熱力學(xué)統(tǒng)計物理-第四版-汪志誠-課后答案

第一章熱力學(xué)的根本規(guī)律

1.1試求理想氣體的體脹系數(shù)。，壓強系數(shù)萬和等溫壓縮系數(shù)/。

解：理想氣體的物態(tài)方程為

pV=nRT,(1)

由此易得

⑵

⑶

⑷

1.2證明任何一種具有兩個獨立參量「〃的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實驗測

得的體脹系數(shù)。及等溫區(qū)縮系數(shù)勺，根據(jù)下述積分求得：

如果a='，試求物態(tài)方程。

TP

解：以為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為

其全微分為

八償［”+償］dp.⑴

\^T)p［中"

全式除以V,有

根據(jù)體脹系數(shù)a和等溫區(qū)縮系數(shù)0的定義，可將上式改寫為

^-=adT-KTdp.⑵

上式是以「〃為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分，有

InV=j(adT-KTdp\⑶

假設(shè)r」，式⑶可表為

TP

f1,1,

InV=1~dT——dp.⑷

JP)

選擇圖示的積分路線，從（"，%）積分到（?！ā＃俜e分到（r,〃），相應(yīng)地體

積由匕最終變到丫，有

即

J^=^=c（常量），

T"

或

pV=CT.⑸

式（5）就是由所給。=二5二,求得的物態(tài)方程。確定常量C需要進(jìn)一步的

TP

實驗數(shù)據(jù)。

1.3在（）C和Ip.下，測得一銅塊的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分別為

。=4.85、10。1和0=7.8><10-7〃,「.0和0可近似看作常量，今使銅塊加熱至10C。

問：

但）壓強要增加多少p.才能使銅塊的體積維持不變？（b）假設(shè)壓強增加

100〃“，銅塊的體積改變多少？

解：3）根據(jù)1.2題式（2）,有

^-=adT-Kdp.

T⑴

上式給出，在鄰近的兩個平衡態(tài)，系統(tǒng)的體積差村，溫度差”和壓強差即之

間的關(guān)系。如果系統(tǒng)的體積不變，切與“的關(guān)系為

dp=—dT.⑵

在a和0可以看作常量的情形下，將式（2）積分可得

P2-P\=—⑶

KT

將式（2）積分得到式（3）首先意味著，經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)等容過程后，系統(tǒng)在初態(tài)和

終態(tài)的壓強差和溫度差滿足式（3）。但是應(yīng)當(dāng)強調(diào)，只要初態(tài)化7；）和終態(tài)

（匕7；）是平衡態(tài)，兩態(tài)間的壓強差和溫度差就滿足式（3）。這是因為，平衡

狀態(tài)的狀態(tài)參量給定后，狀態(tài)函數(shù)就具有確定值，與系統(tǒng)到達(dá)該狀態(tài)的歷史無

關(guān)。此題討論的銅塊加熱的實際過程一般不會是準(zhǔn)靜態(tài)過程。在加熱過程中,

銅塊各處的溫度可以不等，銅塊與熱源可以存在溫差等等，但是只要銅塊的初

態(tài)和終態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的壓強和溫度差就滿足式（3）。

將所給數(shù)據(jù)代入，可得

因此，將銅塊由0C加熱到10C,要使銅塊體積保持不變，壓強要增強622〃“

（b）L2題式（4）可改寫為

^-=a（T2-T^-K.l\p2-（4）

將所給數(shù)據(jù)代入，有

因此，將銅塊由0C加熱至10C,壓強由lp〃增加100〃“，銅塊體積將增加原體

積的407X10T倍。

1.4簡單固體和液體的體脹系數(shù)。和等溫壓縮系數(shù)小數(shù)值都很小，在一定

溫度范圍內(nèi)可以把。和右看作常量.試證明簡單固體和液體的物態(tài)方程可近

似為

解：以7,〃為狀態(tài)參量，物質(zhì)的物態(tài)方程為

根據(jù)習(xí)題L2式（2）,有

=adT-KTdp.（1）

將上式沿圖所示的路線求線積分，在a和?？梢钥醋鞒Ａ康那樾蜗?，有

心=。（7一"）-―（P-P。）,⑵

或

V（T,p）=V（TQ,a。）洌）.（3）

考慮到a和K7的數(shù)值很小，將指數(shù)函數(shù)展開，準(zhǔn)確到a和。的線性項，有

V（T,p）=V（%p0）［l+a（r一幻一.（p-po）］.（4）

如果取〃o=O，即有

V（T,p）=V（7；）,。尤+成丁—?；））—0〃］.⑸

1.5描述金屬絲的幾何參量是長度乙力學(xué)參量是張力J,物態(tài)方程是

實驗通常在1幾下進(jìn)行，其體積變化可以忽略。

線脹系數(shù)定義為

等溫楊氏模量定義為

其中A是金屬絲的截面積，一般來說，。和y是丁的函數(shù)，對/僅有微弱

的依賴關(guān)系，如果溫度變化范圍不大，可以看作常量，假設(shè)金屬絲兩端固定。

試證明，當(dāng)溫度由不降至八時，其張力的增加為

解：由物態(tài)方程

f",L,T)=O⑴

知偏導(dǎo)數(shù)間存在以下關(guān)系:

