2023-2024學(xué)年廣東省深圳實驗學(xué)校初中部九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2023－2024學(xué)年廣東省深圳實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共30分，將正確答案的代號寫在答題卷上）1.下列幾何體中，三視圖的三個視圖完全相同的幾何體是（）A. B. C. D.2.如果與的和等于，那么的值是（）A. B. C. D.3.從背面朝上的分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大小相同的卡片中，隨機(jī)抽取一張，則所抽得的圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率為（）A. B. C. D.14.在數(shù)學(xué)活動課上，小明同學(xué)將含角的直角三角板的一個頂點按如圖方式放置在直尺上，測得，則的度數(shù)是（）．A. B. C. D.5.如圖，菱形的對角線與相交于點O，E為邊的中點，連結(jié)．若，則（）A.2 B. C.3 D.46.如圖，在△ABC中，PM、QN分別是線段AB、AC的垂直平分線，若∠BAC＝110°，則∠PAQ的度數(shù)是（）A40° B.50° C.60° D.70°7.如圖，要使成為矩形，需添加的條件是（）A. B. C. D.8.函數(shù)與（k為常數(shù)，）在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（）A. B. C. D.9.當(dāng)時，關(guān)于的一元二次方程的根的情況為（）A.有兩個不相等實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.無法確定10.如圖，正方形中，E，F(xiàn)分別是上的點，交于M，交BD于點N，若平分，，記，，，則有（）A. B. C. D.二．填空題（每空3分，共15分，將答案寫在答題卷上）11.因式分解：________．12.若點都在反比例函數(shù)圖象上，則_______（填“”或“”）．13.若a、b是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為_________．14.如圖，直角三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4m，點D，E分別在邊AC，AB上，點F是邊BC的中點．現(xiàn)將該紙片沿DE折疊，使點A與點F重合，則AE＝_____cm．15.如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)和的圖象的四個分支上，則的值=______．三．解答題（共7小題，16題8分，17題5分，18題7分，19題8分，20題8分，21題9分，22題10分）16.（1）解方程：（2）解不等式組：17.先化簡，再求值：，其中．18.某校對九年級學(xué)生進(jìn)行“綜合素質(zhì)”評價，評價結(jié)果分優(yōu)秀，良好，合格，不合格四個等級（分別用A，B，C，D表示），現(xiàn)從中隨機(jī)抽取若干名學(xué)生的“綜合素質(zhì)”的等級作為樣本進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，并繪制下列兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題．（1）本次隨機(jī)抽取的學(xué)生有_______名，等級為優(yōu)秀（A）的學(xué)生人數(shù)所占的百分比是______；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，等級為合格（C）的學(xué)生所在扇形的圓心角度數(shù)是______；（3）將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；（4）若該校九年級學(xué)生共1200名，請根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果估算，等級為良好及良好以上的學(xué)生共有多少名？19.某班級搞活動，需要購置甲、乙兩種物品．已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10元，用150元購買甲種物品的件數(shù)恰好與用120元購買乙種物品的件數(shù)相同．（1）求甲、乙兩種物品每件的價格分別是多少元？（2）若550元班會費全部用于購買甲、乙兩種物品（兩種都要有），問可購買甲、乙兩種物品各幾件？20.如圖，四邊形是平行四邊形，，且分別交對角線于點M，N，連接．（1）求證：；（2）若．求證：四邊形是菱形．21.如圖，一次函數(shù)與函數(shù)為圖象交于兩點．（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足時x的取值范圍；（3）點P在線段上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)的圖象于點Q，若面積為3，求點P的坐標(biāo)．22.【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．【拓展提升】如圖3，已知為一條中線，．求證：．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形中，若，點P在邊上，則的最小值為_______．2023－2024學(xué)年廣東省深圳實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共30分，將正確答案的代號寫在答題卷上）1.下列幾何體中，三視圖的三個視圖完全相同的幾何體是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】找到從物體正面、左面和上面看得到的圖形完全相同的幾何體即可．【詳解】解：A．四棱柱的俯視圖與主視圖和左視圖都不同，故此選項錯誤；B．圓錐的俯視圖與主視圖和左視圖不同，故此選項錯誤；C．圓柱的俯視圖與主視圖和左視圖不同，故此選項錯誤；D．球的三視圖完全相同，都是圓，故此選項正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了三視圖的有關(guān)知識，掌握三視圖都相同的常見的幾何體有球和正方體是解答本題的關(guān)鍵．2.如果與的和等于，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意二次根式的加減運算即可求解．【詳解】解：∵與的和等于3，∴，，．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，掌握二次根式的加減運算是解題的關(guān)鍵．3.從背面朝上的分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大小相同的卡片中，隨機(jī)抽取一張，則所抽得的圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大小相同的卡片中，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是：矩形，圓，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：分別畫有等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓的四張形狀、大小相同的卡片中，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是：矩形，圓；現(xiàn)從中任意抽取一張，則所抽得的圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率為，故選：B．【點睛】本題考查了概率公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：首先判斷出既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的圖形，然后利用概率公式求解．4.