2025年高考一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題10 三角函數(shù)的概念 誘導(dǎo)公式（思維導(dǎo)圖+知識(shí)清單+核心素養(yǎng)分析+方法歸納）

專(zhuān)題10三角函數(shù)的概念誘導(dǎo)公式目錄01思維導(dǎo)圖02知識(shí)清單03核心素養(yǎng)分析04方法歸納一、角的概念1.角的定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線叫做角的終邊，射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn).2.角的分類(lèi)任意角包括：正角、負(fù)角、零角.正角：一條射線按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角.負(fù)角：一條射線按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角.零角：一條射線沒(méi)有進(jìn)行任何旋轉(zhuǎn)形成的角.溫馨提示：對(duì)于角的形成過(guò)程，既要有旋轉(zhuǎn)量，又要有旋轉(zhuǎn)方向。二、終邊相同的角所有與角a終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.溫馨提示：1.相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角卻不一定相等，終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們之間相差360°的整數(shù)倍；2.終邊在一條直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍；3.終邊在互相垂直的兩條直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍.三、象限角與軸線角1.象限角、軸線角的概念(1)象限角在平面直角坐標(biāo)系中，如果角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么,角的終邊在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.(2)軸線角如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，則這個(gè)角不屬于任何象限，稱(chēng)這個(gè)角為軸線角，2.象限角的集合表示銳角為{α|0?<a<90°},小于90°的角不等同于銳角，銳角不等同于第一象限的角.3.軸線角的集合表示(1)終邊在x軸上的角{a|a=k·180°,k∈Z}.(2)終邊在y軸上的角{a|a=k·180°+90°,k∈Z).(3)終邊在坐標(biāo)軸上的角{αlα=k·90°,k∈Z}.(4)終邊在x軸非負(fù)半軸上的角{ala=k·360°,k∈Z}.(5)終邊在x軸非正半軸上的角{a|a=k·360°+180°,k∈Z},(6)終邊在y軸非負(fù)半軸上的角{αla=k·360°+90°,k∈Z).(7)終邊在y軸非正半軸上的角{αla=k·360°+270°,k∈Z}.四、角度制與弧度制的概念1.角度制角可以用度為單位進(jìn)行度量，1度的角等于周角的這種用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制.2.弧度制(1)1弧度的角把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)弧度制用+弧度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做弧度制.用符號(hào)rad表示，讀作弧度.溫馨提示：無(wú)論是以弧度還是以度為單位的角的大小都是一個(gè)與半徑的大小無(wú)關(guān)的定值.(3)弧度數(shù)公式如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l,那么,角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是五、角度與弧度的換算角度與弧度的換算公式360?=2πrad,180°=πrad.六、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式1.弧長(zhǎng)公式角度制：為圓心角的角度數(shù)，R為扇形的半徑).弧度制：l=aR(a為圓心角的弧度，0<a<2π,R為扇形的半徑).2.扇形面積公式角度制：(n為圓心角的角度數(shù)，R為扇形的半徑).弧度制：(a為圓心角的弧度，0<a<2π,R為扇形的半徑，l為扇形的弧長(zhǎng)).溫馨提示：涉及弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算時(shí)，可用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易記好用，在使用前，應(yīng)將圓心角用弧度表示.七、任意角的三角函數(shù)(1)定義：任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)時(shí)，則，，．(2)推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則，，三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣:三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．(3)三角函數(shù)線當(dāng)角α的終邊與x軸重合時(shí)，正弦線、正切線都變成一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)角α的正弦值和正切值都為0;當(dāng)角α的終邊與y軸重合時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線不存在，此時(shí)角α的余弦值為0,正切值不存在.八、同角三角函數(shù)基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：．(2)商數(shù)關(guān)系：；九、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限，說(shuō)明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫(xiě)作；無(wú)論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．溫馨提示：1．利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化．2．1.任意角、弧度制的概念，角度與弧度的互化是解三角函數(shù)的問(wèn)題基礎(chǔ).2.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的正用、逆用、變形．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系本身是恒等式，也可以看作是方程，對(duì)于一些問(wèn)題，可利用已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列方程組，通過(guò)解方程組達(dá)到解決問(wèn)題的目的．3.若已知正切值，求一個(gè)關(guān)于正弦和余弦的齊次式的值，則可以通過(guò)分子、分母同時(shí)除以一個(gè)余弦的齊次冪將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于正切的分式，代入正切值就可以求出這個(gè)分式的值，這是同角三角函數(shù)關(guān)系中的一類(lèi)基本題型．4.本專(zhuān)題在高考中多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；誘導(dǎo)公式在任意角三角函數(shù)的化簡(jiǎn)中起到重要作用.一、角及其表示例1(1)(多選)下列命題正確的是()A．終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為{α|α＝2kπ，k∈Z}B．終邊落在y軸上的角的集合為{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C．第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))D．