2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1.2等差數(shù)列1.2.1第1課時等差數(shù)列的概念和通項公式學(xué)案含解析北師大版必修5

PAGE§2等差數(shù)列2．1等差數(shù)列第1課時等差數(shù)列的概念和通項公式學(xué)問點一等差數(shù)列的定義[填一填]假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差是同一個常數(shù)，我們稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列，稱這個常數(shù)為等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．由此定義可知，對于等差數(shù)列{an}，有a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d.[答一答]1．怎樣用公式表示等差數(shù)列的定義？提示：an＋1－an＝d(d為常數(shù))．學(xué)問點二等差數(shù)列的通項公式[填一填]設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，則通項公式an＝a1＋(n－1)d.[答一答]2．怎樣推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式？提示：{an}是等差數(shù)列，所以a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……an－1－an－2＝d，an－an－1＝d.將以上n－1個等式的兩邊分別相加得an－a1＝(n－1)d，所以an＝a1＋(n－1)d.學(xué)問點三從函數(shù)角度探討等差數(shù)列{an}[填一填](1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．①點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上．②這些點的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.(2)①d>0時{an}是遞增數(shù)列，②d<0時{an}是遞減數(shù)列，③d＝0時{an}是常數(shù)列．[答一答]3．怎樣推斷等差數(shù)列的單調(diào)性？提示：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)是關(guān)于n的一次函數(shù)，d為斜率，(n，an)在直線上，由an＝am＋(n－m)d，得d＝eq\f(an－am,n－m)，d>0時，一次函數(shù)遞增，{an}是遞增數(shù)列；d<0時，一次函數(shù)遞減，{an}是遞減數(shù)列．理解等差數(shù)列的定義需留意以下問題：(1)留意定義中“從第2項起”這一前提條件的兩層含義：其一，第1項前面沒有項，無法與后續(xù)條件中“與前一項的差”相吻合；其二，定義中包括首項這一基本量，且必需從第2項起，以便保證數(shù)列中各項均與其前一項作差．(2)留意定義中“每一項與它的前一項的差”這一運算要求，它的含義也有兩個：其一是強(qiáng)調(diào)作差的依次，即后面的項減前面的項；其二是強(qiáng)調(diào)這兩項必需相鄰．(3)留意定義中的“同一常數(shù)”這一要求，否則這個數(shù)列不能稱為等差數(shù)列．類型一等差數(shù)列的判定【例1】推斷下列各數(shù)列是否為等差數(shù)列．(1)1,2,4,6,8；(2)7,7,7,7,7；(3)m，m＋n，m＋2n,2m＋n(4)a－d，a，a＋d.【思路探究】依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行推斷，即推斷從第2項起先每一項與它前一項的差是否等于同一個常數(shù)．【解】(1)因為2－1＝1,4－2＝2,6－4＝2,8－6＝2,1≠2，所以該數(shù)列不是等差數(shù)列．(2)因為7－7＝7－7＝7－7＝7－7＝0，所以該數(shù)列是等差數(shù)列．(3)因為(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n，(2m＋n)－(m＋2n)＝m－n所以當(dāng)n＝m－n，即m＝2n時，該數(shù)列是等差數(shù)列；當(dāng)m≠2n時，該數(shù)列不是等差數(shù)列．(4)因為a－(a－d)＝(a＋d)－a＝d，所以該數(shù)列是等差數(shù)列．規(guī)律方法要推斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列，只要看對于隨意的正整數(shù)n，an＋1－an是不是等于同一個常數(shù)，切記不行通過計算a2－a1，a3－a2，a4－a3等幾個有限的式子的值后，依據(jù)它們的值都是同一個常數(shù)，就得出該數(shù)列為等差數(shù)列的結(jié)論．因為由特殊到一般得出的結(jié)論不肯定正確．推斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：(1)an＝3n－1；(2)an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,n－1，n≥2；))(3)an＝n2＋n.解：(1)由通項公式an＝3n－1，知an＋1＝3(n＋1)－1.于是an＋1－an＝[3(n＋1)－1]－(3n－1)＝3.由n的隨意性知，這個數(shù)列是等差數(shù)列．(2)由通項公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,n－1，n≥2))知a1＝1，a2＝1，a3＝2.明顯an＋1－an＝1(n∈N＋，n≥2)恒成立．但a2－a1≠a3－a2，即數(shù)列從第3項起先，每一項與前一項的差才是同一個常數(shù)，所以該數(shù)列不是等差數(shù)列．(3)由an＝n2＋n得an＋1＝(n＋1)2＋n＋1＝n2＋3n＋2，則an＋1－an＝2n＋2，所以該數(shù)列不是等差數(shù)列．類型二等差數(shù)列的證明【例2】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，數(shù)列{xn}的通項由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N＋)確定．