電］圖)⑵

所以，有

啰、=_m凹

\dT)XdL)T

=-La-Y(3)

L

=-aAY.

積分得

=-YAOC(T24).(4)

與L3題類似，上述結(jié)果不限于保持金屬絲長度不變的準(zhǔn)靜態(tài)冷卻過程，只要

金屬絲的初態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的張力差

就滿足式(4),與經(jīng)歷的過程無關(guān)。

1.6一理想彈性線的物態(tài)方程為

其中L是長度，品是張力/為零時的乙值，它只是溫度T的函數(shù)，b是常量.試

證明：

3)等溫?fù)P氏模量為

在張力為零時，力=空.其中A是彈性線的截面面積。

A

(b)線脹系數(shù)為

其中為=_Lg

。仃

(c)上述物態(tài)方程適用于橡皮帶,設(shè)丁=300K,Z?=1.33xlO-3NK-',

<,241

X=lxlO-m,a()=5xlO-K,試計算當(dāng)上分別為0.5,1.(),1.5和2.0時的人匕a值,

4

并畫出J,y,a對上的曲線.

解：(a)根據(jù)題設(shè)，理想彈性物質(zhì)的物態(tài)方程為

J=bTL馬⑴

由此可得等溫楊氏模量為

y=M旦i2MlbT(L

=-bT=一+⑵

AydLA4)+IT

張力為零時，L=^Y.=—.

A

(b)線脹系數(shù)的定義為

由鏈?zhǔn)疥P(guān)系知

a=-⑶

而

所以

L

-bT一?24()z?

iI：)dT_\d^1g

a=——⑷

LkdT7反+2

bT

(c)根據(jù)題給的數(shù)據(jù)，J,匕a對/的曲線分別如圖-2(a),(b),(c)

所示。

1.7抽成真空的小匣帶有活門，翻開活門讓氣體沖入，當(dāng)壓強到達(dá)外界壓

強P。時將活門關(guān)上，試證明：小匣內(nèi)的空氣在沒有與外界交換熱量之前，它的

內(nèi)能u與原來在大氣中的內(nèi)能〃之差為u-4尸〃。匕，其中匕是它原來在大氣中

的體積，假設(shè)氣體是理想氣體，求它的溫度與體積。

解：將沖入小匣的氣體看作系統(tǒng)。系統(tǒng)沖入小匣后的內(nèi)能U與其原來在大

氣中的內(nèi)能U。由式0

U-UQ=W+Q⑴

確定。由于過程進(jìn)行得很迅速，過程中系統(tǒng)與外界沒有熱量交換，。=0.過程

中外界對系統(tǒng)所做的功可以分為叱和區(qū)兩局部來考慮。一方面，大氣將系統(tǒng)

壓入小匣，使其在大氣中的體積由匕變?yōu)榱?。由于小匣很小，在將氣體壓入小

匣的過程中大氣壓強P。可以認(rèn)為沒有變化，即過程是等壓的(但不是準(zhǔn)靜態(tài)

的)。過程中大氣對系統(tǒng)所做的功為

另一方面，小厘既抽為真空，系統(tǒng)在沖入小匣的過程中不受外界阻力，與外界

也就沒有功交換，那么

因此式（1）可表為

u-u『pM.⑵

如果氣體是理想氣體，根據(jù)式（）和（），有

Po%=，iRT,（3）

Uo-U="T-T°）=—）⑷

7-I

式中〃是系統(tǒng)所含物質(zhì)的量。代入式（2）即有

T="o.⑸

活門是在系統(tǒng)的壓強到達(dá)P。時關(guān)上的，所以氣體在小匣內(nèi)的壓強也可看作“。,

其物態(tài)方程為

p（y=nRyT^.⑹

與式（3）比較，知

v=yVQ.⑺

1.8滿足〃的過程稱為多方過程，其中常數(shù)〃名為多方指數(shù)。試證明:

