2025年高考一輪復(fù)習(xí) 專題03 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（思維導(dǎo)圖+知識(shí)清單+核心素養(yǎng)分析+方法歸納）

專題03等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)目錄01思維導(dǎo)圖02知識(shí)清單03核心素養(yǎng)分析04方法歸納一、不等式的定義用不等號(hào)(<、>、≤、≥、≠)表示不等關(guān)系的式子叫不等式，如f(x)＞g(x),f(x)≥g(x)等.用“<”或“>”連接的不等式叫嚴(yán)格不等式，用“≤”“≥”連接的不等式叫非嚴(yán)格不等式.如果a-b是正數(shù)，那么a>b;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b是負(fù)數(shù)，那么a<b.反過來也對(duì).溫馨提示:文字語言與數(shù)學(xué)符號(hào)間的轉(zhuǎn)化文字語言數(shù)學(xué)符號(hào)文字語言數(shù)學(xué)符號(hào)大于＞至少≥小于＜至多≤大于或等于≥不少于≥小于或等于≤不多于≤二、不等式的分類1.按照不等號(hào)的開口方向分類(1)同向不等式：在兩個(gè)不等式中，如果每一個(gè)的左邊都大于右邊，或每一個(gè)的左邊都小于右邊，這樣的兩個(gè)不等式叫同向不等式.例：a>b,c>d.(2)異向不等式：在兩個(gè)不等式中，如果一個(gè)不等式的左邊大于右邊，而另一個(gè)不等式的左邊小于右邊，那么這兩個(gè)不等式叫異向不等式.例：a>b,c<d.2.按成立條件分類(1)絕對(duì)不等式：無論用什么實(shí)數(shù)代替不等式中的字母都能使不等式成立的不等式.例：x+5>x+4.(2)條件不等式：只有用某些范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)代替不等式中的字母才能使不等式成立的不等式.例：2x-1>1-x.(3)矛盾不等式：無論用什么實(shí)數(shù)代替不等式中的字母都不能使不等式成立的不等式.例：x2<-2.三、用不等式表示不等關(guān)系文字語言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不多于不少于數(shù)學(xué)符號(hào)><≥≤≤≥≤≥將實(shí)際的不等關(guān)系寫成對(duì)應(yīng)的不等式時(shí)，應(yīng)注意實(shí)際問題中關(guān)鍵性的文字語言與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)之間的正確轉(zhuǎn)換，這影響到不等式表達(dá)不等關(guān)系的正確性.溫馨提示：在常用的符號(hào)中，要注意“≥”(或“≤”)的含義，例如：a≥b,應(yīng)讀作“a大于或等于b”,其含義與“a不小于b”相同.a<b,a=b兩式中只要有一個(gè)成立，就有a≤b.四、兩個(gè)數(shù)（式）比較大小的方法1.作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))2.作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）?a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）?a<b（a∈R，b>0）.))3.函數(shù)性質(zhì)法：如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性:a＞1時(shí)單調(diào)遞增；0＜a＜1時(shí)單調(diào)遞減.、五、等式的性質(zhì)等式有下面的基本性質(zhì)：(1)如果a＝b，那么b＝a；（對(duì)稱性）(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；（傳遞性）(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c；（同加性，同減性）(4)如果a＝b，那么ac＝bc；（同乘性）(5)如果a＝b，c≠0，那么.（同除性）六、不等式的基本性質(zhì)1.對(duì)稱性：a>b?b<a,a<b?b>a.2.傳遞性：a>b,b>c→a>c,c<b,b≤a→c<a.3.可加性：a>b?a+c>b+c.推論：(移項(xiàng)法則)a+b>c?a>c-b.同向可加性：a>b,c>d→a+c>b+d.5.可乘性：a>b,c>0→ac>bc.6.同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0→ac>bd.7.可乘方性：a>b>0→a”>b”(n∈N,n≥1).可開方性：a>b>0→*a>b.常用結(jié)論：1.證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.2.有關(guān)分式的性質(zhì)(1)若a>b>0，m>0，則eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).不等式常常結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)比較大小，有時(shí)結(jié)合充要條件的判定，多以選擇、填空題形式出現(xiàn).一、比較兩個(gè)數(shù)(式)大小的方法1.比較法：分作差法、作商法和介值比較法三種(1)作差比較法的基本步驟：①作差：a-b.②變形：分解因式.③定號(hào)：判斷差值的符號(hào).④下結(jié)論：a-b>0?a>b,a-b<0?a<b.(2)作商比較法(a>0,b>0)的基本步驟：①作商：②變形：用相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)化簡.③判定大?。号卸ㄅc1的大小關(guān)系④下結(jié)論：,(3)介值比較法①介值比較法的理論依據(jù)是若a>b,b>c,則a>c,其中b是a與c的中介值.②介值比較法的關(guān)鍵是通過對(duì)不等式恰當(dāng)?shù)姆趴s，找出一個(gè)比較合適的中介值.該方法常用在以后將要學(xué)習(xí)的指、對(duì)、冪式比較大小問題中。2.反證法如果正面證明不等式有困難，或正面證明需要分多種情況但反面只有一種情況時(shí)，通常采用反證法來證明不等式.其大致步驟為：(1)假設(shè)要證的不等式不成立，即得出與結(jié)論相反的不等式。(2)以假設(shè)為依據(jù)，作出一系列的推理，得出與題干條件或相關(guān)定理矛盾的結(jié)果.(3)否定假設(shè)，得出要證的不等式成立。3.函數(shù)性質(zhì)法(1)使用范圍：比較兩個(gè)指數(shù)形式或?qū)?shù)形式的實(shí)數(shù)的大小.(2)步驟：利用公式化為同底的指數(shù)或?qū)?shù)形式→依據(jù)函數(shù)性質(zhì)比較大小。溫馨提示：1.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的大小，作差法須歸結(jié)為判斷它們的差a—b的符號(hào)，因此，因式分解越徹底越好，若用配方法化成和的形式，則各項(xiàng)符號(hào)須相同2.用作商法比較大小時(shí)，被除數(shù)與除數(shù)同號(hào)，否則不等號(hào)方向有可能弄錯(cuò)3.比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式(均大于零)的大小，也可化為比較兩個(gè)數(shù)平方的大小4.在比較兩個(gè)數(shù)的大小時(shí)，若作差后不易變形，則可與中間量(如0或1等)進(jìn)行比較，再由不等式的傳遞性得到兩數(shù)的大小關(guān)系。5.在比較兩個(gè)數(shù)的大小時(shí)，若差式中變量較多，不易變形，則應(yīng)考慮消元，減少式中的變量，有利于判斷差式的符號(hào).二、利用不等式性質(zhì)求范圍的方法1.借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；2.整體使用所給條件，切不可隨意拆分所給條件；3.結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解.溫馨提示：在不等式中，沒有同向相減、