2024-2025學(xué)年山東省菏澤市鄄城縣高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省菏澤市鄄城縣高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．在等差數(shù)列中，，，則（）A．1 B．0 C． D．2．若雙曲線的離心率為，則（）A．2 B． C．1 D．3．已知向量，，且，那么（）A． B． C． D．54．若數(shù)列的前四項(xiàng)依次為2，12，112，1112，則的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)的距離小2，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B． C． D．6．如圖所示的幾何體為兩個(gè)正方體組成的正四棱柱，記集合，則集合中元素個(gè)數(shù)為（

）

A．3 B．4 C．6 D．97．經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長為（

）A． B． C．2 D．8．定義“等方差數(shù)列”：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的方公差．設(shè)數(shù)列是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．直線：與圓：的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（）A． B．為遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列中有兩項(xiàng)的值最小 D．?dāng)?shù)列中有16項(xiàng)的值為負(fù)數(shù)11．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．若的縱坐標(biāo)為2，則B．若直線過點(diǎn)，則的最小值為4C．若，則直線恒過定點(diǎn)D．若垂直的準(zhǔn)線于點(diǎn)，且，則四邊形的周長為三、填空題（本大題共3小題）12．?dāng)?shù)列滿足，若，則.13．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，則的取值范圍為．14．已知圓：和點(diǎn)，，若點(diǎn)在圓上，且，則實(shí)數(shù)的最小值是．四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求，并求的最小值及此時(shí)的值.16．已知拋物線：的準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，且點(diǎn)到直線的距離與其到軸的距離都等于2．(1)求的方程；(2)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，若的面積為3，求直線的斜率．17．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.18．已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別是，，左、右頂點(diǎn)分別是，，上、下頂點(diǎn)分別是，，四邊形的面積為，四邊形的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線：與圓：相切，與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求由點(diǎn)，，，四點(diǎn)圍成的四邊形的面積.19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若在曲線的方程中，以且代替得到曲線的方程，則稱是由曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線，稱為伸縮比.(1)若不過原點(diǎn)的直線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線是，證明:是與平行的直線;(2)已知伸縮比時(shí)，曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線是，且與軸有A，B兩個(gè)交點(diǎn)（在的左側(cè)），過點(diǎn)且斜率為的直線與在軸的右側(cè)有，兩個(gè)交點(diǎn).①求的取值范圍;②若直線的斜率分別為，證明：為定值.

答案1．【正確答案】A【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以．故選：A．2．【正確答案】D【詳解】由題意知，雙曲線的離心率，所以．故選：D．3．【正確答案】C【詳解】由向量，，且，得，則，則.故選：C4．【正確答案】D【詳解】由，可得的一個(gè)通項(xiàng)公式為.故選：D.5．【正確答案】B【詳解】由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)Px,y到直線的距離與它到定點(diǎn)的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以，點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B.6．【正確答案】A【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，

則A1,0,0，，，，，，，，，，，所以，，，，，，，，，，所以，，，所以集合，即集合共個(gè)元素.故選：A7．【正確答案】B【詳解】在中，，所以，即，故左焦點(diǎn)為，而，故直線為，聯(lián)立，得，設(shè)，由韋達(dá)定理得，由弦長公式得.故選：B.8．【正確答案】A【詳解】由題意可得，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，由，故，即（負(fù)值舍去），故，故，則，故.故選：A.9．【正確答案】BC【詳解】圓：的圓心為，半徑，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，因此直線與圓相切或相交，所以直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為或．故選：BC．10．【正確答案】CD【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，A錯(cuò)誤；由，得當(dāng)時(shí)，，，…，，將上式相加，得，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，不為遞減數(shù)列，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，取得最小值，C正確；當(dāng)時(shí)，，解得，，所以數(shù)列中有16項(xiàng)的值為負(fù)數(shù)，D正確.故選：CD11．【正確答案】BC【詳解】由題意得，，，準(zhǔn)線方程.A.由的縱坐標(biāo)為2得，，故，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.B.如圖，設(shè)直線方程為：，，由得，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B正確.C.如圖，設(shè)直線方程為：，，由得，，∴，∴，解得，∴直線方程為：，恒過定點(diǎn)，選項(xiàng)C正確.D.如圖，設(shè)點(diǎn)在第四象限.由題意得，，則.由準(zhǔn)線方程為得，，故，，∴，∴四邊形的周長為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.12．【正確答案】/【詳解】由，得，所以.故答案為.13．【正確答案】【詳解】由題意知，，所以，設(shè)，則，由，得，故，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值9，當(dāng)或時(shí)，取得最小值5，故的取值范圍為．故14．【正確答案】【詳解】設(shè)，由，得，即點(diǎn)在圓上，圓心為，半徑．圓的圓心為，半徑，又點(diǎn)在圓上，故圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得，所以或，即的最小值為．故15．【正確答案】(1)(2)，，【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，所以的通?xiàng)公式是.（2）由（1）知，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知，準(zhǔn)線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離與其到軸的距離都等于2可知，，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，整理得，，解得，故的方程為．（2）由（1）可知，F(xiàn)1,0，則，由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，Ax1,y1由，消去x整理得，則，可得，，所以，又因?yàn)榈拿娣e為3，則，即，解得，故直線的斜率為．17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用勾股定理得，進(jìn)而證平面，（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，以及的方向向量，可求直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1），所以得，又,所以，又，，平面，所以平面，（2）知，，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,0,,,1,,,0,,,,,,1,則,0,,,1,,,,，設(shè)平面的一個(gè)法向量,,，則有，令，則有，，平面的一個(gè)法向量,0,，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．18．【正確答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意列方程組中分別求出，從而求解.（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理從而求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，根據(jù)題意得，解得，，，所以橢圓的方程是.（2）設(shè)，，因?yàn)橹本€與圓：相切，所以，所以，聯(lián)立得，因?yàn)閳A在橢圓的內(nèi)部，所以恒成立，所以，，所以，所以的面積，即，解得，此時(shí)直線軸，所以，所以四邊形的面積為.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)①；②證明見解析【詳解】（1）證明：設(shè)不過原點(diǎn)的直線的方程是都是常數(shù)，且a，b不同時(shí)為，則曲線的方程是，且，即，因?yàn)槎际浅?shù)，且a，b不同時(shí)為，所以曲線是