理想氣體在多方過程中的熱容量G為

解：根據(jù)式（1.6.1）,多方過程中的熱容量

⑴

對于理想氣體，內(nèi)能U只是溫度7的函數(shù),

所以

⑵

將多方過程的過程方程式與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去壓強〃可

得

7V〃T=G（常量）。⑶

將上式微分，有

所以

空〕二---.⑷

（打1（n-\）T

代入式（2）,即得

⑸

H-1

其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。

1.9試證明：理想氣體在某一過程中的熱容量,”如果是常數(shù)，該過程一定

是多方過程，多方指數(shù)〃=牝2。假設(shè)氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常

C「Cv

量。

解：根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有

4U=dQ+dW.⑴

對于準(zhǔn)靜態(tài)過程有

對理想氣體有

氣體在過程中吸收的熱量為

因此式（1）可表為

（C,-Cv）dT=pdV.（2）

用理想氣體的物態(tài)方程pV=vRT除上式，并注意Cp-C、,=i，R,可得

（C-G,）皇=（G-G）華.（3）

將理想氣體的物態(tài)方程全式求微分，有

殳十四二2（4）

pVT

式（3）與式（4）聯(lián)立，消去這，有

T

（C-cv）—+（cn-c）^-=o.⑸

pV

令〃=三冬，可將式（5）表為

c〃-G，

皿+=0.⑹

PV

如果Cp,Cy和Q都是常量，將上式積分即得

pVn=C（常量）。（7）

式（7）說明，過程是多方過程。

1.10聲波在氣體中的傳播速度為

假設(shè)氣體是理想氣體，其定壓和定容熱容量是常量，試證明氣體單位質(zhì)量的內(nèi)

能〃和焰〃可由聲速及/給出：

其中〃0，/?0為常量。

解：根據(jù)式(1.8.9),聲速。的平方為

c，=ypv,⑴

其中V是單位質(zhì)量的氣體體積。理想氣體的物態(tài)方程可表為

式中，〃是氣體的質(zhì)量，M是氣體的摩爾質(zhì)量。對于單位質(zhì)量的氣體，有

〃v=二環(huán)⑵

m

代入式m得

a2=^RT.(3)

以出〃表示理想氣體的比內(nèi)能和比焙(單位質(zhì)量的內(nèi)能和焰)。由式(1.7.10)

一(1.7.12)知

m+h='RT+%.(4)

y-1

將式(3)代入，即有

h=——十%.⑸

7-I

式(5)說明，如果氣體可以看作理想氣體，測定氣體中的聲速和/即可確定

氣體的比內(nèi)能和比焙。

1.11大氣溫度隨高度降低的主要原因是在對流層中的低處與高處之間空

氣不斷發(fā)生對流，由于氣壓隨高度而降低，空氣上升時膨脹，下降時收縮，空

氣的導(dǎo)熱率很小，膨脹和收縮的過程可以認(rèn)為是絕熱過程，試計算大氣溫

度隨高度的變化率四，并給出數(shù)值結(jié)果。

az

解：取z軸沿豎直方向(向上)。以p(z)和p(z+"z)分別表示在豎直高度為z

和z+a處的大氣壓強。二者之關(guān)等于兩個高度之間由大氣重量產(chǎn)生的壓強，

即

p(z)=p{z+dz)+p(z)gdz,(1)

式中O(z)是高度為z處的大氣密度，g是重力加速度。將p(z+dz)展開，有

代入式⑴,得

4P(z)=-p(z)g.(2)

式〔2〕給出由于重力的存在導(dǎo)致的大氣壓強隨高度的變化率。

以M表大氣的平均摩爾質(zhì)量。在高度為z處，大氣的摩爾體積為念

那么物態(tài)方程為

〃⑶會打⑶，⑶

7（z）是豎直高度為z處的溫度。代入式（2）,消去p（z）得

_P（z）.⑷

azRT（z）

由式（1.8.6）易得氣體在絕熱過程中溫度隨壓強的變化率為

包)JTT⑸

、前)sYP

綜合式（4）和式（5）,有

d?、

—T(z)=—p(z)=r-iMg⑹

dz?P)sdz八)rR

大氣的夕=1.411大氣的主要成分是氮和氧，都是雙原子分子），平均摩爾質(zhì)量

為〃廣=29x10，kg.mol",g=9.8ms”,代入式為）得

—T(z)=-10K.km-1.⑺

dz')

式（7）說明，每升高1km,溫度降低10K。這結(jié)果是粗略的。由于各種沒有

考慮的因素，實際每升高1km,大氣溫度降低6K左右。

1.12假設(shè)理想氣體的1和之比/是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程

中7和V的關(guān)系，該關(guān)系式中要用到一個函數(shù)網(wǎng)7）,其表達(dá)式為

解：根據(jù)式（），理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中滿足

C、,dT+pdV-0.⑴

用物態(tài)方程pV=〃RT除上式，第一項用〃RT除，第二項用除，可得

⑵

nRTV

利用式（）和（），

可將式（2）改定為

1(ITdV八

------------+—=0.

