2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（解答題）：圖形的旋轉(zhuǎn)（10題）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（解答題）：圖形的旋轉(zhuǎn)（10題）一．解答題（共10小題）1．（2024?高青縣一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝2，AB＝4，直接寫出△PMN面積的最大值．2．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC邊上任意一點(diǎn)（不與B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE，DE．（1）求∠ECD的度數(shù)；（2）若AB＝4，BD=2，求DE3．（2024?潼南區(qū)一模）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為線段BC上任意一點(diǎn)，連接AD，E為直線AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E在AB邊上，連接DE，若AE＝1，BE＝3，求DE的長(zhǎng)．（2）如圖2，若點(diǎn)E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE＝CD，點(diǎn)F為CB延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且∠FAD＝60°，猜想線段AF，EF，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（1）的條件下，M為線段AD上一點(diǎn)，連接ME，將線段ME繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段EN，連接MN，當(dāng)BN+DN的值最小時(shí)，直接寫出△AEM的面積．4．（2024?大觀區(qū)校級(jí)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC、線段MN和線段M'N'的位置如圖所示．（1）畫出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的△A'B'C'；（2）線段MN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到線段M′N′（點(diǎn)M，N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)M′，N′），作出旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P．（保留作圖痕跡，不寫作法）5．（2024?民勤縣三模）如圖，D為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）連接DE，若∠ADB＝115°，求∠CED的度數(shù)．6．（2024?西城區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，過點(diǎn)A作BC的垂線AD，垂足為D，E為射線DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接AE，以點(diǎn)A為中心，將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接BF，與直線AD交于點(diǎn)G．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖形；②求證：點(diǎn)G為BF的中點(diǎn)．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，用等式表示AE，BE，AG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．7．（2024?全椒縣一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了以格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）為端點(diǎn)的線段AB，點(diǎn)O在格點(diǎn)上．（1）將線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD，請(qǐng)畫出線段CD．（A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）（2）以線段CD為一邊，作一個(gè)正方形CDEF．且點(diǎn)E，F(xiàn)也為格點(diǎn)．（作出一個(gè)正方形即可）8．（2024?二道區(qū)校級(jí)模擬）如圖①，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，∠ABC＝90°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線CB﹣BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，將線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連結(jié)PQ．（1）當(dāng)點(diǎn)P從C運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，∠ACQ的度數(shù)為；（2）當(dāng)P在BC上，則線段PQ+PB＝；（3）當(dāng)點(diǎn)P在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連結(jié)BQ，當(dāng)△BPQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，求線段BP的長(zhǎng)，并寫出此時(shí)△BPQ的面積；（4）當(dāng)點(diǎn)Q與△ABC的頂點(diǎn)所連線段垂直于△ABC的某一邊時(shí)，直接寫出CP的長(zhǎng)．9．（2024?安徽三模）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）將△ABC先向下平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，得到△A1B1C1，請(qǐng)畫出△A1B1C1（其中A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1）；（2）再將線段AB繞點(diǎn)B1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A2B2，請(qǐng)畫出線段A2B2；（3）在網(wǎng)格內(nèi)描出兩個(gè)格點(diǎn)M，N，請(qǐng)畫出直線MN，使得直線MN垂直平分線段A2B2．10．（2024?唐山二模）如圖1，在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A為銳角，且sinA=45．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接PB，將PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段（1）點(diǎn)B到AC的距離為；（2）當(dāng)PB=45時(shí)，求AP（3）如圖2，當(dāng)CQ∥AB時(shí)，求tan∠ABP的值；（4）若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)，直接寫出點(diǎn)Q在△ABC區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)．

