2024年八省八校（T8聯(lián)考）高考數(shù)學第二次質檢試卷【含答案】

第1頁（共1頁）2024年八省八校（T8聯(lián)考）高考數(shù)學第二次質檢試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）（2024?T8聯(lián)考模擬）已知集合，則A∩B＝（）A．（﹣2，2） B．[﹣2，2） C．（﹣2，2] D．[﹣2，2]2．（3分）（2024?T8聯(lián)考模擬）復數(shù)z＝a+bi（a≠0，a，b∈R）滿足（1﹣i）z為純虛數(shù)，則（）A．a+b＝0 B．a﹣b＝0 C．a+2b＝0 D．a﹣2b＝03．（3分）（2024?T8聯(lián)考模擬）樣本數(shù)據(jù)5，7，4，6，12，10，11，9的第70百分位數(shù)次為（）A．7 B．9 C．9.5 D．104．（3分）（2024?T8聯(lián)考模擬）若成等比數(shù)列，則公比為（）A．﹣2 B．﹣3 C． D．25．（3分）（2024?T8聯(lián)考模擬）甲、乙、丙、丁、戊5位同學報名參加學校舉辦的三項不同活動，每人只能報其中一項活動，每項活動至少有一個人參加，則甲、乙、丙三位同學所報活動各不相同的概率為（）A． B． C． D．6．（3分）（2024?T8聯(lián)考模擬）在△ABC中，，則sinC＝（）A． B． C． D．17．（3分）（2024?陽泉三模）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，P為線段C1D1上的動點，則三棱錐P﹣BCD外接球半徑的取值范圍為（）A． B． C． D．8．（3分）（2024?T8聯(lián)考模擬）已知拋物線C的方程為為其焦點，點N坐標為（0，﹣4），過點F作直線交拋物線C于A，B兩點，D是x軸上一點，且滿足|DA|＝|DB|＝|DN|，則直線AB的斜率為（）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在毎小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．（多選）9．（6分）（2024?T8聯(lián)考模擬）已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A．若n＝1，且f1（a）+f1（b）＝0，則ab＝1 B．若n＝2，且f2（a）+f2（b）＝0，則ab＝1 C．fn（x）是偶函數(shù) D．fn（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增（多選）10．（6分）（2024?T8聯(lián)考模擬）已知O為坐標原點，點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），α≠β．若點C滿足|OC|＝1，OC⊥AB，則下列判斷錯誤的是（）A． B．△AOB面積的最大值為 C． D．（多選）11．（6分）（2024?T8聯(lián)考模擬）已知正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，M是AA′中點，P是AB的中點，點N滿足，平面MPN截該正方體，將其分成兩部分，設這兩部分的體積分別為V1，V2，則下列判斷正確的是（）A．時，截面面積為 B．時，V1＝V2 C．|V1﹣V2|隨著λ的增大先減小后增大 D．|V1﹣V2|的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）（2024?寶雞模擬）y＝kx+b是在（1，0）處的切線方程，則b＝．13．（5分）（2024?T8聯(lián)考模擬）1675年，卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)了卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡．已知點F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），動點P滿足|PF1|?|PF2|＝6，則△PF1F2面積的最大值為．14．（5分）（2024?T8聯(lián)考模擬）已知x1，x2是實數(shù)，滿足，當|x1|取得最大值時，|x1+x2|＝．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（25分）（2024?T8聯(lián)考模擬）設數(shù)列{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn，a3+a7＝22，S10＝120．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設的前n項和為Tn，求Tn．16．（15分）（2024?T8聯(lián)考模擬）乒乓球（tabletennis），被稱為中國的“國球”，是一種世界流行的球類體育項目．已知某次乒乓球比賽單局賽制為：兩球換發(fā)制，每人發(fā)兩個球，然后由對方發(fā)球，先得11分者獲勝．（1）若單局比賽中，甲發(fā)球時獲勝的概率為，甲接球時獲勝的概率為，甲先發(fā)球，求單局比賽中甲11：2獲勝的概率；（2）若比賽采用三局兩勝制（當一隊贏得兩場勝利時，該隊獲勝，比賽結束），每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽結果相互獨立，記X為比賽結束時的總局數(shù)，求X的期望．