專題31三角形與新定義綜合問題（解析版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題31三角形與新定義綜合問題

【例1】（2022?淮安區(qū)模擬）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對（can），

如圖1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的鄰對記作canB，這時(shí)canB＝＝．容

易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的鄰對值是一一對應(yīng)的，根據(jù)上述角的鄰對的定義，解下

列問題：

（1）can30°＝，若canB＝1，則∠B＝60°．

（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周長．

【分析】（1）根據(jù)定義，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，想到過

點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，根據(jù)∠B＝30°，可得：BD＝AB，再利用等腰三角形

的三線合一性質(zhì)，求出BC即可解答，

根據(jù)定義，canB＝1，可得底邊與腰相等，所以這個(gè)等腰三角形是等邊三角形，從而得∠

B＝60°；

（2）根據(jù)定義，想利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，想到過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，

canB＝，所以設(shè)BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△

ABC＝48，列出關(guān)于x的方程即可解答．

【解答】解：（1）如圖：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BC＝2BD，

第1頁共57頁.

∵∠B＝30°，

∴BD＝ABcos30°＝AB，

∴BC＝2BD＝AB，

∴can30°＝＝＝，

若canB＝1，

∴canB＝＝1，

∴BC＝AB，

∵AB＝AC，

∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝60°，

故答案為：，60；

（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，

∵canB＝，

∴＝，

∴設(shè)BC＝8x，AB＝5x，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝BC＝4x，

∴AD＝＝3x，

∵S△ABC＝48，

∴BC?AD＝48，

∴?8x?3x＝48，

∴x2＝4，

∴x＝±2（負(fù)值舍去），

第2頁共57頁.

∴x＝2，

∴AB＝AC＝10，BC＝16，

∴△ABC的周長為36，

答：△ABC的周長為36．

【例2】（2022?柯城區(qū)校級三模）定義：若三角形的一條邊上的高線與這條邊相等，則稱這

個(gè)三角形為“標(biāo)準(zhǔn)三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB＝CD，則△ABC為標(biāo)

準(zhǔn)三角形．

【概念感知】

判斷：對的打“√”，錯(cuò)的打“×”．

（1）等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．√

（2）頂角為30°的等腰三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．×

【概念理解】

若一個(gè)等腰三角形為標(biāo)準(zhǔn)三角形，則此三角形的三邊長之比為1：1：或：：

2．

【概念應(yīng)用】

（1）如圖，若△ABC為標(biāo)準(zhǔn)三角形，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小

值．

（2）若一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形的其中一邊是另一邊的倍，求最小角的正弦值．

【分析】【概念感知】（1）根據(jù)等腰直角三角形的兩條直角邊互相垂直且相等，即可判斷；

（2）作出圖形，分別對底邊上的高和腰上的高進(jìn)行討論，即可求解；

【概念理解】當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，AC：AB：BC＝1：1：；當(dāng)△ABC是等

腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，設(shè)BE＝x，則AE＝2x，求出AB＝x，則AB：

AC：BC＝：：2；

【概念應(yīng)用】（1）過C點(diǎn)作AB的平行線，作A點(diǎn)關(guān)于該平行線的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，

當(dāng)A'、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，AC+BC＝A'B，此時(shí)AC+BC的值最小，求出A'B即可；

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)AC＝AB時(shí)，AC＝CD，過點(diǎn)B作BE⊥AC交于E，

設(shè)CD＝AB＝a，則AC＝a，由等積法求出BE＝a，用勾股定理分別求出AD＝2a，

第3頁共57頁.

BD＝a，BC＝a，則可求sin∠BCE＝；②當(dāng)BC＝AB時(shí)，BC＝DC，過

點(diǎn)B作BE⊥AC交于E，設(shè)CD＝AB＝a，則BC＝a，由勾股定理分別求出BD＝2a，

AD＝3a，AC＝a，再由等積法求出BE＝a，即可求sin∠BCE＝．

【解答】解：【概念感知】

（1）如圖1：等腰直角三角形ABC中，AB⊥AC，

∵AB＝AC，

∴等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形，

故答案為：√；

（2）如圖2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，CD⊥AB，

∵∠A＝30°，

∴CD＝AC，

∵CA＝AB，

∴CD＝AB，

∴△ABC不是標(biāo)準(zhǔn)三角形；

如圖3，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，

此時(shí)AE＞BC，

∴△ABC不是標(biāo)準(zhǔn)三角形；

故答案為：×；

【概念理解】

如圖1，當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，AC：AB：BC＝1：1：；

如圖4，當(dāng)△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，

∴BE＝EC＝BC＝AE，

設(shè)BE＝x，則AE＝2x，

在Rt△ABE中，AB＝x，

∴AB：AC：BC＝：：2；

故答案為：1：1：或：：2；

【概念應(yīng)用】

（1）如圖5，過C點(diǎn)作AB的平行線，作A點(diǎn)關(guān)于該平行線的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，

當(dāng)A'、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，AC+BC＝A'B，此時(shí)AC+BC的值最小，

∵AB＝CD＝1，

第4頁共57頁.