2025年初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（解答題）：圖形的旋轉(zhuǎn)（10題）參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2024?高青縣一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是PM＝PN，位置關(guān)系是PM⊥PN；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝2，AB＝4，直接寫出△PMN面積的最大值．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形；（3）92【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得PN∥BD，PN=12BD，PM∥CE，PM=12CE，從而得出PM＝PN，（2）首先利用SAS證明△ABD≌△ACE，得∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，再由（1）同理說明結(jié)論成立；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，可知NP最大，即BD最大時(shí)，△PMN面積的最大，由三角形三邊關(guān)系可知BD最大值為2+4＝6，從而解決問題．【解答】解：（1）∵點(diǎn)P，N是BC，CD的中點(diǎn)，∴PN∥BD，PN=12∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，∴PM∥CE，PM=12∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案為：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由如下：由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形的中位線得，PN=12BD，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知△PMN是等腰直角三角形，則PN最大時(shí)，△PMN的面積最大，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BD最大值為AB+AD＝6，∴PN=12BD＝∴△PMN面積的最大值為92【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，證明△PMN是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC邊上任意一點(diǎn)（不與B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE，DE．（1）求∠ECD的度數(shù)；（2）若AB＝4，BD=2，求DE【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）90°；（2）25．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB＝45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD＝AE，∠DAE＝90°，推出判定△BAD≌△CAE的條件，最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)勾股定理和全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，由旋轉(zhuǎn)可知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠ECD＝45°+45°＝90°；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC=AB2由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE=2∴CD＝BC﹣BD＝32，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，∴DE=(32)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2024?潼南區(qū)一模）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為線段BC上任意一點(diǎn)，連接AD，E為直線AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E在AB邊上，連接DE，若AE＝1，BE＝3，求DE的長(zhǎng)．（2）如圖2，若點(diǎn)E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE＝CD，點(diǎn)F為CB延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且∠FAD＝60°，猜想線段AF，EF，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（1）的條件下，M為線段AD上一點(diǎn)，連接ME，將線段ME繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段EN，連接MN，當(dāng)BN+DN的值最小時(shí)，直接寫出△AEM的面積．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）DE=7（2）AF＝AD+EF，理由見解答過程；（3）S△AEM=5【分析】（1）作EF⊥AD于F，可得出EF∥BC，從而△AEF∽△ABD，從而AFAD=EFBD=（2）在AF上截取AG＝AD，連接BG，可推出△AGB≌△ADC，從而∠ABG＝∠C＝60°，BG＝CD，進(jìn)而可證明△FBE≌△FBG，從而得出EF＝FG，進(jìn)一步得出結(jié)論；（3）在AC上截取AW＝AE＝1，連接WN，可證得△AEM≌△WEN，從而∠EWN＝∠BAD＝30°，從而得出∠AWN＝90°，從而得出點(diǎn)N在過W且于AW垂直的直線上l運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接DB′交l于點(diǎn)N，直線l交AB于I，B′D交AB于X，可推出△BDI是等邊三角形，從而XI＝BX＝1，進(jìn)而得出IN得值，可求得GI得值，進(jìn)而求得GN，從而求得AM，進(jìn)一步得出結(jié)果．