在數(shù)學(xué)活動課上，小明同學(xué)將含角的直角三角板的一個頂點按如圖方式放置在直尺上，測得，則的度數(shù)是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖：∵，∴，在中，，∵，故，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.如圖，菱形的對角線與相交于點O，E為邊的中點，連結(jié)．若，則（）A.2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先由菱形的性質(zhì)得，，，再由勾股定理求出，然后由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解．【詳解】解：∵菱形，∴，，，∴由勾股定理，得，∵E為邊的中點，∴故選：B．【點睛】本考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.如圖，在△ABC中，PM、QN分別是線段AB、AC的垂直平分線，若∠BAC＝110°，則∠PAQ的度數(shù)是（）A.40° B.50° C.60° D.70°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AP＝BP，CQ＝AQ，求出∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ＝70°，再求出答案即可．【詳解】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，∵PM、QN分別是線段AB、AC的垂直平分線，∴AP＝BP，CQ＝AQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，∵∠BAC＝110°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識點，能根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AP＝BP和AQ＝CQ是解此題的關(guān)鍵，注意：①線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，②等邊對等角，③三角形內(nèi)角和等于180°．7.如圖，要使成為矩形，需添加的條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形和菱形的判定定理逐一判斷即可．【詳解】解：A、根據(jù)和得出四邊形是菱形，不是矩形，故本選項錯誤；B、中，，，添加后則，可得，四邊形是矩形，故本選項正確；C、中，添加，得出四邊形是菱形，不是矩形，故本選項錯誤；D、中，添加，得出四邊形是菱形，不是矩形，故本選項錯誤；故選B．【點睛】本題考查矩形和菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的判定定理．①有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形．8.函數(shù)與（k為常數(shù)，）在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的綜合判斷，分當(dāng)時，當(dāng)時，兩種情況分別求出對應(yīng)函數(shù)圖象經(jīng)過的象限即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，函數(shù)在第一、二、三象限，故選項C符合題意，選項D不符合題意；當(dāng)時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，函數(shù)在第一、二、四象限，故選項A、B不符合題意，故選：C．9.當(dāng)時，關(guān)于的一元二次方程的根的情況為（）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.無法確定【答案】A【解析】【分析】由可得出，根據(jù)方程系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出，由偶次方的非負(fù)性可得出，即，由此即可得出關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．【詳解】∵，∴，∴，∵，∴，∴關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．10.如圖，正方形中，E，F(xiàn)分別是上的點，交于M，交BD于點N，若平分，，記，，，則有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)正方形性質(zhì)證明得到，再由角平分線的定義得到；證明，，得到，，則；證明，進(jìn)而證明，得到；過點M作于點H，如圖，由角平分線的性質(zhì)得到，再證明，得到，得到，則．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，在和，，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，過點M作于點H，如圖：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)等等，通過證明三角形相似和三角形全等求出x、y、z的值是解題的關(guān)鍵．二．填空題（每空3分，共15分，將答案寫在答題卷上）11.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：，故答案為：．12.若點都在反比例函數(shù)的圖象上，則_______（填“”或“”）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求得，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵點都在反比例函數(shù)的圖象上，∴，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了比較反比例函數(shù)值，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.若a、b是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為_________．【答案】2

【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，由此即可得到答案．【詳解】解：∵a、b是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，∴，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數(shù)根，則．14.如圖，直角三角形紙片ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4m，點D，E分別在邊AC，AB上，點F是邊BC的中點．現(xiàn)將該紙片沿DE折疊，使點A與點F重合，則AE＝_____cm．【答案】【解析】【分析】過F作FH⊥AB于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到FH＝，BH＝，求得EH＝5﹣﹣AE＝﹣AE，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EF＝AE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4m，∴AB＝＝5（cm），過F作FH⊥AB于H，∴∠BHF＝∠C＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BFH∽△BAC，∴，∵點F是邊BC的中點，∴BF＝BC＝2，∴，∴FH＝，BH＝，∴EH＝5﹣﹣AE＝﹣AE，∵現(xiàn)將該紙片沿DE折疊，使點A與點F重合，∴EF＝AE，∵，∴，解得：AE＝（cm），故答案為：．【點睛】此題考查三角形相似，折疊的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵．15.如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)和圖象的四個分支上，則的值=______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方形和雙曲線的中心對稱性，、的交點為O，如圖，過點A作軸于M，過點D作軸于N，證明得到，利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求解即可．