∴AA'＝2，

在Rt△ABA'中，A'B＝，

∴AC+BC的最小值為；

（2）在△ABC中，AB＝CD，AB⊥CD，

∴AC＞CD，BC＞CD，

∴AC＞AB，BC＞AB，

∴△ABC的最小角為∠ACB，

①如圖6，當(dāng)AC＝AB時(shí)，AC＝CD，

過點(diǎn)B作BE⊥AC交于E，

設(shè)CD＝AB＝a，則AC＝a，

∵S△ABC＝×AB×CD＝×AC×BE，

∴BE＝a，

在Rt△ACD中，AD＝2a，

∴BD＝AD﹣AB＝a，

在Rt△BCD中，BC＝a，

在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；

②如圖7，當(dāng)BC＝AB時(shí)，BC＝DC，

過點(diǎn)B作BE⊥AC交于E，

設(shè)CD＝AB＝a，則BC＝a，

在Rt△BCD中，BD＝2a，

∴AD＝3a，

在Rt△ACD中，AC＝a，

∵S△ABC＝×AB×CD＝×AC×BE，

∴BE＝a，

在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；

綜上所述：最小角的正弦值為或.

第5頁共57頁.

第6頁共57頁.

【例3】（2020?五華區(qū)校級三模）愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，

發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖（1）、

圖（2）、圖（3）中，AM、BN是ABC的中線，AM⊥BN于點(diǎn)P，像ABC這樣的三角形

均為“中垂三角形”．設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c．

【特例探究】

（1）如圖1，當(dāng)∠PAB＝45°，c＝時(shí)，a＝4，b＝4；如圖2，當(dāng)∠

PAB＝30°，c＝2時(shí)，a2+b2＝20；

【歸納證明】

（2）請你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，

并利用圖3證明你的結(jié)論．

【拓展證明】

（3）如圖4，在ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD＝3AE，BC＝3BF，

連接AF、BE、C?E，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點(diǎn)G，AD＝3，AB＝3，求AF

的長．

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【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出PA、PB，根據(jù)三角形中位線定理得到

MN∥AB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別求出PM、PN，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

（2）連接MN，設(shè)PN＝x，PM＝y(tǒng)，利用勾股定理分別用x、y表示出a、b、c，得到答

案；

（3）取AB的中點(diǎn)H，連接FH并延長交DA的延長線于點(diǎn)P，證明△ABF為“中垂三

角形”，根據(jù)（2）中結(jié)論計(jì)算即可．

【解答】解：（1）在Rt△APB中，∠PAB＝45°，c＝，

則PA＝PB＝c＝4，

∵M(jìn)、N分別為CB、CA的中點(diǎn)，

∴MN＝AB＝2，MN∥AB，

∴△APB∽△MPN，

∴＝＝＝，

∴PM＝PN＝2，

∴BM＝＝2，

∴a＝2BM＝4，

同理：b＝2AN＝4，

如圖2，連接MN，

在Rt△APB中，∠PAB＝30°，c＝2，

∴PB＝c＝1，

∴PA＝＝，

∴PN＝，PM＝，

∴BM＝＝，AN＝＝，

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∴a＝，b＝，

∴a2+b2＝20，

故答案為：4；4；20；

（2）a2+b2＝5c2，

理由如下：如圖3，連接MN，

設(shè)PN＝x，PM＝y(tǒng)，

則PB＝2PN＝2x，PA＝2PM＝2y，

∴BM＝＝，AN＝＝，

∴a＝2，b＝2，

∴a2+b2＝20（x2+y2），

∵c2＝PA2+PB2＝4（x2+y2），

∴a2+b2＝5c2；

（3）取AB的中點(diǎn)H，連接FH并延長交DA的延長線于點(diǎn)P，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴△AHP∽△BHF，

∴＝＝1，

∴AP＝BF，

∵AD＝3AE，BC＝3BF，AD＝3，

∴AE＝BF＝，

∴PE＝FC，

∴四邊形PFCE為平行四邊形，

∵BE⊥CE，

∴BG⊥FH，

∵AE∥BF，AE＝BF，

∴AG＝GF，

∴△ABF為“中垂三角形”，

∴AB2+AF2＝5BF2，即32+AF2＝5×（）2，

解得：AF＝4．

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【例4】（2020?岳麓區(qū)校級二模）定義：在△ABC中，若有兩條中線互相垂直，則稱△ABC

為中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周長，記作L，即L＝AB2+BC2+CA2．

（1）如圖1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分別是AC，BC邊上的中線，若AC

＝BC，求證：△AOB是等腰直角三角形；

（2）如圖2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分別是邊BC，AC上的中線，且AE⊥BD

于點(diǎn)O，試探究△ABC的方周長L與AB2之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（3）如圖3，已知拋物線y＝與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交