【解答】解：（1）如圖1，作EF⊥AD于F，∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BC＝AB＝AE+BE＝4，AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝2，AD=32AB∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABD，∴AFAD∴AF=14AD=32∴DF＝AD﹣AF=3∴DE=D（2）AF＝AD+EF，理由如下：如圖2，AF＝AD+EF，理由如下：在AF上截取AG＝AD，連接BG，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠FAD＝∠BAC＝60°，∴∠FAB＝∠CAD，∴△AGB≌△ADC（SAS），∴∠ABG＝∠C＝60°，BG＝CD，∴∠FBG＝180°﹣∠ABG﹣∠ABC＝60°，∵BE＝CD，∴BG＝BE，∵∠FBE＝∠ABC＝60°，∴∠FBE＝∠FBG，∵BF＝BF，∴△FBE≌△FBG（SAS），∴EF＝FG，∴AF＝AG+FG＝AD+EF；（3）如圖3，在AC上截取AW＝AE＝1，連接WN，∵∠ABC＝60°，∴△AEW是等邊三角形，∴∠AEW＝60°，AE＝EW＝1，∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴AD為∠BAC在平分線，∴AD⊥EW，∴EO=1∵線段ME繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EN，∴∠MEN＝60°，EM＝EN，∴∠MEN＝∠AEW，∴∠AEM＝∠WEN，∴△AEM≌△WEN（SAS），∴∠EWN＝∠BAD＝30°，∴∠AWN＝90°，∴點(diǎn)N在過W且于AW垂直的直線上l運(yùn)動(dòng)，如圖4，作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接DB′交l于點(diǎn)N，直線l交AB于I，B′D交AB于X，此時(shí)BN+DN最小，即為B′D，∵∠AGN＝90°，AG＝1，∠BAC＝60°，∴AI＝2AG＝2，∴BI＝BD＝2，∵∠ABC＝60°，∴△BDI是等邊三角形，∴XI＝BX＝1，∵∠NIX＝∠AIG＝30°，∠IXN＝90°，∴IN=IX∵GI＝AG?tan60°=3AG=∴GN＝GI+IN=5∴AM＝GN=5∴S△AEM=12AM?EO【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．4．（2024?大觀區(qū)校級(jí)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC、線段MN和線段M'N'的位置如圖所示．（1）畫出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的△A'B'C'；（2）線段MN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到線段M′N′（點(diǎn)M，N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)M′，N′），作出旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P．（保留作圖痕跡，不寫作法）【考點(diǎn)】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換．【專題】作圖題；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀．【答案】（1）見解答．（2）見解答．【分析】（1）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．（2）連接MM'，NN'，分別作線段MM'，NN'的垂直平分線，交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求．（2）如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、中心對(duì)稱，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中心對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．5．（2024?民勤縣三模）如圖，D為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）連接DE，若∠ADB＝115°，求∠CED的度數(shù)．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）證明見解析過程；（2）55°．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB＝AC，∠BAC＝60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD＝AE，∠DAE＝60°，利用SAS理解求證結(jié)論．（2）由（1）得△ABD≌△ACE，進(jìn)而可得∠AEC＝∠ADB＝115°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AE，∠DAE＝60°，進(jìn)而可得△ADE是等邊三角形，則可得∠AED＝60°，進(jìn)而可求解．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠DAC＝60°，∠EAC+∠DAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）解：由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠AEC＝∠ADB＝115°，∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠AED＝60°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝115°﹣60°＝55°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2024?西城區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，過點(diǎn)A作BC的垂線AD，垂足為D，E為射線DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接AE，以點(diǎn)A為中心，將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接BF，與直線AD交于點(diǎn)G．