②聯(lián)立方程組，解得．故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查軸對(duì)稱變換、最短路線問(wèn)題，涉及到平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和及垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出E、F的位置是解題關(guān)鍵．評(píng)卷人得分二、填空題(共8題，每題2分，共16分)11．(本題2分)（2021春·四川成都·七年級(jí)校考期中）如圖，在中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是線段、上一動(dòng)點(diǎn)，且，，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平分，得出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在角平分線上，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，可得當(dāng)時(shí)，最短，即最小，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)，最短，即最小，∵，，∴，則的最小值為，故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．(本題2分)（2022春·山東濟(jì)南·七年級(jí)山東省濟(jì)南實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，AD為BC邊上的高線，且，點(diǎn)M為直線BC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且面積為的面積2倍，則當(dāng)最小時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)________°．【答案】45【規(guī)范解答】如圖，作過(guò)點(diǎn)的直線，使得，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，過(guò)點(diǎn)作，，，，中，AD為BC邊上的高線，面積為的面積2倍，，，根據(jù)平行線間的距離相等，可得，則，是等腰直角三角形，．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了三角形的高線，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的距離，軸對(duì)稱求線段和的最小值，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(本題2分)（2021春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，AC＝13，動(dòng)點(diǎn)M在線段AC上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)M關(guān)于邊AD，DC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M1，M2，連接M1M2，點(diǎn)D在M1M2上，則在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段M1M2長(zhǎng)度的最小值是_______．【答案】【思路點(diǎn)撥】過(guò)D作于，連接，根據(jù)題意可得，從而可以判定M1M2最小值為，即可求解．【規(guī)范解答】解：過(guò)D作于，連接，如圖：長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，AC＝13，∴∴，∵M(jìn)關(guān)于邊AD，DC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M1，M2，∴DM1＝DM＝DM2，∴，線段M1M2長(zhǎng)度最小即是DM長(zhǎng)度最小，此時(shí)DM⊥AC，即M與重合，M1M2最小值為．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值是解題的關(guān)鍵．14．(本題2分)（2020春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為內(nèi)部的已知點(diǎn)，連接，為上的點(diǎn)，為上的點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)的最小值與的長(zhǎng)度相等，的度數(shù)為_(kāi)__．【答案】30【思路點(diǎn)撥】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)A、B在CD上時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)為PA+AB+BP=CD，此時(shí)周長(zhǎng)最小，根據(jù)CD=OP可求出的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：作點(diǎn)P關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)C，關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交OM于A，交ON于B．此時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最?。B接OC，OD，PA，PB．∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OM對(duì)稱∴OM垂直平分PC∴∠COM=∠MOP，PA=CA，OC=OP同理，可得∠DON=∠NOP，PB=DB，OD=OP∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠MON∴∠COD=2∠MON又∵△PAB的周長(zhǎng)=PA+AB+BP=CA+AB+BD=CD=OP∴OC=OD=CD∴△COD是等邊三角形∴∠MON故答案為：30．【考點(diǎn)評(píng)析】此題找到點(diǎn)A和點(diǎn)B是的位置是解題的關(guān)鍵，要使△PAB的周長(zhǎng)最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決．15．(本題2分)（2019春·福建三明·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD是高，M，N分別是AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，△ABC的面積是15，則MN+MC的最小值是_____．【答案】5【思路點(diǎn)撥】首先過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，由AD是∠BAC的平分線，由垂線段最短得出MN=ME，MC+MN=CE的長(zhǎng)度，最后通過(guò)三角形面積公式即可求解.【規(guī)范解答】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N,∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形∴AD是∠BAC的平分線∴MN=ME，則此時(shí)MC+MN有最小值，即CE的長(zhǎng)度，【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查等腰三角形三線合一定理，三角形面積公式，垂線段最短，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵.16．