于點(diǎn)B，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與該拋物線相交于點(diǎn)C，與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D，且BD＝CD，

連接AC交y軸于點(diǎn)E．

①求證：△ABC是中垂三角形；

②若△ABC為直角三角形，求△ABC的方周長L的值．

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【分析】（1）先利用“SAS“證明△BAD≌△ABE，然后根據(jù)△ABC是中垂三角形即可證

明；

（2）先判斷出AC＝2AD，BC＝2BE，再利用勾股定理，即可得出結(jié)論；

（3）①利用二次函數(shù)先求出點(diǎn)B、點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)確

定E是AC的中點(diǎn)，最后根據(jù)中垂三角形的定義即可證明；

②先由點(diǎn)A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a）的坐標(biāo)得到kAB＝a，kAC＝﹣a，

kBC＝﹣a，然后分情況討論即可求解；或結(jié)合射影定理分情況討論進(jìn)行求解即可．

【解答】（1）證明：AC＝BC，BD，AE分別是AC，BC邊上的中線，

∴AD＝BE，∠BAD＝∠ABE，

∴△BAD≌△ABE（SAS），

∴∠ABD＝∠BAE，

∴OA＝OB．

∵△ABC是中垂三角形，且AC＝BC，

∴∠AOB＝90°，

∴△AOB是等腰直角三角形．

（2）L＝6AB2．

證明：如圖，連接DE．

∵AE，BD分別是邊BC，AC上的中線，

∴AC＝2AD，BC＝2BE，DE＝AB，

∴AC2＝4AD2，BC2＝4BE2，DE2＝AB2．

在Rt△AOD中，AD2＝OA2+OD2，

在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，

∴AC2+BC2＝4（AD2+BE2）

＝4（OA2+OD2+OB2+OE2）

＝4（AB2+DE2）

＝4（AB2+AB2）

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＝5AB2，

∴L＝AB2+AC2+BC2＝AB2+5AB2＝6AB2．

（3）①證明：在y＝中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2a，

∴點(diǎn)B（0，﹣2a）．

y＝0時(shí)，＝0，

整理得3x2﹣4x﹣32＝0，

解得x1＝﹣（舍），x2＝4，

∴點(diǎn)A（4，0）．

∵BD＝CD，

yC＝﹣yB＝2a，

將y＝2a代人y＝，

解得x1＝（舍），x2＝﹣4，

∴C（﹣4，2a）．

由點(diǎn)A（4，0），C（﹣4，2a）可知，E是AC的中點(diǎn)．

又∵BD＝CD，

∴AD，BE都是△ABC的中線．

又∵∠AOB＝90°，

∴AD⊥BE，

∴△ABC是中垂三角形．

②解法一：由點(diǎn)A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a）可得kAB＝a，kAC＝﹣a，

kBC＝﹣a，

∵∠C＜∠AOB，

∴∠C≠90°．

當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，kAB?kBC＝﹣1，

解得a＝（負(fù)值舍去），

∴點(diǎn)B（0，﹣2），

∴L＝6AB2＝6×24＝144．

當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，kAB?kCA＝﹣1，

解得a＝2（負(fù)值舍去），

∴點(diǎn)B（0，﹣4），

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∴L＝6AB2＝6×48＝288．

綜上所述，△ABC的方周長L的值為144或288．

解法二：由點(diǎn)A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a），

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)D（﹣2，0），E（0，a）．

∵∠C＜∠AOB，

∴∠C≠90°．

當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，在△ABD中，由射影定理得OB2＝OA?OD，

∴4a2＝8，解得＝（負(fù)值舍去），

∴點(diǎn)B（0，﹣2α），

∴L＝6AB2＝6×24＝144．

當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，在△ABE中，由射影定理得OA2＝OB?OE，

∴16＝2a2，解得a＝2（負(fù)值舍去），

∴點(diǎn)B（0，﹣4），

∴L＝6AB2＝6×48＝288．

綜上所述，△ABC的方周長L的值為144或288．

【例5】（2020?安徽模擬）通過學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的

大小與兩條邊長的比值是一一對應(yīng)的，因此，兩條邊長的比值與角的大小之間可以相互

轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底

邊與腰的比叫做底角的鄰對（can），如圖（1）在△ABC中，AB＝AC，底角B的鄰對記

作canB，這時(shí)canB＝，容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的鄰對值也是一一對

應(yīng)的．根據(jù)上述角的鄰對的定義，解下列問題：

（1）can30°＝；

（2）如圖（2），已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周長．

【分析】（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)∠B＝30°，可得出BD＝AB，結(jié)合等

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腰三角形的性質(zhì)可得出BC＝AB，繼而得出canB；

（2）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)canB＝，設(shè)BC＝8x，AB＝5x，再由S△ABC＝24，

