2024-2025學(xué)年四川省綿陽市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬檢測試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年四川省綿陽市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,，過的直線交于,兩點(diǎn)，則的周長為A．2 B．4 C． D．3．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是A． B．C． D．4．點(diǎn)是圓上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，線段的中點(diǎn)的軌跡方程為A． B．C． D．5．已知斜率存在的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn).若為線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為A． B． C．或 D．或6．在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，側(cè)面為正方形，設(shè)點(diǎn)為四棱錐外接球的球心，為上的動點(diǎn)，則直線與所成角中最小角的正弦值為A． B． C． D．7．已知⊙M：，直線：，為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時，直線的方程為A． B． C． D．8．已知點(diǎn)在拋物線：上，過作圓的兩條切線，分別交于，兩點(diǎn)，且直線的斜率為，若為的焦點(diǎn)，點(diǎn)為上的動點(diǎn)，點(diǎn)是的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則的最大值是A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是A．不能表示過點(diǎn)且斜率為的直線的方程B．在軸、軸上的截距分別為,的直線方程為C．直線與軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為D．設(shè)，，若直線與線段有交點(diǎn)，則的取值范圍是10．如圖，在平行六面體中，已知，，E為棱上一點(diǎn)，且，則A． B．直線與所成角的余弦值為C．平面 D．直線與平面所成角為11．已知橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，設(shè)兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為為的角平分線，，點(diǎn)均在軸上，設(shè)橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則下列說法正確的是A．B．以橢圓和雙曲線四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積的最大值為C．若，則的取值范圍為D．若，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，虛軸的上端點(diǎn)為，點(diǎn)，為上兩點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，且，記雙曲線的離心率為，則.13．如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，且，記與平面所成的角為，則的最大值為.14．如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，若圓上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓經(jīng)過點(diǎn),，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，求；（3）過作圓的兩條切線，求切線的長.16．某區(qū)為檢測各校學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，依照中小學(xué)生《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行測試，參加測試的學(xué)生統(tǒng)一從學(xué)生學(xué)籍檔案管理庫（簡稱“CIMS系統(tǒng)”）中隨機(jī)選取.本次測試要求每校派出30人，其中男女學(xué)生各15人，參加八個項目的測試.八項測試的平均分為該學(xué)生的綜合成績，滿分為100分.測試按照分?jǐn)?shù)給學(xué)生綜合成績定等級，分?jǐn)?shù)在內(nèi)為“優(yōu)秀”，為“良好”，為“及格”，為“不及格”，下表為某學(xué)校30名學(xué)生本次測試綜合成績的數(shù)據(jù)：男生989292919090888787858279776757女生979996939291908785818077767648（1）分別求出該學(xué)校男?女生綜合成績的優(yōu)秀率；（2）從表中綜合成績等級為“良好”的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行后續(xù)監(jiān)控，若表示抽取3人中的女生人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（3）在（2）的條件下，當(dāng)這3名學(xué)生綜合成績的方差取得最大值時，請直接寫出所有符合條件的3名學(xué)生的綜合成績.17．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，且焦距為2,為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且異于，兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作一條斜率不為0的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)(在，之間)，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，求證：點(diǎn)，關(guān)于軸對稱.18．