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖形；②求證：點(diǎn)G為BF的中點(diǎn)．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，用等式表示AE，BE，AG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】（1）見解答過程；（2）2AE2﹣4AG2＝BE2．【分析】（1）①根據(jù)題意畫圖即可，②由條件可證△ABE≌△ACF（SAS），得到∴ABE＝∠ACF＝45°，從而有CF⊥BC，再通過平行線分線段成比例即可證出G為BF的中點(diǎn)；（2）由（1）知△ABE≌△ACF，可得BE＝CF，G為BF的中點(diǎn)仍然成立，設(shè)AD＝CD＝x，CE＝y(tǒng)，表示出AE，BE，AG即可發(fā)現(xiàn)它們之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）①如圖1：②如圖，連接CF，∵∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠ABE＝∠ACF＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝45°+45°＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AD∥CF，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴BG＝FG，∴G為BF的中點(diǎn)．（2）2AE2﹣4AG2＝BE2.理由如下：如圖2，連接CF，由（1）可知：△ABE≌△ACF（SAS），∴∠BCF＝90°，G為BF的中點(diǎn)仍然成立，且BE＝CF，設(shè)AD＝CD＝x，CE＝y(tǒng)，則BE＝CF＝2x+y，∵DG=1∴AG=1在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE2＝x2+（x+y）2，∴AE2＝2x2+2xy+y2，BE2＝（2x+y）2＝4x2+4xy+y2，AG2=1∴2AE2﹣4AG2＝BE2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，表示出AE，BE，AG的長(zhǎng)度是解決問題的關(guān)鍵．7．（2024?全椒縣一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了以格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）為端點(diǎn)的線段AB，點(diǎn)O在格點(diǎn)上．（1）將線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD，請(qǐng)畫出線段CD．（A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）（2）以線段CD為一邊，作一個(gè)正方形CDEF．且點(diǎn)E，F(xiàn)也為格點(diǎn)．（作出一個(gè)正方形即可）【考點(diǎn)】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換．【專題】網(wǎng)格型；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀．【答案】（1）（2）作圖見解析．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可求解；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合網(wǎng)格即可求解．【解答】解：（1）如圖所示，線段CD即為所求；（2）如圖所示，正方形CDEF即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2024?二道區(qū)校級(jí)模擬）如圖①，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，∠ABC＝90°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線CB﹣BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，將線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連結(jié)PQ．（1）當(dāng)點(diǎn)P從C運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，∠ACQ的度數(shù)為15°；（2）當(dāng)P在BC上，則線段PQ+PB＝2；（3）當(dāng)點(diǎn)P在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連結(jié)BQ，當(dāng)△BPQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，求線段BP的長(zhǎng)，并寫出此時(shí)△BPQ的面積；（4）當(dāng)點(diǎn)Q與△ABC的頂點(diǎn)所連線段垂直于△ABC的某一邊時(shí)，直接寫出CP的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）15°．（2）PQ+PB＝2．（3）當(dāng)PB＝1時(shí)，△BPQ的面積的最小值為34（4）CP＝23-2或433【分析】（1）由∠ACB＝45°，∠PCQ＝60°，得∠ACQ＝∠PCQ﹣∠ACB＝15°．（2）由等邊△QPC，得PQ＝PC，故PQ+PB＝PC+PB＝BC＝2．（3）過Q作QM⊥BC．故∠PQM＝∠CQM＝30°，得PM=12QP．設(shè)PM＝x，則QP＝2x，得QM=3x．由PQ+PB＝2．得BP＝2﹣2x．故△BPQ的面積=12BP×QM=12×（2﹣2x）×3x=-3（4）①當(dāng)QB⊥AC時(shí)，∠QBC＝∠QBA＝45°，△QBM為等腰Rt△．同（3）得BM＝BP+PM＝2﹣2x+x＝2﹣x，QM=3x，2﹣x=3x，x=3-1，BP＝2﹣2x＝4﹣23，故CP＝BC﹣BP＝②當(dāng)QC⊥BC時(shí)，由∠QCB＝90°，∠QCP＝60°，得∠PCB＝30°，得BP=BC3=233，故③當(dāng)QA⊥AB時(shí)，過C作CM⊥AQ，交AQ延長(zhǎng)線于M．由正方形ABCM，得CB＝CM，又CP＝CQ，故Rt△CPB≌Rt△CQM（HL），得BP＝QM，AP＝AQ，設(shè)AQ＝AP＝x，得PQ＝PC=2x，PB＝2﹣x，由勾股定理得BC2+PB2＝PC2，22+（2﹣x）2＝（2x）2，x＝23-2（﹣23-2舍去），故CP=【解答】解：（1）∵∠ACB＝45°，∠PCQ＝60°，∴∠ACQ＝∠PCQ﹣∠ACB＝15°，故答案為：15°．（2）∵等邊△QPC，∴PQ＝PC，∴PQ+PB＝PC+PB＝BC＝2．故答案為：2．（3）過Q作QM⊥BC．