（參考數(shù)據(jù)66＝46656）17．（15分）（2024?T8聯(lián)考模擬）已知三棱錐P﹣ABC中，側面PAC是邊長為2的正三角形，AC＝2，BC＝4，AB＝2，，平面AEF與底面ABC的交線為直線l．（1）若BC⊥PC，證明：PC⊥AF；（2）若三棱錐P﹣ABC的體積為，Q為交線l上的動點，若直線PQ與平面AEF的夾角為α，求sinα的取值范圍．18．（21分）（2024?T8聯(lián)考模擬）已知雙曲線P的方程為，其中a＞2，D（x0，y0）（x0≥a，y0＞0）是雙曲線上一點，直線DB與雙曲線P的另一個交點為E，直線DC與雙曲線P的另一個交點為F，雙曲線P在點E，F(xiàn)處的兩條切線記為l1，l2，l1與l2交于點P，線段DP的中點為G，設直線DB，DC的斜率分別為k1，k2．（1）證明：；（2）求的值．19．（17分）（2024?T8聯(lián)考模擬）記A＝{l（x）|l（x）＝kx+m，k，m∈R}，若l0（x）∈A，滿足：對任意l（x）∈A，均有|f（x）﹣l（x）|≥|f（x）﹣l0（x）|，則稱l0（x）為函數(shù)f（x）在x∈[a，b]上“最接近”直線．已知函數(shù)g（x）＝2lnx﹣x2+3，x∈[r，s]．（1）若g（r）＝g（s）＝0，證明：對任意l（x）∈A，max|g（x）﹣l（x）|≥1；（2）若r＝1，s＝2，證明：g（x）在x∈[1，2]上的“最接近”直線為：，其中x0∈（1，2）且為二次方程2x2+（2ln2﹣3）x﹣2＝0的根．

2024年八省八校（T8聯(lián)考）高考數(shù)學第二次質檢試卷參考答案與試題解析題號12345678答案BADBCCCB一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【解答】解：A＝{x|﹣2≤x＜3}，B＝{x|x＜2}．所以A∩B＝[﹣2，2）．故選：B．2．【解答】解：∵（1﹣i）（a+bi）＝a+b+（b﹣a）i，（1﹣i）z為純虛數(shù)，∴a+b＝0．a≠b．故選：A．3．【解答】解：因為8×70%＝5.6，所以數(shù)據(jù)4，5，6，7，9，10，11，12的第70百分位數(shù)為10．故選：D．4．【解答】解：∵x，y，z成等比數(shù)列．∴xz＝y(tǒng)2，即（a+lnb）（a+2lnb）＝，∴a2+3alnb，∵b≠1，∴，∴公比為．故選：B．5．【解答】解：先將5名志愿者分成3組，第一類分法是3，1，1，第二類分法是2，2，1，再分配到三項活動中，總安排數(shù)為，而甲、乙、丙三位同學所報活動各不相同排列數(shù)為，所以所求概率為＝．故選：C．6．【解答】解：∵a2+c2﹣b2＝2accosB，又b2+c2﹣a2＝2bccosA，∴兩式相減，得2a2﹣2b2＝2accosB﹣2bccosA＝﹣c2，∴2acosB﹣2bcosA＝﹣c，又sin（B﹣A）＝，∴由正弦定理可得2sinAcosB﹣2sinBcosA＝﹣2sin（B﹣A）＝﹣sinC，∴．故選：C．7．【解答】解：如圖，連接AC，交BD于點E，易多E為△BCD的外心，連接A1C1，B1D1．交于點F，易知EF⊥平面BCD，∴三棱錐P﹣BCD的外接球球心O在EF上．設△PCD的外接圓圓心為O′，∴OO′⊥平面PCD，且OO′＝1．設△PCD的外接圓半徑為r．三棱錐P﹣BCD的外接球半徑為R．∴R2＝1+r2．設PC1＝x，x∈[0，2]．∴，又，∴＝，∴．設f（x）＝（x2﹣4x+8）（x2+4），所以f′（x）＝4（x3﹣3x2+6x﹣4），設g（x）＝f′（x）．則g′（x）＝12（x2﹣2x+2）＞0．又f′（1）＝0，∴易知f（x）∈[25，32]．∴，∴．故選：C．8．【解答】解：設A（x1，y1），B（x2，y2），D（a，0），設直線AB方程為：y＝kx+1，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得：x2﹣4kx﹣4＝0，∴x1x2＝﹣4，又，故A，B在以D為圓心，為半徑的圓上，∴A（x1，y1），B（x2，y2）是方程x2+y2﹣2ax﹣16＝0的解．將y＝kx+1代入該方程，得（1+k2）x2+（2k﹣2a）x﹣15＝0．∴．∴，即．故選：B．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在毎小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，若n＝1，則f（x）＝，若f1（a）+f1（b）＝0，即+＝＝0，必有ab＝1，A正確；對于B，若n＝2，則f2（x）＝，f2（a）+f2（b）＝0，即+＝0，變形可得：+＝0，則有ab＝1或ab＝﹣1，B錯誤；對于C，當n為奇數(shù)時，fn（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，C錯誤；對于D，fn（x）＝＝﹣﹣1，在區(qū)間（1，+∞）上，y＝xn﹣1為增函數(shù)，則fn（x）＝＝﹣﹣1在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，D正確．故選：AD．10．【解答】解：因為|OC|＝1，OC⊥AB，則點C在劣弧上或者在優(yōu)弧上．則或者，故A錯誤；，故B正確；取，，則，故C錯誤；當點C在劣弧上時，，當點C在優(yōu)弧上時，，故D錯誤．故選：ACD．11．【解答】解：如圖1，當時，截面為正六邊形，且邊長為，故截面面積為＝選項錯誤；由對稱性可知．