/-ITV

將，式積分，如果/是溫度的函數(shù)，定義

lnF（T）=f——,（4）

可得

In尸（T）+lnV二G（常量），⑸

或

F（T）V=C（常量）。（6）

式（6）給出當(dāng)/是溫度的函數(shù)時，理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程中7和V的關(guān)

系。

1.13利用上題的結(jié)果證明：當(dāng)/為溫度的函數(shù)時，理想氣體卡諾循環(huán)的

效率仍為〃=g.

解：在/是溫度的函數(shù)的情形下，§1.9就理想氣體卡諾循環(huán)得到的式

（1.9.4）—（1.9.6）仍然成立，即仍有

V/、

0=耐機⑴

。2=町皿匕，⑵

匕

W=Ql-Q2=RT^-RT2\n^.（3）

根據(jù)題式（6）,對于§中的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程（二）和（四），有

/（7；）%二R（項匕，（4）

尸區(qū)）匕=尸（力乙（5）

從這兩個方程消去尸（刀）和歹（篤），得

匕=±⑹

乂匕

故

卬二砍「4）1心⑺

所以在/是溫度的函數(shù)的情形下，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為

1.14試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相交。

解：假設(shè)在圖中兩條絕熱線交于。點，如下圖。設(shè)想一等溫線與

兩條絕熱線分別交于A點和8點（因為等溫線的斜率小于絕熱線的斜率，這樣

的等溫線總是存在的），那么在循環(huán)過程ABC4中，系統(tǒng)在等溫過程A3中從外

界吸取熱量Q,而在循環(huán)過程中對外做功W,其數(shù)值等于三條線所圍面積（正

值）。循環(huán)過程完成后，系統(tǒng)回到原來的狀態(tài)。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有

W=QO

這樣一來，系統(tǒng)在上述循環(huán)過程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣α耍?/p>

這違背了熱力學(xué)第二定律的開爾文說法，是不可能的。因此兩條絕熱線不可

能相交。

1.15熱機在循環(huán)中與多個熱源交換熱量，在熱機從其中吸收熱量的熱源

中，熱源的最高溫度為4,在熱機向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度

為北，試根據(jù)克氏不等式證明，熱機的效率不超過1-%.

一工

解：根據(jù)克勞修斯不等式（式（）），有

<0,⑴

式中0是熱機從溫度為Z的熱源吸取的熱量（吸熱0為正，放熱0為負(fù)）。將

熱量重新定義，可將式（1）改寫為

￡處_2嗎）,⑵

jT.一￡

式中0是熱機從熱源4吸取的熱量，Q是熱機在熱源￡放出的熱量，0,，0恒

正。將式（2）改寫為

y^<ya⑶

JTJ

假設(shè)熱機從其中吸取熱量的熱源中，熱源的最高溫度為7；,在熱機向其放出熱

量的熱源中，熱源的最低溫度為心，必有

故由式（3）得

⑷

定義為熱機在過程中吸取的總熱量，4=為熱機放出的總熱量，

那么式可表為"

⑸

或

4<0⑹

根據(jù)熱力學(xué)第一定律,熱機在循環(huán)過程中所做的功為

熱機的效率為

⑺

QG,7；

1.16理想氣體分別經(jīng)等壓過程和等容過程，溫度由7；升至假設(shè)了是

常數(shù)，試證明前者的端增加值為后者的產(chǎn)倍。

解：根據(jù)式（），理想氣體的燧函數(shù)可表達(dá)為

S=Cp\nT-nR\np4-So.（1）

在等壓過程中溫度由7；升到乙時，燧增加值與：,為

的,二。,,吟?⑵

根據(jù)式（1.15.8）,理想氣體的焰函數(shù)也可表達(dá)為

S=GlnT+〃RnV+S0.⑶

在等容過程中溫度由7；升到不時，燧增加值A(chǔ)Sy為

AS-=Gin2⑷

所以

⑸

ASVCv

1.17溫度為0C的1kg水與溫度為100C的恒溫?zé)嵩唇佑|后，水溫到達(dá)

100cO試分別求水和熱源的焙變以及整個系統(tǒng)的總病變。欲使參與過程的整

個系統(tǒng)的燧保持不變，應(yīng)如何使水溫從0C升至100C?水的比熱容為

4.18Jg，KT.

