2025年高考一輪復(fù)習(xí) 專題14 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（思維導(dǎo)圖+知識清單+核心素養(yǎng)分析+方法歸納）

專題14導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性目錄01思維導(dǎo)圖02知識清單03核心素養(yǎng)分析04方法歸納一、函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).1.若f'(x)>0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增.2.若f'(x)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減。二、函數(shù)圖象的變化和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快，這時，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”;如果一個函數(shù)在自變量的某一變化范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較小，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得慢，這時，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.導(dǎo)數(shù)絕對值的大小反映了函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)或某點附近變化的快慢程度。三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法方法一：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出單調(diào)區(qū)間；（無參函數(shù)）確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟①確定函數(shù)f(x)的定義域．②求f′(x)．③解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．方法二：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)方程f′(x)＝0可解時，解出方程的實根，依照實根把函數(shù)的定義域劃分為幾個區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間；方法三：若導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f′(x)的結(jié)構(gòu)特征，利用圖象與性質(zhì)確定f′(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間．四、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)方法一：由函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(減)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區(qū)間[a，b]上恒成立，列出不等式；方法二：利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題；方法三：對等號單獨檢驗，檢驗參數(shù)的取值能否使f′(x)在整個區(qū)間恒等于0．若f′(x)恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去；若只有在個別點處有f′(x)＝0，則參數(shù)可取這個值．方法四：當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題；當(dāng)已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)時，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程在該區(qū)間上有解問題．恒成立有解問題小結(jié)：(1)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則在區(qū)間D上f′(x)≥0恒成立；(2)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則在區(qū)間D上f′(x)≤0恒成立；(3)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在增區(qū)間，則f′(x)>0在區(qū)間D上有解；(4)已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在減區(qū)間，則f′(x)<0在區(qū)間D上有解．五、單調(diào)性的應(yīng)用1．比較大?。喝糇宰兞坎辉谕粏握{(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)的性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上，再進行比較．2．利用單調(diào)性比較大小或解不等式，關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造輔助函數(shù)，利用構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性比較大小或解不等式．3．與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關(guān)系時，常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(商)的函數(shù)，與題設(shè)形成解題鏈條，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式．本專題是高考中?？純?nèi)容，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而解決函數(shù)的有關(guān)問題。導(dǎo)數(shù)是解決很多函數(shù)問題的橋梁，使很多復(fù)雜的函數(shù)通過求導(dǎo)變得有法可尋；或是其他問題通過構(gòu)造函數(shù)解決。高考中多以選填題，解答題前幾題出現(xiàn)。一、不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例1(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．答案A分析求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，解不等式即可得出遞增區(qū)間.解析因為函數(shù)，所以，令，解得或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A(2)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案B分析求導(dǎo)，令，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)遞減區(qū)間.解析由題意可知：的定義域為，且，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：B.[拓展]1．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案B分析通過求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于，即可求解.解析函數(shù)的定義域為，，令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：.2．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．答案和；分析根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得到導(dǎo)數(shù)大于零的的取值范圍，得解.解析設(shè)函數(shù)為，由圖象可得，當(dāng)，，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是和.故答案為：和.3．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為．答案分析利用導(dǎo)數(shù)求當(dāng)時的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)奇函數(shù)的對稱性求得結(jié)果.解析當(dāng)時，,由，解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.故答案為：.方法歸納：確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開．二、含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ax2－(a＋1)x＋lnx，a>0，試討論函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．解函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋eq\f(1,x)＝eq\f(ax2－a＋1x＋1,x)＝eq\f(ax－1x－1,x).令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,a)或x＝1.①當(dāng)0<a<1時，eq\f(1,a)>1，∴x∈(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))時，f′(x)>0；x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))時，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上單調(diào)遞減；②當(dāng)a＝1時，eq\f(1,a)＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)a>1時，0<eq\f(1,a)<1，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)時，f′(x)>0；x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))時，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上單調(diào)遞減；當(dāng)a＝1時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上單調(diào)遞減．延伸探究若將本例中參數(shù)a的范圍改為a∈R，其他條件不變，試討論f(x)的單調(diào)性？解當(dāng)a>0時，討論同上；當(dāng)a≤0時，ax－1<0，∴x∈(0,1)時，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f(x)在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上單調(diào)遞減；當(dāng)a＝1時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上單調(diào)遞減．方法歸納：(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論．(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點和函數(shù)的間斷點．三、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點1比較大小或解不等式例3(1)己知，則（

）A． B． C． D．答案B分析構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明，代入可比較的大小，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷的大小，從而可求解.解析設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，即，所以，即，所以，即.由，可得，即，即，所以，即.綜上所述，.故選:B.(2)已知定義在上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案C分析構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)遞增，將原不等式等價轉(zhuǎn)換為，由此即可得解.解析令，則，所以在上單調(diào)遞增，不等式等價于，所以不等式的解集為.故選：C.[拓展]1.已知，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．答案C分析根據(jù)函數(shù)的奇偶性，以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性即可.解析當(dāng)時，由得，所以為偶函數(shù)．又，當(dāng)時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以在上單調(diào)遞減．，，所以，令，，則，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，得．故，從而，即.故選：C．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且.對于任意的實數(shù)，均有成立，若，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案D分析構(gòu)造函數(shù)，然后由已知可得的單調(diào)性，最后將不等式轉(zhuǎn)化為，即可得到答案.解析，令，則，則在上單調(diào)遞增.由，為奇函數(shù)，得，則，從而原不等式可化為，即，此即為.由于在上單調(diào)遞增，故這等價于，所以不等式的解集為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于構(gòu)造新的函數(shù)并利用已知條件.命題點2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍例4若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最大值為（

）A． B．0 C．1 D．2答案D分析求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為，參變分離即可得解.解析，求導(dǎo)得，由在上單調(diào)遞增，得，又當(dāng)，，則，又時，在上單調(diào)遞增，所以實數(shù)的最大值為2.故選：D．[拓展]1．函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案B分析先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進而求出其單調(diào)遞減區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系即可求解.解析函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.2．若對任意的正實數(shù)，，當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍（

）A． B． C． D．答案A分析由可得，令，則在上為減函數(shù)，即在上恒成立，求解即可.解析，又，所以，所以，由已知對任意的，，且時，，設(shè)，則在上為減函數(shù)