當時，平面分兩部分體積相等，B選項正確；如圖2．當λ從0變化到1時，截面從四邊形MD′CP變化至五邊形MPJC′Q（其中J為BC靠近B點的三等分點），∴被截面所分兩部分體積之差的絕對值先減小至0，再逐漸增大，故C選項正確；∴|V1﹣V2|取最大值時對應為λ＝0，或λ＝1時情形，計算可知λ＝0時，時，，∴|V1﹣V2|的最大值為，故D選項正確．故選BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．【解答】解：函數(shù)的導數(shù)為y′＝，可得函數(shù)y＝在（1，0）處的切線斜率為1，則k＝1，1+b＝0，解得b＝﹣1．故答案為：﹣1．13．【解答】解：∵|PF1|?|PF2|＝6，|F1F2|＝4，由余弦定理得，＝﹣，當且僅當時取等號．∴sin∠F1PF2∈[0，1]，∴△PF1F2面積．故答案為：3．14．【解答】解：∵．∴，∴，∴|x1|≤4，當且僅當，即或時，等號成立，∴當|x1|取得最大值時，|x1+x2|＝|4+1|＝5．故答案為：5．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．【解答】解：（1）∵a3+a7＝22，S10＝120，∴，解得，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝3+（n﹣1）×2＝2n+1；（2），∴＝．16．【解答】（1）因為甲先發(fā)球，且甲11：2獲勝，所以一共有13局比賽，最后1次由甲發(fā)球，且最后一次甲贏，前12局，甲發(fā)球6次，乙發(fā)球6次，乙共獲勝2次，所以單局比賽中甲11：2獲勝的概率為＝；（2）由題意得X的取值為2，3，，，所以X的期望為．17．【解答】（1）證明：因為，即E，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點，所以EF∥BC，因為BC⊥PC，所以EF⊥PC，因為△PAC為等邊三角形，E為PC中點，所以PC⊥AE，又EF∩AE＝E，EF，AE?平面AEF，所以PC⊥平面AEF，因為AF?平面AEF，即證得：PC⊥AF；（2）解：如圖，在底面ABC內，過點A作BC的平行線，即面AEF與底面ABC的交線l，由題意可得AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，故底面△ABC的面積為，設底面△ABC上的高為h，則，于是，因為側面PAC是邊長為2的正三角形，取AC中點D，連接PD，則，從而PD⊥平面ABC，取AB中點M，連接DM，則DM⊥AC，以點D為坐標原點DA，DM，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則，，所以＝（1，y，﹣），＝（﹣，0，），＝（0，2，0），設平面AEF的一個法向量為＝（x0，y0，1），則，即，解得x0＝，y0＝0，即＝（，0，1），所以?＝﹣＝﹣，||＝＝，||＝＝，可得cos＜?＞＝＝＝﹣，因為直線PQ與平面AEF的夾角為α，α∈[0，]，所以sinα＝|cos＜?＞|＝≤，所以sinα∈（0，]．18．【解答】（1）證明：B（﹣a，0），C（a，0），D（x0，y0），直線DB，DC的斜率分別為k1，k2，則，所以，又D（x0，y0）在雙曲線上，雙曲線P的方程為，所以，所以，由x0≥a可知：；（2）解：設E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），設直線l1，l2的斜率分別為k3，k4，故l1的方程為y﹣y1＝k3（x﹣x1），聯(lián)立方程：，整理可得：（1﹣4）x2+8（k3x1﹣y1）k3x﹣4（k3x1﹣y1）2﹣4＝0，由Δ＝0，即Δ＝64[（k3x1﹣y1）k3]2﹣4（1﹣4）[﹣4（k3x1﹣y1）2﹣4]＝0，整理可得（k3x1﹣y1）2（4+1﹣4）+1﹣4＝0，整理可得（4﹣）+2k3x1y1﹣﹣1＝0，可得k3＝＝，又因為4﹣＝﹣4，所以k3＝＝同理可得，消去y，可得，將k3，k4表達式代入方程，化簡整理可得，則，，聯(lián)立DB的方程與雙曲線的方程：，整理可得：，該方程兩根為y0，y1，由韋達定理可知：，同理可得，將y1，y2表達式代入xp中，化簡整理可得＝，再將，代入上式，化簡整理可得．所以點G的橫坐標xG＝＝0，所以OG⊥BC，故|GB|＝|GC|．所以．19．【解答】證明：（1）由題意，則當x∈（0，1）時，g'（x）＞0，g（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增；當x∈（1，+∞）時，g'（x）＜0，g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減．又g（r）＝g（s）＝0，∴0＜r＜1＜s．∴g（x）在區(qū)間[r，s]上的最大值為gmax（x）＝g（1）＝2，根據(jù)函數(shù)g（x）的圖象特點，可知對任意l（x）∈A，均有|g（x）﹣l（x）|≥（|g（r）﹣l（r）|，|g（s）﹣l（s）|，|g（1）﹣l（1）|}＝{|l（r）|，|l（s）|，|2﹣l（1）|}，下面討論|l（r）|，|l（s）|的大?。孩偃魘l（r）|，|l（s）|至少有一個大于等于1，則|g（x）﹣l（x）|≥1；②若|l（r）|，|l（s）|兩個都小于1，則l（r）＜1，l（s）＜1，因為l（x）是直線，故對任意x∈[r，s]，均有l(wèi)（x）＜1，∴l(xiāng)（1）＜1，從而：