可得出x的值，繼而求出周長．

【解答】解：

（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，

∵∠B＝30°，

∴cos∠B＝＝，

∴BD＝AB，

∵△ABC是等腰三角形，

∴BC＝2BD＝AB，

故can30°＝＝；

（2）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，

∵canB＝，則可設(shè)BC＝8x，AB＝5x，

∴AE＝＝3x，

∵S△ABC＝24，

∴BC×AE＝12x2＝24，

解得：x＝，

故AB＝AC＝5，BC＝8，

從而可得△ABC的周長為18．

一．解答題（共20題）

1．（2022秋?如皋市期中）定義：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角

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形”．

（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有②③（只填寫序號）．

①頂角是30°的等腰三角形；

②等腰直角三角形；

③有一個(gè)角是30°的直角三角形．

（2）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，將△ABC沿邊AB所在的直線翻折

180°得到△ABD，延長DA到點(diǎn)E，連接BE．

①若BC＝BE，求證：△ABE是“倍角三角形”；

②點(diǎn)P在線段AE上，連接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的兩三角形中，一個(gè)

是等腰三角形，一個(gè)是“倍角三角形”，請直接寫出∠E的度數(shù)．

【分析】（1）利用“倍角三角形”的定義依次判斷可求解；

（2）①由折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE＝2∠ADB，由等腰三角形的性質(zhì)

可得∠BDE＝∠E，可得結(jié)論；

②分兩種情況討論，由三角形內(nèi)角和定理和“倍角三角形”的定義可求解．

【解答】（1）解：若頂角是30°的等腰三角形，

∴兩個(gè)底角分別為75°，75°，

∴頂角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，

若等腰直角三角形，

∴三個(gè)角分別為45°，45°，90°，

∵90°＝2×45°，

∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，

若有一個(gè)是30°的直角三角形，

∴另兩個(gè)角分別為60°，90°，

∵60°＝2×30°，

∴有一個(gè)30°的直角三角形是“倍角三角形”，

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故答案為：②③；

（2）①證明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，

∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，

∴∠BAE＝2∠ADB，

∵BE＝BC，

∴BD＝BE，

∴∠E＝∠ADB，

∴∠BAE＝2∠E，

∴△ABE是“倍角三角形”；

②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，

如圖，

若△ABP是等腰三角形，則△BPE是“倍角三角形”，

∴△ABP是等邊三角形，

∴∠APB＝60°，

∴∠BPE＝120°，

∵△BPE是“倍角三角形”，

∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，

∴∠BEP＝20°或40°；

若△BPE是等腰三角形，則△ABP是“倍角三角形”，

∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠

ABP，

∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，

∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，

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∵△BPE是等腰三角形，

∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，

綜上所述：∠BPE的度數(shù)為45°或15°或20°或40°．

2．（2022秋?義烏市校級月考）【概念認(rèn)識】如圖①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE

＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”，其中，BD是“鄰AB三分線“，BE是

“鄰BC三分線”．

【問題解決】（1）如圖②所示．在△ABC中．∠A＝80°，∠ABC＝45°．若∠ABC的

三分線BD交AC于點(diǎn)D．求∠BDC的度數(shù)．

（2）如圖③所示，在△ABC中．BP，CP分別是∠ABC的鄰BC三分線和∠ACB的鄰

BC三分線，且∠BPC＝140°．求∠A的度數(shù)．

【延伸推廣】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分線所在的直線與

∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P，若∠A＝m°（m＞54），∠ABC＝54°．求出∠BPC

的度數(shù)．（用含m的式子表示）

【分析】（1）分BD是鄰AB的三分線和BD是鄰BC的三分線兩種情況解答即可；

（2）由∠BPC＝140°，得∠PBC+∠PCB＝40°，故∠ABC+∠ACB＝40°，可得∠

ABC+∠ACB＝120°，從而∠A＝60°；

（3）分四種情況分別解答即可．

【解答】解：（1）當(dāng)BD是“鄰AB三分線”時(shí)，∠ABD＝∠ABC＝15°，

則∠BDC＝∠ABD+∠A＝15°+80°＝95°，

當(dāng)BD′是“鄰BC三分線”時(shí)，∠ABD′＝∠ABC＝30°，

則∠BD′C＝∠ABD′+∠A＝30°+80°＝110°，

綜上所述，∠BDC的度數(shù)為95°或110°；

（2）∵∠BPC＝140°，

∴∠PBC+∠PCB＝40°，

∵BP，CP分別是∠ABC的鄰BC三分線和∠ACB的鄰BC三分線，

第17頁共57頁.

∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，

∴∠ABC+∠ACB＝40°，

∴∠ABC+∠ACB＝120°，

∴∠A＝60°；

（3）如圖：

∵∠A＝m°，∠ABC＝54°，

∴∠ACD＝（m+54）°，

①當(dāng)BP是鄰AB的三等分線，AP是鄰AC的三等分線時(shí)，

∠PBC＝∠ABC＝36°，∠PCD＝∠ACD＝（m+36）°，

∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝m°；

②當(dāng)BP是鄰AB的三等分線，AP是鄰CD的三等分線時(shí)，

∠PBC＝∠ABC＝36°，∠PCD＝∠ACD＝（m+18）°，

∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（m﹣18）°；

③當(dāng)BP是鄰BC的三等分線，AP是鄰AC的三等分線時(shí)，

∠PBC＝∠ABC＝18°，∠PCD＝∠ACD＝（m+36）°，

∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝（m+18）°；

④當(dāng)BP是鄰BC的三等分線，AP是鄰CD的三等分線時(shí)，

∠PBC＝∠ABC＝18°，∠PCD＝∠ACD＝（m+18）°，

∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝m°；

綜上所述，∠BPC度數(shù)為m或m﹣18或m+18或m．

第18頁共57頁.

3．（2022春?石嘴山校級期末）[問題情境]

我們知道：在平面直角坐標(biāo)系中有不重合的兩點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），若x1＝x2，

則AB∥y軸，且線段AB的長度為|y1﹣y2|；若y1＝y(tǒng)2，則AB∥x軸，且線段AB的長度為

|x1﹣x2|．

[拓展]

現(xiàn)在，若規(guī)定：平面直角坐標(biāo)系中任意不重合的兩點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）之間的折

線距離為d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：圖中，點(diǎn)M（﹣1，1）與點(diǎn)N（1，﹣2）．

之間的折線距離d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5，

[應(yīng)用]

解決下列問題：

（1）已知點(diǎn)E（3，2），點(diǎn)F（1．﹣2），求d（E，F(xiàn)）的值；

（2）已知點(diǎn)E（3，1），H（﹣1，n），若d（E，H）＝6，求n的值；

（3）已知點(diǎn)P（3，4），點(diǎn)Q在y軸上，O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，且△OPQ的面積是4.5，求d

（P，Q）的值．

【分析】（1）根據(jù)折線距離為d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|計(jì)算即可；

（2）根據(jù)折線距離為d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，構(gòu)建方程求解即可；

第19頁共57頁.

（3）設(shè)Q（0，m），利用三角形的面積公式求出m的值，再根據(jù)折線距離為d（M，N）

＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|計(jì)算即可求解．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)E（3，2），點(diǎn)F（1，﹣2），

∴d（E，F(xiàn)）＝|3﹣1|+|2﹣（﹣2）|＝6；

（2）∵E（3，1），H（﹣1，n），d（E，H）＝6，

∴d（E，H）＝|3﹣（﹣1）|+|1﹣n|＝6，

解得：n＝﹣1或3；

（3）如圖，設(shè)Q（0，m）．

由題意，?|m|?2＝4.5，

解得m＝±3，

∴Q（0，3）或（0，﹣3），

當(dāng)Q（0，3）時(shí)，d（P，Q）＝|3﹣0|+|4﹣3|＝4，

當(dāng)Q（0，﹣3）時(shí)，d（P，Q）＝|3﹣0|+|4﹣（﹣3）|＝10，

∴d（P，Q）＝4或10．

4．（2022春?鎮(zhèn)江期末）定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們稱

這兩個(gè)角互為“開心角”，這個(gè)三角形叫做“開心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，

∠B＝35°，則∠A與∠B互為“開心角”，△ABC為“開心三角形”．

【理解】

（1）若△ABC為開心三角形，∠A＝144°，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為12°；

（2）若△ABC為開心三角形，∠A＝70°，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為35或

°；

（3）已知∠A是開心△ABC中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)開心角，試確定∠A的取

值范圍，并說明理由；

【應(yīng)用】

如圖，AD平分△ABC的內(nèi)角∠BAC，交BC于點(diǎn)E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延

長BA和DC交于點(diǎn)P，已知∠P＝30°，若∠BAE是開心△ABE中的一個(gè)開心角，設(shè)∠

第20頁共57頁.

BAE＝∠，求∠的度數(shù)．

αα

【分析】（1）設(shè)最小角為，由題意可得+2＝＝36°，求出即為所求；

（2）當(dāng)∠A是“開心角”，α則最小角為35α°；α當(dāng)∠A不是“開心α角”，設(shè)最小角為，+2

＝110°，＝（）°；ααα

α

（3）三角形另一個(gè)開心角是2∠A，第三個(gè)內(nèi)角是180°﹣3∠A，再由∠A≤180°﹣3∠

A，可得∠A≤45°；

【應(yīng)用】由題意可得∠PAC＝180°﹣2∠，設(shè)∠PCA＝x，則x＝2∠﹣30°，∠AEB＝

240°﹣3∠，∠ABE＝2∠﹣60°，分兩α種情況討論：①當(dāng)∠BAEα與∠ABE互為開心

角時(shí)，∠BAαE＝∠ABE或∠αBAE＝2∠ABE，求得∠＝40°；②當(dāng)∠BAE與∠AEB互

α

為開心角，∠BAE＝∠AEB或∠BAE＝2∠AEB（舍），求得∠＝48°．

α

【解答】解：（1）設(shè)最小角為，

∵△ABC為開心三角形，∠A＝α144°，

∴+2＝180°﹣144°＝36°，

∴α＝1α2°，

故答α案為：12；

（2）當(dāng)∠A是“開心角”，則最小角為35°；

當(dāng)∠A不是“開心角”，設(shè)最小角為，

∴+2＝180°﹣70°＝110°，α

∴α＝（α）°，

α

故答案為：35或；

（3）∠A是開心△ABC中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)開心角，

∴另一個(gè)開心角是2∠A，

∴第三個(gè)內(nèi)角是180°﹣3∠A，

第21頁共57頁.

