2024-2025學(xué)年福建省晉江市高二上冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省晉江市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．3．已知空間向量，若，則（

）A． B． C． D．4．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則公共弦的長(zhǎng)度是（

）A．2 B．1 C．3 D．56．正四面體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)M、N分別是棱、的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面的距離為（

）A． B． C．2 D．7．已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且該直線不經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，那么以線段為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．與直線l的位置有關(guān)8．正方體的棱長(zhǎng)為1，M是面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，N是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A．2 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題中，正確的命題有（

）A．是，共線的充要條件B．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得C．對(duì)空間中任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若，則，，，四點(diǎn)共面D．若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底10．已知拋物線C：與圓O：交于A，B兩點(diǎn)，且，直線過C的焦點(diǎn)F，且與C交于M，N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若直線的斜率為，則B．的最小值為C．若以MF為直徑的圓與y軸的公共點(diǎn)為，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為D．若點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為11．已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線的斜率的乘積為定值時(shí)，若該定值為正數(shù)，則該動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（兩定點(diǎn)除外）；若該定值是負(fù)數(shù)，則該動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓或橢圓（兩定點(diǎn)除外）.如圖，給定的矩形中，，，E、F、G、H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，M、N分別是直線、的動(dòng)點(diǎn)，，，其中，且直線與直線交于點(diǎn)P.下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則P的軌跡是雙曲線的一部分B．若，則P的軌跡是橢圓的一部分C．若，則P的軌跡是雙曲線的一部分D．若，則P的軌跡是橢圓的一部分三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)，是橢圓內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．13．已知二面角的大小為且，，則.14．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美．平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，若是曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值是．四、解答題（本大題共5小題）15．（1）直線過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）直線過點(diǎn)且與軸正半軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求三角形面積取最小值時(shí)直線的方程．16．已知圓C過點(diǎn)，圓心C在直線上，且圓C與x軸相切．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若為直角三角形，求直線l的方程．17．如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，側(cè)面是等邊三角形.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.18．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，且離心率為2．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與雙曲線的兩支相交于A，B兩點(diǎn)，求直線MA和MB的斜率之和的最大值．19．已知橢圓的半焦距，離心率，且過點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓分別交于不同的兩點(diǎn)，若，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】B【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為60°.故選：B.2．【正確答案】D【詳解】雙曲線的漸近線方程是，即.故選：D.3．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所?故選：D4．【正確答案】D【分析】利用勾股定理得出，利用橢圓的定義求得、，利用勾股定理可得出關(guān)于、的等量關(guān)系，由此可解得該橢圓的離心率.【詳解】如下圖所示，設(shè)，則，，所以，，所以，，由橢圓定義可得，，，所以，，所以，為等腰直角三角形，可得，，所以，該橢圓的離心率為.故選：D.方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.5．【正確答案】A【詳解】由題意所在的直線方程為：，即公共弦所在直線方程為，因?yàn)閳A的圓心，半徑為，所以圓心到直線的距離為1，所以．故選：A．6．【正確答案】B【分析】作出輔助線，求出，利用等體積法求出點(diǎn)A到平面的距離.【詳解】正四面體中，取的中心為,則⊥平面，故，，其中，由勾股定理得，故點(diǎn)到平面的距離為，又，故，又，，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，則，故，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，故，即，解得.故選：B7．【正確答案】A【分析】先設(shè)中點(diǎn)為，過，，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，再根據(jù)題意得到，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，過，，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，又該直線不經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，則，所以線段為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是相離．故選：A．8．【正確答案】B【分析】利用展開方法，以為基準(zhǔn)，將和翻折使其與共面，然后利用余弦定理求解.【詳解】點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)線段在內(nèi)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)線段在內(nèi)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)線段在內(nèi)運(yùn)動(dòng)，以為基準(zhǔn)，將和翻折使其與共面，如圖所示：其中翻折至，翻折至，的周長(zhǎng)等于,最小值等于在四邊形，，由余弦定理可求得，所以，故的周長(zhǎng)最小值等于，故選：B.9．【正確答案】CD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，向量，同向時(shí)不成立；對(duì)于B選項(xiàng)，為零向量時(shí)不成立；對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)空間向量共面的條件判定；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)能成為基底的條件判定.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，向量，同向時(shí)，，只滿足充分性，不滿足必要性，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，應(yīng)該為非零向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，，若共線，則三向量共線，故，，三點(diǎn)共線，與已知矛盾，故不共線，由向量共面的充要條件知共面，而過同一點(diǎn)，，，，四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若為空間的一個(gè)基底，則，，不共面，假設(shè)，，共面，設(shè)，，無(wú)解，，，不共面，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故D正確．故選CD．10．【正確答案】BCD【詳解】拋物線C：與圓O：交于A，B兩點(diǎn)，且，則第一象限內(nèi)的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入圓方程得橫坐標(biāo)為1，即，所以，，即拋物線方程為，焦點(diǎn)為，對(duì)選項(xiàng)A，設(shè)直線方程為，由得，設(shè)，則，，，直線的斜率為時(shí)，，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，由拋物線定義得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因此的最小值為，B正確；對(duì)選項(xiàng)C，如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，交軸于，取的中點(diǎn)，過作軸垂線，垂足為，則，是梯形的中位線，由拋物線定義可得，所以，所以以為直徑的圓與軸相切，因此為切點(diǎn)，所以點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，又是中點(diǎn)，所以點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，而是拋物線上的點(diǎn)，因此其橫坐標(biāo)為1，C正確；