解：0C的水與溫度為100C的恒溫?zé)嵩唇佑|后水溫升為100C,這一過程

是不可逆過程。為求水、熱源和整個系統(tǒng)的燃變，可以設(shè)想一個可逆過程，它

使水和熱源分別產(chǎn)生原來不可逆過程中的同樣變化，通過設(shè)想的可逆過程來求

不可逆過程前后的燧變。

為求水的烯變，設(shè)想有一系列彼此溫差為無窮小的熱源，其溫度分布在0C

與100C之間。令水依次從這些熱源吸熱，使水溫由0C升至100C。在這可逆過

程中，水的焙變?yōu)?/p>

△S1o3X4.18XIn—=1304.6J-k-1.(1)

小=J273T=p273=273

水從()C升溫至100C所吸收的總熱量Q為

為求熱源的爆變，可令熱源向溫度為100C的另一熱源放出熱量。。在這

可逆過程中，熱源的病變?yōu)?/p>

△八源二-4J8X1°=-1120.6J-1.⑵

373

由于熱源的變化相同，式(2)給出的爆變也就是原來的不可逆過程中熱源的

炳變。那么整個系統(tǒng)的總端變?yōu)?/p>

水+AS熱源=184JKl⑶

為使水溫從0C升至100C而參與過程的整個系統(tǒng)的燧保持不變，應(yīng)令水與

溫度分布在0C與100C之間的一系列熱源吸熱c水的焙變AS水仍由式(1)給

出。這一系列熱源的婚變之和為

..373tncdT.,,、

△S熱源=-1=T304.6J-K-'.⑷

參與過程的整個系統(tǒng)的總端變?yōu)?/p>

遼總~蒞水+云熱源=。⑸

1.1810A的電流通過一個25。的電阻器，歷時1s。

(a)假設(shè)電阻器保持為室溫27C,試求電阻器的燧增加值。

(b)假設(shè)電阻器被一絕熱殼包裝起來，其初溫為27C,電阻器的質(zhì)量為

10g,比熱容金為0.84J.g，KL問電阻器的端增加值為多少？

解：但)以「〃為電阻器的狀態(tài)參量。設(shè)想過程是在大氣壓下進(jìn)行的，如

果電阻器的溫度也保持為室溫27c不變，那么電阻器的燧作為狀態(tài)函數(shù)也就保

持不變。

(b)如果電阻器被絕熱殼包裝起來，電流產(chǎn)生的焦耳熱。將全部被電阻器

吸收而使其溫度由工升為7；，所以有

故

電阻器的燧變可參照§1.17例二的方法求出，為

i.i9均勻桿的溫度一端為小另一端為乙，試計算到達(dá)均勻溫度#7；+?；）

后的嫡增。

解：以L表示桿的長度。桿的初始狀態(tài)是/=0端溫度為心，/=￡端溫度為

小溫度梯度為號（設(shè)（＞《）。這是一個非平衡狀態(tài)。通過均勻桿中的熱

傳導(dǎo)過程，最終到達(dá)具有均勻溫度夕7；+7；）的平衡狀態(tài)。為求這一過程的嫡變,

我們將桿分為長度為由的許多小段，如下圖。位于/到/+R的小段，初溫為

7=豈+豈/⑴

這小段由初溫丁變到終溫夕工+石）后的焙增加值為

⑵

其中%是均勻桿單位長度的定壓熱容量。

根據(jù)嫡的可加性，整個均勻桿的端增加值為

⑶

式中=是桿的定壓熱容量。

1.20-物質(zhì)固態(tài)的摩爾熱量為C,,液態(tài)的摩爾熱容量為G.假設(shè)G.和

G都可看作常量.在某一壓強下，該物質(zhì)的熔點為"，相變潛熱為求在溫

度為7；（7；v"）時，過冷液體與同溫度下固體的摩爾蠟差.假設(shè)過冷液體的摩爾

熱容量亦為G.