∵∠A是最小內(nèi)角，

∴∠A≤180°﹣3∠A，

∴∠A≤45°；

【應(yīng)用】

∵AD平分△ABC的內(nèi)角∠BAC，

∴∠CAE＝∠BAE＝∠，

∴∠PAC＝180°﹣2∠α，

設(shè)∠PCA＝x，α

∵CD平分△ABC的外角∠DCF，

∴∠BCD＝∠CDF＝x，

∴∠ACB＝180°﹣2x，

∵∠P＝30°，

∴180°﹣2∠+x＝150°，

∴x＝2∠﹣3α0°，

∴∠AEB＝α∠+180°﹣2x＝240°﹣3∠，

∴∠ABE＝180α°﹣∠﹣（240°﹣3∠α）＝2∠﹣60°，

①當(dāng)∠BAE與∠ABEα互為開心角時(shí)，αα

∠BAE＝∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，

∴∠＝（2∠﹣60°）或∠＝2（2∠﹣60°），

αααα

解得∠＝40°；

②當(dāng)∠αBAE與∠AEB互為開心角，

∠BAE＝∠AEB或∠BAE＝2∠AEB，

∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE，∠EAC＝∠BAE，

∴∠BAE＝2∠AEB舍去，

∴∠＝（240°﹣3∠），

αα

解得∠＝48°，

綜上所述α：40°或48°．

5．（2022春?崇川區(qū)期末）定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿足+2＝100°，那么我們

稱這樣的三角形為“奇妙三角形”．αβαβ

（1）如圖1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．

求證：△ABD為“奇妙三角形”

第22頁共57頁.

（2）若△ABC為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：△ABC是直角三角形；

（3）如圖2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，

直接寫出∠C的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)“奇妙三角形”的定義，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即證明

△ABD為“奇妙三角形”．

（2）由三角形的內(nèi)角和知，A+∠B＝100°，由△ABC為“奇妙三角形”得出∠C+2∠B

＝100°或∠C+2∠A＝100°兩種情況，計(jì)算得∠B＝90°或∠A＝90°，從而證明△ABC

是直角三角形．

（3）由三角形的內(nèi)角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC為“奇妙三角形得出∠A+2

∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°兩種情況，求得∠C＝80°或100°．

【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠ABD．

在△ABC中，∵∠ACB＝80°，

∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，

即∠A+2∠ABD＝100°，

∴△ABD為“奇妙三角形”．

（2）證明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，

∵△ABC為“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，

∴∠B＝10°或∠A＝10°，

當(dāng)∠B＝10°時(shí)，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．

當(dāng)∠A＝10°時(shí)，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．

由此證得，△ABC是直角三角形．

（3）解：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠ABD，

∵△ABD為“奇妙三角形”，

∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，

①當(dāng)∠A+2∠ABD＝100°時(shí)，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，

第23頁共57頁.

∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，

∴∠C＝80°；

②當(dāng)2∠A+∠ABD＝100°時(shí)，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，

∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，

∴∠C＝100°；

綜上得出：∠C的度數(shù)為80°或100°．

6．（2022春?亭湖區(qū)校級月考）定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線

段的積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所對頂點(diǎn)連線的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“好點(diǎn)”．如

圖1，△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，若AD2＝BD?CD，則稱點(diǎn)D是△ABC

中BC邊上的“好點(diǎn)”．

（1）如圖2，△ABC的頂點(diǎn)是4×3網(wǎng)格圖的格點(diǎn)，請僅用直尺畫出（或在圖中直接描

出）AB邊上的所有“好點(diǎn)”點(diǎn)D；

（2）△ABC中，BC＝7，，tanC＝1，點(diǎn)D是BC邊上的“好點(diǎn)”，求線段BD

的長；

（3）如圖3，△ABC是O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)H在AB上，連結(jié)CH并延長交O于點(diǎn)

D．若點(diǎn)H是△BCD中⊙CD邊上的“好點(diǎn)”．⊙

①求證：OH⊥AB；

②若OH∥BD，O的半徑為r，且r＝3OH，求的值．

⊙

【分析】（1）直角三角形的“好點(diǎn)”是斜邊的中點(diǎn)，作斜邊上的高，垂足也為“好點(diǎn)”，

即可得答案；

（2）作AE⊥BC，解斜△ABC，設(shè)BD＝a，根據(jù)AD2＝DE2+AE2＝BD?CD列方程求得；

（3）①由△ACH∽△DBH得，CH?HD＝AH?BH，結(jié)合BH2＝CH?HD，得證；

②先確定AD是直徑，然后求出AH、BH、BD、BH、CH，從而求出比值．

【解答】解：（1）如圖1，

第24頁共57頁.