【詳解】：根據(jù)正方形和雙曲線的中心對稱性，、的交點為O，如圖，過點A作軸于M，過點D作軸于N，則，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，則，∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，∴，故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)和系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解答的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題，16題8分，17題5分，18題7分，19題8分，20題8分，21題9分，22題10分）16.（1）解方程：（2）解不等式組：【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】（1）解：∵，∴，∴解得：，；（2）解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：【點睛】本題考查了解一元二次方程，求不等式組的解集，熟練掌握公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．17.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先通分，再計算加減，再把代入進(jìn)行計算即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟知分式的混合運算法則是解答此題的關(guān)鍵．18.某校對九年級學(xué)生進(jìn)行“綜合素質(zhì)”評價，評價結(jié)果分優(yōu)秀，良好，合格，不合格四個等級（分別用A，B，C，D表示），現(xiàn)從中隨機(jī)抽取若干名學(xué)生的“綜合素質(zhì)”的等級作為樣本進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，并繪制下列兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題．（1）本次隨機(jī)抽取的學(xué)生有_______名，等級為優(yōu)秀（A）的學(xué)生人數(shù)所占的百分比是______；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，等級為合格（C）的學(xué)生所在扇形的圓心角度數(shù)是______；（3）將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；（4）若該校九年級學(xué)生共1200名，請根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果估算，等級為良好及良好以上的學(xué)生共有多少名？【答案】（1）50，（2）（3）見解析（4）912名【解析】【分析】（1）根據(jù)B等級人數(shù)及其所占百分比即可求出被調(diào)查的總?cè)藬?shù)．由四個等級人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出A等級人數(shù)，最后用A等級人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得答案；（2）用360°乘以C等級人數(shù)所占比例可得答案；（3）根據(jù)（1）中計算結(jié)果可補(bǔ)全條形圖；（4）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中A、B等級人數(shù)和所占比例即可．【小問1詳解】本次隨機(jī)抽取的學(xué)生有18÷36%=50（名）．等級為優(yōu)秀（A）的學(xué)生人數(shù)為（名），∴其所占的百分比是，故答案為：50，40%；【小問2詳解】等級為合格（C）的學(xué)生所在扇形的圓心角度數(shù)是，故答案為：；【小問3詳解】由（1）可知等級為優(yōu)秀（A）的學(xué)生人數(shù)為名，即可補(bǔ)全統(tǒng)計圖如下：【小問4詳解】（名），答：評價結(jié)果為良好及良好等級以上的學(xué)生大約共有912名．【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，由樣本估計總體．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．19.某班級搞活動，需要購置甲、乙兩種物品．已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10元，用150元購買甲種物品的件數(shù)恰好與用120元購買乙種物品的件數(shù)相同．（1）求甲、乙兩種物品每件的價格分別是多少元？（2）若550元班會費全部用于購買甲、乙兩種物品（兩種都要有），問可購買甲、乙兩種物品各幾件？【答案】（1）每件甲種物品的價格為50元，每件乙種物品的價格為40元；（2）可以購進(jìn)7件甲種物品、5件乙種物品或3件甲種物品、10件乙種物品．【解析】【分析】（1）設(shè)每件乙種物品的價格為x元，則每件甲種物品的價格為（x+10）元，根據(jù)數(shù)量=總價÷單價，結(jié)合用150元購買甲種物品的件數(shù)恰好與用120元購買乙種物品的件數(shù)相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)可以購進(jìn)甲種物品m件，乙種物品n件，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，再結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出結(jié)論．小問1詳解】解：設(shè)每件乙種物品的價格為x元，則每件甲種物品的價格為（x+10）元，依題意得：，解得：x=40，經(jīng)檢驗，x=40是原方程的解，且符合題意，∴x+10=50．答：每件甲種物品的價格為50元，每件乙種物品的價格為40元．【小問2詳解】設(shè)可以購進(jìn)甲種物品m件，乙種物品n件，依題意得：50m+40n=550，∴．又∵m，n均為正整數(shù)，∴或．答：可以購進(jìn)7件甲種物品、5件乙種物品或3件甲種物品、10件乙種物品．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．20.如圖，四邊形是平行四邊形，，且分別交對角線于點M，N，連接．（1）求證：；（2）若．求證：四邊形是菱形．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）連接，交于點，證明，推出四邊形為平行四邊形，得到，即可得證；（2）先證明四邊形是菱形，得到，進(jìn)而得到，即可得證．【小問1詳解】證明：連接，交于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴；【小問2詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形菱形，∴，∴，∴平行四邊形是菱形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵．21.如圖，一次函數(shù)與函數(shù)為的圖象交于兩點．（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足時x的取值范圍；（3）點P在線段上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)的圖象于點Q，若面積為3，求點P的坐標(biāo)．【答案】（1），（2）（3）點P的坐標(biāo)為或【解析】【分析】（1）將代入可求反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點B坐標(biāo)，再將和點B坐標(biāo)代入即可求出一次函數(shù)解析式；（2）直線在反比例函數(shù)圖象上方部分對應(yīng)的x的值即為所求；（3）設(shè)點P的橫坐標(biāo)