解：7;〃7；的固態(tài)，b態(tài)表示在熔點7；的固態(tài).b,a兩態(tài)的摩爾蠟差為（略去

摩爾燧S,”的下標(biāo)機不寫：

AsC$dTT{}r［）

以c態(tài)表示在熔點4的液相，c,b兩態(tài)的摩爾焙差為

3條⑵

以d態(tài)表示溫度為7；的過冷液態(tài)，d,C兩態(tài)的摩爾端差為

ASdc=Jr=CJn（3）

JT。TTo

燧是態(tài)函數(shù)，d,c兩態(tài)的摩爾烯差九為

平+C—G）吟⑷

2021

1.21物體的初溫7；,高于熱源的溫度7；,有一熱機在此物體與熱源之間

工作，直到將物體的溫度降低到乙為止，假設(shè)熱機從物體吸取的熱量為Q,試

根據(jù)增增加原理證明，此熱機所能輸出的最大功為

其中$-邑是物體的烯減少量。

解：以AS,，和AS,分別表示物體、熱機和熱源在過程前后的烯變。由燧

的相加性知，整個系統(tǒng)的焙變?yōu)?/p>

由于整個系統(tǒng)與外界是絕熱的，焙增加原理要求

AS=A\J+A5/,+A5<>0.⑴

以力邑分別表示物體在開始和終結(jié)狀態(tài)的燧，那么物體的婚變?yōu)?/p>

△s〃=s,-s.⑵

熱機經(jīng)歷的是循環(huán)過程，經(jīng)循環(huán)過程后熱機回到初始狀態(tài)，焙變?yōu)榱?，?/p>

A5,=0.[3)

以。表示熱機從物體吸取的熱量，0表示熱機在熱源放出的熱量，W表示熱機

對外所做的功。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有

所以熱源的燧變?yōu)?/p>

2:1⑷

T2T2

將式(2)—(4)代入式(1),即有

52-SI+-^>0.(5)

上式取等號時，熱機輸出的功最大，故

叱石(S-SJ⑹

式(6)相應(yīng)于所經(jīng)歷的過程是可逆過程。

1.22有兩個相同的物體，熱容量為常數(shù)，初始溫度同為7；。今令一制冷

機在這兩個物體間工作，使其中一個物體的溫度降低到《為止。假設(shè)物體維持

在定壓下，并且不發(fā)生相變。試根據(jù)熠增加原理證明，此過程所需的最小功為

解：制冷機在具有相同的初始溫度7；的兩個物體之間工作，將熱量從物

體2送到物體1,使物體2的溫度降至心為止。以7；表示物體1的終態(tài)溫度，勒

表示物體的定壓熱容量，那么物體1吸取的熱量為

Q=Cp（7；-7；）U）

物體2放出的熱量為

Q2s2）⑵

經(jīng)屢次循環(huán)后，制冷機接受外界的功為

W=Q-Q2=Cp（T^T2-2Ti）⑶

由此可知，對于給定的Z和4，7；愈低所需外界的功愈小。

用人’,八邑和A.，3分別表示過程終了后物體1,物體2和制冷機的爆變。由

端的相加性和幅增加原理知，整個系統(tǒng)的燧變?yōu)?/p>

AS=AS,+A52+AS3>0（4）

顯然

因此烯增加原理要求

TT

AS=Cln-^->0,⑸

°T2

或

⑹

對于給定的7；和心，最低的T為

代入（3）式即有

式（7）相應(yīng)于所經(jīng)歷的整個過程是可逆過程。

1.23簡單系統(tǒng)有兩個獨立參量。如果以7；S為獨立參量，可以以縱坐

標(biāo)表示溫度7,橫坐標(biāo)表示熠5,構(gòu)成圖。圖中的一點與系統(tǒng)的一個平衡

態(tài)相對應(yīng)，一條曲線與一個可逆過程相對應(yīng)。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過程

