2024-2025學(xué)年廣東省實驗中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省實驗中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知(1+i)z?=1+3i，則復(fù)數(shù)z的虛部為A.1 B.?i C.?1 D.i2.一組數(shù)據(jù)23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位數(shù)是(

)A.14 B.15 C.23 D.253.在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，G為△ABC的重心，P在OG上，且A.?29a+19b+14.已知隨機(jī)事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.6，P(B)=0.3，則P(A?)等于A.0.8 B.0.7 C.0.5 D.0.25.已知直線l過定點A(2,3,1)，且方向量為S=(0,1,1)，則點P(4,3,2)到l的距離為(

)A.322 B.22 6.雙曲線C與橢圓x29+y24=1有相同的焦點，一條漸近線的方程為A.x24?y2=1 B.y7.已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，若A.x218+y29=1 B.8.橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，斜率為1的直線l過左焦點F1交C于A，B兩點，且A.[62,122] B.[6,12]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)A.BC1//平面B1DEB.直線C.平面A1AF⊥平面B1DED.點E10.已知點P是左、右焦點為F1，F(xiàn)2的橢圓C：x28A.若∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積為42

B.使△F1PF2為直角三角形的點P11.如圖，曲線C是一條“雙紐線”，其C上的點滿足：到點F1(?2,0)與到點F2(2,0)的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是A.點D(22,0)在曲線C上

B.點M(x,1)(x>0)在C上，則|MF1|=22

C.點Q在橢圓x26+y22=1上，若F1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知點P(2,1)在角θ的終邊上，則sin(2θ?π)1+sin(13.若f(x)=(x+a)?ln2x?12x+1為偶函數(shù)，則實數(shù)a=14.如圖，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2m2?y2n2=1(m>0,n>0)有公共焦點F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)，橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，點P為兩曲線的一個公共點，且∠F1PF2=60°，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的圓心在直線x?y+1=0上，且與直線2x+y=0相切于坐標(biāo)原點．

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)經(jīng)過點A(0,2)的直線l被圓M截得的弦長為32，求直線l的方程．16.(本小題15分)

已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin(A+C)sinA+sinC=a?cb?c，且a=2．

(1)若B=π6，求c；

(2)點D在邊BC上且AD平分∠BAC17.(本小題15分)

橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點P(3,1)且離心率為63，F(xiàn)為橢圓的右焦點，過F的直線交橢圓C于M，N兩點，定點A(?4,0)．

(Ⅰ)求橢圓C18.(本小題17分)

在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PA=PB=AD=12BC=2，且E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點．

(1)證明：DE/?/平面PAB；

(2)若直線PF與平面PAB所成的角為60°，

①求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

②平面ADE將四棱錐P?ABCD分成上、下兩部分，求平面19.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的實軸長為4，漸近線方程為y=±12x．

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)雙曲線的左、右頂點分別為A1、A2，過點B(3,0)作與x軸不重合的直線l與C交于P、Q兩點，直線A1P與A2Q交于點S，直線A1Q與A2P交于點T參考答案1.C

2.D

3.C

4.B

5.A

6.A

7.A

8.B

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.?113.0

14.32

15.解：(1)∵圓M的圓心在直線x?y+1=0上，設(shè)M(m,m+1)，則m+1m×(?2)=?1，

解得m=?2，即M(?2,?1)，∴圓的半徑為4+1=5，

∴圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y+1)2=5；

(2)經(jīng)過點A(0,2)的直線l被圓M截得的弦長為32，

當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=0，

此時直線l被圓M截得的弦長為25?4=2，不符合題意，

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，即kx?y+2=0，16.解：(1)由正弦定理可知asinA=bsinB=csinC，

∴sin(A+C)sinA+sinC=sin(π?B)sinA+sinC=sinBsinA+sinC=ba+c=a?cb?c，

∴b(b?c)=(a+c)(a?c)，

∴b2?bc=a2?c2，即b2+c2?a2=bc，

由余弦定理知cosA=b2+c2?a22bc=12，

又∵A∈(0,π)，

∴A=π3，由A=π3，B=π6，知C=π?π3?π6=π2，

17.解：(1)由題意可得：3a2+1b2=1，ca=63，又a2=b2+c2，

聯(lián)立解得：a2=6，b2=2，c=2．

∴橢圓C的方程為：x26+y22=1．

(2)F(2,0)．

①若MN⊥x軸，把x=2代入橢圓方程可得：46+y22=1，解得y=±63．

則S△AMN=18.(1)證明：取PB中點M，連接AM，EM，

因為E為PC的中點，所以ME/?/BC，ME=12BC，

又因為AD//BC，AD=12BC，

所以ME/?/AD，ME=AD，所以四邊形ADEM為平行四邊形，

所以DE/?/AM，因為DE?

平面PAB，AM?平面PAB，所以DE/?/平面PAB；

(2)解：平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC?平面ABCD，

BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，

取AB中點G，連接FG，則FG/?/BC，所以FG⊥平面PAB，

所以∠GPF=60°，GF=12(AD+BC)=3，所以tan60°=3PG，所以PG=3，

又PA=PB=2，所以AG=GB=4?3=1，AB=2，

①如圖，以G為坐標(biāo)原點，GB，GF，GP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

所以P(0,0,3)，C(1,4,0)，D(?1,2,0)，

所以PC=(1,4,?3),CD=(?2,?2,0)，

設(shè)平面PCD的一個法向量，n1=(x,y,z)，

則n1?PC=0n1?CD=0，即x+4y?3z=0?2x?2y=0，取y=1，則n1=(?1,1,3)，

平面PAB的一個法向量可取n2=(0,1,0)，

設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳二面角為θ，

所以cosθ=|n1?n219.解：(