(本題2分)（2020秋·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谀┤鐖D,點(diǎn)P是直線AC外的一點(diǎn),點(diǎn)D,E分別是AC,CB兩邊上的點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于CA的對(duì)稱點(diǎn)P1恰好落在線段ED上,P點(diǎn)關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)P2落在ED的延長(zhǎng)線上,若PE=2.5,PD=3,ED=4,則線段P1P2的長(zhǎng)為_(kāi)____.【答案】4.5【思路點(diǎn)撥】利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出PE=EP1，PD=DP2，進(jìn)而利用DE=4cm，得出P1D的長(zhǎng)，即可得出P1P2的長(zhǎng)．【規(guī)范解答】∵點(diǎn)P關(guān)于CA的對(duì)稱點(diǎn)P1恰好落在線段ED上,P點(diǎn)關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)P2落在ED的延長(zhǎng)線上，∴PE=EP1,PD=DP2，∵PE=2.5cm，PD=3cm，DE=4cm，∴P2D=3cm,EP1=2.5cm，即DP1=DE?EP1=4?2.5=1.5(cm)，則線段P1P2的長(zhǎng)為：P1D+DP2=1.5+3=4.5(cm).故答案為4.5.【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查線段的長(zhǎng)度求解，解題的關(guān)鍵是熟知軸對(duì)稱的性質(zhì).17．(本題2分)（2019春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD的一角沿EF折疊，使點(diǎn)C落在長(zhǎng)方形ABCD的內(nèi)部點(diǎn)C′處．若∠EFC＝35°，則∠DEC′＝________°.【答案】70【思路點(diǎn)撥】根據(jù)折疊前后角相等可知．【規(guī)范解答】∵長(zhǎng)方形紙片ABCD的一角沿EF折疊，使點(diǎn)C落在長(zhǎng)方形ABCD的內(nèi)部點(diǎn)C′處,∠EFC＝35°，∴∠CEF=∠C′EF=90°-35°=55°，∴∠DEC'=180°-110°=70°．故答案是：70.【考點(diǎn)評(píng)析】考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．18．(本題2分)（2020秋·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長(zhǎng)為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為_(kāi)____cm（杯壁厚度不計(jì)）．【答案】20【規(guī)范解答】分析：將杯子側(cè)面展開(kāi)，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求．詳解：如圖：將杯子側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B=（cm）．故答案為20．點(diǎn)睛：本題考查了平面展開(kāi)---最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．評(píng)卷人得分三、解答題(共64分)19．(本題6分)（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如圖點(diǎn)、、、、、均為格點(diǎn)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖（畫(huà)圖過(guò)程用虛線，結(jié)果用實(shí)線）(1)如圖，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線；(2)如圖，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，作出當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)位置；(3)如圖，在線段上找一點(diǎn)不與點(diǎn)重合，使得．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【思路點(diǎn)撥】（1）取格點(diǎn)D，作直線CD即可；（2）作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接DC′交AB于點(diǎn)M，連接CM，點(diǎn)M即為所求；（3）取格點(diǎn)J，M，N，連接EJ交AB于點(diǎn)K，連接MN交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．【規(guī)范解答】（1）如圖中，直線即為所求；（2）如圖中，點(diǎn)即為所求；（3）如圖中，點(diǎn)即為所求．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．20．(本題8分)（2022春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均為邊長(zhǎng)是1的正方形）中完成下列各題：(1)畫(huà)出格點(diǎn)ABC（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）關(guān)于直線DE對(duì)稱的A1B1C1；(2)求A1B1C1的面積；(3)在DE上畫(huà)出點(diǎn)P，使PB+PC最小．（保留作圖痕跡）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．（2）利用割補(bǔ)法求三角形的面積．（3）關(guān)于DE作點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'B，交DE于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P即為所求．【規(guī)范解答】（1）如圖所示，（2），∴△A1B1C1的面積為；（3）如圖所示，關(guān)于DE作點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'B，交DE于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P即為所求．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了畫(huà)軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱線的性質(zhì)求線段和的最小值，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．(本題10分)（2022春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，和的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且和關(guān)于直線成軸對(duì)稱．(1)直接寫(xiě)出的面積；(2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中作出對(duì)稱軸直線；(3)請(qǐng)?jiān)谥本€上作一點(diǎn)，使得最小．保留必要的作圖痕跡【答案】(1)5(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【思路點(diǎn)撥】（1）利用割補(bǔ)法，用一個(gè)正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積即可求解；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)作的垂直平分線即可得到對(duì)稱軸；（3）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．