(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列；(2)當(dāng)x1＝eq\f(1,2)時，求x100.【思路探究】(1)利用條件xn＝f(xn－1)可以確定數(shù)列{xn}中相鄰兩項的遞推關(guān)系，要證明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列，依據(jù)定義，只需證明eq\f(1,xn＋1)－eq\f(1,xn)或eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)(n≥2)是常數(shù)即可；(2)利用(1)的結(jié)論．先求數(shù)列{xn}的通項公式，再用通項公式求x100.【解】(1)證明：xn＝f(xn－1)＝eq\f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2，n∈N＋)，所以eq\f(1,xn)＝eq\f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,xn－1)，eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,3)(n≥2，n∈N＋)．所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列．(2)由(1)知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))的公差為eq\f(1,3).又因為x1＝eq\f(1,2)，即eq\f(1,x1)＝2.所以eq\f(1,xn)＝2＋(n－1)×eq\f(1,3)，eq\f(1,x100)＝2＋(100－1)×eq\f(1,3)＝35.所以x100＝eq\f(1,35).規(guī)律方法(1)推斷數(shù)列為等差數(shù)列要敏捷運用三種判定方法，本例是用等差數(shù)列的定義來證明和推斷的．(2)由某些遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式的一個重要方法就是構(gòu)造新數(shù)列法．先通過取倒數(shù)、平方或其他分解變形構(gòu)造出一個新數(shù)列，再證明該數(shù)列就是等差數(shù)列．然后由等差數(shù)列的通項公式求出所求的數(shù)列的通項公式，其中視察分析遞推式的結(jié)構(gòu)特點，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出新數(shù)列是解決問題的關(guān)鍵．已知數(shù)列{an}滿意a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n≥2)，令bn＝eq\f(1,an－2).(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．解：(1)證明：因為bn＋1＝eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(1,(4－\f(4,an))－2)＝eq\f(an,2an－4)，所以bn＋1－bn＝eq\f(an,2(an－2))－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2(an－2))＝eq\f(1,2)，所以數(shù)列{bn}是公差d＝eq\f(1,2)的等差數(shù)列．(2)由(1)得{eq\f(1,an－2)}構(gòu)成以eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)為首項，d＝eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列，所以eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,2)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n,2)，所以an＝2＋eq\f(2,n)，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2＋eq\f(2,n).類型三等差數(shù)列的通項公式【例3】已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前三項之和為21，前三項之積為231，求數(shù)列{an}的通項公式．【思路探究】思路一eq\x(\a\al(設(shè)前三項分別為a1，,a1＋d，a2＋2d))→eq\x(列方程組求解)思路二eq\x(設(shè)前三項分別為a－d，a，a＋d)→eq\x(列方程組求解)【解】方法一：依據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的前三項分別為a1，a1＋d，a1＋2d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＝21，,a1(a1＋d)(a1＋2d)＝231，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝21，,a1(a1＋d)(a1＋2d)＝231，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－4.))因為數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4，))從而等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n－1.方法二：由于數(shù)列{an}為等差數(shù)列，因此可設(shè)其前三項分別為a－d，a，a＋d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((a－d)＋a＋(a＋d)＝21，,(a－d)a(a＋d)＝231，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝21，,a(a2－d2)＝231，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－4.))由于數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4，))從而an＝4n－1.規(guī)律方法求等差數(shù)列的通項公式的兩種思路1．設(shè)出基本量a1與d，利用條件構(gòu)建方程組，求出a1與d，即可寫出數(shù)列的通項公式．