的曲線，并利用T-S圖求可逆卡諾循環(huán)的效率。

解：可逆卡諾循環(huán)包含兩個可逆等溫過程和兩個可逆絕熱過程。在7-S

圖上，等溫線是平行于7軸的直線?？赡娼^熱過程是等端過程，因此在T-S

圖上絕熱線是平行于S軸的直線。圖1-5在7-S圖上畫出了可逆卡諾循環(huán)的

四條直線。

（一）等溫膨脹過程

工作物質(zhì)經(jīng)等溫膨脹過程（溫度為工）由狀態(tài)I到達(dá)狀態(tài)II。由于工作物

質(zhì)在過程中吸收熱量，燧由H升為S?。吸收的熱量為

二((§2—Sj，⑴

。等于直線In下方的面積。

（二）絕熱膨脹過程

工作物質(zhì)由狀態(tài)n經(jīng)絕熱膨脹過程到達(dá)狀態(tài)用。過程中工作物質(zhì)內(nèi)能減少

并對外做功，其溫度由工下降為心，牖保持為反不變。

（三）等溫壓縮過程

工作物質(zhì)由狀態(tài)in經(jīng)等溫壓縮過程（溫度為T2）到達(dá)狀態(tài)IV。工作物質(zhì)在

過程中放出熱量，端由方變?yōu)閍，放出的熱量為

Q2=T2（S2-S^⑵

2等于直線mw下方的面積。

（四）絕熱壓縮過程

工作物質(zhì)由狀態(tài)IV經(jīng)絕熱壓縮過程回到狀態(tài)I。溫度由不升為小焙保持

為S1不變。

在循環(huán)過程中工作物質(zhì)所做的功為

w=Q-2,⑶

w等于矩形Ininw所包圍的面積。

可逆卡諾熱機的效率為

卬T0_]《⑸一$)=[4⑷

QQZG-SJ7；

上面的討論顯示，應(yīng)用T-S圖計算（可逆）卡諾循環(huán)的效率是非常方便的。

實際上T-S圖的應(yīng)用不限于卡諾循環(huán)。根據(jù)式（1.14.4）

dQ=TdS,15）

系統(tǒng)在可逆過程中吸收的熱量由積分

Q=[TdS⑹

給出。如果工作物質(zhì)經(jīng)歷了如圖中ABCDA的（可逆）循環(huán)過程,那么在過程ABC

中工作物質(zhì)吸收的熱量等于面積A6。￡尸，在過程CDA中工作物質(zhì)放出的熱量等

于面積AOCM,工作物質(zhì)所做的功等于閉合曲線A8CD4所包的面積。由此可

見（可逆）循環(huán)過程的熱功轉(zhuǎn)換效率可以直接從T-S圖中的面積讀出。在熱

工計算中7-S圖被廣泛使用。

補充題1Imol理想氣體，在27c的恒溫下體積發(fā)生膨脹，其壓強由20P“準(zhǔn)靜

態(tài)地降到Ip”，求氣體所作的功和所吸取的熱量。

解，將氣體的膨脹過程近似看作準(zhǔn)靜態(tài)過程。根據(jù)式（），在準(zhǔn)靜態(tài)等溫

過程中氣體體積由%膨脹到%,外界對氣體所做的功為

氣體所做的功是上式的負(fù)值，將題給數(shù)據(jù)代入，得

在等溫過程中理想氣體的內(nèi)能不變，即

根據(jù)熱力學(xué)第一定律(式())，氣體在過程中吸收的熱量Q為

補充題2在25c下，壓強在0至1000%之間，測得水的體積為

如果保持溫度不變，將1mol的水從1〃“加壓至1000求外界所作的功。

解：將題中給出的體積與壓強關(guān)系記為

2

V=a+bp+cpy11)

由此易得

dV=S+2cp)dp.(2)

保持溫度不變,將Imol的水由Ip”加壓至1000Pn,外界所做的功為

在上述計算中我們已將過程近擬看作準(zhǔn)靜態(tài)過程。

補充題3承前1.6題，使彈性體在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過程中長度由壓縮為9,

試計算外界所作的功。2

解：在準(zhǔn)靜態(tài)過程中彈性體長度有dL的改變時，外界所做的功是

clW=JdL.⑴

將物態(tài)方程代入上式，有

dW=bT(—-^]dL.(2)