對(duì)選項(xiàng)D，過作垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)取等號(hào)（即與準(zhǔn)線垂直），D正確．故選：BCD．11．【正確答案】CD【分析】根據(jù)已知求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線與直線的斜率，即可得出.然后根據(jù)已知條件得出的值，結(jié)合定義即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，，，則由可得，；由可得，，所以.所以，，.所以，.對(duì)于A、B項(xiàng)，因?yàn)?，所以，顯然不是一個(gè)常數(shù)，所以此時(shí)P的軌跡既不是雙曲線，也不是橢圓，A、B均錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，此時(shí)的結(jié)果為一個(gè)大于0的定值，所以P的軌跡是雙曲線（頂點(diǎn)除外），C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，此時(shí)的結(jié)果為一個(gè)小于0的定值，所以P的軌跡為橢圓（頂點(diǎn)除外），D對(duì).故選：CD.12．【正確答案】##【分析】結(jié)合橢圓的定義求得正確答案.【詳解】依題意，橢圓方程為，所以，所以是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義可知，，所以的最大值為.故13．【正確答案】【詳解】因?yàn)槎娼堑拇笮椋耘c的夾角為，又因?yàn)?，所以，所以，即．故?4．【正確答案】2【分析】結(jié)合已知條件寫出曲線的解析式，進(jìn)而作出圖象，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，然后利用圓上一點(diǎn)到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可求解.【詳解】當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為；當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為；由圖可知，曲線C是四個(gè)半徑為的半圓圍成的圖形，因?yàn)榈街本€的距離為，所以，當(dāng)d最小時(shí)，易知在曲線C的第一象限內(nèi)的圖象上，因?yàn)榍€C的第一象限內(nèi)的圖象是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而．即．故215．【正確答案】（1）或；（2）.【詳解】（1）若截距都為0時(shí)，則所求直線為；若截距不為0時(shí)，設(shè)直線為，則，所以；綜上，所求直線為或.（2）由題意，直線斜率一定存在且小于0，設(shè)直線為，故，所以三角形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)三角形面積取最小值為4，所以，對(duì)應(yīng)直線為.16．【正確答案】(1)(2)或．【分析】(1)待定系數(shù)法求圓的方程即可；(2)設(shè)，根據(jù)題意得到弦長(zhǎng)，再結(jié)合垂徑定理和點(diǎn)線距離公式可求的值，從而得到直線l的方程．【詳解】（1）由題意，設(shè)圓心，由于圓C與x軸相切．半徑，所以設(shè)圓C方程為又圓C過點(diǎn)，解得圓C方程為．（2）由圓C方程易知直線l的斜率存在，故設(shè)，即，設(shè)C到l的距離為d，則，為直角三角形，，，或，故直線l得方程為或．17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）取中點(diǎn)M，連接，在等邊中，有中點(diǎn)M，，所以，，則，.在中，有，.因?yàn)槠矫妫矫?，，平?又平面，所以平面平面.（2）取中點(diǎn)為N，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為x，y，z軸正方向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，.設(shè)平面的一個(gè)方向量是，則，取，則平面的一個(gè)方向量是.設(shè)平面的一個(gè)方向量是，則，取，可得平面的一個(gè)方向量是.因?yàn)椋叶娼菫殇J角，所以二面角的余弦值是.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）易得，，解得，故得，故的方程為，（2）由題意得的斜率存在，故設(shè)方程為，聯(lián)立方程組，，可得，則，，設(shè)，則，，解得，結(jié)合，故，令，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故直線MA和MB的斜率之和的最大值為.19．【正確答案】(1)(2)【