斜邊AB的中點(diǎn)D與斜邊AB上的高CD'的垂足D'均為AB邊長的“好點(diǎn)”．

（2）如圖2，

作AE⊥BC于E，

在Rt△ABE中，tanB＝，

∴設(shè)AE＝3a，BE＝4a，

tanC＝，

∴CE＝AE＝3a，

∴3a+4a＝7，

∴a＝1，

∴AE＝CE＝3，BE＝4，

∴AB＝5，

設(shè)BD＝x，

∴DE＝|4﹣x|，

在Rt△ADE中，由勾股定理得，

AD2＝DE2+AE2＝（4﹣x）2+32，

∵點(diǎn)D是BC邊上的“好點(diǎn)”，

∴AD2＝BD?CD＝x?（7﹣x），

∴x?（7﹣x）＝（4﹣x）2+32，

∴x1＝5，x2＝，

即BD＝5或．

第25頁共57頁.

（3）如圖3，

①證明：∵點(diǎn)H是△BCD中CD邊上的“好點(diǎn)”，

∴BH2＝CH?HD，

∵∠CAB＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，

∴△ACH∽△DBH，

∴，

∴CH?HD＝AH?BH，

∴BH2＝AH?BH，

∴AH＝BH，

∴OH⊥AB；

②連接AD，

設(shè)OH＝a，則OA＝3a，

由①知，OH⊥AB，

又∵OH∥BD，

∴BD⊥AB，

∴∠ABD＝90°，

∴AD是O的直徑，

∴OA＝O⊙D＝3a，

在Rt△AOH中，由勾股定理得，

AH＝，

∵AH＝BH＝，OA＝OD，

∴BD＝2a，

在Rt△BDH中，由勾股定理得，

DH＝＝，

由BH2＝CH?DH得：，

∴CH＝，

第26頁共57頁.

∴．

7．（2021秋?如皋市期末）【了解概念】

定義：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這個(gè)三角形其中一邊的一半，則稱這個(gè)三角形

為半線三角形，這條中線叫這條邊的半線．

【理解運(yùn)用】

（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，試判斷△ABC是否為半線三角形，

并說明理由；

【拓展提升】

（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，M為△ABC外一點(diǎn)，連接MB，

MC，若△ABC和△MBC均為半線三角形，且AD和MD分別為這兩個(gè)三角形BC邊的半

線，求∠AMC的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，若MD＝，AM＝1，直接寫出BM的長．

【分析】（1）根據(jù)半線三角形的定義進(jìn)行判斷即可；

（2）過點(diǎn)A作AN⊥AM交MC于點(diǎn)N，可證明△MAB≌△NAC，則AM＝AN，所以三角

形MAN是等腰直角三角形，由此可解答；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上可知，MB＝NC，AM＝AN＝1，在Rt△MBC中，由勾股定理可得，

MB2+MC2＝BC2，由此可得MB的長．

【解答】解：（1）△ABC是半線三角形，理由如下：

取BC得中點(diǎn)D，連接AD，

∵AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

第27頁共57頁.

在Rt△ABD中，∠B＝30°，

∴AD＝AB，

∴△ABC是半線三角形．

（2）過點(diǎn)A作AN⊥AM交MC于點(diǎn)N，如圖，

∵M(jìn)D為△MBC的BC邊的半線，

∴MD＝BC＝BD＝CD，

∴∠DBM＝∠DMB，∠DMC＝∠DCM，

∴∠BMC＝90°，

同理∠BAC＝90°，

又∵∠MOB＝∠AOC，

∴∠MBA＝∠MCA，

∵∠MAN＝∠BAC＝90°，

∴∠MAB＝∠NAC．

∵AB＝AC，

∴△MAB≌△NAC（ASA），

∴AM＝AN，

又∵∠MAN＝90°，

∴∠AMC＝∠ANM＝45°．

（3）由題意可知，BC＝2MD＝3，

由（2）知△MAB≌△NAC（ASA），

∴MB＝NC，AM＝AN＝1，

∴MN＝，

在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，

∴MB2+（+MB）2＝32，

解得，MB＝2﹣（負(fù)值舍去）．

故MB的值為2﹣．

8．（2021秋?順義區(qū)期末）我們定義：在等腰三角形中，腰與底的比值叫做等腰三角形的正

第28頁共57頁.