在等溫過程中小是常量，所以在準(zhǔn)靜態(tài)等溫過程中將彈性體長度由4壓縮為

，時，外界所做的功為

值得注意，不管將彈性體拉長還是壓縮，外界作用力都與位移同向，外界所做

的功都是正值。

補充題4在0C和Ip.下，空氣的密度為1.29kg.m-3,空氣的定壓比熱容

C=996Jkg“-KT,7=1.41。今有27m'的空氣，試計算：

(i)假設(shè)維持體積不變，將空氣由OC加熱至20C所需的熱量。

（ii）假設(shè)維持壓強不變，將空氣由oc加熱至20c所需的熱量。

（iii）假設(shè)容器有裂縫，外界壓強為1P”，使空氣由0C緩慢地加熱至20C

所需的熱量。

解：（a）由題給空氣密度可以算27m得空氣的質(zhì)量町為

定容比熱容可由所給定壓比熱容算出

維持體積不變，將空氣由0C加熱至20C所需熱量Qv為

（b）維持壓強不變,將空氣由0C加熱至20c所需熱量Q,為

（c）假設(shè)容器有裂縫，在加熱過程中氣體將從裂縫漏出，使容器內(nèi)空氣

質(zhì)量發(fā)生變化。根據(jù)理想氣體的物態(tài)方程

加為空氣的平均摩爾質(zhì)量，在壓強和體積不變的情形下，容器內(nèi)氣體的質(zhì)量

與溫度成反比。以町，Z表示氣體在初態(tài)的質(zhì)量和溫度，〃，表示溫度為7時氣

體的質(zhì)量，有

所以在過程（C）中所需的熱量。為

將所給數(shù)據(jù)代入，得

補充題5熱泵的作用是通過一個循環(huán)過程將熱量從溫度較低的物體傳送

到溫度較高的物體上去。如果以逆卡諾循環(huán)作為熱泵的循環(huán)過程，熱泵的效

率可以定義為傳送到高溫物體的熱量與外界所做的功的比值。試求熱泵的效

率。如果將功直接轉(zhuǎn)化為熱量而令高溫物體吸收，那么“效率”為何？

解：根據(jù)卡諾定理，通過逆卡諾循環(huán)從溫度為4的低溫?zé)嵩次崃俊?,

將熱量0送到溫度為7；的高溫?zé)嵩慈?，外界必須做?/p>

因此如果以逆卡諾循環(huán)作為熱泵的過程，其效率為

〃與含￡號

式中第三步用了

的結(jié)果（式0和（1.12.8））。由式⑴知，效率〃恒大于1。如果彳與石相

差不大，〃可以相當(dāng)高。不過由于設(shè)備的價格和運轉(zhuǎn)的實際效率，這種方法實

際上很少使用。

將功直接轉(zhuǎn)化為熱量（如電熱器），效率為1。

補充題6根據(jù)增增加原理證明第二定律的開氏表述：從單一熱源吸取熱

量使之完全變成有用的功而不引起其它變化是不可能的。

解：如果熱力學(xué)第二定律的開爾文表述不成立，就可以令一熱機在循環(huán)過

程中從溫度為7的單一熱源吸取熱量Q,將之全部轉(zhuǎn)化為機械功而輸出。熱機

與熱源合起來構(gòu)成一個絕熱系統(tǒng)。在循環(huán)過程叫熱源的嫡變?yōu)槠r而熱

機的烯不變，這樣絕熱系統(tǒng)的嫡就減少了，這違背了嫡增加原理，是不可能的。

第二章均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)

2.1在體積保持不變時，一氣體的壓強正比于其熱力學(xué)溫度.試證明在

溫度保質(zhì)不變時，該氣體的焙隨體積而增加.

解：根據(jù)題設(shè)，氣體的壓強可表為

P=/（V）T,⑴

式中/（V）是體積V的函數(shù).由自由能的全微分

得麥?zhǔn)详P(guān)系

⑵

將式（1）代入，有

⑶

由于〃>0,7>0,故有（孚］>0.這意味著，在溫度保持不變時，該氣體的嫡

隨體積而增加.

2.2設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：

試證明其內(nèi)能與體積無關(guān).

解：根據(jù)題設(shè)，物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：

P=/（V）T,⑴

故有

陶7”⑵

但根據(jù)式（），有

⑶

所以

（勖?。?〃二。⑷

這就是說，如果物質(zhì)具有形式為（1）的物態(tài)方程，那么物質(zhì)的內(nèi)能與體積無

關(guān)，只是溫度7的函數(shù).

dS

2.3求證：（〃）史<0;(b)>0.

dPJH

解：焙的全微分為

dH=TdS+Vdp.⑴

令dH=O,得

dS_V

=—<0.⑵

WP)HT

內(nèi)能的全微分為

dU=TdS-pdV.⑶

令dU=0,得

as⑷

dV

2.4=0,求證「0.

T

解：對復(fù)合函數(shù)

U(T,P)=U(T,V(T,〃))⑴

求偏導(dǎo)數(shù)，有

du}dU(dV⑵

ev)T\dp

也

如果lav|=0,即有

T

也、

=0

<dPJr

式（2）也可以用雅可比行列式證明:

dUdV⑵

2.5試證明一個均勻物體的在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過程中燧隨體積的增減取決于

等壓下溫度隨體積的增減.

解：熱力學(xué)用偏導(dǎo)數(shù)dS}描述等壓過程中的螭隨體積的變化率，用dT}

dV)

而1P

描述等壓卜溫度隨體枳的變化率.為求出這兩個偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，對復(fù)合函數(shù)

S=S(p,V)=S(AT(p,V))⑴

求偏導(dǎo)數(shù)，有

dSy(dS

一5(%⑵

而1而lav"T\dv)p

因為l〉o,7＞。，所以（里）的正負(fù)取決于的正負(fù).

\OV）p\ov）p

式（2）也可以用雅可經(jīng)行列式證明：

⑵

2.6試證明在相同的壓強降落下，氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度降落

大于在節(jié)流過程中的溫度降落.

解：氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹過程和節(jié)流過程中的溫度降落分別由偏導(dǎo)數(shù)

田和叵〕

描述.端函數(shù)S（T,p）的全微分為

［前）s{dp）n

在可逆絕熱過程中心=0,故有

包、⑴

同s

最后一步用了麥?zhǔn)详P(guān)系式（）和式（2.2.8）.

焰”（7,p