高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)題型專項集訓(xùn)題型練5大題專項（三）理

題型練5大題專項(三)統(tǒng)計與概率問題1.第五代移動通信技術(shù)(簡稱5G)是最新一代蜂窩移動通信技術(shù),也是繼2G、3G和4G系統(tǒng)之后的延伸.5G的性能目標(biāo)是高數(shù)據(jù)速率、減少延遲、節(jié)省能源、降低成本、提高系統(tǒng)容量和大規(guī)模設(shè)備連接.某大學(xué)為了解學(xué)生對5G相關(guān)知識的了解程度,隨機抽取男、女學(xué)生各50名進行問卷測評,所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示,并規(guī)定得分在80分以上為“比較了解”.(1)求a的值,并估計該大學(xué)學(xué)生對5G比較了解的概率.(2)已知對5G比較了解的樣本中男女比例為4∶1.完成下列2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為對5G比較了解與性別有關(guān).性別比較了解不太了解合計男性女性合計(3)用分層抽樣的方式從得分在50分以下的樣本中抽取6人,再從6人中隨機選取2人,求至少有1人得分低于40分的概率.附:K2=n(ad-P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.8282.(2022新高考Ⅱ,19)在某地區(qū)進行某種疾病調(diào)查,隨機調(diào)查了100位這種疾病患者的年齡,得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)(2)估計該地區(qū)一人患這種疾病,其年齡位于區(qū)間[20,70)的概率;(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的16%,從該地區(qū)任選1人,若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),估計此人患這種疾病的概率(精確到0.0001).3.《中華人民共和國民法典》被稱為“社會生活的百科全書”.在法律體系中居于基礎(chǔ)性地位,也是市場經(jīng)濟的基本法.某中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生知法懂法,組織全校學(xué)生學(xué)習(xí)《中華人民共和國民法典》并組織知識競賽.為了解學(xué)習(xí)的效果,現(xiàn)從高一、高二兩個年級中各隨機抽取20名學(xué)生的成績(單位:分),繪制成莖葉圖如圖所示.(1)通過莖葉圖分析哪個年級的學(xué)生學(xué)習(xí)效果更好.(不要求計算,分析并給出結(jié)論)(2)根據(jù)學(xué)生的競賽成績,將其分為四個等級:測試成績(單位:分)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)等級合格中等良好優(yōu)秀①從樣本中任取2名同學(xué)的競賽成績,在成績?yōu)閮?yōu)秀的情況下,求這2名同學(xué)來自同一個年級的概率.②現(xiàn)從樣本中成績?yōu)榱己玫膶W(xué)生中隨機抽取3人座談,記X為抽到高二年級的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.4.(2022四川石室中學(xué)模擬)某研究機構(gòu)為了解大學(xué)生對冰壺運動是否有興趣,從某大學(xué)隨機抽取了600人進行調(diào)查,經(jīng)統(tǒng)計男生與女生的人數(shù)之比為11∶13,對冰壺運動有興趣的人數(shù)占抽取的總?cè)藬?shù)的23,女生中有75人對冰壺運動沒有興趣(1)完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為對冰壺運動是否有興趣與性別有關(guān)?性別是否有興趣合計有興趣沒有興趣男女75合計600(2)按性別用分層抽樣的方法從對冰壺運動有興趣的學(xué)生中抽取8人,若從這8人中隨機選出3人作為冰壺運動的宣傳員,設(shè)X表示選出的3人中女生的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:K2=n(ad-P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.8285.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學(xué)生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下:支付金額/元(0,1000](1000,2000]大于2000支付方式僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機抽取1人,估計該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率.(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中,隨機抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說明理由.6.某學(xué)校食堂為了解師生對某種新推出的菜品的滿意度,從品嘗過該菜品的學(xué)生和教師中分別隨機調(diào)查了20人,得到師生對該菜品的滿意度評分如下:教師:6063656769757777797982838687899293969696學(xué)生:4749525455576365666674747577808283849596根據(jù)師生對該菜品的滿意度評分,將滿意度從低到高分為三個等級:滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意假設(shè)教師和學(xué)生對該菜品的評價結(jié)果相互獨立,根據(jù)所給數(shù)據(jù),用事件發(fā)生的頻率估計相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)設(shè)數(shù)據(jù)中教師和學(xué)生評分的平均值分別為μ1和μ2,方差分別為η1和η2,試比較μ1和μ2,η1和η2的大小(結(jié)論不要求證明).(2)從全校教師中隨機抽取3人,設(shè)X為3人中對該菜品非常滿意的人數(shù),求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(3)求教師的滿意度等級高于學(xué)生的滿意度等級的概率.7.某汽車公司擬對甲款高端汽車發(fā)動機進行科技改造,根據(jù)市場調(diào)研與模擬,得到科技改造投入x(單位:億元)與科技改造直接收益y(單位:億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當(dāng)0<x≤17時,建立了y與x的兩個回歸模型:模型①:y^=4.1x+11.8;模型②:y^=21.3x14.4;當(dāng)x>17時,確定y與x滿足的線性回歸方程為y^=0.(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較當(dāng)0<x≤17時模型①、②的相關(guān)指數(shù)R2,并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預(yù)測對甲款汽車發(fā)動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程y^=4.1x+11.y^=21.314.4∑182.479.2附:相關(guān)指數(shù)R2=1∑i=1n(yi(2)為鼓勵科技創(chuàng)新,當(dāng)科技改造投入不少于20億元時,國家給予公司補貼收益10億元,以回歸方程為預(yù)測依據(jù),比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大小.附:用最小二乘法求線性回歸方程y^=b^x+a(3)科技改造后,甲款汽車發(fā)動機的熱效率X大幅提高,X服從正態(tài)分布N(0.52,0.012),公司對科技改造團隊的獎勵方案如下:若發(fā)動機的熱效率不超過50%,則不予獎勵;若發(fā)動機的熱效率超過50%但不超過53%,則每臺發(fā)動機獎勵2萬元;若發(fā)動機的熱效率超過53%,則每臺發(fā)動機獎勵5萬元.求每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望.(附:隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μσ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545)