（1）的面積；（2）如圖，直線為所作；（3）如圖，點(diǎn)為所作．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了作圖-軸對(duì)稱變換，割補(bǔ)法求面積，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．22．(本題10分)（2021秋·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，和關(guān)于直線對(duì)稱，和關(guān)于直線對(duì)稱．（1）畫(huà)出直線；（2）直線與相交于點(diǎn)O，試探究與直線、所夾銳角的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【思路點(diǎn)撥】（1）找到并連接關(guān)鍵點(diǎn)，作出關(guān)鍵點(diǎn)的連線的垂直平分線；（2）根據(jù)對(duì)稱找到相等的角，然后進(jìn)行推理．【規(guī)范解答】解：（1）如圖，連接．作線段的垂直平分線．則直線是和的對(duì)稱軸；（2）如圖，連接．∵和關(guān)于直線對(duì)稱，∴．又∵和關(guān)于直線對(duì)稱，∴．∴，即．【考點(diǎn)評(píng)析】解答此題要明確軸對(duì)稱的性質(zhì)：1．對(duì)稱軸是一條直線．2．垂直并且平分一條線段的直線稱為這條線段的垂直平分線，或中垂線．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．3．在軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸兩側(cè)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸兩側(cè)的距離相等．4．在軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸把圖形分成完全相等的兩份．5．如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．23．(本題10分)（2019春·遼寧遼陽(yáng)·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．（1）若∠B=70°，則∠NMA的度數(shù)是________．（2）連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長(zhǎng)是14cm．①求BC的長(zhǎng)；②在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使由P，B，C構(gòu)成的△PBC的周長(zhǎng)值最小？若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求△PBC的周長(zhǎng)最小值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）①；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，最小值是【思路點(diǎn)撥】（1）△ABC為等腰三角形，∠B為底角，則可求頂角∠A，MN是AB的垂直平分線，可知∠A+∠AMN=90゜，求出∠AMN即可，（2）①由垂直平分可知，可證C△NBC等于AC+BC即可，②過(guò)點(diǎn)C作點(diǎn)C關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C′，連結(jié)BC′，交MN恰好M，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，三角形PBC的周長(zhǎng)最短，求出即可．【規(guī)范解答】解：（1）AB=AC，∠B=70゜，∴∠C=∠B=70゜,∠A=180゜-2∠B=40゜,∵M(jìn)N⊥AB，∴∠NMA+∠A=90゜，∴∠NMA=50゜，（2）①如圖∵垂直平分∴，∵∴，∴．②如下圖，過(guò)點(diǎn)C作點(diǎn)C關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C′，連結(jié)BC′，交MN恰好M，由對(duì)稱性AB與BC′交點(diǎn)在MN上，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值最小，最小值是，此時(shí)三角形PBC的周長(zhǎng)=三角形BMC的周長(zhǎng)=BC+BM+CM=BC+AM+CM=BC+AB=14cm．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查已知等腰三角形底角，求腰中垂線與另一斜邊的夾角，以及三角形周長(zhǎng)最短問(wèn)題，掌握作點(diǎn)C關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)BC′與AC交于M，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)是解題的關(guān)鍵．24．(本題10分)（2021春·重慶南岸·七年級(jí)統(tǒng)考期末）要在一條筆直的公路l邊上建一個(gè)快遞配送點(diǎn)，方便為同側(cè)的A，B兩個(gè)居民小區(qū)發(fā)送快件．（1）試確定快遞配送點(diǎn)P的位置，使它分別到A，B的兩個(gè)居民小區(qū)的距離相等，請(qǐng)?jiān)谌鐖D中，畫(huà)出點(diǎn)P的大致位置；（2）試確定快遞配送點(diǎn)M的位置，使它到A，B的兩個(gè)居民小區(qū)的距離之和最短．請(qǐng)?jiān)谌鐖D中畫(huà)出點(diǎn)M的大致位置；（3）如圖，D是內(nèi)一點(diǎn)，連接．延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．∵在中，①，在中，②；∴①＋②得；∴．如果在A，B兩個(gè)居民區(qū)之間規(guī)劃一個(gè)正方形生態(tài)保護(hù)區(qū)，送快件的路線不能穿過(guò)該區(qū)域．請(qǐng)同學(xué)們用以上這個(gè)結(jié)論，在圖中畫(huà)出快遞配送點(diǎn)Q的大致位置，使得它到兩個(gè)居民小區(qū)路程之和最短．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)線段垂直平分線點(diǎn)性質(zhì)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，作AB的垂直平分線，與l的交點(diǎn)即為所求；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A1，連接BA1與l的交點(diǎn)Q即為所求；（3）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A2，連接DA2，BD，DA2與l交于點(diǎn)Q，由已知可得QE+BE＞QD+BD，可得QD+BD是點(diǎn)B到點(diǎn)Q的最短距離，點(diǎn)Q即為所求．【規(guī)范解答】（1）如圖，點(diǎn)P即為所求：（2）如圖，點(diǎn)M即為所求：（3）如圖，點(diǎn)Q即為所求：【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查軸對(duì)稱——最短路徑，熟練掌握軸對(duì)稱性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25．(本題10分)（2022秋·浙江·七年級(jí)期末）【定義】如圖1