2．已知等差數(shù)列中的兩項時，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d即可繞過求首項a1，干脆寫出等差數(shù)列的通項公式．留意：對于等差數(shù)列的通項公式，最終結(jié)果一般寫成關(guān)于n的一次函數(shù)的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式．已知等差數(shù)列{an}單調(diào)遞減，a3＝1，a2a4＝eq\f(3,4).(1)求數(shù)列{an}的通項公式．(2)推斷數(shù)列{a1an}是否為等差數(shù)列？若是，求出公差；若不是，說明理由．解：(1)由題知a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2a3＝又a2a4＝eq\f(3,4)，數(shù)列{an}單調(diào)遞減，∴a4＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2).∴公差d＝eq\f(a4－a2,2)＝－eq\f(1,2)，∴a1＝a2－d＝2，∴an＝2＋(n－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)n＋eq\f(5,2).(2)由(1)，知a1an＝2an，則當(dāng)n≥2時，2an－2an－1＝2(an－an－1)＝－1(常數(shù))，∴數(shù)列{a1an}是等差數(shù)列，且公差為－1.【例4】兩個等差數(shù)列5,8,11，…和3,7,11，…都有100項，那么它們共有多少相同的項？【思路探究】先求出每個數(shù)列的通項，列出等式，探討項數(shù)的關(guān)系即可．【解】數(shù)列5,8,11，…記為{an}，數(shù)列3,7,11，…記為{bm}，則an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2，bm＝3＋(m－1)·4＝4m－令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)即n＝eq\f(4,3)m－1(n，m∈N＋)．要使n為正整數(shù)，m必需是3的倍數(shù)，記m＝3k(k∈N＋)．∴n＝eq\f(4,3)·3k－1＝4k－1.∵4k－1≤100，∴k≤eq\f(101,4)，且k∈N＋，∴1≤k≤25.∴兩數(shù)列共有25個相同的項．規(guī)律方法(1)本題的求解，要用到兩個等差數(shù)列的通項公式，然后求公共項．本題的關(guān)鍵是要把通項公式求對，然后探求公共項滿意的條件．(2)本題易錯處在于，令an＝bn，得3n＋2＝4n－1，∴n＝3.從而兩數(shù)列只有一個公共項，這是明顯的錯誤．兩數(shù)列的公共項不肯定項數(shù)相同，比如，a7＝b6，這也是它們的公共項．(3)本題也可以先找出幾個公共項后，視察其特點，得到其通項公式．在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首項a1與公差d，并求該數(shù)列的通項公式．解：解法一：由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31.))解得d＝3，a1＝－2.∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5.解法二：由an＝am＋(n－m)d，得a12＝a5＋(12－5)d，即d＝eq\f(a12－a5,7)＝3.又∵a5＝a1＋4d，a5＝10，∴a1＝－2，∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5.——多維探究系列——等差數(shù)列公差計算的方法公差是等差數(shù)列的兩個關(guān)鍵量之一，公差的計算正確與否，干脆確定著等差數(shù)列問題解決的正確與否，而公差的計算方法不唯一，因此我們要選擇合適的計算方法，且能計算正確．法一：d＝an－an－1.法二：d＝eq\f(an－a1,n－1).法三：d＝eq\f(an－am,n－m).【例5】在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a15＝25，求a25.【思路分析】通過已知條件，特殊是項的下標(biāo)關(guān)系，可實行多種方法求解．【規(guī)范解答】解法一：設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則依據(jù)題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋14d＝25.))這是一個以a1和d為未知數(shù)的二元一次方程組，解這個方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝\f(3,2)，))所以這個數(shù)列的通項公式為an＝4＋eq\f(3,2)×(n－1)，即an＝eq\f(3,2)n＋eq\f(5,2).因此a25＝eq\f(3,2)×25＋eq\f(5,2)＝40.解法二：設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝pn＋q，則依據(jù)題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5p＋q＝10，,15p＋q＝25，))解這個方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(3,2)，,q＝\f(5,2)，))所以an＝eq\f(3,2)n＋eq\f(5,2)，所以a25＝40.解法三：由題意可知a15＝a5＋10d，即25＝10＋10d，所以10d＝15.又因為a25＝a15＋10d，所以a25＝25＋15＝40.(1){an}為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d＝(BA．－2 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．2(2)等差數(shù)列{an}中，am＋n＝α，am－n＝β，則其公差d的值為(B)A.eq\f(α＋β,2n) B.eq\f(α－β,2n)C.eq\f(α＋β,2m) D.eq\f(α－β,2m)解析：(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，,a1＋2d＝0，))解得d＝－eq\f(1,2).故選B.(2)d