2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、填空題（1-6題每題3分，7-10題每題4分，共34分）1.過點且與直線垂直的直線一般式方程為______.【正確答案】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)出直線方程，然后將點的坐標(biāo)代入即可求解.【詳解】由題意，設(shè)所求直線方程為，因為該直線過點，所以，解得，所以所求直線為.故2.橢圓的離心率為______.【正確答案】【分析】由橢圓方程得到，的值，然后由求得的值，進(jìn)而求得離心率．【詳解】根據(jù)橢圓的方程可得：，，故，所以橢圓的離心率．本題主要考查根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求出，，，由橢圓的幾何性質(zhì)求離心率，屬于基礎(chǔ)題．3.若兩條直線和互相平行，則_____.【正確答案】【分析】根據(jù)兩直線平行得到，求出的值，再代入檢驗即可.【詳解】因為直線和互相平行，所以，解得或，當(dāng)時，直線和重合，不符合題意；當(dāng)時，直線和互相平行，符合題意.綜上可得.故4.表面積為的球的體積是_____.【正確答案】【分析】設(shè)球的半徑為，根據(jù)表面積求出，再由球的體積公式計算可得.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得，所以球的體積.故5.一個底面半徑為的圓柱被與其底面所成角是的平面所截，截面是一個橢圓，則該橢圓的焦距等于_____.【正確答案】【分析】利用已知條件，求出橢圓的長半軸，短半軸，然后求出半焦距，得解．【詳解】因為底面半徑為的圓柱被與底面成的平面所截，其截口是一個橢圓，則這個橢圓的短半軸為，長半軸為，，，橢圓的焦距為；故．6.已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為______.【正確答案】【分析】利用圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，列出方程，求解即可．【詳解】由題意，設(shè)母線長為，∵圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，則有，解得，∴該圓錐的母線長為.故答案為.7.如圖是用斜二測畫法畫出的水平放置的正的直觀圖，其中，則的面積為______.【正確答案】【分析】由直觀圖可以推得原三角形底邊長及高，從而可得，從而求得三角形的高，即可求解面積.【詳解】由直觀圖可知，原三角形邊長為4，則邊上的高為，所以，所以的高是，所以的面積是.故答案為.8.在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為______．【正確答案】【分析】分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接，過作,垂足為.因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故答案為.9.已知正三棱錐，側(cè)棱長為5，底面邊長為8，若空間中一個動點滿足，則的取值范圍是_____.【正確答案】【分析】設(shè)O為中點，先由題設(shè)得和，進(jìn)而得點M在以O(shè)為球心，半徑為的球上，接著設(shè)，再將轉(zhuǎn)化成即可計算求解.【詳解】如圖，O為中點，則由題意且，所以.因為，則即，所以點M在以O(shè)為球心，半徑為的球上，設(shè)，則，所以.故答案為.10.已知斜邊長為的等腰直角在平面上的投影為等邊，則的面積為_____.【正確答案】##【分析】作出示意圖，設(shè)等邊邊長為a，由幾何圖形性質(zhì)和投影定義設(shè)，進(jìn)而得，從而由求出邊長，再由正三角形面積公式計算即可得解.【詳解】由題意可知如圖放置，其投影為，則才可為正三角形，由題意可得，，可設(shè)，將平移至位置，則由題意可得，，又，所以故可設(shè)，則，所以，故，所以由得，故，所以等邊面積為.故答案為.關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵1是先作出示意圖，由幾何圖形性質(zhì)和投影定義得到，進(jìn)而得正三角形邊長為，關(guān)鍵2是利用勾股定理求出邊長，進(jìn)而由面積公式即可計算求解.二、單選題（11-12題每題3分，13-14題每題4分，共14分）11.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】將直線方程化簡為斜截式方程，即可求出斜率，從而求解傾斜角.【詳解】因為，即，所以斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則，所以.故選：D.12.a和b是兩條異面直線，下列結(jié)論正確的是（）A.過不在a、b上的任意一點，可作一個平面與a、b都平行B.過不在a、b上的任意一點，可作一條直線與a、b都相交C.過不在a、b上的任意一點，可作一條直線與a、b都平行D.過a可以并且只可以作一個平面與b平行【正確答案】D【分析】根據(jù)異面直線的定義結(jié)合平面的公理，一一判斷各選項，即可得答案.【詳解】對于A，若選一點與直線a確定一平面恰好與直線b平行，此時a在這個平面內(nèi)，A不正確；對于B，結(jié)合A的分析，若選的點在A中所確定的平面上時，無法作一條直線與a、b都相交，B不正確；對于C，若過不在a，b上的任意一點，有直線，則，與a，b異面矛盾，C不正確；杜宇D，在a上任取一點M，則過點M且與直線b平行的直線唯一，則該直線與直線a所在平面與直線b平行．而兩相交直線所確定的平面唯一，該平面唯一．D正確，故選：D13.已知光線沿向量（，，）照射，遇到直線后反射，其中是的一個方向向量，是的一個法向量.則反射光線的一個方向向量可以表示為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)反射光線的方向向量為（，x∈R，），首先排除A，再根據(jù)推導(dǎo)出，再代入檢驗B、C、D.【詳解】如圖，設(shè)反射光線的方向向量為（，x∈R，），顯然與不共線，又，故排除A；由題意，且，所以，即，即，顯然，所以，又，，所以，所以，對于B：，顯然恒成立，故符合題意，故B正確；對于C：，不恒成立，故C錯誤；對于D：，不恒成立，故D錯誤；所以反射光線的一個方向向量可以表示為.故選：B.14.已知一個棱長為的正方體，與該正方體每個面都相切的球半徑記為，與該正方體每條棱都相切的球半徑為，過該正方體所有頂點的球半徑為，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由題意知是正方體內(nèi)切球的半徑，是正方體棱切球的半徑，是正方體外接球的半徑，從而求出，，，然后逐項判斷即可.