專題14 二次函數(shù)-主從聯(lián)動（瓜豆原理）求最小值（解析版）

第十四講二次函數(shù)--主從聯(lián)動（瓜豆原理）求最值

知識導(dǎo)航

必備知識點

一、軌跡為線段

引例：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q

點軌跡是？

【分析】當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過A、Q向

BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一

半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．

【引例】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當點P在直線BC上運

動時，求Q點軌跡？

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【分析】當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當確定軌跡是線

段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即

得Q點軌跡線段．

【模型總結(jié)】

必要條件：

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．

結(jié)論：P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于∠PAQ（當∠PAQ≤90°時，∠PAQ等于MN與

BC夾角）

P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）

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二、軌跡為圓

引例1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．

考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？

【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？

考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是

OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

【小結(jié)】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，

由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，

由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．

Q點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放．

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根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系；

根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．

引例2：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．

考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？

【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡

都是圓．接下來確定圓心與半徑．

考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；

考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．

即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．

引例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？

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【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；

考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．

即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．

【模型總結(jié)】

為了便于區(qū)分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．

此類問題的必要條件：兩個定量

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．

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【結(jié)論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：

∠PAQ=∠OAM；

（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：

AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．

按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當于旋轉(zhuǎn)+伸縮．

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．

例題演練

1．如圖①，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，

連接BC，點P是拋物線上一動點．

（1）求二次函數(shù)的表達式．

（2）當點P不與點A、B重合時，作直線AP，交直線BC于點Q，若△ABQ的面積是△BPQ面

積的4倍，求點P的橫坐標．

（3）如圖②，當點P在第一象限時，連接AP，交線段BC于點M，以AM為斜邊向△ABM外

作等腰直角三角形AMN，連接BN，△ABN的面積是否變化？如果不變，請求出△ABN的面積；

如果變化，請說明理由．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)經(jīng)過A（﹣1，0），（3，0），

∴代入得，

解得，

所以二次函數(shù)的表達式為y＝﹣x2+2x+3．

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（2）①如圖所示，當P在x軸上方時，

過點P作PF⊥x軸于點F，過點E作QE⊥x軸于點E，過點B作BG⊥AP于點G，

可得△AQE∽△APF，

∴，

∵＝＝，

∴，

∴＝，

設(shè)點P（a，﹣a2+2a+3），

∴OF＝a，PF＝﹣a2+2a+3，

∴AF＝a﹣（﹣1）＝a+1，QE＝＝，

∴AE＝＝，

∴OE＝AE﹣AO＝﹣1＝，

∴Q點的坐標可表示為（，），

∵B（3，0），C為二次函數(shù)與y軸交點，

∴C（0，3），

可得BC的解析式為y＝﹣x+3，

∵Q在BC上，

∴＝﹣+3，

解得a＝或．

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②如圖所示，當P在x軸下方時，

同理①可求出P點的橫坐標為或，

∵﹣1＜＜0，

∴當P點橫坐標為時，P在拋物線的AC段，

綜上所述，P點的橫坐標為或或．

（3）如圖所示，以AB為底在x軸上方作等腰直角三角形ABK，連接NK，過點K作KH⊥x軸于

點H，

∵△AMN和△ABK均為等腰直角三角形，

∴，∠NAM＝∠BAK，

∴∠NAM+∠MAK＝∠BAK+∠MAK，

∴∠NAK＝∠MAB，

∴△NAK∽△MAB，

∴∠NKA＝∠MBA，

∵C（0，3），B（3，0），

∴OC＝OB，

∴∠MBA＝45°＝∠NAK＝∠KAB，

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∴NK∥AB，

∵兩條平行線之間的距離相等，

∴N在運動時，N到AB的距離保持不變，其距離都等于KH的長，

∵在等腰直角三角形KAB中，AB＝4，

∴KH＝，

∴．

綜上所述，△ABN的面積不變，為4．

2．如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點，拋物線y＝x2+bx+c

經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為B．

（1）求拋物線解析式；

（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，當點M運動到某一位置時，△ABM的面積等于△ABC

面積的，求此時點M的坐標；

（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的B與x軸交于E、F兩點（F在E右側(cè)），若P點是B

上一動點，連接PA，以PA為腰作等腰R⊙t△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三點為逆時針順序⊙），

連接FD．求FD長度的取值范圍．

【解答】解：（1）令x＝0，則y＝5，

∴C（0，5），

令y＝0，則x＝1，

∴A（1，0），

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將點A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，