在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°角終邊相同的角為－675°和－315°答案AD解析B項(xiàng)，終邊落在y軸上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，角度與弧度不能混用，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ<α<\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，所有與45°角終邊相同的角可表示為β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，解得－eq\f(17,8)≤k≤－eq\f(1,8)(k∈Z)，從而當(dāng)k＝－2時(shí)，β＝－675°；當(dāng)k＝－1時(shí)，β＝－315°，故正確．(2)已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)是第______象限角，2α是________的角．答案二、四第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上解析∵α是第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，∴kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z，4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)為第二象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)為第四象限角，而2α的終邊落在第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上．方法歸納：(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來(lái)求得所需的角．(2)確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫(xiě)出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．二、弧度制及其應(yīng)用例2一扇形的圓心角α＝eq\f(π,3)，半徑R＝10cm，求該扇形的面積．解由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴S扇形＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,3)·102＝eq\f(50π,3)(cm2)．延伸探究1．若本例條件不變，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積．解l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)·R2·sineq\f(π,3)＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2)．2．若將本例已知條件改為：“扇形周長(zhǎng)為20cm”，則當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解由已知得，l＋2R＝20，則l＝20－2R(0<R<10)．所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以當(dāng)R＝5cm時(shí)，S取得最大值25cm2，此時(shí)l＝10cm，α＝2rad.方法歸納：應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題．(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．三、三角函數(shù)的概念例3(1)若sinθ·cosθ<0，eq\f(tanθ,sinθ)>0，則角θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案D解析由eq\f(tanθ,sinθ)>0，得eq\f(1,cosθ)>0，所以cosθ>0.又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ為第四象限角．(2)已知α的終邊在直線y＝2x上，則sinα＝________.答案±eq\f(2\r(5),5)解析由題意可知，α終邊落在第一或第三象限，且tanα＝2，若在第一象限，可在α終邊上任取一點(diǎn)(1,2)，∴sinα＝eq\f(2,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5),5)，若在第三象限，可在α終邊上任取一點(diǎn)(－1，－2)，∴sinα＝eq\f(－2,\r(－12＋－22))＝－eq\f(2\r(5),5).(3)已知α的終邊過(guò)點(diǎn)(x,4)，且cosα＝－eq\f(3,5)，則tanα＝________.答案－eq\f(4,3)解析∵α的終邊過(guò)點(diǎn)(x,4)，且cosα＝－eq\f(3,5)，∴x<0.∵cosα＝eq\f(x,\r(x2＋16))＝－eq\f(3,5)，∴x＝－3，∴tanα＝－eq\f(4,3).方法歸納：(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出角α終邊的位置．(2)判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．四、同角三角函數(shù)基本關(guān)系例4(1)已知cosα＝－eq\f(5,13)，則13sinα＋5tanα＝.答案0解析∵cosα＝－eq\f(5,13)<0且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，則sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(12,13),－\f(5,13))＝－eq\f(12,5).此時(shí)13sinα＋5tanα＝13×eq\f(12,13)＋5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)))＝0.②若α是第三象限角，則sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2)＝－eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(12,13),－\f(5,13))＝eq\f(12,5)，此時(shí)，13sinα＋5tanα＝13×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋5×eq\f(12,5)＝0.綜上，13sinα＋5tanα＝0.(2)已知tanα＝eq\f(1,2)，則eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝；sin2α＋sinαcosα＋2＝.答案－eq\f(5,3)eq\f(13,5)解析已知tanα＝eq\f(1,2)，所以eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝－eq\f(5,3).sin2α＋sinαcosα＋2＝eq\f(sin2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋2＝eq\f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＋2＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1)＋2＝eq\f(13,5).(3)已知sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，θ∈(0，π)，則tanθ＝.答案－eq\f(12,5)解析由sinθ＋cosθ＝eq\f(7,13)，得sinθcosθ＝－eq\f(60,169)，因?yàn)棣取?0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以sinθ－cosθ＝eq\r(1－2sinθcosθ)＝eq\f(17,13)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(7,13)，,sinθ－cosθ＝\f(17,13)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(12,13)，,cosθ＝－\f(5,13)，))所以tanθ＝－eq\f(12,5).方法歸納：(1)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.五、誘導(dǎo)公式例5（1）已知，則.答案分析利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后弦化切可得.解析因?yàn)椋?，原?故