已知圓心在x軸上的圓C與直線切于點(diǎn)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，直線與圓C交于點(diǎn)，兩點(diǎn)．（i）求證：為定值；（ii）求的最大值．19．2021年6月17日，神舟十二號載人飛船順利升空并于6.5小時后與天和核心艙成功對接.如圖①所示是神舟十二號飛船推進(jìn)艙及其推進(jìn)器的簡化示意圖，半徑相等的圓，，，與圓柱的底面分別相切于點(diǎn)，，，，且圓與，與，與，與分別外切，線段為圓柱的母線.點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.已知圓柱的底面半徑為2，.（1）求證：平面.（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面?若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由.（3）如圖②所示是飛船推進(jìn)艙與即將對接的天和核心艙的相對位置的簡化示意圖.天和核心艙為底面半徑為2的圓柱，它與飛船推進(jìn)艙共軸，即，，，共線.核心艙體兩側(cè)伸展出太陽翼，其中三角形為以為斜邊的等腰直角三角形，四邊形為矩形.已知推進(jìn)艙與核心艙的距離為4，即，且，.在對接過程中，核心艙相對于推進(jìn)艙可能會相對作出逆時針旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動，請你求出在艙體相對距保持不變的情況下，在艙體相對旋轉(zhuǎn)過程中，直線與平面所成角的正弦值的最大值.答案1．【正確答案】C2．【正確答案】D3．【正確答案】C4．【正確答案】A5．【正確答案】C6．【正確答案】D7．【正確答案】D8．【正確答案】A【詳解】由題意可知，過P所作圓的兩條切線關(guān)于直線對稱，所以．設(shè)，，，則，同理可得，，則，得，所以，由，得．將代入拋物線C的方程：得，解得，故拋物線C的方程為．設(shè)，作垂直準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，所以，當(dāng)最小時，的值最大，所以當(dāng)直線MN與拋物線C相切時，最大，即最?。深}意可得，設(shè)切線MN的方程為，聯(lián)立方程組消去，得，由，可得，將代入，可得，所以，即M的坐標(biāo)為，所以，，所以的最大值為．9．【正確答案】AD10．【正確答案】ABD11．【正確答案】BCD【詳解】對于A，設(shè)，由橢圓和雙曲線定義有，將兩式平方得，相加整理得，又在中，由余弦定理有，則，即，則，故A選項錯誤；對于B，橢圓和雙曲線一個交點(diǎn)，由橢圓和雙曲線的對稱性可知，另外三個點(diǎn)的坐標(biāo)為，，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形為矩形，面積，又點(diǎn)在橢圓上，所以滿足，則有當(dāng)且僅當(dāng)時等式成立，故B選項正確；對于C，，即，所以，則，又，所以，即，又，所以，，則．令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故C選項正確；對于D，由為的角平分線，，易知為的外角平分線，則由角平分線性質(zhì)定理有，即，由外角平分線性質(zhì)定理有，即，求的最小值即求的最小值；由，可得，代入，即，整理可得，所以，則當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為，故D選項正確.12．【正確答案】13．【正確答案】14．【正確答案】【詳解】以為鄰邊，作矩形，則，由矩形性質(zhì)可得，證明如下：設(shè)，過點(diǎn)分別為⊥，⊥，⊥，垂足分別為，過點(diǎn)作⊥，垂足為，則，故，，所以，，，所以，證畢，即，故，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，所以，左邊等號成立的條件為三點(diǎn)共線，且在之間，右邊等號成立的條件為三點(diǎn)共線，且在之間，則的取值范圍是15．【正確答案】見詳解【詳解】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得，圓心，半徑，所以圓的方程為.（2）圓心到直線，即的距離，則.（3）設(shè)兩個切點(diǎn)分別為，，，則，即切線長為3.16．【正確答案】（1）男生綜合成績的優(yōu)秀率為，女生綜合成績的優(yōu)秀率為；（2）分布列見解析；；（3）88，87，80．【詳解】（1）由表可知，男生成績優(yōu)秀的人數(shù)為6人，女生成績優(yōu)秀的人數(shù)為7人，則該學(xué)校男生綜合成績的優(yōu)秀率為，女生綜合成績的優(yōu)秀率為；（2）表中成績良好的男生5人，女生4人，共9人，從中隨機(jī)抽取3人，女生人數(shù)為0，1，2，3．則，，，．的分布列為：0123；（3）3名學(xué)生的綜合成績?yōu)?8，87，80．17．【正確答案】見詳解【詳解】（1）由題意有，，設(shè)，則，化簡得，結(jié)合，可得，由橢圓焦距為2，得,所以，所以，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）顯然直線的斜率不存在時，與橢圓無交點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對稱性，欲證點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，只需證，即證.設(shè)，，直線的方程為，.由消去得：，，解得，所以，,則.因為，所以，即點(diǎn)，關(guān)于軸對稱.18．【正確答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）26.【詳解】（1）證明：圓C與直線l相切于點(diǎn)M，則，即，直線CM與x軸交于點(diǎn)半徑，因此圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）（i）聯(lián)立直線與圓C：，整理得：由韋達(dá)定理得：，，因此；（2）（ii），當(dāng)時，取到最大值26．19．【正確答案】見詳解【詳解】（1）如圖，是從題圖①中抽出的部分圖形，連接，取中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，則且，所以四邊形是平行四邊形，所以.又，，所以，又，所以，所以，又平