【詳解】由題意得，所以，所以，故選項A錯誤；，故選項B錯誤；，故選項C正確；，故選項D錯誤；故選：C.三、解答題（本大題共5小題，共52分）15.在三棱臺中，若平面分別為中點.（1）求證：平面（2）求點到平面的距離.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，即可得到四邊形是平行四邊形，則，從而利用線面平行的判定定理得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】連接、，由分別是的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，，且，由棱臺性質(zhì)，，于是，又由可知，四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，于是平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則．，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，又，所以點到平面的距離，即點到平面的距離是．16.設(shè)常數(shù)，函數(shù)．（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在時有零點，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上有實數(shù)解，令，可將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為在有實數(shù)解，通過分離變量法可得，由的值域可構(gòu)造不等式求得的范圍.【詳解】（1）由題意知：函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，，即，即，整理可得：，對任意都成立，，解得：．（2）將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有實數(shù)解，即關(guān)于的方程在區(qū)間上有實數(shù)解．設(shè)，，，則原問題等價于關(guān)于的方程（*）在區(qū)間上有實數(shù)解．當(dāng)時，方程（*）不成立，，則方程（*）可化為：，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有公共點．函數(shù)為增函數(shù)，則該函數(shù)的值域為，，解得：，即實數(shù)取值范圍為.方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線，設(shè)圓的半徑為1，圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.【正確答案】（1）或；（2）.【分析】（1）兩直線方程聯(lián)立可解得圓心坐標(biāo)，又知圓的半徑為，可得圓的方程，根據(jù)點到直線距離公式，列方程可求得直線斜率，進(jìn)而得切線方程；（2）根據(jù)圓的圓心在直線：上可設(shè)圓的方程為，由，可得的軌跡方程為，若圓上存在點，使，只需兩圓有公共點即可.【詳解】（1）由得圓心，∵圓的半徑為1，∴圓的方程為：，顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓的切線方程為，即．∴，∴，∴或．∴所求圓的切線方程為或．（2）∵圓的圓心在直線：上，所以，設(shè)圓心為，則圓的方程為．又∵，∴設(shè)為，則，整理得，設(shè)為圓．所以點應(yīng)該既在圓上又在圓上，即圓和圓有交點，∴，由，得，由，得．綜上所述，的取值范圍為．考點：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及切線的方程；2、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.【方法點睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及切線的方程、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點.以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.本題（2）巧妙地將圓上存在點，使問題轉(zhuǎn)化為，兩圓有公共點問題是解決問題的關(guān)鍵所在.18.在正四棱錐中，分別為的中點，（1）求正四棱錐的表面積；（2）若平面與棱交于點，求平面與平面所成二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)值表示）（3）求的值.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由題設(shè)求出正四棱錐各個面面積之和即可得解.（2）連接得，由題設(shè)建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量為，用二面角的向量法公式結(jié)合反三角函數(shù)即可計算求解.（3）先設(shè)求出，接著由，共面結(jié)合共面定理列出關(guān)于t的方程計算即可得解.【小問1詳解】由題可得正四棱錐側(cè)面是四個邊長為的正三角形，所以正四棱錐的全面積為.【小問2詳解】連接得，則由題意，且為底面中心，連接，則平面，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，所以，所以，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，所以即，取，則，因為平面，所以是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，則由圖可知為銳角，故，所以，所以平面與平面所成二面角的大小為.【小問3詳解】設(shè)，則，得，所以，因為且共面，所以存在使得，即，所以19.已知橢圓分別為橢圓的左、右頂點，分別為左、右焦點，直線交橢圓于兩點.（1）若為橢圓上（除外）任意一點，求直線和的斜率之積.（2）若，求直線的方程；（3）若直線與直線的斜率分別是、，且，求證：直線過定點，并求出此定點.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析，恒過定點【分析】（1）設(shè)點，直接計算，結(jié)合點在橢圓上化簡即得；（2）設(shè)，由向量線性運算的坐標(biāo)表示得出，再利用在橢圓上，可求出（或）的坐標(biāo)，然后可得直線方程；（3）設(shè)，易知直線斜率不為，設(shè)其方程為（），直線方程橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，把它代入可求得的確定值，從而得定點坐標(biāo)．【小問1詳解】在橢圓中，左、右