度．

如圖1，在△ABC中，AB＝AC，的值為△ABC的正度．

已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC邊上的動點(diǎn)（D與A，B，C不重合）．

（1）若∠A＝90°，則△ABC的正度為；

（2）在圖1，當(dāng)點(diǎn)D在腰AB上（D與A、B不重合）時(shí)，請用尺規(guī)作出等腰△ACD，

保留作圖痕跡；若△ACD的正度是，求∠A的度數(shù)．

（3）若∠A是鈍角，如圖2，△ABC的正度為，△ABC的周長為22，是否存在點(diǎn)D，

使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，說明理由．

【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案；

（2）作AC的中垂線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．設(shè)AD＝x，AE＝x，求出AD＝x，

則可得出△ADE是等腰直角三角形，則可得出答案；

（3）設(shè)AB＝3x，BC＝5x，則AC＝3x．由三角形的周長求出x＝2，得出AB＝6，AC＝6，

BC＝10，作AH⊥BC于H，則BH＝CH＝5，由勾股定理求出AH，分兩種情況：當(dāng)AD

＝DC時(shí)，當(dāng)AC＝DC＝6時(shí)，可求出答案．

【解答】解：（1）若∠A＝90°，，則△ABC的正度為，

故答案為：；

（2）用尺規(guī)作出等腰△ACD，如圖1，

作AC的中垂線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．

∴AD＝CD，DE⊥AC，AC＝2AE．

第29頁共57頁.

∵△ACD的正度是，

∴，

∴，

∴．

在Rt△ADE中，設(shè)AD＝x，AE＝x，

∴．

∴DE＝AE．

∴△ADE是等腰直角三角形．

∴∠A＝45°．

（3）存在點(diǎn)D，使△ACD具有正度．

∵△ABC的正度為，△ABC的周長為22，

∴．

設(shè)AB＝3x，BC＝5x，則AC＝3x．

∵△ABC的周長為22，

∴3x+5x+3x＝22．

∴x＝2．

∴AB＝6，AC＝6，BC＝10，

作AH⊥BC于H，則BH＝CH＝5，

∴AH＝．

①當(dāng)AD＝DC時(shí)，如圖2所示，

設(shè)AD＝DC＝y(tǒng)，則HD＝5﹣y，

由AH2+HD2＝AD2，得11+（5﹣y）2＝y(tǒng)2．

解得y＝，

即AD＝．

第30頁共57頁.

∴△ACD的正度為．

②當(dāng)AC＝DC＝6時(shí)，

如圖3所示，DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，

∴DA＝．

∴△ACD的正度為．

綜上所述，△ACD的正度為或．

9．（2021秋?丹陽市期末）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯

定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的

延長線交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有＝1．

下面是利用相似三角形的有關(guān)知識證明該定理的部分過程：

證明：如圖（2），過點(diǎn)A作AG∥BC，交DF的延長線于點(diǎn)G，則有，，

∴＝1．

請用上述定理的證明方法解決以下問題：

（1）如圖（3），△ABC三邊CB，AB，AC的延長線分別交直線l于X，Y，Z三點(diǎn)，證

明：＝1．

請用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問題：

（2）如圖（4），等邊△ABC的邊長為2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF＝2AF，

CF與AD交于點(diǎn)E，則AE的長為．

（3）如圖（5），△ABC的面積為2，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長BC至D，使CD＝BC，連接

FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為．

第31頁共57頁.

【分析】（1）過點(diǎn)C作CN∥XZ交AY于點(diǎn)N，根據(jù)平行線截線段成比例的知識解答即可；

（2）根據(jù)梅涅勞斯定理進(jìn)行推理；

（3）根據(jù)梅涅勞斯定理得，＝1，則＝，由面積公式得SBCEF＝S△BCF+S

△CEF，即可得出答案．

【解答】（1）證明：如答圖1，過點(diǎn)C作CN∥XZ交AY于點(diǎn)N，

則＝，＝．

故：??＝??＝1．

（2）解：如答圖2，

第32頁共57頁.

根據(jù)梅涅勞斯定理得：＝1．

又∵BF＝2AF，

∴＝，＝2，

∴DE＝AE．

在等邊△ABC中，∵AB＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，BD＝CD＝1．

∴由勾股定理知：AD＝＝＝．

∴AE＝．

故答案是：；

（3）解：∵DEF是△ABC的梅氏線，

∴由梅涅勞斯定理得，＝1，

即××＝1，則＝．

如答圖3，連接FC，

S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，

于是S四邊形BCEF＝S△BCF+S△CEF

＝S△ABC

第33頁共57頁.

＝×2

＝．

故答案是：．

10．（2021秋?洪江市期末）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相

交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角

形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完

美分割線．

（1）如圖1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的完美分割線，且AD＝CD，求∠

ACB的度數(shù)；

（2）如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△

ABC的完美分割線；

（3）如圖3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是

以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ACD＝44°，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

∠BCD＝∠A，計(jì)算即可；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ACB＝80°，進(jìn)而判斷出△ABC不是等腰三