∴∠PQM＝∠CQM＝30°，∴PM=12設(shè)PM＝x，則QP＝2x，∴QM=3x∵PQ+PB＝2．∴BP＝2﹣2x．∴△BPQ的面積=12BP×QM=12×（2﹣2x）×3x=-∴當(dāng)x=12時(shí)，△BPQ的面積的最小值為即當(dāng)BP＝2﹣2×12=1時(shí)，△BPQ（4）①當(dāng)QB⊥AC時(shí)，如圖所示：∴∠QBC＝∠QBA＝45°，∴△QBM為等腰Rt△．同（3）得BM＝BP+PM＝2﹣2x+x＝2﹣x，QM=3x∴2﹣x=3x∴x=3-∴BP＝2﹣2x＝4﹣23，∴CP＝BC﹣BP＝23-2②當(dāng)QC⊥BC時(shí)，如圖所示：∵∠QCB＝90°，∠QCP＝60°，∴∠PCB＝30°，∴BP=BC∴PC＝2BP=4③當(dāng)QA⊥AB時(shí)，過C作CM⊥AQ，交AQ延長(zhǎng)線于M．∵正方形ABCM，∴CB＝CM，又CP＝CQ，∴Rt△CPB≌Rt△CQM（HL），∴BP＝QM，∴AP＝AQ，設(shè)AQ＝AP＝x，∴PQ＝PC=2x，PB＝2﹣x∵BC2+PB2＝PC2，∴22+（2﹣x）2＝（2x）2，∴x＝23-2（﹣23-∴CP=2x=2綜上所述，CP＝23-2或433【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何變換綜合題，掌握等腰Rt△和等邊三角形，以及含30°的直角三角形的性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．9．（2024?安徽三模）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）將△ABC先向下平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，得到△A1B1C1，請(qǐng)畫出△A1B1C1（其中A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1）；（2）再將線段AB繞點(diǎn)B1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A2B2，請(qǐng)畫出線段A2B2；（3）在網(wǎng)格內(nèi)描出兩個(gè)格點(diǎn)M，N，請(qǐng)畫出直線MN，使得直線MN垂直平分線段A2B2．【考點(diǎn)】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖﹣平移變換．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】見解析．【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，線段A2B2即為所求；（3）如圖，直線MN即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，線段垂直平分線的性質(zhì)，平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換，平移變換的性質(zhì)．10．（2024?唐山二模）如圖1，在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A為銳角，且sinA=45．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接PB，將PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段（1）點(diǎn)B到AC的距離為8；（2）當(dāng)PB=45時(shí)，求AP（3）如圖2，當(dāng)CQ∥AB時(shí)，求tan∠ABP的值；（4）若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)，直接寫出點(diǎn)Q在△ABC區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）8；（2）AP＝2或10；（3）2；（4）817【分析】（1）過點(diǎn)B作BD⊥AC，在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)，求出BD的長(zhǎng)即可；（2）分點(diǎn)P在點(diǎn)D的上方和下方，兩種情況進(jìn)行討論求解即可；（3）過點(diǎn)P作PE⊥AB，延長(zhǎng)EP交QC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明△PEB≌△QFP，根據(jù)sinA=PEAP=45，設(shè)PE＝4x，AP＝5x，得到BE＝AB﹣AE＝10﹣3x，PC＝AC﹣AP＝15﹣5x，平行得到∠A＝∠PCF（4）求出點(diǎn)Q在AC上和在BC上時(shí)的t值，即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥AC，在Rt△ABD，AB＝10，sinA=BD∴BD＝8，∴B到AC的距離為8；（2）如圖1.2，∵BP=45∴BP＞BD，在Rt△BDP中，DP=B在Rt△ABD中，AD=A當(dāng)P在D點(diǎn)下方時(shí)：AP＝AD﹣PD＝2，當(dāng)P在D點(diǎn)上方時(shí)：AP＝AD+PD＝10；綜上：AP＝2或10；（3）過點(diǎn)P作PE⊥AB，延長(zhǎng)EP交QC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖2，∵CQ∥AB，∴PF⊥CQ，∴∠QFP＝∠PEB＝∠PEA＝90°，∵旋轉(zhuǎn)，∴BP＝PQ，∠BPQ＝90°，∴∠PBE＝∠FPQ＝90°﹣∠BPE，∴△PEB≌△QFP，∴PE＝FQ，PF＝BE，∵sinA=PE∴設(shè)PE＝4x，AP＝5x，則：AE＝3x，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣3x，PC＝AC﹣AP＝15﹣5x，∵CQ∥AB，∴∠A＝∠PCF，∴sin∠∴x＝2，∴PE＝8，BE＝4，∴tan∠（4）當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)，則：BP⊥AC，如圖3.1，由（1）知：BP＝8，∴AP=A∴t＝6÷1＝6秒；當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，過點(diǎn)B作BM⊥AC，過點(diǎn)Q作QN⊥AC，則：QN∥BM，如圖3.2，由（1）知：BM＝8，則：AM=A∴CM＝AC﹣AM＝9，同法（3）可得：△BMP≌△PNQ，∴PM＝QN，PN＝BM＝8，∵QN∥BM，∴△CNQ∽△CMB，∴CNCM∴CNQN設(shè)CN＝9a，NQ＝8a，∴PM＝NQ＝8a，∵CM＝CN+PN+PM＝9a+8+8a＝9，∴a=1∴PM=8∴AP=AM+PM=6+8∴t=(6+8∴點(diǎn)Q在△ABC區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)為6+8【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．2．線段垂直平分線的