期末專題復習：最值問題（七大類型）（原卷版）

最值問題七大類型一、類型一：垂線段最短1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N；再分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點G；作射線AG交BC于點D，若CD＝2，BD＝2.5，P為AB上一動點，則PD的最小值為．2．在中，，，點D是上一點，將點B繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到點，連接，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．53．如圖，，，，點B是線段上一動點，以為底邊作等腰三角形，則的最小值是（

）A．3 B． C． D．24．如圖，直線，垂足為O，點A是射線上一點，，以為邊在右側(cè)作，且滿足，若點B是射線上的一個動點（不與點O重合），連接．作的兩個外角平分線交于點C，在點B在運動過程中，當線段取最小值時，的度數(shù)為．5．如圖，是等邊三角形，D為邊上一個動點（D與B、C均不重合）．．，連接．(1)求證：平分；(2)若，當四邊形的周長取最小值時，求的長．二、類型二：三角形三邊關(guān)系6．如圖，，在中，，點A，B分別在邊上運動，的形狀始終保持不變，在運動的過程中，點C到點O的最小距離為．

7．如圖，在中，，，，D為邊上的一個動點，連接，E為上的一個動點，連接，當時，線段的最小值是（

）A． B．2 C． D．18．如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，點M是中點，點N是中點，連接，若，，則線段的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．89．如圖，射線OA⊥射線OB于點O，線段CD=6，CE=4，且CE⊥CD于點C，當線段CD的兩個端點分別在射線OB和射線OA上滑動時，點E到點O的最大距離為三、類型四：兩點之間線段最短以及螞蟻爬行路徑最短問題10．如圖，圓柱的高為6cm，底面周長為16cm，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點A爬到點B的最短路程是cm．11．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿的點處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是．

12．如圖，長方體的底面邊長分別為和，高為．若一只螞蟻從點P開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達點Q，則螞蟻爬行的最短路徑長為13．如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、，A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為dm．14．如圖，點C、D在線段AB的同側(cè)，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中點，∠CMD＝120°，則CD長的最大值是（）A．16 B．19 C．20 D．21四、類型三：構(gòu)造全等三角形進行轉(zhuǎn)化15．如圖中，，若將AD作點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接，則在點運動過程中，線段的最小值為（

）A．2 B． C． D．116．如圖，在中，，，于點D，點E、F分別是線段上的動點，且，則的最小值為．

17．如圖，點在直線上，于點，，點在直線上運動，以為邊作等邊，連接，則的最小值為．18．如圖，在中，，，，點P是線段上的動點，將點A繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°至點D，連接BD，則BD的最小值是．五、類型五：將軍飲馬模型19．如圖，等腰中，，，垂直平分，交于點．若點為的中點，點為上一動點，則的最小值為．20．如圖，中，，，，BD平分，如果、分別為BD、上的動點，那么的最小值是．

21．如圖，邊長為的等邊，是邊的中點，點是線段上的動點，連接，在的右側(cè)作等邊，連接、、，下列說法正確的有（）個．①；②；③的周長最小值為；④當周長最小時，；⑤的大小隨著點的移動而變化．A．2 B．3 C．4 D．522．如圖，在中，，，射線平分，，，，點為的中點，點為射線上一動點，則的最小值為．23．如圖，在等腰直角三角形中，，P是上一動點．則的最小值是．24．如圖，長方形中，，，是的中點，線段在邊上左右滑動，若，則的最小值為（

）

A． B． C． D．25．如圖，在銳角中，，，，是邊上的一動點，點關(guān)于直線，的對稱點分別是，，連接，則的最小值為．

26．如圖，在中，，，，點M、N分別為上的動點，則的最小值為．27．如圖，中，，的面積12．點D、E、F分別是三邊上的動點，則周長的最小值為．

28．已知等邊中，，，若點P在線段AD上運動，當?shù)闹底钚r，AP的長為．29．早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會，應該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．大數(shù)學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．

如圖2，作B關(guān)于直線l的對稱點B′，連結(jié)AB′與直線l交于點C，點C就是所求的位置．證明：如圖3，在直線l上另取任一點C′，連結(jié)AC′，BC′，B′C′，∵直線l是點B，B′的對稱軸，點C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+=．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最?。締栴}實際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C在AB′與l的交點上，即A、C、B′三點共線）．本問題可歸納為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”的問題的數(shù)學模型．1.簡單應用（1）如圖4，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中點，M是AD上的一點，求EM+MC的最小值

借助上面的模型，由等邊三角形的軸對稱性可知，B與C關(guān)于直線AD對稱，連結(jié)BM，EM+MC的最小值就是線段的長度，則EM+MC的最小值是；（2）如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一點M、N當△AMN周長最小時，∠AMN+∠ANM=°．2.拓展應用如圖6，是一個港灣，港灣兩岸有A、B兩個碼頭，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，現(xiàn)有一艘貨船從碼頭A出發(fā)，根據(jù)計劃，貨船應先?？縊B岸C處裝貨，再停靠OA岸D處裝貨，最后到達碼頭B．怎樣安排兩岸的裝貨地點，使貨船行駛的水路最短？請畫出最短路線并求出最短路程．六、類