2024年浙江寧波效實中學強基自主招生數(shù)學試卷（含答案解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年浙江省寧波市效實中學強基招生數(shù)學試卷一、填空題（每空4分）1．已知是關于的方程的根．當時，，=．2．已知實數(shù)，，滿足，則的最小值為，此時．3．對實數(shù)，，定義運算“”為：．已知關于的方程，若該方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)的值是：若該方程有兩個不等負根，則實數(shù)的取值范圍是．4．如圖，是半圓的直徑，弦相交于點是的中點，則．5．記．若，則．6．若一條直線過的內(nèi)心，且平分的周長，則該直線分所成的兩個圖形的面積之比為．7．如果甲的身高數(shù)或體重數(shù)至少有一項比乙大，則稱甲不亞于乙．在100個小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，那么100個小伙子中的棒小伙子最多可能有人．8．如果直角三角形的三邊都是200以內(nèi)的正整數(shù)，且較長的兩邊長相差1，那么這樣的直角三角形有個．9．用表示自然數(shù)的數(shù)字和，例如：．若對任意自然數(shù)，都有，則滿足這個條件的最大的兩位整數(shù)的值是．10．把一副撲克牌從上到下按照大王、小王、黑桃、紅桃、方塊、梅花、黑桃、紅桃、方塊、梅花，、黑桃、紅桃、方塊、梅花的順序依次疊成一疊，然后執(zhí)行步驟①：把整疊牌最上面一張丟掉，再執(zhí)行步驟②：把整疊牌最上面一張移到整疊牌的最下面，再執(zhí)行步驟①，再執(zhí)行步驟②，……，步驟①和步驟②依次執(zhí)行直至整疊牌只剩下一張，則最后剩下的這張牌是．11．若實數(shù)，滿足，則的取值范圍為．12．已知，若關于的方程與都有解，且兩個方程的解完全相同，則實數(shù)的取值范圍是．二、解答題（每題15分）13．已知函數(shù)在時有最大值1．(1)求實數(shù)，的值；(2)設，若當時，的最小值為，最大值為，求，的值．14．如圖，在中，是邊上的高，為上一點，連結并延長交于，連結并延長交于．求證：．15．設，已知關于的方程．(1)若方程有實根，求證：，，不能成為一個三角形的三條邊長；(2)若方程有實根，求證：；(3)當方程的兩個實根分別為6，9時，求正整數(shù)，，的值．16．如果有理數(shù)可以表示成（其中、是任意有理數(shù)）的形式，我們就稱為“世博數(shù)”．(1)兩個“世博數(shù)”、之積也是“世博數(shù)”嗎？為什么？(2)證明：兩個“世博數(shù)”、之商也是“世博數(shù)”．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．或【分析】本題考查解一元二次方程，已知字母的值求代數(shù)式的值．把代入方程得到，運用因式分解法解方程即可求出，再代入式子即可解答．【詳解】解：當時，方程為，整理得：，則，，∴或即或，當時，；當時，；的值為．故答案為：或；．2．####【分析】本題考查了完全平方公式的應用．解題的關鍵是整體思想的應用．根據(jù)，得出，即可求出的最小值，根據(jù)得出，即可求解．【詳解】解：，，當且僅當時取等號，的最小值為，此時，則，，．故答案為：；．3．【分析】本題主要考查了新運算、一元二次方程根的判別式．解決本題的關鍵是根據(jù)新運算規(guī)定的運算規(guī)律把等式轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程，然后再利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求解．【詳解】解：，，又，，即，若該方程有兩個相等的實數(shù)根，則，由得：，由得：或，；若該方程有兩個不等負根，則，解得：．故答案為：，a>0．4．##【分析】此題考查了圓周角定理、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識．由是半圓的直徑得到，由得到，求出，由是的中點得到，則，得到，，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：是半圓的直徑，，，，，是的中點，，，，，．故答案為：．5．4【詳解】本題考查了分式的加減運算，運算量有點大，正確進行計算是解題的關鍵．先把三項的分母展開，再通分，并用其中的用代替，化簡即可．【解答】解：根據(jù)題意，可知、、均不為0，，，．故答案為：4．6．【分析】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．由內(nèi)心到三角形三邊的距離都相等，將三角形被分成的兩部分圖形面積分別用以這距離為高的三角形的面積和表示，可得結論．【詳解】解：通過圖可看到，過內(nèi)心的直線將的周長平分．設的周長為，內(nèi)切圓半徑為，則左邊部分的面積為，同理右邊部分的面積也為，該直線分成的兩個圖形的面積相等，該直線分所成的兩個圖形的面積之比為，故答案為：．7．100【分析】本題考查了推理與論證，因為是求得最多是多少人，且如果甲的身高或體重數(shù)至少有一項比乙大，則稱甲不亞于乙，根據(jù)體重和身高兩個條件找出答案即可．【詳解】解：取100個小伙子為這樣一種特殊情況，他們的身高與體重互不相等，并且最高者同時也就是最輕者，次高者同時也就是次輕者，…，第高者同時也就是第輕者，顯然這100個小伙子都是棒小伙子．