得，

∴，

∴y＝x2﹣6x+5；

（2）設(shè)M（m，m2﹣6m+5），

令y＝0，則x2﹣6x+5＝0，

解得x＝5或x＝1，

∴B（5，0），

∴AB＝4，

∴S△ABC＝×4×5＝10，

∵△ABM的面積等于△ABC面積的，

2

∴S△AMB＝6＝×4×（m﹣6m+5），

解得m＝2或m＝4，

∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；

（3）將點B繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°到B'，連接AB'，PB，B'D，

∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，

∴∠B'AD＝∠PAB，

∵AB＝AB'，PA＝AD，

∴△ADB'≌△APB'（SAS），

∴BP＝B'D，

∵PB＝2，

∴B'D＝2，

∴D在以B'為圓心，2為半徑的圓上運動，

∵B（5，0），A（1，0），

∴B'（1，﹣4），

∵BF＝2，

∴F（7，0），

∴B'F＝2，

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∴DF的最大值為2+2，DF的最小值為2﹣2，

∴2﹣2≤DF≤2+2．

3．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝ax2﹣2x+c與x軸交于點A（1，0），

點B（﹣3，0），與y軸交于點C，連接BC，點P在第二象限的拋物線上，連接PC、PO，線段

PO交線段BC于點E．

（1）求拋物線的表達式；

（2）若△PCE的面積為S1，△OCE的面積為S2，當時，求點P的坐標；

（3）已知點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點N，連接BN，點H在x軸上，當∠HCB＝∠NBC

時，

①求滿足條件的所有點H的坐標

②當點H在線段AB上時，點Q是平面直角坐標系內(nèi)一點，保持QH＝，連接BQ，將線段BQ

繞著點Q順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段QM，連接MH，請直接寫出線段MH的取值范圍．

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【解答】解：（1）把點A（1，0），點B（﹣3，0）代入拋物線y＝ax2﹣2x+c中，

得：，

解得：．

∴拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如圖1，過P作PG⊥y軸于G，過E作EH⊥y軸于H，

當x＝0時，y＝3，

∴C（0，3），

∴BC的解析式為：y＝x+3，

∵△PCE的面積為S1，△OCE的面積為S2，且，

∴＝，

∵EH∥PG，

∴△OEH∽△OPG，

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∴＝＝＝，

∴設(shè)E（3m，3m+3），則P（5m，﹣25m2﹣10m+3），

∴＝

∴25m2+15m+2＝0，

（5m+2）（5m+1）＝0，

m1＝﹣，m2＝﹣，

當m＝﹣時，5m＝﹣2，則P（﹣2，3），

當m＝﹣時，5m＝﹣1，則P（﹣1，4），

綜上，點P的坐標是（﹣2，3）或（﹣1，4）；

（3）①由對稱得：N（﹣2，3），

∵∠HCB＝∠NBC，

如圖2，連接CN，有兩種情況：

i）當BN∥CH1時，∠H1CB＝∠NBC，

∵CN∥AB，

∴四邊形CNBH1是平行四邊形，

∴H1（﹣1，0）；

ii）當∠H2CB＝∠NBC，

設(shè)H2（n，0），直線CH2與BN交于點M，

∴BM＝CM，

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∵B（﹣3，0），N（﹣2，3），

∴同理可得BN的解析式為：y＝3x+9，

∴設(shè)CH2的解析式為：y＝﹣+3，

∴（﹣，），

∵BM＝CM，

∴＝，

n＝﹣9或﹣1（舍），

∴H2（﹣9，0），

綜上，點H的坐標是（﹣1，0）或（﹣9，0）；

②如圖3，當Q在x軸下方時，且MH⊥x軸時，MH最小，過Q作QG⊥x軸，過M作MF⊥

QG于F，則四邊形MFGH是矩形，

∴FM＝GH，F(xiàn)G＝MH，

∵∠BQM＝∠F＝90°，

∴∠BQG+∠GQM＝∠FMQ+∠GQM＝90°，

∴∠BQG＝∠FMQ，

∵BQ＝QM，∠BGQ＝∠F＝90°，

∴△BGQ≌△QFM（AAS），

∴FM＝GQ，BG＝FQ，

∴GQ＝FM＝GH，

∵QH＝，

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∴QG＝GH＝，

∴MH＝FG＝FQ﹣QG＝BG﹣GH＝2﹣﹣＝2﹣3；

如圖4，當Q在x軸上方時，且MH⊥x軸時，MH最大，過Q作QG⊥x軸，作QF⊥MH于F，

則四邊形QFHG是矩形，

∴FQ＝GH，GQ＝FH，

同理得△BGQ≌△MFQ（AAS），

∴QG＝FQ＝GH，BG＝MF，

∵QH＝，

∴QG＝GH＝，

∴MH＝FM+FH＝BG+GH＝2++＝2+3；

∴MH的取值范圍是2﹣≤MH≤2+．

4．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣3x+4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．

（1）若以點C為圓心，1為半徑的圓上有一動點P，連接BP，點Q為線段BP上一點，且BQ

＝BP，求線段OQ的最大值；為線段BP上一點，且BQ＝BP，求線段OQ的最大值；

（2）若點D為拋物線上一點且橫坐標為﹣3，點E為y軸上一點，點F在以點A為圓心，2為

半徑的圓上，求DE+EF的最小值；

（3）若以點B為圓心，3為半徑作圓，與x軸的正半軸交于點H，點M是B上的一動點，連

接AM，以AM為直角邊向下作等腰Rt△MAN，且∠MAN＝90°，連接NH，⊙求線段NH長度的

取值范圍．

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【解答】解：（1）如圖1，

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連接BC，CP，作QI∥CP交BC于點I，作ID⊥OB于D，

∴△BIQ∽△BCP，

∴，

同理可得，

，

∴＝，

∴BD＝IQ＝，DI＝，