題型練5大題專項(三)統(tǒng)計與概率問題1.解(1)根據(jù)頻率和為1,得(0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+a+0.004)×10=1,解得a=0.016;計算得分在80分以上的頻率為(0.016+0.004)×10=0.20,所以估計該大學(xué)學(xué)生對5G比較了解的概率為0.20.(2)根據(jù)題意知,對5G比較了解的人數(shù)有100×0.2=20,其中男性為20×44+1性別比較了解不太了解合計男性163450女性44650合計2080100計算K2=100×(16×46-所以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為對5G比較了解與性別有關(guān).(3)用分層抽樣法從得分在50分以下的樣本中抽取6人,其中在區(qū)間[30,40)內(nèi)的有2人,記為A,B,在區(qū)間[40,50)內(nèi)的有4人,分別記為c,d,e,f.從這6人中隨機選取2人,所有可能的結(jié)果有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf,cd,ce,cf,de,df,ef共15個,則至少有1人得分低于40分的結(jié)果有AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf共9個,故所求的概率P=92.解(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(歲).(2)由題圖,得這100位這種疾病患者中年齡位于區(qū)間[20,70)的頻率為(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,故估計該地區(qū)一人患這種疾病,其年齡位于區(qū)間[20,70)的概率為0.89.(3)設(shè)事件B為“任選1人年齡位于區(qū)間[40,50)”,事件C為“任選1人患這種疾病”,則P(C|B)=P(BC)P(B)=0故若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),估計此人患這種疾病的概率為0.0014.3.解(1)由題中莖葉圖知,高二年級的學(xué)生成績的平均分高于高一年級學(xué)生成績的平均分,高二年級的學(xué)生成績比較集中,而高一年級的學(xué)生成績比較分散,所以高二年級的學(xué)生學(xué)習(xí)效果更好.(2)①記事件A為“從樣本中任取2名同學(xué)的競賽成績?yōu)閮?yōu)秀”,事件B為“這兩個同學(xué)來自同一個年級”,則P(A)=C112C402,P所以在成績?yōu)閮?yōu)秀的情況下,這2名同學(xué)來自同一個年級的概率為P(B|A)=P②由題意X的可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=C43C103=130P(X=2)=C62C41C10所以X的分布列為X0123P1311數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×130+1×310+24.解(1)根據(jù)題意,男生有275人,女生有325人,對冰壺運動有興趣的有400人,對冰壺運動沒有興趣的有200人,對冰壺運動沒有興趣的男生有125人,對冰壺運動有興趣的男生有150人,對冰壺運動有興趣的女生有250人,得到如下2×2列聯(lián)表.性別是否有興趣合計有興趣沒有興趣男150125275女25075325合計400200600所以K2=600×(150×75-125所以能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為對冰壺運動是否有興趣與性別有關(guān).(2)由(1)知對冰壺運動有興趣的有400人,其中男生有150人,女生有250人,則用分層抽樣的方法從中抽取8人,抽到的男生人數(shù)為8×150400女生人數(shù)為8×250400=所以X的所有可能取值為0,1,2,3,所以P(X=0)=C33C83=156P(X=2)=C31C52C8所以X的分布列為X0123P115155所以E(X)=0×156+1×1556+25.解(1)由題意知,樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人,僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學(xué)生有10030255=40人.所以從全校學(xué)生中隨機抽取1人,該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率估計為40100=0.4(2)X的所有可能值為0,1,2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機抽取1人,該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”,事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機抽取1人,該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”.由題設(shè)知,事件C,D相互獨立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CD∪CD)=P(C)P(D)+P(C)·P(D)=0.4×(10.6)+(10.4)×0.6=0P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機抽查3人,他們本月的支付金額都大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中,本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化,則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)=1答案示例1:可以認(rèn)為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生,就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:事件E是隨機事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的,所以無法確定有沒有變化.6.解(1)μ1=120×(60+63+65+67+69+75+77+77+79+79+82+83+86+87+89+92+93+96+96+96)=80μ2=120×(47+49+52+54+55+57+63+65+66+66+74+74+75+77+80+82+83+84+95+96)=69η1=120×[(6080.55)2+(6380.55)2+…+(9680.55)2+(9680.55)2]η2=120×[(4769.7)2+(4969.7)2+…+(9569.7)2+(9669.7)2]≈所以μ1>μ2,η1<η2.(2)教師對菜品非常滿意的概率P=520=14,則隨機變量XX可取0,1,2,3,且P(X=k)=C3kpk(1p)3所以P(X=0)=C301401-1P(X=2)=C321421-1所以分布列為X0123P272791所以數(shù)學(xué)期望E(X)=0×2764+1×2764+2(3)記事件C:教師的滿意度等級高于學(xué)生的滿意度等級,用A1,A2,A3分別表示教師對該菜品“不滿意”“滿意”“非常滿意”,用B1,B2,B3分別表示學(xué)生對該菜品“不滿意”“滿意”“非常滿意”,且A1,A2,A3,B1,B2,B3相互獨立,則P(A1)=520,P(A2)=1020,P(A3)=520,P(B1)=1020,P(B2)=820,P(B所以P(C)=P(A2B1)+P(A3B1)+P(A3B2)=10即教師的滿意度等級