故答案為：100．8．9【分析】本題考查了勾股定理的靈活運用，考查了分類討論思想的準確應用，本題中根據(jù)討論x，y的值是解題的關鍵．設兩直角邊為x、y，則斜邊為，則，討論x、y的值，進行求解．【詳解】解：設該直角三角形三邊長為、、，其中，由勾股定理得：，，顯然為大于1且小于401的奇數(shù)，為大于1小于20的奇數(shù)，，即滿足題意的直角三角形有9個．故答案為：9．9．97【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，對數(shù)字在不同數(shù)位上所代表的值的理解是解題的關鍵；列出，，80時的值，再判斷且n為自然數(shù)時的取值情況，即可得解．【詳解】解：因為，，，，，，，，，當且為自然數(shù)時，，當且為自然數(shù)時，，∵，，，，……若對任意自然數(shù)，都有，則滿足這個條件的最大的兩位整數(shù)的值為．故答案為：．10．紅桃【分析】本題考查邏輯與推理，理解操作方法是解決本題的突破點；得到所剩牌的規(guī)律是解決本題的難點．經(jīng)過實驗可知，撲克牌為張時，總能剩下牌的最后一張，那么張牌，先數(shù)出張后，還剩張，那么數(shù)出張后的最后一張牌就是所剩的牌．【詳解】解：將54張牌按照上述順序依次標號為，∵步驟①：把整疊牌最上面一張丟掉，再執(zhí)行步驟②：把整疊牌最上面一張移到整疊牌的最下面，∴如果撲克牌的張數(shù)為、、……，依照上述操作方法，剩下的一張牌就是這些牌的最后一張，∵比小的最大的的冪次方是，，∴第一輪先丟掉張牌，此時放到牌堆最底下的是原第張牌紅桃，牌堆剩下張牌，∴經(jīng)過題中步驟最后留下的就是紅桃故答案為：紅桃．11．【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)．首先根據(jù)二次根式中被開方數(shù)的非負性質(zhì)可得、，所以可得，然后再分當和a>0兩種情況討論．【詳解】解：由題意易知，，顯然時，，當時，不妨設，此時，解得：，由，可得：，由，可得：，，則，若，則，則，不符合題意，若，則，則，也不符合題意，，即，易知時，，，令，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，綜上，的取值范圍為．故答案為：．12．【分析】本題主要考查了根的判別式的應用，正確理解根的判別式和方程的解的關系是解題的關鍵．由得，進而可得，根據(jù)兩個方程的解完全相同，可得有實數(shù)根，此時要么沒有實根，要么實根是方程的根，由此求出實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：，，，，即，∴，由題意可知有實根，①當時，有，即，令，即，符合要求；②當時，有解，則，解得，要滿足題意，此時要么沒有實根，要么實根是方程的根，若沒有實根，則，解得；若有實根且實根是方程的根，則由方程，得，代入，有，解得，再代入得，，綜上所述，的取值范圍是：故答案為：．13．(1)(2)【分析】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的最值是解題的關鍵．（1）根據(jù)時函數(shù)有最大值，即可求出b的值，根據(jù)時有最大值1，代入求出c的值即可；（2）先求出，，根據(jù)、是關于的方程的兩個根得到，求出或或，根據(jù)即可求出答案．【詳解】（1）解：∵時函數(shù)有最大值，，，又時有最大值1，代入得，，故．（2），，又，，．，，，、是關于的方程的兩個根，，或或，，．14．證明見解析【分析】本題考查了平行線分線段成比例，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，過作的平行線，分別交、、、的延長線于點、、、，根據(jù)平行線分線段成比例推出，再根據(jù)是高，推理出，即可證明，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．【詳解】證明：如圖，過作的平行線，分別交、、、的延長線于點、、、，，，，，，，，，，，，點、在直線上，，，，在和中，，，，即．15．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】此題考查了一元二次方程的判別式和根與系數(shù)關系．（1）根據(jù)方程有實根得，由進一步得到．即可證明結論；（2）設，由，且，又由（1）知，即可得到二次方程的實根都在與之間，結論得證；（3）由根與系數(shù)關系有，，得．由（2）知，故得，則．得到，由即可求出．【詳解】（1）解：由方程有實根得，，即，由，得，即．所以，，，不能成為一個三角形的三邊．（2）設，則，且，由（1）知，所以二次方程的實根都在與之間，即．（3）由根與系數(shù)關系有，，得．由（2）知，故得，．，由，解得．16．(1)是“世博數(shù)”，見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了因式分解的應用，掌握“世博數(shù)”的概念是解題的關鍵．（1）先將有理數(shù)變形為，可知“世博數(shù)”（其中p、q是任意有理數(shù)）．兩個“世博數(shù)”a、b，不妨設，，其中j、k、r、s為任意給定的有理數(shù)．再求出a、b之積，然后根據(jù)“世博數(shù)”的定義判