2025年高考一輪復(fù)習(xí) 專題20 空間向量與立體幾何初步（思維導(dǎo)圖+知識清單+核心素養(yǎng)分析+方法歸納）

專題20空間向量與立體幾何初步目錄01思維導(dǎo)圖02知識清單03核心素養(yǎng)分析04方法歸納一、空間向量及其線性運算1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量相等向量大小相等、方向相同的向量相反向量大小相等、方向相反的向量共線向量(或平行向量)如果兩個非零向量的方向相同或者相反，則稱這兩個向量平行(或共線)共面向量空間中的多個向量，如果表示它們的有向線段通過平移后，都能在同一平面內(nèi)，則稱這些向量共面2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實數(shù)λ，使得b＝λa.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量a，b，c共面的充要條件是，存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使c＝xa＋yb.由共面向量定理可得判斷空間中四點是否共面的方法：如果A，B，C三點不共線，則點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是，存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).(3)空間向量基本定理：如果空間中的三個向量a，b，c不共面，那么對空間中的任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}稱為空間向量的一組基底.二、空間向量的數(shù)量積與坐標(biāo)表示1.空間向量的數(shù)量積(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.(2)兩向量的數(shù)量積：非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.2.空間向量數(shù)量積的運算律(1)結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交換律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·bx1x2＋y1y2＋z1z2共線b＝λa(a≠0，λ∈R)x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)x1x2＋y1y2＋z1z2＝0模|a|eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＋zeq\o\al(2,2)))4.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果l是空間中的一條直線，v是空間中的一個非零向量，且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合，則稱v為直線l的一個方向向量.(2)平面的法向量：如果α是空間中的一個平面，n是空間的一個非零向量，且表示n的有向線段所在的直線與平面α垂直，則稱n為平面α的一個法向量，此時也稱n與平面α垂直，記作n⊥α.溫馨提示：1.在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點.2.在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點.三、法向量的求解與空間向量的應(yīng)用（1）求平面的法向量：第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向；第二步：那么平面法向量，滿足．（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．若∥，即，則；若，即，則．=2\*GB3②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．（3）平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．空間位置關(guān)系的向量表示小結(jié)：位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2l1∥l2u1∥u2?u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2?u1·u2＝0直線l的方向向量為u，平面α的法向量為nl∥αu⊥n?u·n＝0l⊥αu∥n?u＝λn平面α，β的法向量分別為n1，n2α∥βn1∥n2?n1＝λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2＝0四、空間角公式（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中．五、空間中的距離（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算．如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時分別在上任取兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．（2）點到平面的距離為平面外一點（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．，本專題在高考中常以解答題形式出現(xiàn)，通常結(jié)合棱柱、棱錐等幾何體進(jìn)行考查、綜合性比較強，考查難度中等。一、空間向量的線性運算例1四棱柱的六個面都是平行四邊形，點在對角線上，且，點在對角線上，且．(1)設(shè)向量，，，用、、表示向量、；(2)求證：、、三點共線．答案(1)，(2)證明見解析分析（1）借助空間向量的線性運算計算即可得；（2）借助向量共線定理證明即可得.解析（1）因為，則，所以，又因為，則，所以；（2）因為，且，所以，即、、三點共線．方法歸納：用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．二、空間向量基本定理及其應(yīng)用例2已知為空間9個點(如圖)，并且，，．，求證：

(1)四點共面；(2)；答案(1)證明見解析(2)證明見解析分析（1）根據(jù)共面向量的基本定理，由可得是共面向量，又因為有公共點A，從而可得證；（2）結(jié)合圖形，利用向量的線性運算證明即可.解析（1）因為，由共面向量的基本定理，可得是共面向量，又因為有公共點A，所以四點共面．（2）因為,則,所以.三、空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用例3如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于1，點，，分別是的中點．(1)計算：；(2)求證：；(3)求異面直線和所成角的余弦值．答案(1)(2)證明見解析(3)分析（1）設(shè)，，，則可得，，即可求出；（2）用表示，根據(jù)數(shù)量積的運算律及定義求出，即可得證；（3）利用向量計算可得，，即可求出，進(jìn)而可求出異面直線與所成角的余弦值.解析（1）設(shè)，，，則，．，，則；（2）因為所以.所以，即.（3），，，，，，由于異面直線所成角的范圍是，所以異面直線與所成角的余弦值為.方法歸納：由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準(zhǔn)確．四、向量法證明平行、垂直例4如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點．證明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.證明依題意，以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E為棱PC的中點，得E(1,1,1)．(1)eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(2,0,0)，故eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，所以BE⊥DC.(2)因為AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)為平面PAD的一個法向量，而eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，所以BE⊥AB，又BE?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的法向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(2,0,0)，設(shè)平面PCD的一個法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－2z＝0，,2x＝0，))令y＝1，可得n＝(0,1,1)為平面PCD的一個法向量．且n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，所以n⊥eq\o(AB,\s\up6(→)).所以平面PAD⊥平面PCD.方法歸納：(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素)．(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理．五、異面直線所成的角例5已知平行六面體的底面是邊長為1的正方形，，.(1)求對角線的長；(2)求直線與所成角的余弦值.答案(1)(2)分析（1）方法一：求出、，對兩邊平方化簡計算可得答案；方法二：以為原點，，分別為、軸正方向，過點且垂直于平面的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，再求即可；（2）方法一：設(shè)直線與所成角為，利用計算可得答案；方法二：以為原點，，分別為、軸正方向，過點且垂直于平面的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出、，設(shè)直線與所成角為，利用計算可得答案.解析（1）方法一：因為，又底面是正方形，，，，所以，所以；方法二：

如圖所示，以為原點，，分別為、軸正方向，過點且垂直于平面的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以；（2）方法一：因為，所以，又，設(shè)直線與所成角為，所以，即直線與所成角的余弦值為；方法二：

與（1）中的方法二，以為原點，，分別為、軸正方向，過點且垂直于平面的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)直線與所成角為，所以，即直線與所成角的余弦值為.方法歸納：用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．六、直線與平面所成的角例6已知平行四邊形中，是線段的中點.沿直線將翻折成，使得平面平面.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.答案(1)證明見解析；(2).分析（1）利用翻折的特性，結(jié)合勾股定理逆定理證得，再利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定推理即得.（2）由（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量，再利用線面角的向量求法求解即得.解析（1）在中，，翻折后，，則，于是，而平面⊥平面，平面平面=，平面，所以平面.（2）由（1）知平面，且，顯然直線兩兩垂直，如圖，以D為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，由E是線段的中點，得，，在平面中，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.方法歸納：利用空間向量求線面角的解題步驟七、平面與平面的夾角例7如圖，在四棱錐中，底面矩形垂直于側(cè)面，且分別是棱的中點，．

(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．答案(1)證明見解析(2)分析（1）由面面垂直可得平面，則，由幾何知識可得，，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）建系標(biāo)點，可得平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.解析（1）因為為矩形，則，且平面平面，平面平面平面，則平面，且平面，所以．

連接．在和中，，可知全等于．則，且是的中點，則．在中，，而是的中點，則．且，平面，所以平面．（2）以A為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系